七年级数学下全册同步练习+八年级数学下册同步练习(全册)
七年级数学下全册
同步练习+八年级数学下册同步练习(全册)
七下数学全册同步练习
第五章 相交线与平行线
1 相交线
学习要求
1．能从两条直线相交所形成的四个角的关系入手，理解对顶角、互为邻补角的概念，
掌握对顶角的性质．
2．能依据对顶角的性质、邻补角的概念等知识，进行简单的计算．
课堂学习检测
一、填空题
1．如果两个角有一条______边，并且它们的另一边互为____________，那么具有这种关系
的两个角叫做互为邻补角．
2．如果两个角有______顶点，并且其中一个角的两边分别是另一个角两边的___________
________，那么具有这种位置关系的两个角叫做对顶角．
3．对顶角的重要性质是_________________．
4．如图，直线 AB、CD 相交于 O 点，∠AOE＝90°．
(1)∠1 和∠2 叫做______角；∠1 和∠4 互为______角；
∠2 和∠3 互为_______角；∠1 和∠3 互为______角；
∠2 和∠4 互为______角．
(2)若∠1＝20°，那么∠2＝______；
∠3＝∠BOE－∠______＝______°－______°＝______°；
∠4＝∠______－∠1＝______°－______°＝______°．
5．如图，直线 AB 与 CD 相交于 O 点，且∠COE＝90°，则
(1)与∠BOD 互补的角有________________________；
(2)与∠BOD 互余的角有________________________；
(3)与∠EOA 互余的角有________________________；
(4)若∠BOD＝42°17′，则∠AOD＝__________；
∠EOD＝______；∠AOE＝______．
二、选择题
6．图中是对顶角的是( )．
7．如图，∠1 的邻补角是( )．
(A)∠BOC (B)∠BOC 和∠AOF
(C)∠AOF (D)∠BOE 和∠AOF
8．如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，若 AODAOC
3
1 ，则∠BOD 的度数为( )．
(A)30° (B)45°
(C)60° (D)135°
9．如图所示，直线 l1，l2，l3 相交于一点，则下列答案中，全对
的一组是( )．
(A)∠1＝90°，∠2＝30°，∠3＝∠4＝60°
(B)∠1＝∠3＝90°，∠2＝∠4＝30°
(C)∠1＝∠3＝90°，∠2＝∠4＝60°
(D)∠1＝∠3＝90°，∠2＝60°，∠4＝30°
三、判断正误
10．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角． ( )
11．如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角． ( )
12．有一条公共边的两个角是邻补角． ( )
13．如果两个角是邻补角，那么它们一定互为补角． ( )
14．对顶角的角平分线在同一直线上． ( )
15．有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角． ( )
综合、运用、诊断
一、解答题
16．如图所示，AB，CD，EF 交于点 O，∠1＝20°，∠BOC＝80°，求∠2 的度数．
17．已知：如图，直线 a，b，c 两两相交，∠1＝2∠3，∠2＝86°．求∠4 的度数．
18．已知：如图，直线 AB，CD 相交于点 O，OE 平分∠BOD，OF 平分∠COB，∠AOD∶
∠DOE＝4∶1．求∠AOF 的度数．
19．如图，有两堵围墙，有人想测量地面上两堵围墙内所形成的∠AOB 的度数，但人又不
能进入围墙，只能站在墙外，请问该如何测量?
拓展、探究、思考
20．如图，O 是直线 CD 上一点，射线 OA，OB 在直线 CD 的两侧，且使∠AOC＝∠BOD，
试确定∠AOC 与∠BOD 是否为对顶角，并说明你的理由．
21．回答下列问题：
(1)三条直线 AB，CD，EF 两两相交，图形中共有几对对顶角(平角除外)?几对邻补角?
(2)四条直线 AB，CD，EF，GH 两两相交，图形中共有几对对顶角(平角除外)?几对邻补
角?
(3)m 条直线 a1，a2，a3，…，am－1，am 相交于点 O，则图中一共有几对对顶角(平角除
外)?几对邻补角?
2 垂 线
学习要求
1．理解两条直线垂直的概念，掌握垂线的性质，能过一点作已知直线的垂线．
2．理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离．
课堂学习检测
一、填空题
1．当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线______，其中一
条直线叫做另一条直线的______线，它们的交点叫做______．
2．垂线的性质
性质 1：平面内，过一点____________与已知直线垂直．
性质 2：连接直线外一点与直线上各点的_________中，_________最短．
3．直线外一点到这条直线的__________________叫做点到直线的距离．
4．如图，直线 AB，CD 互相垂直，记作______；直线 AB，CD 互相垂
直，垂足为 O 点，记作____________；线段 PO 的长度是点_________
到 直 线 _________ 的 距 离 ； 点 M 到 直 线 AB 的 距 离 是
_______________．
二、按要求画图
5．如图，过 A 点作 CD⊥MN，过 A 点作 PQ⊥EF 于 B．
图 a 图 b 图 c
6．如图，过 A 点作 BC 边所在直线的垂线 EF，垂足是 D，并量出 A 点到 BC 边的距离．
图 a 图 b 图 c
7．如图，已知∠AOB 及点 P，分别画出点 P 到射线 OA、OB 的垂线段 PM 及 PN．
图 a 图 b 图 c
8．如图，小明从 A 村到 B 村去取鱼虫，将鱼虫放到河里，
请作出小明经过的最短路线．
综合、运用、诊断
一、判断下列语句是否正确(正确的画“√”，错误的画“×”)
9．两条直线相交，若有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直． ( )
10．若两条直线相交所构成的四个角相等，则这两条直线互相垂直． ( )
11．一条直线的垂线只能画一条． ( )
12．平面内，过线段 AB 外一点有且只有一条直线与 AB 垂直． ( )
13．连接直线 l 外一点到直线 l 上各点的 6 个有线段中，垂线段最短． ( )
14．点到直线的距离，是过这点画这条直线的垂线，这点与垂足的距离． ( )
15．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离． ( )
16．在三角形 ABC 中，若∠B＝90°，则 AC＞AB． ( )
二、选择题
17．如图，若 AO⊥CO，BO⊥DO，且∠BOC＝，则∠AOD 等于( )．
(A)180°－2 (B)180°－
(C)
2
190 (D)2－90°
18．如图，点 P 为直线 m 外一点，点 P 到直线 m 上的三点 A、B、
C 的距离分别为 PA＝4cm，PB＝6cm，PC＝3cm，则点 P
到直线 m 的距离为( )．
(A)3cm (B)小于 3cm
(C)不大于 3cm (D)以上结论都不对
19．如图，BC⊥AC，CD⊥AB，AB＝m，CD＝n，则 AC 的长
的取值范围是( )．
(A)AC＜m (B)AC＞n
(C)n≤AC≤m (D)n＜AC＜m
20．若直线 a 与直线 b 相交于点 A，则直线 b 上到直线 a 距离等于 2cm
的点的个数是( )．
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
21．如图，AC⊥BC 于点 C，CD⊥AB 于点 D，DE⊥BC
于点 E，能表示点到直线(或线段)的距离的线段有( )．
(A)3 条 (B)4 条
(C)7 条 (D)8 条
三、解答题
22．已知：OA⊥OC，∠AOB∶∠AOC＝2∶3．求∠BOC 的度数．
23．已知：如图，三条直线 AB，CD，EF 相交于 O，且 CD⊥EF，
∠AOE＝70°，若 OG 平分∠BOF．求∠DOG．
拓展、探究、思考
24．已知平面内有一条直线 m 及直线外三点 A，B，C，分别过这三个点作直线 m 的垂线，
想一想有几个不同的垂足?画图说明．
25．已知点 M，试在平面内作出四条直线 l1，l2，l3，l4，使它们分别到点 M 的距离是 1.5cm．
·M
26．从点 O 引出四条射线 OA，OB，OC，OD，且 AO⊥BO，CO⊥DO，试探索∠AOC
与∠BOD 的数量关系．
27．一个锐角与一个钝角互为邻角，过顶点作公共边的垂线，若此垂线与锐角的另一边
构成
7
5 直角，与钝角的另一边构成直
7
3 角，则此锐角与钝角的和等于直角的多少倍?
3 同位角、内错角、同旁内角
学习要求
当两条直线被第三条直线所截时，能从所构成的八个角中识别出哪两个角是同位角、内
错角及同旁内角．
课堂学习检测
一、填空题
1．如图，若直线 a，b 被直线 c 所截，在所构成的八个角中指出，下列各对角之间是属于哪
种特殊位置关系的角?
(1)∠1 与∠2 是_______；(2)∠5 与∠7 是______；
(3)∠1 与∠5 是_______；(4)∠5 与∠3 是______；
(5)∠5 与∠4 是_______；(6)∠8 与∠4 是______；
(7)∠4 与∠6 是_______；(8)∠6 与∠3 是______；
(9)∠3 与∠7 是______；(10)∠6 与∠2 是______．
2．如图 2 所示，图中用数字标出的角中，同位角有______；内错角有______；同旁内角有______．
3．如图 3 所示，
(1)∠B 和∠ECD 可看成是直线 AB、CE 被直线______所截得的_______角；
(2)∠A 和∠ACE 可看成是直线_______、______被直线_______所截得的______角．
4．如图 4 所示，
(1)∠AED 和∠ABC 可看成是直线______、______被直线______所截得的_______角；
图 2 图 3 图 4
(2)∠EDB 和∠DBC 可看成是直线______、______被直线_______所截得的______角；
(3)∠EDC 和∠C 可看成是直线_______、______被直线______所截得的______角．
综合、运用、诊断
一、选择题
5．已知图①～④，
图① 图② 图③ 图④
在上述四个图中，∠1 与∠2 是同位角的有( )．
(A)①②③④ (B)①②③
(C)①③ (D)①
6．如图，下列结论正确的是( )．
(A)∠5 与∠2 是对顶角 (B)∠1 与∠3 是同位角
(C)∠2 与∠3 是同旁内角 (D)∠1 与∠2 是同旁内角
7．如图，∠1 和∠2 是内错角，可看成是由直线( )．
(A)AD，BC 被 AC 所截构成
(B)AB，CD 被 AC 所截构成
(C)AB，CD 被 AD 所截构成
(D)AB，CD 被 BC 所截构成
8．如图，直线 AB，CD 与直线 EF，GH 分别相交，图中的同旁内角共有( )．
(A)4 对 (B)8 对
(C)12 对 (D)16 对
拓展、探究、思考
一、解答题
9．如图，三条直线两两相交，共有几对对顶角?几对邻补角?几对同位角?几对内错角?几对
同旁内角?
