2018-2019学年湖南省衡阳市第一中学高二上学期期末考试数学（文）试题 解析版

2018-2019学年湖南省衡阳市第一中学高二上学期期末考试数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 湖南省衡阳市第一中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知复数，若，则复数的共轭复数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 复数，‎ 若，则，解得.‎ 所以.‎ 故选B.‎ ‎2．对某商店一个月内每天的顾客人数进行统计，得到样本的茎叶图（如图所示）．则该样本的中位数、众数、极差分别是（　　）‎ A．47,45,56 B．46, 45, 53 C．45, 47, 53 D．46,45,56‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用中位数、众数、极差的定义求解．‎ ‎【详解】‎ 由样本的茎叶图得到：‎ 样本中的30个数据从小到大排列，位于中间的两个数据是45，47，‎ ‎∴该样本的中位数为：；‎ 出现次数最多的数据是45，∴该样本的众数是45；‎ 该数据中最小值为12，最大值为68，‎ ‎∴该样本的极差为：68﹣12＝56．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查中位数、众数、极差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意基本定义的合理运用．‎ ‎3．从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动,每天一人,则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 设2名男生记为A1,A2,2名女生记为B1,B2,任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动,共有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(B1,B2),(A2,A1),(B1,A1),(B2,A1),(B1,A2),(B2,A2),(B2,B1)12种情况,而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2)4种情况,则发生的概率为P=,‎ 故选：A.‎ ‎4．下列关于否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是(　　)‎ A．有一个解 B．有两个解 C．至少有三个解 D．至少有两个解 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：根据命题的否定命题的解答办法，我们结合至多性问题的否定思路：至多n个的否定为至少n+1个，易根据已知原命题“至多有两个解”得到否定命题. 解：∵至多n个的否定为至少n+1个,∴“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”,故选C 考点：命题的否定 点评：本题考查的知识是命题的否定，其中熟练掌握多性问题的否定思路：至多n个的否定为至少n+1个，是解答本题的关键.‎ ‎5．已知下列说法：‎ ‎①命题“∃x0∈R，x＋1＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋1＜3x”； ‎ ‎②已知p，q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“￢p∧￢q”为真命题 ‎③“a＞2”是“a＞5”的充分不必要条件 ‎④“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆否命题为真命题 其中正确说法的个数为(　　)‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用命题的否定判断①的正误；复合命题的真假判断②的正误；充要条件判断③的正误；四种命题的逆否关系判断④的正误；‎ ‎【详解】‎ 对于①命题“∃x0∈R，x＋1＞3x0”的否定应该是“∀x∈R，x2＋13x”，故错误；‎ 对于②已知p，q为两个命题，若“p∨q”为假命题，说明两个命题都是假命题，则“￢p∧￢q”为真命题，正确；‎ 对于③“a＞2”是“a＞5”的充分不必要条件，应该是必要不充分条件，所以原判断不正确；‎ 对于④“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆否命题为：x≠0或y≠0，则xy≠0，显然是假命题，原判断不正确；‎ 真命题的个数是1个．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的真假的判断与应用，涉及四种命题、充要条件、命题的否定的知识，考查计算能力．‎ ‎6．执行如图所示的程序框图，当输入的的值为4时，输出的的值为2，则空白判断框中的条件可能为（ ）.‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】方法一：当x=4,输出y=2,则由y=log2x输出，需要x>4，本题选择B选项.‎ 方法二：若空白判断框中的条件x>3，输入x=4，满足4>3，输出y=4+2=6，不满足，故A错误，‎ 若空白判断框中的条件x>4,输入x=4,满足4=4,不满足x>3,输出y=y=log24=2，故B正确；‎ 若空白判断框中的条件x⩽4，输入x=4，满足4=4，满足x⩽4，输出y=4+2=6，不满足，故C错误，‎ 若空白判断框中的条件x⩽5，输入x=4，满足4⩽5，满足x⩽5，输出y=4+2=6，不满足，故D错误，‎ 本题选择B选项.‎ ‎7．如表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出关于的线性回归方程为，则表中的值为（ ）‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎2.5‎ m ‎4‎ ‎4.5‎ A．3 B．3.5 C．4.5 D．2.5‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据表格中所给的数据，求出这组数据的横标和纵标的平均值，表示出这组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，代入得到关于m的方程，解方程即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵根据所给的表格可以求出4.5，‎ ‎∵这组数据的样本中心点在线性回归直线上，‎ ‎∴0.7×4.5+0.35，‎ ‎∴m＝3，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性回归方程的应用，是一个基础题，题目的运算量不大，解题的关键是理解样本中心点在线性回归直线上．