【数学】2018届一轮复习人教A版函数的奇偶性与周期性教案
1.了解函数奇偶性的含义．
2．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．
3．会运用函数图象理解和研究函数的性质．
知识点一 函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__________，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于____对称
奇函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__________，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于____对称
答案
f(－x)＝f(x) y轴 f(－x)＝－f(x) 原点
1．(必修①P39习题1.3B组第3题改编)
下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )
A．y＝－x3，x∈R B．y＝sinx，x∈R
C．y＝x，x∈R D．y＝x，x∈R
解析：选项B在其定义域内是奇函数但不是减函数；选项C在其定义域内既是奇函数又是增函数；选项D在其定义域内不是奇函数，是减函数．故选A.
答案：A
2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )
A．－ B.
C. D．－
解析：∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，∴a－1＋2a＝0，∴a＝.又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝.
答案：B
3．(必修①P39A组第6题改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)等于( )
A．－2 B．0
C．1 D．2
解析：f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2.
答案：A
知识点二 周期性
1．周期函数
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有__________，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个______的正数，那么这个________就叫做f(x)的最小正周期．
答案
1．f(x＋T)＝f(x) 2.最小 最小正数
4．判断正误
(1)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数．( )
(2)函数f(x)为R上的奇函数，且f(x＋2)＝f(x)，则f(2 014)＝0.( )
答案：(1)√ (2)√
5．(2016·四川卷)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0
0.
从而有f(x)＝＝，
这时有f(－x)＝＝－＝－f(x)，
故f(x)是奇函数．
④已知f(x)的定义域为(－1,1)，其定义域关于原点对称．
因为f(x)＝(x－1)＝－，
所以f(－x)＝－＝f(x)．
即f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数．
【答案】 (1)D
【总结反思】
1．判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f(－x)与f(x)的关系作出判断．
2．分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数．分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x<0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性.
(1)下列函数为奇函数的是( )
A．f(x)＝2x－ B．f(x)＝x3sinx
C．f(x)＝2cosx＋1 D．f(x)＝x2＋2x
(2)判断函数f(x)＝的奇偶性．
解析：(1)对于A选项，函数的定义域为R.f(－x)＝2－x－＝－2x＝－f(x)，故A正确；对于B选项，函数的定义域为R，函数y＝x3是奇函数，函数y＝sinx是奇函数，该函数为偶函数；对于C选项，函数定义域为R，f(－x)＝2cos(－x)＋1＝2cosx＋1＝f(x)，f(x)为偶函数；对于D选项，由f(1)＝3，f(－1)＝，f(1)≠f(－1)，f(1)≠－f(－1)，知该函数为非奇非偶函数，故选A.
(2)解：方法1：画出函数f(x)＝的图象如图所示，图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数．
方法2：f(x)还可以写成f(x)＝x2－|x|(x≠0)，故f(x)为偶函数．
答案：(1)A
热点二 函数周期性及应用
【例2】 设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝________.
【解析】 ∵f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)的周期T＝2.
又当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，所以f(0)＝0，f(1)＝1，所以f(0)＝
f(2)＝f(4)＝…＝f(2 016)＝0.
f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2 015)＝1.
故f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝1 008.
【答案】 1 008
1．若将“f(x＋2)＝f(x)”改为“f(x＋1)＝－f(x)”，则结论如何？
解：∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]
＝－f(x＋1)＝f(x)．故函数f(x)的周期为2.
由本例可知，f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝1 008.
2．若将“f(x＋2)＝f(x)”改为“f(x＋1)＝”，则结论如何？
解：∵f(x＋1)＝，∴f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝＝f(x)．故函数f(x)的周期为2.
由本例可知，f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝1 008.
【总结反思】
(1)判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期.
(1)(2017·晋中模拟)已知f(x)是R上的奇函数，f(1)＝2，且对任意
x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，则f(2 017)＝________.
(2)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f＝f，则a＋3b的值为________．
解析：(1)∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，又对任意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)，∴当x＝－3时，有f(3)＝f(－3)＋f(3)＝0，∴f(－3)＝0，f(3)＝0，所以有f(x＋6)＝f(x)，周期为6.故f(2 017)＝f(1)＝2.
(2)因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以f＝f，且f(－1)＝f(1)，故f＝f，所以＝－a＋1，即3a＋2b＝－2.①
由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝，即b＝－2a.②
由①②得a＝2，b＝－4，
从而a＋3b＝－10.
答案：(1)2 (2)－10
热点三 函数奇偶性的应用
考向1 利用奇偶性求值
【例3】 已知f(x)＝＋sinx，则f(－4)＋f(－3)＋f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)的值是____.
【解析】 因为f(x)－1＝＋sinx是奇函数，所以f(－x
)－1＝－[f(x)－1]＝1－f(x)，故f(－x)＋f(x)＝2，且f(0)＝1，所以f(－4)＋f(－3)＋f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝[f(－4)＋f(4)]＋[f(－3)＋f(3)]＋[f(－2)＋f(2)]＋[f(－1)＋f(1)]＋f(0)＝2×4＋1＝9.
【答案】 9
考向2 奇偶性与单调性的结合
【例4】 (2017·新疆乌鲁木齐诊断)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)单调递增，则满足f(2x－1)0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4的值为( )
A．8 B．－8
C．0 D．－4
【解析】 ∵f(x－4)＝－f(x)，∴f(x－8)＝f(x)，∴函数f(x)是以8为周期的周期函数，又由f(x－4)＝－f(x)可得f(x＋2)＝－f(x＋6)＝－f(x－2)，因为f(x)是奇函数，所以f(x＋2)＝－f(x－2)＝f(2－x)，所以f(x
)的图象关于x＝2对称，结合在[0,2]上为增函数，可得函数的大致图象如图，由图看出，四个交点中的左边两个交点的横坐标之和为2×(－6)，另两个交点的横坐标之和为2×2，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－8.故选B.
【答案】 B
【总结反思】
函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略
(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.
(1)(2017·山东青岛一模)奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则f(4)＋f(5)的值为( )
A．2 B．1
C．－1 D．－2
(2)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x
＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝1－x，
则下列命题：
①2是函数f(x)的周期；
②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；
③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；
④当x∈(3,4)时，f(x)＝x－3.
其中正确命题的序号是________．
解析：(1)∵f(x＋1)为偶函数，f(x)是奇函数，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，f(x)＝－f(－x)，f(0)＝0，∴f(x＋1)＝f(－x＋1)＝－f(x－1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，则f(4)＝f(0)＝0，f(5)＝f(1)＝2.∴f(4)＋f(5)＝0＋2＝2，故选A.
(2)由已知条件得f(x＋2)＝f(x)，
则f(x)是以2为周期的周期函数，∴①正确．
当－1≤x≤0时，0≤－x≤1.
f(x)＝f(－x)＝1＋x，
函数y＝f(x)的图象如图所示，由图象知②正确，③不正确．
当3
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