4 平行线及平行线的判定
学习要求
1．理解平行线的概念，知道在同一平面内两条直线的位置关系，掌握平行公理及其推
论．
2．掌握平行线的判定方法，能运用所学的“平行线的判定方法”，判定两条直线是否平
行．用作图工具画平行线，从而学习如何进行简单的推理论证．
课堂学习检测
一、填空题
1．在同一平面内，______的两条直线叫做平行线．若直线 a 与直线 b 平行，则记作______．
2．在同一平面内，两条直线的位置关系只有______、______．
3．平行公理是：_______________________________________________________________．
4．平行公理的推论是如果两条直线都与______，那么这两条直线也______．即三条直线 a，
b，c，若 a∥b，b∥c，则______．
5．两条直线平行的条件(除平行线定义和平行公理推论外)：
(1)两条直线被第三条直线所截，如果____________，那么这两条直线平行．这个判定方
法 1 可简述为：____________，两直线平行．
(2)两条直线被第三条直线所截，如果____________，那么____________．这个判定方法
2 可简述为：____________，____________．
(3)两条直线被第三条直线所截，如果____________，那么____________．这个判定方法
3 可简述为：____________，____________．
二、根据已知条件推理
6．已知：如图，请分别依据所给出的条件，判定相应的哪两条直线平行?并写出推理的根据．
(1)如果∠2＝∠3，那么____________．
(____________，____________)
(2)如果∠2＝∠5，那么____________．
(____________，____________)
(3)如果∠2＋∠1＝180°，那么____________．
(____________，____________)
(4)如果∠5＝∠3，那么____________．
(____________，____________)
(5)如果∠4＋∠6＝180°，那么____________．
(____________，____________)
(6)如果∠6＝∠3，那么____________．
(____________，____________)
7．已知：如图，请分别根据已知条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．
(1)∵∠B＝∠3(已知)，
∴______∥______．(____________，____________)
(2)∵∠1＝∠D(已知)，
∴______∥______．(____________，____________)
(3)∵∠2＝∠A(已知)，
∴______∥______．(____________，____________)
(4)∵∠B＋∠BCE＝180°(已知)，
∴______∥______．(____________，____________)
综合、运用、诊断
一、依据下列语句画出图形
8．已知：点 P 是∠AOB 内一点．过点 P 分别
作直线 CD∥OA，直线 EF∥OB．
9．已知：三角形 ABC 及 BC 边的中点 D．
过 D 点作 DF∥CA 交 AB 于 M，再过
D 点作 DE∥AB 交 AC 于 N 点．
二、解答题
10．已知：如图，∠1＝∠2．求证：AB∥CD．
(1)分析：如图，欲证 AB∥CD，只要证∠1＝______．
证法 1：
∵∠1＝∠2，(已知)
又∠3＝∠2，( )
∴∠1＝_______．( )
∴AB∥CD．(___________，___________)
(2)分析：如图，欲证 AB∥CD，只要证∠3＝∠4．
证法 2：
∵∠4＝∠1，∠3＝∠2，( )
又∠1＝∠2，(已知)
从而∠3＝_______．( )
∴AB∥CD．(___________，___________)
11．绘图员画图时经常使用丁字尺，丁字尺分尺头、尺身两部分，尺头的里边和尺身的上边
应平直，并且一般互相垂直，也有把尺头和尺身用螺栓连接起来，可以转动尺头，使它
和尺身成一定的角度．用丁字尺画平行线的方法如下面的三个图所示．画直线时要按住
尺身，推移丁字尺时必须使尺头靠紧图画板的边框．请你说明：利用丁字尺画平行线的
理论依据是什么?
拓展、探究、思考
12．已知：如图，CD⊥DA，DA⊥AB，∠1＝∠2．试确定射线 DF 与 AE 的位置关系，并说
明你的理由．
(1)问题的结论：DF______AE．
(2)证明思路分析：欲证 DF______AE，只要证∠3＝______．
(3)证明过程：
证明：∵CD⊥DA，DA⊥AB，( )
∴∠CDA＝∠DAB＝______°．(垂直定义)
又∠1＝∠2，( )
从而∠CDA－∠1＝______－______，(等式的性质)
即∠3＝＿＿＿．
∴DF＿＿＿AE．(＿＿＿＿，＿＿＿＿)
13．已知：如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE 分别平分∠ABC 与∠ADC．且∠1＝∠3．
求证：AB∥DC．
证明：∵∠ABC＝∠ADC，
.2
1
2
1 ADCABC ( )
又∵BF、DE 分别平分∠ABC 与∠ADC，
.
2
12,
2
11 ADCABC ( )
∴∠______＝∠______．( )
∵∠1＝∠3，( )
∴∠2＝∠______．(等量代换)
∴______∥______．( )
14．已知：如图，∠1＝∠2，∠3＋∠4＝180°．试确定直线 a 与直线 c 的位置关系，并说
明你的理由．
(1)问题的结论：a______c．
(2)证明思路分析：欲证 a______c，只要证______∥______且______∥______．
(3)证明过程：
证明：∵∠1＝∠2，( )
∴a∥______．(________，________)①
∵∠3＋∠4＝180°，( )
∴c∥______．(________，________)②
由①、②，因为 a∥______，c∥______，
∴a______c．(________，________)
5 平行线的性质
学习要求
1．掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理．
2．了解平行线的判定与平行线的性质的区别．
3．理解两条平行线的距离的概念．
课堂学习检测
一、填空题
1．平行线具有如下性质：
(1)性质 1：______被第三条直线所截，同位角______．这个性质可简述为两直线______，
同位角______．
(2)性质 2：两条平行线__________________，_______相等．这个性质可简述为______
_______，_____________．
(3)性质 3：__________________，同旁内角______．这个性质可简述为_____________，
__________________．
2．同时______两条平行线，并且夹在这两条平行线间的______________叫做这两条平行线
的距离．
二、根据已知条件推理
3．如图，请分别根据已知条件进行推理，得出结论，并在括
号内注明理由．
(1) 如 果 AB ∥ EF ， 那 么 ∠ 2 ＝ ______ ． 理 由 是
____________________________________．
(2) 如 果 AB ∥ DC ， 那 么 ∠ 3 ＝ ______ ． 理 由 是
____________________________________．
(3)如果 AF∥BE，那么∠1＋∠2＝______．理由是______________________________．
(4)如果 AF∥BE，∠4＝120°，那么∠5＝______．理由是________________________．
4．已知：如图，DE∥AB．请根据已知条件进行推理，分别得出结论，并在括号内注明理由．
(1)∵DE∥AB，( )
∴∠2＝______．(__________，__________)
(2)∵DE∥AB，( )
∴∠3＝______．(__________，__________)
(3)∵DE∥AB( )，
∴∠1＋______＝180°．(______，______)
综合、运用、诊断
一、解答题
5．如图，∠1＝∠2，∠3＝110°，求∠4．
解题思路分析：欲求∠4，需先证明______∥______．
解：∵∠1＝∠2，( )
∴______∥______．(__________，__________)
∴∠4＝______＝______°．(__________，__________)
6．已知：如图，∠1＋∠2＝180°．求证：∠3＝∠4．
证明思路分析：欲证∠3＝∠4，只要证______∥______．
证明：∵∠1＋∠2＝180°，( )
∴______∥______．(__________，__________)
∴∠3＝∠4．(______，______)
7．已知：如图，AB∥CD，∠1＝∠B．
求证：CD 是∠BCE 的平分线．
证明思路分析：欲证 CD 是∠BCE 的平分线，
只要证______＝______．
证明：∵AB∥CD，( )
∴∠2＝______．(____________，____________)
但∠1＝∠B，( )
∴______＝______．(等量代换)
即 CD 是________________________．
8．已知：如图，AB∥CD，∠1＝∠2．求证：BE∥CF．
证明思路分析：欲证 BE∥CF，只要证______＝______．
证明：∵AB∥CD，( )
∴∠ABC＝______．(____________，____________)
∵∠1＝∠2，( )
∴∠ABC－∠1＝______－______，( )
即______＝______．
∴BE∥CF．(__________，__________)
9．已知：如图，AB∥CD，∠B＝35°，∠1＝75°．求∠A 的度数．
解题思路分析：欲求∠A，只要求∠ACD 的大小．
解：∵CD∥AB，∠B＝35°，( )
∴∠2＝∠______＝_______°．(____________，____________)
而∠1＝75°，
∴∠ACD＝∠1＋∠2＝______°．
∵CD∥AB，( )
∴∠A＋______＝180°．(____________，____________)
∴∠A＝_______＝______．
10．已知：如图，四边形 ABCD 中，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝50°．求
∠D 的度数．
分析：可利用∠DCE 作为中间量过渡．
解法 1：∵AB∥CD，∠B＝50°，( )
∴∠DCE＝∠_______＝_______°．
(____________，______)
又∵AD∥BC，( )
∴∠D＝∠______＝_______°．(____________，____________)
想一想：如果以∠A 作为中间量，如何求解?
解法 2：∵AD∥BC，∠B＝50°，( )
∴∠A＋∠B＝______．(____________，____________)
即∠A＝______－______＝______°－______°＝______°．
∵DC∥AB，( )
∴∠D＋∠A＝______．(_____________，_____________)
即∠D＝______－______＝______°－______°＝______°．
11．已知：如图，AB∥CD，AP 平分∠BAC，CP 平分∠ACD，求∠APC 的度数．
解：过 P 点作 PM∥AB 交 AC 于点 M．
∵AB∥CD，( )
∴∠BAC＋∠______＝180°．( )
∵PM∥AB，
∴∠1＝∠_______，( )
且 PM∥_______．(平行于同一直线的两直线也互相平行)
∴∠3＝∠______．(两直线平行，内错角相等)
∵AP 平分∠BAC，CP 平分∠ACD，( )
2
11 ______，
2
14 ______．( )
902
1
2
141 ACDBAC ．( )
∴∠APC＝∠2＋∠3＝∠1＋∠4＝90°．( )
总结：两直线平行时，同旁内角的角平分线______．
拓展、探究、思考
12．已知：如图，AB∥CD，EF⊥AB 于 M 点且 EF 交 CD 于 N 点．求证：EF⊥CD．
13．如图，DE∥BC，∠D∶∠DBC＝2∶1，∠1＝∠2，求∠E 的度数．
14．问题探究：
(1)如果一个角的两条边与另一个角的两条边分别平行，那么这两个角的大小有何关
系?举例说明．
(2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角的大小有何关系?
举例说明．
15．如图，AB∥DE，∠1＝25°，∠2＝110°，求∠BCD 的度数．
16．如图，AB，CD 是两根钉在木板上的平行木条，将一根橡皮筋固定在 A，C 两点，点 E
是橡皮筋上的一点，拽动 E 点将橡皮筋拉紧后，请你探索∠A，∠AEC，∠C 之间具有
怎样的关系并说明理由．(提示：先画出示意图，再说明理由)．
6 命 题
学习要求
1．知道什么是命题，知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分构成的．
2．对于给定的命题，能找出它的题设和结论，并会把该命题写成“如果……，那么……”
的形式．能判定该命题的真假．
课堂学习检测
一、填空题
1．______一件事件的______叫做命题．
2．许多命题都是由______和______两部分组成．其中题设是____________，结论是______
_____．
3．命题通常写成“如果……，那么……．”的形式．这时，“如果”后接的部分是______，
“那么”后接的部分是______．
4．所谓真命题就是：如果题设成立，那么结论就______的命题．相反，所谓假命题就是：
如果题设成立，不能保证结论______的命题．
二、指出下列命题的题设和结论
5．垂直于同一条直线的两条直线平行．
题设是___________________________________________________________；
结论是___________________________________________________________．
6．同位角相等，两直线平行．
题设是___________________________________________________________；
结论是___________________________________________________________．
7．两直线平行，同位角相等．
题设是___________________________________________________________；
结论是___________________________________________________________．
8．对顶角相等．
题设是___________________________________________________________；
结论是___________________________________________________________．
三、将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式
9．90°的角是直角．
__________________________________________________________________．
10．末位数字是零的整数能被 5 整除．
__________________________________________________________________．
11．等角的余角相等．
__________________________________________________________________．
12．同旁内角互补，两直线平行．
__________________________________________________________________．
综合、运用、诊断
一、下列语句哪些是命题，哪些不是命题?
