专题11-4 数学归纳法（练）-2018年高考数学一轮复习讲练测（江苏版）

专题11-4 数学归纳法（练）-2018年高考数学一轮复习讲练测（江苏版）

‎ ‎ ‎1. 已知n是正偶数,用数学归纳法证明时,若已假设n=k(k≥2且为偶数)时命题为真,则还需证明_______．‎ ‎【答案】n=k+2时命题成立 ‎【解析】因n是正偶数,故只需证等式对所有偶数都成立,因k的下一个偶数是k+2‎ ‎2. 用数学归纳法证明1＋＋＋…＋> (n∈N*)成立，其初始值至少应取_______．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】左边＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入验证可知n的最小值是8.‎ ‎3. 用数学归纳法证明“”，从“到”左边 需增乘的代数式_______． ‎ ‎【答案】‎ ‎4. 若，则对于， ．‎ ‎【答案】+ +‎ ‎【解析】由题知=，= ++ += ++ +，所以=+ ‎ ‎+ +.‎ ‎5. 用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是____．‎ ‎【答案】假设n＝2k－1(k∈N*)时正确，再推n＝2k＋1(k∈N*)正确 ‎【解析】因为n为正奇数，根据数学归纳法证题的步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题先假设n＝2k－1(k∈N*)正确，再推第k＋1个正奇数，即n＝2k＋1(k∈N*)正确．‎ ‎6. 已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已知假设为偶数时，命题成立，则还需要用归纳假设再证_______．‎ ‎【答案】时等式成立 ‎【解析】由于为正偶数，已知假设为偶数，则下一个偶数为. ‎ ‎7. 若f(x)＝f1(x)＝，fn(x)＝fn－1[f(x)](n≥2，n∈N*)，则f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＋f1(1)＋f2(1)＋…＋fn(1)＝_______．‎ ‎【答案】1‎ ‎8. 已知f(n)＝1＋＋＋…＋ (n∈N*)，用数学归纳法证明f(2n)>时，f(2k＋1)－f(2k)等于________．‎ ‎【答案】＋＋…＋‎ ‎【解析】∵f(2k＋1)＝1＋＋＋＋…＋＋＋…＋＋＋＋…＋，‎ f(2k)＝1＋＋＋＋…＋＋＋…＋，‎ ‎∴f(2k＋1)－f(2k)＝＋＋…＋.‎ ‎9. 【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】（本小题满分10分）‎ 设实数满足，且且，令．求证：．‎ ‎【答案】详见解析 ‎10. 【江苏省苏北三市（徐州市、连云港市、宿迁市）2016届高三最后一次模拟考试】（本小题满分10分）‎ 在集合中，任取个元素构成集合. 若的所有元素之和为偶数，则称为的偶子集，其个数记为；的所有元素之和为奇数，则称为的奇子集，其个数记为. 令.‎ ‎（1）当时，求的值；‎ ‎（2）求.‎ ‎【答案】（1），，，（2）‎ ‎； …………………8分 另一方面，，中的系数为，‎ 故．‎ 综上，　　 ……………………………………………10分 ‎11. 【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】（本小题满分10分）‎ ‎ 记.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）当时，试猜想所有的最大公约数，并证明.‎ ‎【答案】（1）（2）.‎ ‎12. 【江苏省扬州中学2015—2016学年第二学期质量检测】设数列（）为正实数数列，且满足.‎ ‎（1）若，写出；‎ ‎（2）判断是否为等比数列？若是，请证明；若不是，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）是等比数列 ‎【解析】（1）当时，‎ ‎13. 各项均为正数的数列对一切均满足．证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎【解析】（1）因为，，与题设矛盾，所以，．若，则，根据上述证明可知存在矛盾．所以，‎ 所以，且．因为．‎ 所以，所以，即． ‎ ‎（注：用反证法证明参照给分）‎ ‎（2）下面用数学归纳法证明：．‎ ‎① 当时，由题设可知结论成立；‎ ‎② 假设时，，‎ 当时，由（1）得，．‎ 由①，②可得，． 下面先证明．‎ 假设存在自然数，使得，则一定存在自然数，使得．‎ ‎14. 已知数列{bn}是等差数列，b1＝1，b1＋b2＋…＋b10＝145.‎ ‎(1)求数列{bn}的通项公式bn；‎ ‎(2)设数列{an}的通项an＝loga(其中a＞0且a≠1)．记Sn是数列{an}的前n项和，试比较Sn与logabn＋1的大小，并证明你的结论.‎ ‎【解析】(1)设数列{bn}的公差为d，‎ 由题意得∴bn＝3n－2.‎ ‎(2)由bn＝3n－2，知Sn＝loga(1＋1)＋loga＋…＋loga ‎＝loga 而logabn＋1＝loga，于是，比较Sn与logabn＋1的大小比较 ‎(1＋1)与的大小.‎ 取n＝1，有1＋1＝>＝，‎ 取n＝2，有(1＋1)>>＝.‎ ‎（Ⅰ）若函数在其定义域上为单调函数,求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若函数的图像在处的切线的斜率为0，，已知求证：‎ ‎（Ⅲ）在（2）的条件下，试比较与的大小，并说明理由. ‎ ‎【解析】 (Ⅰ) ∵f(1)=a-b=0 ∴a=b ‎∴‎ ‎∴‎ 要使函数在其定义域上为单调函数，则在定义域（0，+∞）内恒大于等于0或恒小于等于0，‎ 当a=0时，在（0，+∞）内恒成立；‎ 当n=k+1时，‎ 所以当n=k+1时不等式成立，‎ 综上得对所有时，都有 10分 ‎（Ⅲ）由（2）得 于是 所以 ，‎ 累称得：则 所以 .‎ ‎ ‎