‎ ‎8．函数的图像大致是(　 　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 解：因为 可见在x>0时，01，f(x)递减，则可排除C,D，然后看最大值x=1时，为-1/2，因此图像选B ‎9．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：，∵函数在区间单调递增，∴在区间上恒成立．∴，而在区间上单调递减，∴．∴的取值范围是．故选：D．‎ 考点：利用导数研究函数的单调性.‎ 视频 ‎10．已知双曲线的一个焦点坐标为，则此双曲线的渐近线方程为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得3，解方程可得m，可得双曲线的方程，再将其中的“1”换为“0”，进而得到所求渐近线方程．‎ ‎【详解】‎ 由题意可得3，‎ 解得m＝4，‎ 即有双曲线的方程为1，‎ 可得渐近线方程为y＝±x．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎11．设、分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段的中点在轴上，若，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：设的中点为，连接，由于为的中点，则为的中位线，所以，‎ 所以，由于，所以，由勾股定理得 ‎，由椭圆定义得，，所以椭圆的离心率为，故选A.‎ 考点：椭圆的定义与离心率 ‎12．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将原问题转化为函数单调性的问题，然后求解实数的取值范围即可.‎ ‎【详解】‎ 不等式即，‎ 结合可得恒成立，即恒成立，‎ 构造函数，由题意可知函数在定义域内单调递增，‎ 故恒成立，即恒成立，‎ 令，则，‎ 当时，单调递减；当时，单调递增；‎ 则的最小值为，‎ 据此可得实数的取值范围为.‎ 本题选择D选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导函数研究函数的性质，导函数处理恒成立问题，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．设复数的模为3，则__________．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】分析：由复数得模得，根据乘法运算得，进而得解.‎ 详解：由复数的模为3，可知.‎ 又.‎ 故答案为：9.‎ 点睛：本题主要考查了复数模的概念及复数的乘法运算，属于基础题.‎ ‎14．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是______‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出阴影部分的面积，根据几何概型的定义求出满足条件的概率即可．‎ ‎【详解】‎ 设正方形的面积是1，‎ 结合图象，阴影部分是和大三角形的面积相等，‎ 从而阴影部分占正方形的，‎ 故满足条件的概率p，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了几何概型问题，考查数形结合思想，是一道基础题．‎ ‎15．将正整数有规律地排列如下：‎ ‎1‎ ‎2 3 4‎ ‎5 6 7 8 9‎ ‎10 11 12 13 14 15 16 ‎ ‎……………‎ 则在此表中第45行第83列出现的数字是_______________‎ ‎【答案】2019‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图象可知第n行有2n﹣1个数字，前n行的数字个数为1+3+5+……+（2n﹣1）＝n2个，可得前44行共442个，进而求得结果．‎ ‎【详解】‎ 依题意可知第n行有2n﹣1个数字，‎ 前n行的数字个数为1+3+5++（2n﹣1）＝n2个，可得前44行共442个，‎ ‎∵442＝1936，即第44行最后一个数为1936，∴第45行第83列出现的数字是1936+83=2019，‎ 故答案为2019.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列的前n项和公式．解题的关键是求得前n行的数字个数，属于中档题.‎ ‎16．设O为坐标原点，动点M在圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝，则点P的轨迹方程为______________ ；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），设P（x，y），运用向量的坐标运算，结合M满足椭圆方程，化简整理可得P的轨迹方程；‎ ‎【详解】‎ 设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），‎ 设P（x，y），由点P满足＝,可知P为MN的中点，‎ 可得xx0，y＝y0，‎ 即有x0＝x，y0＝2y，‎ 代入圆C：x2+y2＝4，可得．即，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查轨迹方程的求法，注意运用坐标转移法，考查转化思想以及计算能力．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知命题p：k2﹣8k﹣20≤0，命题q：方程1表示焦点在x轴上的双曲线．‎ ‎（1）命题q为真命题，求实数k的取值范围；‎ ‎（2）若命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，求实数k的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）命题q为真命题，由已知得，可求实数k的取值范围；‎ ‎（2）根据题意得命题p、q有且仅有一个为真命题，分别讨论“p真q假”与“p假q真”即可得出实数a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当命题q为真时，由已知得，解得1＜k＜4‎ ‎∴当命题q为真命题时，实数k的取值范围是1＜k＜4.‎ ‎（2）当命题p为真时，由k2﹣8k﹣20≤0解得﹣2≤k≤10，‎ 由题意得命题p、q中有一真命题、有一假命题 ，‎ 当命题p为真、命题q为假时，则，‎ 解得﹣2≤k≤1或4≤k≤10． ‎ 当命题p为假、命题q为真时，则，k无解． ‎ ‎∴实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了命题真假的判断与应用，属于中档题，解题时注意分类讨论思想的应用．‎ ‎18．设抛物线C:的焦点为F，抛物线上的点A到轴的距离等于.‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）已知经过抛物线C的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，证明： 为定值．‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程，进一步求得p值；‎ ‎（2）分斜率存在与不存在两种情况，设过F的直线方程，与抛物线方程联立，整理后，设A（x1，y1），B（x2，y2）根据韦达定理可求得x1x2的值，又根据抛物线定义可知|AF|＝x1+1，|BF|＝x2+1代入可得其值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可得，抛物线上点到焦点的距离等于点到直线的距离，由抛物线的定义得，即.故抛物线的方程为；‎ ‎（2）易知焦点的坐标为，‎ 若直线的斜率不存在，即直线方程为：，此时，‎ ‎，‎ 若直线的斜率存在，设直线方程为：，设，‎ 由抛物线的定义可知：，‎ 由得：，‎ 由韦达定理得：，所以：‎ ‎，‎ 综上可得：为定值.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线的定义和抛物线方程的求法．对于过抛物线焦点的直线与抛物线关系，常用抛物线的定义来解决，属于中档题．‎ ‎19．已知函数，‎ ‎（1）求函数在点M处的切线方程；‎ ‎（2）若试求函数的最值。‎ ‎【答案】（1）（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求得，将x=0代入和，求得斜率及M坐标，即可得切线方程；‎ ‎（2）利用分析得到函数的单调性，再比较与，从而得到最值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），所以，‎ 故：，又，‎ 所以函数在点处的切线方程为：；‎ ‎（2）因为，由得：，‎ 当时，；当时，；‎ ‎∴函数在单调递增，在单调递减；‎ 又，‎ 故时，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，综合考查了学生的计算能力，属于有难度的题目．‎ ‎20．某蛋糕店制作并销售一款蛋糕，当天每售出个利润为元，未售出的每个亏损元.根据以往天的统计资料，得到如下需求量表，元旦这天，此蛋糕店制作了个这种蛋糕.以（单位：个， ）表示这天的市场需求量. （单位：元）表示这天售出该蛋糕的利润.‎ 需求量/个 天数 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎25‎ ‎15‎ ‎（1）将表示为的函数，根据上表，求利润不少于元的概率；‎ ‎（2）估计这天的平均需求量（同一组数据用该区间的中点值作代表）；‎ ‎（3）元旦这天，该店通过微信展示打分的方式随机抽取了名市民进行问卷调查，调查结果如下表所示，已知在购买意愿强的市民中，女性的占比为.‎ 购买意愿强 购买意愿弱 合计 女性 ‎28‎ 男性 ‎22‎ 合计 ‎28‎ ‎22‎ ‎50‎ 完善上表，并根据上表，判断是否有的把握认为市民是否购买这种蛋糕与性别有关？‎ 附： .‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎【答案】（1）0.7；（2）126.5；（3）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）分两种情况讨论，根据销售收入减去成本可以将表示为的函数，根据所求解析式，列不等式求出利润不少于元的的范围，找出表格中对应天数，利用古典概型概率公式可得利润不少于570元的概率；（2）这100天的平均需求量为；（3）先列出列联表，根据公式， ，故有的把握认为市民是否购买这种蛋糕与性别有关.‎ 试题解析：（1）当时， ，‎ 当时， ，所以 当时， ，∴，又，所以，‎ 因此，利润不少于570元的概率为.‎ ‎（2）这100天的平均需求量为.‎ ‎（3）根据题意，购买意愿强市民中女性的人数为，男性为8人，‎ 填表如下：‎ 购买意愿强 购买意愿弱 合计 女性 ‎20‎ ‎8‎ ‎28‎ 男性 ‎8‎ ‎14‎ ‎22‎ 合计 ‎28‎ ‎22‎ ‎50‎ 根据公式， ，‎ 故有的把握认为市民是否购买这种蛋糕与性别有关.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查阅读能力、古典概型概率公式以及独立性检验的应用，属于中档题.‎ 独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）‎ ‎21．已知椭圆的离心率是，且过点，直线与椭圆相交于两点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求的面积的最大值；‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据椭圆的离心率公式求得a2＝2b2，将P代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；‎ ‎（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式结合点到直线的距离公式表示三角形的面积，然后通过二次型函数求解最值即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设椭圆的半焦距为，‎ 因为椭圆的离心率是，所以，即，‎ 由，解得，所以椭圆的方程为；‎ ‎（2）将代入，消去整理得，‎ 令，解得.‎ 设，则，‎ 所以，‎ 点到直线的距离为.‎ 所以的面积，‎ 当且仅当时，，所以的面积的最大值是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎22．设．‎ ‎(1) 求函数的单调区间；‎ ‎(2) 若证明：‎ ‎（3）若函数有两个零点，且，求实数的取值范围；‎ ‎【答案】（1）当时，函数的单调递增区间是；当时，函数的递减区间是，单调递增区间是；‎ ‎（2）见解析 ‎（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的导数，分类解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；‎ ‎（2）分析出函数在单调递减，在单调递增，得到即可；‎ ‎（3）由题意知有两个根，构造分析，得到，解出a的范围即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）首先，函数定义域为，因，则当时，，‎ 函数在上单调递增；‎ 当，且时，，函数的上单调递减；时，，函数在上单调递增，故当时，函数的单调递增区间是；当时，函数的递减区间是，单调递增区间是；‎ ‎（2）若，则，‎ 当时，时，，‎ 所以：函数在单调递减，在单调递增，故：；‎ ‎（3）由题设有两个零点，显然，故，记，‎ 当时，单调增；当时，单调减.所以当，即时，函数有两个零点，所求实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．‎