13．两条直线相交，只有一个交点．( ) 14．不是有理数．( )
15．直线 a 与 b 能相交吗?( ) 16．连接 AB．( )
17．作 AB⊥CD 于 E 点．( ) 18．三条直线相交，有三个交点．( )
二、判断下列各命题中，哪些命题是真命题?哪些是假命题?(对于真命题画“√”，对于假命
题画“×”)
19．0 是自然数．( )
20．如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角．( )
21．相等的角是对顶角．( )
22．如果 AC＝BC，那么 C 点是 AB 的中点．( )
23．若 a∥b，b∥c，则 a∥c．( )
24．如果 C 是线段 AB 的中点，那么 AB＝2BC．( )
25．若 x2＝4，则 x＝2．( )
26．若 xy＝0，则 x＝0．( )
27．同一平面内既不重合也不平行的两条直线一定相交．( )
28．邻补角的平分线互相垂直．( )
29．同位角相等．( )
30．大于直角的角是钝角．( )
拓展、探究、思考
31．已知：如图，在四边形 ABCD 中，给出下列论断：
①AB∥DC；②AD∥BC；③AB＝AD；④∠A＝∠C；⑤AD＝BC．
以上面论断中的两个作为题设，再从余下的论断中选一个作为结论，并用“如果……，
那么……”的形式写出一个真命题．
答：_____________________________________________________________________．
32．求证：两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行．
7 平 移
学习要求
了解图形的平移变换，知道一个图形进行平移后所得的图形与原图形之间所具有的联系
和性质，能用平移变换有关知识说明一些简单问题及进行图形设计．
课堂学习检测
一、填空题
1．如图所示，线段 ON 是由线段______平移得到的；线段 DE 是由线段______平移得到的；
线段 FG 是由线段______平移得到的．
2．如图所示，线段 AB 在下面的三个平移中(AB→A1B1→A2B2→A3B3)，具有哪些性质．
图 a
图 b 图 c
(1)线段 AB 上所有的点都是沿______移动，并且移动的距离都________．因此，线段 AB，
A1B1，A2B2，A3B3 的位置关系是____________________；线段 AB，A1B1，A2B2，A3B3
的数量关系是________________．
(2)在平移变换中，连接各组对应点的线段之间的位置关系是______；数量关系是______．
3．如图所示，将三角形 ABC 平移到△A′B′C′．
图 a 图 b
在这两个平移中：
(1)三角形 ABC 的整体沿_______移动，得到三角形 A′B′C′．三角形 A′B′C′与三
角形 ABC 的______和______完全相同．
(2)连接各组对应点的线段即 AA′，BB′，CC′之间的数量关系是__________________；
位置关系是__________________．
综合、运用、诊断
一、按要求画出相应图形
4．如图，AB∥DC，AD∥BC，DE⊥AB 于 E 点．
将三角形 DAE 平移，得到三角形 CBF．
5．如图，AB∥DC．将线段 DB 向右平移，得到线段 CE．
6．已知：平行四边形 ABCD 及 A′点．将平行四边形 ABCD 平移，使 A 点移到 A′点，得
平行四边形 A′B′C′D′．
7．已知：五边形 ABCDE 及 A′点．将五边形 ABCDE 平移，使 A 点移到 A′点，得到五边
形 A′B′C′D′E′．
拓展、探究、思考
一、选择题
8．如图，把边长为 2 的正方形的局部进行如图①～图④的变换，拼成图⑤，则图⑤的面积
是( )．
(A)18 (B)16 (C)12 (D)8
二、解答题
9．河的两岸成平行线，A，B 是位于河两岸的两个车间(如图)．要在河上造一座桥，使桥垂
直于河岸，并且使 A，B 间的路程最短．确定桥的位置的方法如下：作从 A 到河岸的垂
线，分别交河岸 PQ，MN 于 F，G．在 AG 上取 AE＝FG，连接 EB．EB 交 MN 于 D．在
D 处作到对岸的垂线 DC，那么 DC 就是造桥的位置．试说出桥造在 CD 位置时路程最短
的理由，也就是(AC＋CD＋DB)最短的理由．
10．以直角三角形的三条边 BC，AC，AB 分别作正方形①、②、③，如何用①中各部分面
积与②的面积，通过平移填满正方形③?你从中得到什么结论?
第六章 实数
6.1 平方根
学习要求
1. 理解算术平方根和平方根的含义。
2. 会求平方根与算术平方根。
3. 会用计算器求一个数的算术平方根
课堂学习检测
1、一般地，如果一个正数的平方等于 a，即 x2=a，那么这个正数 x 叫做 a 的
记作 读作 ，a 叫做
2、用计算器计算 5 （精确到 0.0001）
3、
4
1 的算术平方根是
4、若一个数的算术平方根等于它本身，这个数是
5、下列数没有算术平方根的是（ ）
A.0 B.-1 C.10 D.102
6、正数有 个平方根，它们 ，0 的平方根是 ，负数
7、0.36 的平方根是 ，±8 是 64 的
8、5 是 25 的 根，-5 是 25 的 根
9、 16 的平方根是
10、不使用计算器，估算 79 的大小应在（ ）
A.7～8 之间 B.8.0～8.5 之间 C. 8.5～9.0 之间 D. 9～10 之间
综合、运用、诊断
11、如果 2a-18=0，那么 a 的算术平方根是 .
12、0.0625 的算术平方根是 ， 256 的算术平方根是 .
13、方程 1 1x 的根是 ．
14、比较大小 ： 15 和 4，
2
15 和 0.5
15、填空找规律（结果精确到 0.0001）
（1）利用计算器分别求
50050 5 5.0
（2）由（1）的结果，你能发现什么规律呢?
16、一个正方形的面积是 24 平方厘米，求这个正方形的周长大约是多少？（精确到 0.01）
17、计算下列各数的算术平方根
（1）144 （2） 810 （3） 26 （4）
225
121
18、下列计算正确的是（ ）
A.
2
1)4
1( 2 B.
4
1116
91 C. 3.09.0 D. 6713 22
19、计算；①
9
71 ② 22 4041 ③ 36.05
109.0
20、解方程：① 0256
812 x ② 2892 2 x
③ 2514 2 x ④ 22 3324 x
拓展、探究、思考
21、已知 2 121 y-2 0x ， ，求 xy 的值。
22、已知一个数的两个平方根分别是 2a-3 和 4-a，求这个数负的平方根是多少
23、已知 12 a 的平方根是±3， 13 ba 的算术平方根是 4，求 ba 2 的值
24、求下列各式中的 x 的值
① 52 x ② 3223 xx ③
2
5
x
x
6.2 立方根
学习要求
1. 理解立方根的含义，理解一个正数的立方根是正数、一个负数的立方根是负数、0 的立
方根是 0；会求一个数的立方根。
2. 理解 3 3a a ，会用计算器求一个数的立方根。
课堂学习检测
一、选择题
1．下列说法中，不正确的是（ ）
A.8 的立方根是 2 B.－8 的立方根是－2
C.0 的立方根是 0 D. 3 2a 的立方根是 a
2．
64
611 的立方根是（ ）
A.
4
611
3
B.
4
11 C.
4
11 D.
4
11
3．某数的立方根是它本身，这样的数有（ ）
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
4．下列说法正确的是（ ）
⑴ 正数都有平方根；⑵ 负数都有平方根，
⑶ 正数都有立方根；⑷ 负数都有立方根；
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
5． 3
8 的相反数是（ ）
A． 2 B． 2 C． 1
2
D． 1
2
6. 3 37 的正确结果是（ ）
A.7 B.－7 C.±7 D.无意义
7．下列运算中不正确的是 （ ）
A. 33 aa B. 3273
C. 1323 33 D. 464113
8． 64 的立方根是（ ）
A.-4 B.±2 C.±4 D.-2
9．估计 68 的立方根的大小在（ ）
A ．2 与 3 之间 B．3 与 4 之间
C．4 与 5 之间 D．5 与 6 之间
10．一个正方体的水晶砖，体积为 100cm3，它的棱长大约在（ ）
A. 4cm~5cm 之间 B. 5cm~6cm 之间
C. 6cm~7cm 之间 D. 7cm~8cm 之间
二、填空题
11．64 的平方根是 ，64 的立方根是 .
12.立方根是 3 的数是 ，算术平方根是 3 的数 .
13.一个数的立方根是 m，则这个数是 .[来源:学科网 ZXXK]
14.－216 的立方根是 ，立方根是－0.2 的数是 .
15． 3 27 = ，它的倒数是 ，它的绝对值是 ；[来源:学科网 ZXXK]
16.若 195 x 的立方根是 4，则3 4x 的平方根是 ；
17.若 0278 3 x ，则 x = ；
三、解答题
18.求下列各数的立方根：
⑴ 3 8 ⑵ 3 064.0 ⑶ 3
125
8 ⑷ 33 9
19. 若 8a 与 227b 互为相反数，求 33 ba 的立方根.
综合、运用、诊断
20.⑴ 填表：
a 0.000001 0.001 1 1000 1000000
3 a
⑵ 由上你发现了什么规律？用语言叙述这个规律。
⑶ 根据你发现的规律填空：
① 已 知 442.133 ， 则 3 3000 ， 3 003.0 ， ② 已 知
07696.0000456.03 ，则 3 456 ；
拓展、探究、思考
21、在一次设计比赛中，两位参赛者每人可得到 1 立方米的可塑性材料，甲把它塑造成球体，
乙把它塑造成正方体。按照比赛规定，作品高度不超过 1.1m，分析说明他们设计的作品是
否符合要求。
6.3 实数
学习要求
1. 理解无理数、实数的定义与实数的分类.
2. 有理数的运算 法则和运算性质在实数范围内仍然.
课堂学习检测
一、选择题
1．下列命题错误的是（ ）
A、 3 是无理数 B、π＋1 是无理数
C、
2
3 是分数 D、 2 是无限不循环小数
2. 下列各数中，一定是无理数的是（ ）
A、带根号的数 B、无限小数
C、不循环小数 D、无限不循环小数
3．下列实数 31
7
， π ，3.141 59 ， 8 ， 3 27 ， 21 中无理数有（ ）
Ａ． 2 个 Ｂ．3个 Ｃ． 4 个 Ｄ．5个
4．下列各式中，无论 x 取何实数，都没有意义的是（ ）
Ａ． 2 006x Ｂ． 22 006 1x
Ｃ． 22 006x Ｄ． 3 2 006 3x
5．下列各组数中互为相反数的一组是（ ）
Ａ． 2 与 3 8 Ｂ． 4 与 2( 4)
Ｃ． 3 2 与 3 2 Ｄ． 2 与 1
2
6. 在实数范围内，下列判断正确的是 （ ）
A、若 baba 则, B、若 baba 则,2
C、若 22, baba 则 D、若 baba 则,33
[来源:Z&xx&k.Com]
7. 若 x 是有理数，则 x 是 （ ）
A、0 B、正实数 C、完全平方数 D、以上都不对
二、填空题
8.⑴ 一个数的平方等于它的本身的数是
⑵ 平方根等于它的本身的数是
⑶ 算术平方根等于它的本身的数是
⑷ 立方根等于它的本身的数是
⑸ 大于 0 且小于π的整数是
⑹ 满足 21 ＜x ＜ 15 的整数 x 是
9.到原点的距离为 34 的点表示的数是 ；
10.若 32 x ，则 x = ，
11. 实数与数轴上的点
12．写出 3 和 2 之间的所有的整数为____．
13．比较大小： 2 11 ____3 5
14．计算： 22 3 ( 4) 2 3 ____．
15．点 A 的坐标是 ( 2 2 3)， ，将点 A 向下平移 3 个单位长度，再向右平移 2 个单位长
度，得点 B ，则点 B 的坐标是____．
16．点 A 在数轴上和原点相距3个单位，点 B 在数轴上和原点相距 5 个单位，则 A ，B 两
点之间的距离是____．
17．如果 a 是 15 的整数部分， b 是 15 的小数部分， a b =________．
三、解答题
18．1．把下列各数分别填在 相应的括号内： 5 ， 3 ， 0 ， 3 4 ， 0.3， 22
7
， 1.732 ，
25 ， 3 16 ， 3 1 ， 27 ， π
2
， 3 29 ， 0.101 001 000 1
整数 ；分数 ；
正数 ；负数 ；
有理数 ；无理数 ；
19.如图 1，甲边形 ABCD 是正方形，且点 A B， 在 x 轴上，求顶点C 和 D 的坐标．
20.计算：
（1） 2 3 3 2 5 3 3 2 ；
（2） 3 2 3 1 ；
（3） π2 5 15 2
；（用计算器，保留 4 个有效数字）
综合、运用、诊断
21、有没有最小的正整数？有没有最小的整数？有没有最小的有理数？有没有最小的无理数?
