【数学】甘肃省平凉市静宁县第一中学2020届高三第四次模拟考试试题(文)

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【数学】甘肃省平凉市静宁县第一中学2020届高三第四次模拟考试试题(文)

甘肃省平凉市静宁县第一中学2020届高三第四次模拟考试数学试题(文)‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.若复数z与其共轭复数满足,则( )‎ A. B. C.2 D. ‎ ‎3.已知双曲线的离心率为,则其渐近线方程为( )‎ A.2x+y=0 B. C. D. ‎ ‎4.在区间内随机取两个数,则使得“命题‘,不等式成立’‎ 为真命题”的概率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.若向量与平行,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.是抛物线的焦点,是抛物线上的两点,,则线段 的 中点到轴的距离为( )‎ A.4 B. C. D.‎ ‎7.已知是两条不重合的直线,是两个不重合的平面,则下列命题中,错误的是 A.若,则 ( )‎ B.若,则 C.若,则 ‎ D.若,则或 ‎ ‎8.已知函数y=f(x)的部分图像如图,则f(x)的解析式可能是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎9.已知函数,,则的大小关 系为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.天文学中,为了衡量星星的明暗程度,古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus)在公元 前二世纪首先提出了星等这个概念。星等的数值越小,星星就越亮;星等的数值越大它的光 就越暗。到了1850年,由于光度计在天体光度测量的应用,英国天文学家普森(M.R.Pogson)‎ 又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。两颗 星的星等与亮度满足,其中星等为的星的亮度为 ‎,已知“心宿二”的星等是1.00,“天津四”的星等是1.25,“心宿二”的亮度是“天津 四”的倍,则与最接近的是(当较小时,) ( )‎ A.1.24 B.‎1.25 ‎ C.1.26 D.1.27 ‎ ‎11.已知数列的通项公式是,其中 的部分图像如图所示,为数列的前项和,则的值为( )‎ A. B. C. D.0 ‎ ‎12.已知函数,若函数有4个零点,则实数 m的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.我校高一、高二、高三共有学生1800名,为了了解同学们对“智慧课堂”的意见,计划 采用分层抽样的方法,从这1800名学生中抽取一个样本容量为36的样本,若从高一、高二、‎ 高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数,则我校高三年级的学生人数为 ‎_____________ .‎ ‎14.已知实数x,y满足,则的最大值为_____________ .‎ ‎15.等差数列的前n项和为,,则_____________.‎ ‎16.在三棱锥中,,点到底面 的距离是;则三棱锥的外接球的表面积是_________.‎ 三、 解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,‎ 每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。‎ ‎(一)必考题:共60分)‎ ‎17.(12分)‎ 某年级教师年龄数据如下表:‎ 年龄(岁)‎ 人数(人)‎ ‎22‎ ‎1‎ ‎28‎ ‎2‎ ‎29‎ ‎3‎ ‎30‎ ‎5‎ ‎31‎ ‎4‎ ‎32‎ ‎3‎ ‎40‎ ‎2‎ 合计 ‎20‎ ‎(1)求这20名教师年龄的众数与极差;‎ ‎(2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这20名教师年龄的茎叶图;‎ ‎(3)现在要在年龄为29岁和31岁的教师中选2位教师参加学校有关会议,求所选的2位教师年龄不全相同的概率.‎ ‎18.(12分)‎ 在锐角△ABC中,,.‎ ‎(1)求角A;‎ ‎(2)求△ABC的周长l的范围.‎ ‎19.(12分)‎ 如图所示的多面体中,四边形是正方形,平面平面,,.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)求点到平面的距离.‎ ‎20.(12分)‎ 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,且过点.