有没有最小的实数？有没有绝对值最小的实数？
22、已知 a、b 满足 0382 ba ，解关于 x 的方程 12 2 abxa 。
23、已知 x、y 都是实数，且 3 3 4y x x ，求 xy 的平方根 。
24、如果 A= 32 3 ba ba 为 3a b 的算数平方根，B= 12 21 ba a 为 21 a 的立方根，求 A+B
的平方根。
25 、 实 数 a 、 b 互 为 相 反 数 ， c 、 d 互 为 倒 数 ， X 的 绝 对 值 为 7 ， 求 代 数 式
2 3( )x a b cd x a b cd 的值。
拓展、探究、思考
26、观察
22 5
8
5
4 2
5
22 5
，
即 22 5
22 5
；
33 10
27
10
9 3
10
33 10
即 33 10
33 10
；
猜想：，并通过计算验证 55 26
你的猜想。等于什么
第七章 平面直角坐标系
1 平面直角坐标系
学习要求
认识并能画出平面直角坐标系；在给定的平面直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置、
由点的位置写出它的坐标．
(一)课堂学习检测
1．填空
(1)平面内两条互相______并且原点______的______，组
成平面直角坐标系．其中，水平的数轴称为______或
______，习惯上取______为正方向；竖直的数轴称为
______或______，取______为正方向；两坐标轴的交
点叫做平面直角坐标系的______．直角坐标系所在的
______叫做坐标平面．
(2)有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个
______来表示．如果有序数对(a，b)表示坐标平面内的点 A，那么有序数对(a，b)
叫做______．其中，a 叫做 A 点的______；b 叫做 A 点的______．
(3)建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被______分成了Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，
如图所示，分别叫做______、______、______、______．注意______不属于任何象限．
(4)坐标平面内，点所在的位置不同，它的坐标的符号特征如下：(请用“＋”、“－”、“0”
分别填写)
点的位置 点的横坐标符号 点的纵坐标符号
在第一象限
在第二象限
在第三象限
在第四象限
在 x 轴的正半轴上
在 x 轴的负半轴上
在 y 轴的正半轴上
在 y 轴的负半轴上
在原点
2．如图，写出图中各点的坐标．
A( ， )；B( ， )；C( ， )；
D( ， )；E( ， )；F( ， )；
G( ， )；H( ， )；L( ， )；
M( ， )；N( ， )；O( ， )；
3．分别在平面直角坐标系中描出下列各点，并将各组内的点用线段依次连结起来．
(1)A(－6，－4)、B(－4，－3)、C(－2，－2)、D(0，－1)、E(2，0)、F(4，1)、G(6，
2)、H(8，3)．
(2)A(－5，－2)、B(－4，－1)、C(－3，0)、 D(－2，1)、E(－1，2)、 F(0，3)、
G(1，2)、H(2，1)、L(3，0)、M(4，－1)、N(5，－2)．
4．分别在平面直角坐标系中描出下列各点，并将各
组内的点，用平滑的曲线依次连结起来．
(1)A(1，4)、 B(2，2)、
C(1，
3
4 )、 D(4，1)、
E(6，
3
2 )、 F(－1，－4)、
G(－2，－2)、 H(－3，－
3
4 )、
L(－4，－1)、 M(－6，－
3
2 )
(2)A(0，－4)、 B(1，－3)、
C(－1，－3)、 D(2，0)、
E(－2，0)、 F(2.5，2.25)、
G(－2.5，2.25)、 H(3，5)、
L(－3，5)．
5．下列各点 A(－6，－3)，B(5，2)，C(－4，3．5)， )4
3,2(D ，E(0，－9)，F(3，0)中，
属于第一象限的有______；属于第三象限的有______；在坐标轴上的有______．
6．设 P(x，y)是坐标平面上的任一点，根据下列条件填空：
(1)若 xy＞0，则点 P 在______象限；
(2)若 xy＜0，则点 P 在______象限；
(3)若 y＞0，则点 P 在______象限或在______上；
(4)若 x＜0，则点 P 在______象限或在______上；
(5)若 y＝0，则点 P 在______上；
(6)若 x＝0，则点 P 在______上．
7．已知正方形 ABCD 的边长为 4，它在坐标系内的位置如图所示，请你求出下列情况下四
个顶点的坐标．
(二)综合运用诊断
8．试分别指出坐标平面内以下各直线上各点的横坐标、纵坐标的特征以及与两条坐标轴的
位置关系．
(1)在图 1 中，过 A(－2，3)、B(4，3)两点作直线 AB，
则直线 AB 上的任意一点 P(a，b)的横坐标可以取
______，纵坐标是______．直线 AB 与 y 轴______，
垂足的坐标是______；直线 AB 与 x 轴______，AB
与 x 轴的距离是______.
(2)在图 1 中，过 A(－2，3)、C(－2，－3)两点作直
线 AC，则直线 AC 上的任意一点 Q(c，d)的横坐标
是______，纵坐标可以是______．
直线 AC 与 x 轴______，垂足的坐标是______；直
线 AC 与 y 轴______，AC 与 y 轴的距离是______．
(3)在图 2 中，过原点 O 和点 E(4，4)两点作直线 OE，
我们发现，直线 OE 上的任意一点 P(x，y)的横坐
标与纵坐标______，并且直线 OE______∠xOy．
9．选择题
(1)已知点 A(1，2)，AC⊥x 轴于 C，则点 C 坐标为( )．
A．(1，0) B．(2，0) C．(0，2) D．(0，1)
(2)若点 P 位于 y 轴左侧，距 y 轴 3 个单位长，位于 x 轴上方，距 x 轴 4 个单位长，则点
P 的坐标是( )．
A．(3，－4) B．(－4，3) C．(4，－3) D．(－3，4)
(3)在平面直角坐标系中，点 P(7，6)关于原点的对称点 P′在( )．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
(4)如果点 E(－a，－a)在第一象限，那么点 F(－a2，－2a)在( )．
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
(5)给出下列四个命题，其中真命题的个数为( )．
①坐标平面内的点可以用有序数对来表示；
②若 a＞0，b 不大于 0，则 P(－a，b)在第三象限内；
③在 x 轴上的点，其纵坐标都为 0；
④当 m≠0 时，点 P(m2，－m)在第四象限内．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．点 P(－m，m－1)在第三象限，则 m 的取值范围是______．
图 1
图 2
11．若点 P(m，n)在第二象限，则点 Q(|m|，－n)在第______象限．
12．已知点 A 到 x 轴、y 轴的距离分别为 2 和 6，若 A 点在 y 轴左侧，则 A 点坐标是______．
13．A(－3，4)和点 B(3，－4)关于______对称．
14．若 A(m＋4，n)和点 B(n－1，2m＋1)关于 x 轴对称，则 m＝______，n＝______．
(三)拓广、探究、思考
15．如图的围棋盘放在某个平面直角坐标系内，白棋②的坐标
为(－7，－4)，白棋④的坐标为(－6，－8)，那么黑棋①
的坐标应该为______．
16．如图，已知长方形 ABCD 的边长 AB＝3，BC＝6，建立适
当的坐标系并求 A、B、C、D 的坐标．
17．求三角形 ABC 的面积．
(1)已知：A(－4，－5)、B(－2，0)、C(4，0)．
(2)已知：A(－5，4)、B(－2，－2)、C(0，2)．
18．已知点 A(a，－4)，B(3，b)，根据下列条件求 a、b 的值．
(1)A、B 关于 x 轴对称；
(2)A、B 关于 y 轴对称；
(3)A、B 关于原点对称．
19．已知：点 P(2m＋4，m－1)．试分别根据下列条件，求出 P 点的坐标．
(1)点 P 在 y 轴上；
(2)点 P 在 x 轴上；
(3)点 P 的纵坐标比横坐标大 3．
(4)点 P 在过 A(2，－3)点，且与 x 轴平行的直线上．
20．x 取不同的值时，点 P(x－1，x＋1)的位置不同，讨论当点 P 在不同象限或不同坐标轴
上时，x 的取值范围；并说明点 P 不可能在哪一个象限．
2 坐标方法的简单应用
学习要求
能建立适当的平面直角坐标系描述物体的位置．
在同一直角坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化．
(一)课堂学习检测
1．回答下面的问题．
(1)如图表示赵明同学家所在社区
的主要服务办公网点．点 O 表示赵明
同学家，点 A 表示存车处，点 B 表示
副食店．点 C 表示健身中心，点 D 表
示商场，点 E 表示医院，点 F 表示邮
电局，点 H 表示银行，点 L 表示派出
所，点 G 表示幼儿园．
请以赵明同学家为坐标原点，建立
平面直角坐标系，并用坐标分别表示
社区的主要服务网点的位置．(图中的
1 个单位表示 50m)
(2)利用平面直角坐标系绘制区域
内一些地点分布情况平面图的过程是
① 建 立 ______ 选 择 一 个
____________为原点，确定 x 轴、y
轴的____________；
②根据具体问题确定适当的______在坐标轴上标出____________；
③在坐标平面内画出这些点，写出各点的______和各个地点的______．
2．如图是某乡镇的示意图，试建立直角坐标系，
取 100 米为一个单位长，用坐标表示各地的位置：
3．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个
单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC
的顶点均在格点上，点 C 的坐标为(4，－1)．
①把△ABC 向上平移 5 个单位后得到对应的△A1B1C1，
画出△A1B1C1，并写出点 C1 的坐标；
②以原点 O 为对称中心，再画出与△A1B1C1 关于原点
O 对称的△A2B2C2，并写出点 C2 的坐标；
③写出以 AB、BC 为两边的平行四边形 ABCD 的顶点
D 的坐标．
(二)综合运用诊断
一、填空
4．在坐标平面内平移图形时，平移的方向一般是平行于______或平行于______．
5．将点(x，y)向右或向左平移 a(a＞0)个单位长度，得对应点的坐标为______或______；
将点(x，y)向上或向下平移 b(b＞0)个单位长度，得对应点的坐标为______或______．
6．把一个图形上各点的横坐标都加上或减去一个正数 a，则原图形向______或向______
平移______．把一个图形上各点的纵坐标都加或减去一个正数 b，则原图形向______
或向______平移______．
7．把点(－2，3)向上平移 2 个单位长度所到达位置的坐标为______，向左平移 2 个单位
长度所到达位置的坐标为______．
8．把点 P(－1，3)向下平移 1 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度，所到达位置的坐
标为______．
9．点 M(－2，5)向右平移______个单位长度，向下平移______个单位长度，变为 M′
(0，1)．
10．把点 P1(2，－3)平移后得点 P2(－2，3)，则平移过程是__________________________
_______________________________________________________________________.
二、选择题
11．下列说法不正确的是( )．
A．坐标平面内的点与有序数对是一一对应的
B．在 x 轴上的点纵坐标为零
C．在 y 轴上的点横坐标为零
D．平面直角坐标系把平面上的点分为四部分
12．下列说法不正确的是( )．
A．把一个图形平移到一个确定位置，大小形状都不变
B．在平移图形的过程中，图形上的各点坐标发生同样的变化
C．在平移过程中图形上的个别点的坐标不变
D．平移后的两个图形的对应角相等，对应边相等，对应边平行或共线
13．把(0，－2)向上平移 3 个单位长度再向下平移 1 个单位长度所到达位置的坐标是
( )．
A．(3，－2) B．(－3，－2) C．(0，0) D．(0，－3)
14．已知三角形内一点 P(－3，2)，如果将该三角形向右平移 2 个单位长度，再向下平
移 1 个单位长度，那么点 P 的对应点 P′的坐标是( )．
A．(－1，1) B．(－5，3) C．(－5，1) D．(－1，3)
15．将线段 AB 在坐标系中作平行移动，已知 A(－1，2)，B(1，1)，将线段 AB 平移后，
其两个端点的坐标变为 A(－2，1)，B(0，0)，则它平移的情况是( )．
A．向上平移了 1 个单位长度，向左平移了 1 个单位长度
B．向下平移了 1 个单位长度，向左平移了 1 个单位长度
C．向下平移了 1 个单位长度，向右平移了 1 个单位长度
D．向上平移了 1 个单位长度，向右平移了 1 个单位长度
16．如图在直角坐标系中，下边的图案是由左边的图案
经过平移以后得到的．左图案中左右眼睛的坐标分别是(－4，
2)、(－2，2)，右图中左眼的坐标是(3，4)，则右图案中右
眼的坐标是__________.
17．(1)如果动点 P(x，y)的坐标坐标满足关系式试 12
1 xy ，在表格中求出相对应
的值，并在平面直角坐标系里描出这些点：
点的名称 A B C D E
点的横坐标 x －2 2
点的纵坐标 y －1 1 3
(2)若将这五个点都先向右平移五个单位，再向上平移三个单位，至 A1、B1、C1、
D1、E1，试画出这几个点，并分别写出它们的坐标．
(三)拓广、探究、思考
18．如图，网格中每一个小正方形的边长为 1 个单位长
度．可以利用平面直角坐标系的知识回答以下问题：
1)请在所给的网格内画出以线段 AB、BC 为边的平行四
边形 ABCD；
2)填空：平行四边形 ABCD 的面积等于______．
19．在 A 市北 300km 处有 B 市，以 A 市
为原点，东西方向的直线为 x 轴，南北方向的
直线为 y 轴，并以 50km 为 1 个单位建立平面
直角坐标系．根据气象台预报，今年 7 号台风
中心位置现在 C(10，6)处，并以 40 千米/时
的速度自东向西移动，台风影响范围半径为
200km，问经几小时后，B 市将受到台风影响?
并画出示意图．
第八章 二元一次方程组
1 二元一次方程组
学习要求
理解二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的含义；会检验一对数是不是某个二元
一次方程(组)的解．
课堂学习检测
一、填空题
1．方程 2xm＋1＋3y2n＝5 是二元一次方程，则 m＝______，n＝______．
2．如果
2
,1
y
x 是二元一次方程 3mx－2y－1＝0 的解，则 m＝______．
3．在二元一次方程组
ymx
yx
32
,4 中有 x＝6，则 y＝______，m＝______．
4．若
2
,1
y
x 是方程组
3
,0
byx
yax 的解，则 a＝______，b＝______．
5．方程(m＋1)x＋(m－1)y＝0，当 m______时，它是二元一次方程，当 m______时，它是一
元一次方程．
二、选择题
6．下列各式中，是关于 x，y 的二元一次方程的是( )．
(A)2x－y (B)xy＋x－2＝0 (C)x－3y＝－1 (D) 02 yx
7．下列方程组中，是二元一次方程组的是( )．
(A)
.31
,5
2x
yx
(B)
yx
yx
423
,1)(2
(C)
.1
,122
y
yx (D)
.2
,1
yx
xy
8．已知二元一次方程组
�
�
923
,545
yx
yx 下列说法正确的是( )．
(A)适合方程②的 x，y 的值是方程组的解
(B)适合方程①的 x，y 的值是方程组的解
(C)同时适合方程①和②的 x，y 的值是方程组的解
(D)同时适合方程①和②的 x，y 的值不一定是方程组的解
9．方程 2x－y＝3 与 3x＋2y＝1 的公共解是( )．
(A)
.3
,0
y
x (B)
.1
,1
y
x (C)
2
1
,0
y
x
(D)
.2
,2
1
y
x
三、解答题
10．写出二元一次方程 2x＋y＝5 的所有正整数解．
11．已知关于 x，y 的二元一次方程组
23
,4
ynx
myx 的解是
,3
,1
y
x 求 m＋n 的值．
综合、运用、诊断
一、填空题
12．已知(k－2)x｜k｜－1－2y＝1，则 k______时，它是二元一次方程；k＝______时，它是一元
一次方程．
13．若｜x－2｜＋(3y＋2x)2＝0，则
y
x 的值是______．
14．二元一次方程 4x＋y＝10 共有______组非负整数解．
15．已知 y＝ax＋b，当 x＝1 时，y＝1；当 x＝－1 时，y＝0，则 a＝______，b＝______．
16．已知
1
,2
y
x 是二元一次方程 mx＋ny＝－2 的一个解，则 2m－n－6 的值等于_______．
二、选择题
17．已知二元一次方程 x＋y＝1，下列说法不正确的是( )．
(A)它有无数多组解 (B)它有无数多组整数解
(C)它只有一组非负整数解 (D)它没有正整数解
18．若二元一次方程组
043
,1
ynx
ymx 的解中，y＝0，则 m∶n 等于( )．
(A)3∶4 (B)－3∶4 (C)－1∶4 (D)－1∶12
三、解答题
19．已知满足二元一次方程 5x＋y＝17 的 x 值也是方程 2x＋3(x－1)＝12 的解，求该二元一
次方程的解．
20．根据题意列出方程组：
(1)某班共有学生 42 人，男生比女生人数的 2 倍少 6 人，问男、女生各有多少人?
(2)某玩具厂要生产一批玩具，若每天生产 35 个，则差 10 个才能完成任务；若每天生
产 40 个，则可超额生产 20 个．求预定期限是多少天?计划生产多少个玩具?
拓展、探究、思考
21．若等式 0|2
1|)42( 2 yx 中的 x、y 满足方程组
,165
,84
nyx
ymx
求 2m2－n＋
4
1 mn 的值．
22．现有足够的 1 元、2 元的人民币，需要把面值为 10 元人民币换成零钱，请你设计几种
兑换方案．
2 消元(一)
学习要求
会用代入消元法解二元一次方程组．
课堂学习检测
一、填空题
1．已知方程 6x－3y＝5，用含 x 的式子表示 y，则 y＝______．
2．若
1
,1
y
x 和
3
,2
y
x 是关于 x，y 的方程 y＝kx＋b 的两个解，则 k＝______，b＝______．
3．在方程 3x＋5y＝10 中，若 3x＝6，则 x＝______，y＝______．
二、选择题
4．方程组
143
,5
yx
yx 的解是( )．
(A)无解 (B)无数解 (C)
.3
,2
y
x
(D)
.2
,3
y
x
5．以方程组
1
,2
xy
xy 的解为坐标的点(x，y)在平面直角坐标系中的位置是( )．
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
6．下列方程组中和方程组
732
,43
yx
yx 同解的是( )．
(A)
.732
,11
yx
x (B)
.732
,5
yx
y
(C)
.7386
,43
yx
yx (D)
.43
,1
yx
x
三、用代入消元法解下列方程
7．
.53
,1
yx
yx
8．
.643
,02
ba
ba
综合、运用、诊断
一、填空题
9．小明用 36 元买了两种邮票共 40 枚，其中一种面值 1 元，一种面值 0.8 元，则小明买了
面值 1 元的邮票______张，面值 0.8 元的邮票______张．
10．已知
.2
,1
y
x 和
.0
,2.
y
x 都是方程 ax－by＝1 的解，则 a＝______，b＝______．
11．若｜x－y－1｜＋(2x－3y＋4)2＝0，则 x＝______，y＝______．
二、选择题
12．用代入消元法解方程组
②
①
52
,243
yx
yx 使得代入后化简比较容易的变形是( )．
(A)由①得
3
42 yx (B)由①得
4
32 xy
(C)由②得
2
5 yx (D)由②得 y＝2x－5
13．已知 x＝3t＋1，y＝2t－1，用含 x 的式子表示 y，其结果是( )．
(A)
3
1 xy (B)
2
1 yx
(C)
3
52 xy (D)
3
12 xy
14．把 x＝1 和 x＝－1 分别代入式子 x2＋bx＋c 中，值分别为 2 和 8，则 b、c 的值是( )．
(A)
4
,3
c
b
(B)
4
,3
c
b
(C)
4
,3
c
b
(D)
4
,3
c
b
三、用代入消元法解下列方程组
15．
.234
,423
xy
yx
16．
.3:4:
,52
yx
yx
拓展、探究、思考
17．如果关于 x，y 的方程组
3
2
1
,734
kyxk
yx
的解中，x 与 y 互为相反数，求 k 的值．
18．研究下列方程组的解的个数：
(1)
.342
,12
yx
yx (2)
.32
,12
yx
yx (3)
.242
,12
yx
yx
你发现了什么规律?
19．对于有理数 x，y 定义新运算：x*y＝ax＋by＋5，其中 a，b 为常数．
已知 1*2＝9，(－3)*3＝2，求 a，b 的值．
3 消元(二)
学习要求
会用加减消元法解二元一次方程组．
课堂学习检测
一、填空题
1．已知方程组
�
�
138
,447
yx
yx 方程②－①得______．
2．若 x－y＝2，则 7－x＋y＝______．
3．已知
4
,3
y
x 是方程组
256
,7
ya
byax 的解，那么 a2＋2ab＋b2 的值为______．
二、选择题
4．方程组
72
83
yx
yx 的解是( )．
(A)
.1
,3
y
x
(B)
.3
,1
y
x
(C)
.1
,3
y
x
(D)
.1
,3
y
x
三、用加减消元法解下列方程组
5．
.1543
,2525
yx
yx
6．
.05
,1323
nm
nm
综合、运用、诊断
一、填空题
7．用加减消元法解方程组
�235
,623
ba
ba ①
时，把①×3＋②×2，得_______．
8．已知二元一次方程组
②
①
82
72 ,
yx
yx 那么 x＋y＝______，x－y＝______．
9．已知方程 ax＋by＝8 的两个解为
0
,1
y
x 和
4
,1
y
x 则 a＋b＝______．
二、选择题
10．如图，将正方形 ABCD 的一角折叠，折痕为 AE，∠BAD 比∠BAE 大 48°．设∠BAE
和∠BAD 的度数分别为 x，y，那么 x，y 所适合的方程组是( )
(A)
.90
,48
xy
xy
(B)
.2
,48
xy
xy
(C)
.902
,48
xy
xy
(D)
.902
,48
xy
yx
11．下列方程组中，只有一组解的是( )．
(A)
.033
,1
yx
yx
(B)
.333
,0
yx
yx
(C)
.333
,1
yx
yx
(D)
.333
,1
yx
yx
12．关于 x，y 的方程组
1935
,023
byax
byax 的解为
.1
,1
y
x 则 a，b 的值分别为( )．
(A)2 和 3 (B)2 和－3 (C)－2 和 3 (D)－2 和－3
三、用加减消元法解下列方程组
13．
.732
,423
ts
ts
14．
.732
,143
nm
nm
15．已知使 3x＋5y＝k＋2 和 2x＋3y＝k 成立的 x，y 的值的和等于 2，求 k 的值．
拓展、探究、思考
16．已知：关于 x，y 的方程组
02254
,53
byax
yx 与
53
,8
yx
byax 的解相同．求 a，b 的
值．
17．已知
②
①
.15232
,25
cba
cba 求 b 的值．
18．甲、乙两人同时解方程组
.23
,2
ycx
byax 甲正确解得
;1
,1
y
x 乙因为抄错 c 的值，错得
.6
,2
y
x 求 a，b，c 的值．
4 消元(三)
学习要求
能选择适当的消元方法解二元一次方程组及相关问题．
课堂学习检测
一、填空题
1．二元一次方程 x＋y＝4 有______组解，有_______组正整数解．
2．二元一次方程 2x－y＝10，当 x＝______时，y＝5；当 x＝5，y＝______．
3．若
1
,1
y
x 是方程组
124
,2
abyx
byax 的解，则 a＝_______，b＝_______．
二、选择题
4．已知 2ay＋5b3x 与 b2－4ya2x 是同类项，那么 x，y 的值是( )．
(A)
.2
,1
y
x
(B)
.1
,2
y
x
(C)
5
3
,0
y
x
(D)
.0
,7
y
x
5．若 x∶y＝3∶4，且 x＋3y＝－10，则 x，y 的值为( )．
(A)
3
8
,2
y
x
(B)
3
8
,2
y
x
(C)
.3
,1
y
x
(D)
.4
,3
y
x
6．在式子 x2＋ax＋b 中，当 x＝2 时，其值是 3；当 x＝－3 时，其值是 3；则当 x＝1 时，其
值是( )．
(A)5 (B)3 (C)－3 (D)－1
三、选择合适的方法解下列方程组
7．
yx
yx
2113
,23
8．
).3(3)1(2
),3(2)1(5
nm
nm
综合、运用、诊断
一、填空题
9．若 2x－5y＝0，且 x≠0，则
yx
yx
56
56
的值是______．
10．若
2
,2
1
,1
y
x
y
x 和
cy
x ,3 都是方程 ax＋by＋2＝0 的解，则 c＝______．
11．已知方程组
3
,1
yx
yx 与方程组
2
,1
byax
byax 的解相同，则 a＝______，b＝______．
二、选择题
12．与方程组
02
,032
yx
yx 有完全相同的解的是( )．
(A)x＋2y－3＝0 (B)2x＋y＝0
(C)(x＋2y－3)(2x＋y)＝0 (D)｜x＋2y－3｜＋(2x＋y)2＝0
13．若方程组
84
,42
yx
myx 的解为正整数，则 m 的值为( )．
(A)2 (B)4 (C)6 (D)－4
三、解下列方程组
14．
.1034
,1353
yx
yx
15．
.92
7
532
,232
yyx
yx
拓展、探究、思考
16．在方程(x＋2y－8)＋(4x＋3y－7)＝0 中，找出一对 x，y 值，使得无论取何值，方程恒
成立．
17．已知方程组
01523
,0172
cab
cba 其中 c≠0，求
cba
cba
的值．
18．当 k，m 分别为何值时，关于 x，y 的方程组
4)12(
,
xky
mkxy 至少有一组解?