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)直线交椭圆于两点,若点始终在以为直径的圆内,求实数的取值范围.‎ ‎21.(12分)‎ 已知函数.‎ ‎(1)若曲线与直线相切,求实数的值;‎ ‎(2)若不等式 在定义域内恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎(二)选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.‎ ‎22.[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ 在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)写出直线和曲线的直角坐标方程;‎ ‎(2)已知点,若直线与曲线交于两点,中点为M,求的值.‎ ‎23.[选修4-5:不等式选讲]‎ 已知函数.‎ ‎(1)求不等式的解集;‎ ‎(2)若,使得恒成立,求的取值范围.‎ 参考答案 一.选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D A D A C C A C A C B D 二、填空题:‎ ‎13.700 14.22 15. 16.5 ‎ 三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎17.解:(Ⅰ)年龄为30岁的教师人数为5,频率最高,故这20名教师年龄的众数为30,极差为最大值与最小值的差,即40-22=18. 4分 ‎(Ⅱ) 8分 ‎(Ⅲ)设事件“所选的2位教师年龄不全相同”为事件A.年龄为29,31岁的教师共有7名,从其中任选2名教师共有=21种选法,3名年龄为29岁的教师中任选2名有3种选法,4名年龄为31岁的教师中任选2名有6种选法,所以所选的2位教师年龄不全相同的选法共有21-9=12种,所以P(A)==. 12分 ‎18.解:(1)∵cos A(2b-c)=acos C ‎ ‎ ‎. .........6分 ‎(2) .........8分 ‎ ........10分 ‎ .........11分 ‎. .........12分 ‎19.解法一:(Ⅰ)四边形是正方形, ‎ ‎,‎ 又, , ,‎ ‎, 2分 又,‎ ‎, 3分 在中,,‎ 由余弦定理得,,,. 4分 又, ‎ ‎. 5分 又 ‎. 6分 ‎(Ⅱ)连结,由(Ⅰ)可知,,‎ 四边形是正方形 ‎ 又,‎ A到的距离等于B到的距离. 即B到面DFC的距离为AE.‎ ‎ 7分 在直角梯形EFCD中, , ‎ ‎, 8分 ‎, 9分 在直角梯形EFBA中, ‎ 可得在等腰中,,‎ ‎, 10分 设点D到平面BFC的距离为d, ‎ ‎,即,‎ 点到平面的距离为. 12分 解法二:(Ⅰ)同解法一 ‎(Ⅱ)过点E做连结.‎ ‎, , ‎ ‎, 在中, , 7分 又, ,‎ E到面ABCD的距离等于F到面ABCD的距离 8分 ‎. 9分 在直角梯形EFBA中, ‎ ‎, ,可得 ‎ 10分 设D点到平面BFC的距离为d, ‎ 即= ,‎ 点到平面的距离.‎ ‎20.(本题满分12分)‎ 解:(1)由题意知,, (4分)椭圆的标准方程为:. (4分)‎ ‎(2)设联立,消去,得: ‎ ‎(5分)‎ 依题意:直线恒过点,此点为椭圆的左顶点,所以① ,‎ 由(*)式,②,得 ③ ,‎ 由①②③, (8分)‎ 由点B在以PQ为直径圆内,得为钝角或平角,即. ‎ ‎.即 (10分)‎ 整理得,解得. 12分 ‎21.解:(1)由f(x)=lnx-ax, 得f’(x)=, 设切点横坐标为x0, ‎ 得3分 ‎ 解之得 即实数a的值为1。 5分 ‎(2)由(x+1)f(x)=(x+1)(lnx-ax)≤lnx-在定义域内恒成立。‎ 得在定义域内恒成立。 7分 令g(x)= (x>0) g’(x)= ‎ 再令h(x)= h’(x)= ‎ 所以h(x)在(0,+∞)递减, 又h(e)=0. 9分 当x∈(0,e) h’(x)>0, h(x)在(0,e)上递增 当x∈(e,+∞), h’(x)<0, h(x)在(e,+∞)上递减。‎ 所以g(x)在x=e处取得最大值g(e)= 11分 所以a≥ 12分 ‎22.解:(1)因为直线,故,‎ 即直线的直角坐标方程为.……………2分 因为曲线,则曲线的直角坐标方程为,即.………4分 ‎(2)设直线的参数方程为(为参数),‎ 将其代入曲线的直角坐标系方程得.‎ 设,对应的参数分别为,,则,, ……………6分 所以M对应的参数,……………8分 故……………10分 ‎23.解:(1)不等式可化为,‎ 当时,,,所以无解;……………1分 当时,,所以;……………2分 当时,,,所以.……………3分 综上,不等式的解集是.……………5分 ‎(2),‎ 又,使得恒成立,则,……………8分 ‎,解得.‎ 所以的取值范围为.……………10分
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