5 实际问题与二元一次方程组(一)
学习要求
能对所研究的问题抽象出基本的数量关系，通过列二元一次方程组解实际问题，培养分
析问题和解决问题的能力．
课堂学习检测
一、填空题
1．若载重 3 吨的卡车有 x 辆，载重 5 吨的卡车比它多 4 辆，它们一共运货 y 吨，用含 x 的
式子表示 y 为______．
2．小强有 x 张 10 分邮票，y 张 50 分邮票，则小强这两种邮票的总面值为______．
3．一个长方形周长是 44cm，长比宽的 3 倍少 10cm，则这个长方形的面积是______．
4．如果一个两位正整数的十位上的数字与个位上的数字的和是 6，那么符合这个条件的两
位数的个数是______．
二、选择题
5．用 4700 张纸装订成两种挂历 500 本，其中甲种每本 7 张纸，乙种每本 13 张纸．若甲种
挂历有 x 本，乙种挂历有 y 本，则下面所列方程组正确的是( )．
(A)
.4700713
,500
yx
yx (B)
.4700137
,500
yx
yx
(C)
.4700713
,500
yx
yx (D)
.4700137
,500
yx
yx
6．甲、乙两数和为 42，甲数的 3 倍等于乙数的 4 倍，求甲、乙两数．设甲数为 x，乙数为
y，则下列方程组正确的是( )．
(A)
.34
,42
yx
yx (B)
yx
yx
43
,42
(C)
yx
yx
43
,4234 (D)
yx
yx
34
,4243
三、列方程组解应用题
7．某单位组织了 200 人到甲、乙两地旅游，到甲地的人数比到乙地的人数的 2 倍少 10
人．到两地参加旅游的人数各是多少?
8．一种口服液有大小盒两种包装，3 大盒 4 小盒共 108 瓶；2 大盒 3 小盒共 76 瓶．大盒、
小盒每盒各装多少瓶?
9．某车间工人举行茶话会，如果每桌 12 人，还有一桌空着；如果每桌 10 人，则还差两个
桌子．此车间共有工人多少名?
综合、运用、诊断
一、填空题
10．式子 y＝kx＋b，当 x＝2 时，y＝11；当 x＝－2 时，y＝－17．则 k＝_______，b＝______．
11．在公式 s＝v0t＋
2
1 at2 中，当 t＝1 时，s＝13；当 t＝2 时，s＝42．则 v0＝_______，a＝
______，并且当 t＝3 时，s＝______．
二、选择题
12．出境旅游者问某童：“你有几个兄弟、几个姐妹?”答：“有几个兄弟就有几个姐妹。”再
问其妹有几个兄弟、几个姐妹，她答：“我的兄弟是姐妹的 2 倍。”试问：他们兄弟姐妹
的人数各是( )．
(A)兄弟 4 人，姐妹 3 人 (B)兄弟 3 人，姐妹 4 人
(C)兄弟 2 人，姐妹 5 人 (D)兄弟 5 人，姐妹 2 人
三、列方程组解应用题
13．为了保护环境，某校环保小组成员收集废电池．第一天收集 1 号电池 4 节，5 号电池 5
节，总重 460 克；第二天收集 1 号电池 2 节，5 号电池 3 节，总重 240 克．试问 1 号电
池和 5 号电池每节分别重多少克?
14．某工厂一车间人数比二车间人数的
5
4 还少 30 人，若从二车间调 10 人去一车间，则一
车间人数为二车间人数的
4
3 ．求两个车间原来的人数．
15．西部山区某县响应国家“退耕还林”号召，将该县一部分耕地改为林地．改还后，林地
面积和耕地面积共有 180km2，耕地面积是林地面积的 25％．求改还后的耕地面积和林
地面积．
拓展、探究、思考
16．某市为更有效地利用水资源，制定了用水标准：如果一户三口之家每月用水量不超过
Mm3，按 1.30 元/m3 计算；如果超过 M m3，超过部分按 2.90 元/m3 收费，其余仍按 1.30
元/m3 计算．小红一家三人，1 月份共用水 12m3，支付水费 22 元，问该市制定的用水
标准 M 为多少?小红一家超标使用了多少水?
17．一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车．已知过去两次租
用两种货车的情况如下表：
第一次 第二次
甲种货车数量(单位：辆) 2 5
乙种货车数量(单位：辆) 3 6
累计运货数量(单位：吨) 15.5 35
现租用该公司 3 辆甲种货车及 5 辆乙种货车一次刚好运完这批货．如果按每吨运费
30 元，问货主应支付运费多少元?
18．某地生产一种绿色蔬菜，在市场上直接销售，每吨利润为 1000 元；经粗加工后销售，
每吨利润可达 4500 元；经精加工后销售，每吨利润涨至 7500 元，当地一家公司收购这
种蔬菜 140 吨，该公司加工能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工 16 吨；如果
进行精加工，每天可加工 6 吨，但这两种加工方式不能同时进行．因受季节等条件限制，
公司必须用 15 天的时间将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此，公司研究出了三种可
行方案：
方案一：将蔬菜全部进行粗加工．
方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及加工的到市场直接销售．
方案三：将一部分粗加工，其余部分进行精加工，并恰好用 15 天完成．
你认为选择哪种方案获利最多?为什么?
6 实际问题与二元一次方程组(二)
学习要求
进一步研究用二元一次方程组解决实际问题．
课堂学习检测
一、填空题
1．一个两位数，十位上的数字为 x，个位上的数字为 y，这个两位数为______；若将十位与
个位上的数字对调，新的两位数是______．
2．一个两位数，个位数和十位数数字之和为 8，个位与十位互换后，所得的新数比原数小
18，则这个两位数是______．
3．梯形的面积是 42cm2，高是 6cm，它的下底比上底的 2 倍少 1cm，则梯形的两底分别为
_______．
4．某铁路桥长 1000 米，一列火车从桥上通过，从上桥到离开桥共用 1 分钟，整列火车全在
桥上的时间为 40 秒钟，则火车的长度为______，火车的速度为______．
二、列方程组解应用题
5．足球比赛的积分规则为：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分，一个队打 14
场比赛负 5 场共得 19 分，那么这个队胜了多少场?
6．某校七年级(2)班 40 名同学为“希望工程”捐款，共捐款 100 元，捐款情况如下表：
表格中捐款 2 元和 3 元的人数被墨水污染了．问：捐 2 元和 3 元的人数各是多少?
7．一条河流经甲、乙两地，两地相距 280 千米，一船在其间航行，顺流用 14 小时，逆流用
20 小时．求船在静水中的速度和水速．
8．某工厂有工人 60 人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓
14 个或螺母 20 个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和
螺母刚好配套?
9．学校组织数学知识竞赛，甲班、乙班共 12 人参加，其中甲班学生的平均分是 70 分，乙
班学生的平均分是 60 分，这两班学生的总分为 740 分．问：甲、乙两班各有多少学生参
加竞赛?
综合、运用、诊断
一、填空题
10．甲、乙二人同时从 A 地出发到 B 地，甲的速度是 a 千米/时，乙的速度是 b 千米/时，二
人出发后 2 小时都未到达 B 地，这时他们相距______．
11．工人甲原来每天生产零件 x 个，改进技术后，每天产量提高 25％，这时工人乙每天生
产的零件比甲现在的
3
2 还少 5 个，乙每天生产的零件数是______．
二、选择题
12．一船顺流航行速度为 a 千米/时，逆流航行速度为 b 千米/时(a＞b)，则水流速度为( )．
(A)a＋b 千米/时 (B)a－b 千米/时 (C) 2
ba 千米/时 (D) 2
ba 千米/时
三、列方程组解应用题
13．一、二两班共有 95 人，体育锻炼的平均达标率(达到标准的百分率)是 60％．如果一班
的达标率是 40％，二班的达标率是 78％，则一班、二班各有多少人?
14．一批零件共 1100 个，如果甲先做 5 天后，乙加入合作，再做 8 天正好做完；如果乙先
做 5 天后，甲加入合作，再做 9 天也恰好完成．问两人每天各做多少个零件?
15．随着我国人口增长速度的减慢，小学入学儿童数量每年按逐渐减少的趋势发展．某区
2004 年和 2005 年小学入学儿童人数之比为 8∶7，且 2004 年入学人数的 2 倍比 2005
年入学人数的 3 倍少 1500 人．某人估计 2006 年该区入学儿童数将超过 2300 人，请你
通过计算，判断他的估计是否符合当前的变化趋势．
16．甲、乙两件服装的成本共 500 元，商店老板为获取利润，决定将甲种服装按 50％的利
润定价，乙种服装按 40％的利润定价．在实际出售时，应顾客要求，两种服装均按九
折出售，这样商店共获利 157 元．求甲、乙两件服装的成本各是多少元?
拓展、探究、思考
17．为满足用水量不断增长的需求，某市最近新建甲、乙、丙三个水厂．这三个水厂的日供
水量共计 11.8 万 m3，其中乙水厂的日供水量是甲水厂日供水量的 3 倍，丙水厂的日供
水量比甲水厂日供水量的一半还多 1 万 m3．
(1)求这三个水厂的日供水量各是多少万 m3?
(2)在修建甲水厂的输水管道工程中要运走 600 吨土石，运输公司派出 A 型、B 型两种
载重汽车，用 A 型车 6 辆，B 型车 4 辆，分别运 5 次，或者 A 型车 3 辆，B 型车 6
辆，分别运 5 次，可把土石运空，问每辆 A 型汽车和 B 型汽车各运土石多少吨?
18．某商场计划拨款 9 万元从厂家购进 50 台电视机．已知厂家生产三种不同型号的电视机，
出厂价分别为：甲种每台 1500 元，乙种每台 2100 元，丙种每台 2500 元．
(1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机 50 台，用去 9 万元，请你研究一下商场
的进货方案．
(2)若商场每销售一台甲、乙、丙电视机可分别获利 150 元、200 元、250 元，在以上的
方案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案?
7 三元一次方程组
学习要求
会解简单的三元一次方程组
课堂学习检测
一、填空题
1．若
.3
,2
,1
zx
zy
yx
则 x＋y＋z＝__________________．
2．方程组
1
,5
,7
zyx
zyx
yx
的解是________________．
3．判断
15
,10
,5
z
y
x
是否是三元一次方程组
402
,152
,0
zyx
zyx
zyx
的解______．
二、解下列三元一次方程组
4．
.52
,14
,1
zyx
zyx
yx
5．
.36
,5:4:3::
cba
cba 6．
.522
,34
,73
zx
zy
yx
综合、运用、诊断
一、填空题
7．方程组
542
,32
mxy
myx 的解满足 x＋y＝0，则 m＝________．
8．若 x＋y＋z≠0 且 k
y
xz
z
yx
x
zy 222 ，则 k＝_________．
9．代数式 ax2＋bx＋c，当 x＝1 时值为 0，当 x＝2 时值为 3，当 x＝－3 时值为 28，则这个
代数式是_________．
二、解下列三元一次方程组
10．
.639
,324
,0
zyx
zyx
zyx
11．
.1
,5
,11
yxz
xzy
zyx
拓展、探究、思考
12．甲、乙、丙三个班的学生共植树 66 棵，甲班植树的棵数是乙班植树棵数的 2 倍，丙班
与乙班植树棵数比为 2∶3，求三个班各植树多少棵?
13．三个数的和是 51，第二个数去除第一个数时商 2 余 5，第三个数去除第二个数时商 3
余 2，求这三个数．
第九章 不等式与不等式组
1 不等式及其解集
学习要求
知道不等式的意义；知道不等式的解集的含义；会在数轴上表示解集．
课堂学习检测
一、填空题
1．用不等式表示：
(1)m－3 是正数______； (2)y＋5 是负数______；
(3)x 不大于 2______； (4)a 是非负数______；
(5)a 的 2 倍比 10 大______； (6)y 的一半与 6 的和是负数______；
(7)x 的 3 倍与 5 的和大于 x 的
3
1 ______；
(8)m 的相反数是非正数______．
2．画出数轴，在数轴上表示出下列不等式的解集：
(1)
2
13x (2)x≥－4．
(3)
5
1x (4)
3
12x
二、选择题
3．下列不等式中，正确的是( )．
(A)
4
3
8
5 (B)
5
1
7
2
(C)(－6.4)2＜(－6.4)3 (D)－｜－27｜＜－(－3)3
4．“a 的 2 倍减去 b 的差不大于－3”用不等式可表示为( )．
(A)2a－b＜－3 (B)2(a－b)＜－3
(C)2a－b≤－3 (D)2(a－b)≤－3
5．如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是 1g，则物体 A 的质量 m(g)的取值范围在数轴
上可表示为( )．
三、解答题
6．利用数轴求出不等式－2＜x≤4 的整数解．
综合、运用、诊断
一、填空题
7．用“＜”或“＞”填空：
(1)－2.5______5.2； (2) 11
4 ______
12
5 ；
(3)｜－3｜______－(－2.3)； (4)a2＋1______0；
(5)0______｜x｜＋4； (6)a＋2______a．
8．“x 的
2
3 与 5 的差不小于－4 的相反数”，用不等式表示为______．
二、选择题
9．如果 a、b 表示两个负数，且 a＜b，则( )．
(A) 1
b
a (B)
b
a ＜1 (C)
ba
11 (D)ab＜1
10．如图，在数轴上表示的解集对应的是( )．
(A)－2＜x＜4 (B)－2＜x≤4
(C)－2≤x＜4 (D)－2≤x≤4
11．a、b 是有理数，下列各式中成立的是( )．
(A)若 a＞b，则 a2＞b2 (B)若 a2＞b2，则 a＞b
(C)若 a≠b，则｜a｜≠|b| (D)若｜a｜≠|b|，则 a≠b
12．｜a｜＋a 的值一定是( )．
(A)大于零 (B)小于零 (C)不大于零 (D)不小于零
三、判断题
13．不等式 5－x＞2 的解集有无数个． ( )
14．不等式 x＞－1 的整数解有无数个． ( )
15．不等式
3
242
1 x 的整数解有 0，1，2，3，4． ( )
16．若 a＞b＞0＞c，则 .0
c
ab ( )
四、解答题
17．若 a 是有理数，比较 2a 和 3a 的大小．
拓展、探究、思考
18．若不等式 3x－a≤0 只有三个正整数解，求 a 的取值范围．
19．对于整数 a，b，c，d，定义 bdaccd
ba ，已知 34
11
d
b ，则 b＋d 的值为_________．
2 不等式的性质
学习要求
知道不等式的三条基本性质，并会用它们解简单的一元一次不等式．
课堂学习检测
一、填空题
1．已知 a＜b，用“＜”或“＞”填空：
(1)a＋3______b＋3； (2)a－3______b－3； (3)3a______3b；
(4) 2
a ______
2
b ； (5)
7
a ______
7
b ； (6)5a＋2______5b＋2；
(7)－2a－1______－2b－1； (8)4－3b______6－3a．
2．用“＜”或“＞”填空：
(1)若 a－2＞b－2，则 a______b； (2)若
33
ba ，则 a______b；
(3)若－4a＞－4b，则 a______b； (4)
22
ba ，则 a______b．
3．不等式 3x＜2x－3 变形成 3x－2x＜－3，是根据______．
4．如果 a2x＞a2y(a≠0)．那么 x______y．
二、选择题
5．若 a＞2，则下列各式中错误的是( )．
(A)a－2＞0 (B)a＋5＞7 (C)－a＞－2 (D)a－2＞－4
6．已知 a＞b，则下列结论中错误的是( )．
(A)a－5＞b－5 (B)2a＞2b (C)ac＞bc (D)a－b＞0
7．若 a＞b，且 c 为有理数，则( )．
(A)ac＞bc (B)ac＜bc (C)ac2＞bc2 (D)ac2≥bc2
8．若由 x＜y 可得到 ax＞ay，应满足的条件是( )．
(A)a≥0 (B)a≤0 (C)a＞0 (D)a＜0
三、解答题
9．根据不等式的基本性质解下列不等式，并将解集表示在数轴上．
(1)x－10＜0． (2) .62
1
2
1 xx
(3)2x≥5． (4) .13
1 x
10．用不等式表示下列语句并写出解集：
(1)8 与 y 的 2 倍的和是正数；
(2)a 的 3 倍与 7 的差是负数．
综合、运用、诊断
一、填空题
11．已知 b＜a＜2，用“＜”或“＞”填空：
(1)(a－2)(b－2)______0； (2)(2－a)(2－b)______0；
(3)(a－2)(a－b)______0．
12．已知 a＜b＜0．用“＞”或“＜”填空：
(1)2a______2b； (2)a2______b2； (3)a3______b3；
(4)a2______b3； (5)｜a｜______｜b｜； (6)m2a______m2b(m≠0)．
13．不等式 4x－3＜4 的解集中，最大的整数 x＝______．
14．关于 x 的不等式 mx＞n，当 m______时，解集是
m
nx ；当 m______时，解集是
m
nx ．
二、选择题
15．若 0＜a＜b＜1，则下列不等式中，正确的是( )．
,11;11;1;1 babab
a
b
a ④③②①
(A)①③ (B)②③ (C)①④ (D)②④
16．下列命题结论正确的是( )．
①若 a＞b，则－a＜－b；②若 a＞b，则 3－2a＞3－2b；③8｜a｜＞5｜a｜．
(A)①②③ (B)②③
(C)③ (D)以上答案均不对
17．若不等式(a＋1)x＞a＋1 的解集是 x＜1，则 a 必满足( )．
(A)a＜0 (B)a＞－1 (C)a＜－1 (D)a＜1
三、解答题
18．当 x 取什么值时，式子
5
63 x 的值为(1)零；(2)正数；(3)小于 1 的数．
拓展、探究、思考
19．若 m、n 为有理数，解关于 x 的不等式(－m2－1)x＞n．
20．解关于 x 的不等式 ax＞b(a≠0)．
3 解一元一次不等式
学习要求
会解一元一次不等式．
课堂学习检测
一、填空题
1．用“＞”或“＜”填空：
(1)若 x______0，y＜0，则 xy＞0；
(2)若 ab＞0，则
b
a ______0；若 ab＜0，则
a
b ______0；
(3)若 a－b＜0，则 a______b；
(4)当 x＞x＋y，则 y______0．
2．当 a______时，式子 15
2 a 的值不大于－3．
3．不等式 2x－3≤4x＋5 的负整数解为______．
二、选择题
4．下列各式中，是一元一次不等式的是( )．
(A)x2＋3x＞1 (B) 03
yx
(C) 55
11
x (D)
3
1
3
1
2
xx
5．关于 x 的不等式 2x－a≤－1 的解集如图所示，则 a 的取值是( )．
(A)0 (B)－3 (C)－2 (D)－1
三、解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来
6．2(2x－3)＜5(x－1)． 7．10－3(x＋6)≤1．
8．
2
25
3
1 xx 9．
6
1
2
1
3
1 yyy
四、解答题
10．求不等式 36
16
3
3 xx 的非负整数解．
11．求不等式
6
)125(5
3
)34(2 xx 的所有负整数解．
综合、运用、诊断
一、填空题
12．若 x 是非负数，则
5
231 x 的解集是______．
13．使不等式 x－2≤3x＋5 成立的负整数是______．
14．已知(x－2)2＋｜2x－3y－a｜＝0，y 是正数，则 a 的取值范围是______．
二、选择题
15．下列各对不等式中，解集不相同的一对是(______)．
(A)
7
24
2
3 xx 与－7(x－3)＜2(4＋2x)
(B)
3
9
2
1 xx 与 3(x－1)＜－2(x＋9)
(C)
3
12
2
2 xx 与 3(2＋x)≥2(2x－1)
(D) xx
4
1
4
3
2
1 与 3x＞－1
16．如果关于 x 的方程
5
4
3
2 bxax 的解不是负值，那么 a 与 b 的关系是( )．
(A) ba 5
3 (B) ab 5
3 (C)5a＝3b (D)5a≥3b
三、解下列不等式
17．(1)3[x－2(x－7)]≤4x． (2) .1
7
)10(2
3
83 yyy
(3) .1
5
1)13(
2
1 yyy (4) .15
)2(225
37
3
13 xxx
(5) ).1(3
2)]1(2
1[2
1 xxxx (6)
2
5
03.0
.02.003.0
5.0
9.04.0 xxx
四、解答题
18．x 取什么值时，代数式
4
13 x 的值不小于
8
)1(32 x 的值．
19．已知关于 x 的方程
3
2
3
2 xmxx 的解是非负数，m 是正整数，求 m 的值．
20．已知关于 x，y 的方程组
134
,123
pyx
pyx 的解满足 x＞y，求 p 的取值范围．
21．已知方程组
②
①
myx
myx
12
,312 的解满足 x＋y＜0，求 m 的取值范围．
拓展、探究、思考
一、填空题
22．(1)已知 x＜a 的解集中的最大整数为 3，则 a 的取值范围是______；
(2)已知 x＞a 的解集中最小整数为－2，则 a 的取值范围是______．
二、解答题
23．适当选择 a 的取值范围，使 1.7＜x＜a 的整数解：
(1)x 只有一个整数解；
(2)x 一个整数解也没有．
24．当
3
10)3(2 kk 时，求关于 x 的不等式 kxxk
4
)5( 的解集．
25．已知 A＝2x2＋3x＋2，B＝2x2－4x－5，试比较 A 与 B 的大小．
4 实际问题与一元一次不等式
学习要求
会从实际问题中抽象出不等的数量关系，会用一元一次不等式解决实际问题．
课堂学习检测
一、填空题
1．代数式
2
31 x 与代数式 x－2 的差是负数，则 x 的取值范围为______．
2．6 月 1 日起，某超市开始有偿．．提供可重复使用的三种环保购物袋，每只售价分别为 1 元、
2 元和 3 元，这三种环保购物袋每只最多分别能装大米 3 千克、5 千克和 8 千克．6 月 7
日，小星和爸爸在该超市选购了 3 只环保购物袋用来装刚买的 20 千克散装大米，他们选
购的 3 只环保购物袋至少．．应付给超市______元．
二、选择题
3．三角形的两边长分别为 4cm 和 9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是( )．
(A)13cm (B)6cm (C)5cm (D)4cm
4．商场进了一批商品，进价为每件 800 元，如果要保持销售利润不低于 15％，则售价应不
低于( )．
(A)900 元 (B)920 元 (C)960 元 (D)980 元
三、解答题
5．某汽车厂改进生产工艺后，每天生产的汽车比原来每天的产量多 6 辆，那么 15 天的产量
就超过了原来 20 天的产量，求原来每天最多能生产多少辆汽车?
6．某次数学竞赛活动，共有 16 道选择题，评分办法是：答对一题给 6 分，答错一题倒扣 2
分，不答题不得分也不扣分．某同学有一道题未答，那么这个学生至少答对多少题，成
绩才能在 60 分以上?
综合、运用、诊断
一、填空题
7．若 m＞5，试用 m 表示出不等式(5－m)x＞1－m 的解集______．
8．乐天借到一本 72 页的图书，要在 10 天之内读完，开始两天每天只读 5 页，那么以后几
天里每天至少要读多少页?设以后几天里每天要读 x 页，列出的不等式为______．
二、选择题
9．九年级(1)班的几个同学，毕业前合影留念，每人交 0.70 元．一张彩色底片 0.68 元，扩
印一张相片 0.50 元，每人分一张．在收来的钱尽量用掉的前提下，这张相片上的同学最
少有( )．
(A)2 人 (B)3 人 (C)4 人 (D)5 人
10．某市出租车的收费标准是：起步价 7 元，超过 3km 时，每增加 1km 加收 2.4 元(不足 1km
按 1km 计)．某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费 19 元，设此人从甲地到乙地
经过的路程是 xkm，那么 x 的最大值是( )．
(A)11 (B)8 (C)7 (D)5
三、解答题
11．某种商品进价为 150 元，出售时标价为 225 元，由于销售情况不好，商品准备降价出售，
但要保证利润不低于 10％，那么商店最多降价多少元出售商品?
12．某工人加工 300 个零件，若每小时加工 50 个就可按时完成；但他加工 2 小时后，因事
停工 40 分钟．那么这个工人为了按时或提前完成任务，后面的时间每小时他至少要加
工多少个零件?
拓展、探究、思考
13．某零件制造车间有 20 名工人，已知每名工人每天可制造甲种零件 6 个或乙种零件 5 个，
且每制造一个甲种零件可获利 150 元，每制造一个乙种零件可获利 260 元．在这 20 名
工人中，车间每天安排 x 名工人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件．
(1)若此车间每天所获利润为 y(元)，用 x 的代数式表示 y．
(2)若要使每天所获利润不低于 24000 元，至少要派多少名工人去制造乙种零件?
14．某单位要印刷一批宣传资料，在需要支付制版费 600 元和每份资料 0.3 元印刷费的前提
下，甲、乙两个印刷厂分别提出了不同的优惠条件，甲印刷厂提出：凡印刷数量超过
2000 份的，超过部分的印刷费可按 9 折收费；乙印刷厂提出：凡印刷数量超过 3000 份
的，超过部分印刷费可按 8 折收费．
(1)若该单位要印刷 2400 份宣传资料，则甲印刷厂的费用是______，乙印刷厂的费用是
______．
(2)根据印刷数量大小，请讨论该单位到哪家印刷厂印刷资料可获得更大优惠?
5 一元一次不等式组(一)
学习要求
会解一元一次不等式组，并会利用数轴正确表示出解集．
课堂学习检测
一、填空题
1．解不等式组
②
①
223
,423
x
x 时，解①式，得______，解②式，得______；于是得到不
等式组的解集是______．
2．解不等式组
②
①
21
,3
212
x
x 时，解①式，得______，解②式，得______；于是得到不等
式组的解集是______．
3．用字母 x 的范围表示下列数轴上所表示的公共部分：
二、选择题
4．不等式组
5312
,243
xx
x 的解集为( )．
(A)x＜－4 (B)x＞2 (C)－4＜x＜2 (D)无解
5．不等式组
023
,01
x
x 的解集为( )．
(A)x＞1 (B) 13
2 x (C)
3
2x (D)无解
三、解下列不等式组，并把解集表示在数轴上
6．
.04
,012
x
x
7．
.074
,03
x
x
8．
.3342
,12
1
xx
xx 9．－5＜6－2x＜3．
四、解答题
10．解不等式组
32
1
),2(352
xx
xx
并写出不等式组的整数解．
综合、运用、诊断
一、填空题
11．当 x 满足______时，
2
35 x 的值大于－5 而小于 7．
12．不等式组
25
12
,9
1
2
xx
xx
的整数解为______．
二、选择题
13．如果 a＞b，那么不等式组
bx
ax , 的解集是( )．
(A)x＜a (B)x＜b (C)b＜x＜a (D)无解
14．不等式组
1
,159
mx
xx 的解集是 x＞2，则 m 的取值范围是( )．
(A)m≤2 (B)m≥2 (C)m≤1 (D)m≥1
三、解答题
15．求不等式组 73
123
x 的整数解．
16．解不等式组
.3273
,4536
,7342
xx
xx
xx
17．当 k 取何值时，方程组
52
,53
yx
kyx 的解 x，y 都是负数．
18．已知
122
,42
kyx
kyx 中的 x，y 满足 0＜y－x＜1，求 k 的取值范围．
拓展、探究、思考
19．已知 a 是自然数，关于 x 的不等式组
02
,43
x
ax 的解集是 x＞2，求 a 的值．
20．关于 x 的不等式组
123
,0
x
ax 的整数解共有 5 个，求 a 的取值范围．
6 一元一次不等式组(二)
学习要求
进一步掌握一元一次不等式组．
课堂学习检测
一、填空题
1．直接写出解集：
(1)
3
,2
x
x 的解集是______； (2)
3
,2
x
x 的解集是______；
(3)
3
,2
x
x 的解集是_______； (4)
3
,2
x
x 的解集是______．
2．如果式子 7x－5 与－3x＋2 的值都小于 1，那么 x 的取值范围是______．
二、选择题
3．已知不等式组
).23(2)1(53
,1)1(3)3(2
xxx
xx 它的整数解一共有( )．
(A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个
4．若不等式组
kx
x ,21 有解，则 k 的取值范围是( )．
(A)k＜2 (B)k≥2 (C)k＜1 (D)1≤k＜2
三、解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来
5．
32
2
,352
xx
xx
6．
.6)2(3)3(2
,1
32
xx
xx
7．
).2(28
,142
xx
x
8． .2
34512 xxx
综合、运用、诊断
一、填空题
9．不等式组
2
3
3
,152
x
x
的所有整数解的和是______，积是______．
10．k 满足______时，方程组
4
,2
yx
kyx 中的 x 大于 1，y 小于 1．
二、解下列不等式组
11．
.1)]3(2[2
1
,3
12
2
33
xx
xxx
12．
24
,2
55
,13
xx
xx
xx
三、解答题
13．k 取哪些整数时，关于 x 的方程 5x＋4＝16k－x 的根大于 2 且小于 10?
14．已知关于 x，y 的方程组
34
,72
myx
myx 的解为正数，求 m 的取值范围．
拓展、探究、思考
15．若关于 x 的不等式组
axx
xx
3
22
,32
15
只有 4 个整数解，求 a 的取值范围．
7 利用不等关系分析实际问题
学习要求
利用不等式(组)解决较为复杂的实际问题；感受不等式(组)在实际生活中的作用．
课堂学习检测
列不等式(组)解应用题
1．一个工程队原定在 10 天内至少要挖掘 600m3 的土方．在前两天共完成了 120m3 后，接到
要求要提前 2 天完成掘土任务．问以后几天内，平均每天至少要挖掘多少土方?
2．某城市平均每天产生垃圾 700 吨，由甲、乙两个垃圾厂处理．如果甲厂每小时可处理垃
圾 55 吨，需花费 550 元；乙厂每小时处理 45 吨，需花费 495 元．如果规定该城市每天
用于处理垃圾的费用的和不能超过 7150 元，问甲厂每天至少要处理多少吨垃圾?
3．若干名学生，若干间宿舍，若每间住 4 人将有 20 人无法安排住处；若每间住 8 人，则有
一间宿舍的人不空也不满．问学生有多少人?宿舍有几间?
4．2008 年 5 月 12 日，汶川发生了里氏 8.0 级地震，给当地人民造成了巨大的损失．某中学
全体师生积极捐款，其中九年级的 3 个班学生的捐款金额如下表：
老师统计时不小心把墨水滴到了其中两个班级的捐款金额上，但他知道下面三条信息：
信息一：这三个班的捐款总金额是 7700 元；
信息二：二班的捐款金额比三班的捐款金额多 300 元；
信息三：一班学生平均每人捐款的金额大于．．48 元，小于．．51 元．
请根据以上信息，帮助老师解决：
(1)二班与三班的捐款金额各是多少元?
(2)一班的学生人数是多少?
综合、运用、诊断
5．某学校计划组织 385 名师生租车旅游，现知道出租公司有 42 座和 60 座客车，42 座客车
的租金为每辆 320 元，60 座客车的租金为每辆 460 元．
(1)若学校单独租用这两种客车各需多少钱?
(2)若学校同时租用这两种客车 8 辆(可以坐不满)，而且比单独租用一种车辆节省租金，
请选择最节省的租车方案．
拓展、探究、思考
6．在“5·12 大地震”灾民安置工作中，某企业接到一批生产甲种板材 24000m2 和乙种板
材 12000m2 的任务．某灾民安置点计划用该企业生产的这批板材搭建 A，B 两种型号的
板房共 400 间，在搭建过程中，按实际需要调运这两种板材．已知建一间 A 型板房和一
间 B 型板房所需板材及能安置的人数如下表所示：
板房型号 甲种板材 乙种板材 安置人数
A 型板房 54 m2 26 m2 5
B 型板房 78 m2 41 m2 8
问：这 400 间板房最多能安置多少灾民?
第十章 数据的收集、整理与描述
1 统计调查(一)
学习要求
了解全面调查是一种收集数据的方法，会设计简单的调查问卷收集数据，会用统计表和
扇形图描述数据；能根据问题查找有关资料，获得数据信息。
课堂学习检测
一、填空题
1．做统计调查时，通常先采用问卷调查的方法____________，为此要设计______；为了更
清楚地了解数据所蕴含的规律，经常用表格______；为了更直观
地看出表中的信息，还可以用统计图来____________．
2．在调查中，考察全体对象的调查叫做_____________．
3．某校组织学生开展“八荣八耻”宣传教育活动，其中有 38％的同
学 走 出 校 门 进 行 宣 讲 ， 这 部 分 学 生 在 扇 形 统 计 图 中 应 为
____________部分(选择 A，B，C，D 填空)．
4．2008 年 4 月 16 日至 20 日，在北京奥林匹克公园公共区举办了“好运北京”综合测
试赛．测试期间，公共餐饮售卖点 5 日的营业额如图所示：
测试赛公共区餐饮售卖点 5 日营业额条形图
则营业额最高的是______日，它和营业额最低的那天相比，相差______元．
二、选择题
5．一般常用居民家庭恩格尔系数来衡量居民的生活质量(系数值越小代表生活质量越好)．
下表为我国某几年生活质量统计表：
年份(年) 1989 1997 2001 2002
恩格尔系数(％) 54.5 46.6 38.2 37.7
下列说法正确的是( )．
(A)生活质量稳步提高 (B)生活质量逐步下降
(C)生活质量有升有降 (D)生活质量稳定不变
6．下列调查适合全面调查的是( )．
(A)调查 2009 年 6 月份市场上某品牌饮料的质量
(B)了解中央电视台直播北京奥运会开幕式的全国收视率情况
(C)环保部门调查 5 月份黄河某段水域的水质情况
(D)了解全班同学本周末参加社区活动的时间
7．如图是某班学生最喜欢的球类活动人数统计图，则下列说法不正确．．．的是( )．
(A)该班喜欢乒乓球的学生最多
(B)该班喜欢排球与篮球的学生一样多
(C)该班喜欢足球的人数是喜欢排球人数的 1.25 倍
(D)该班喜欢其他球类活动的人数为 5 人
三、解答题
8．学校食堂的主食主要有：米饭、馒头、花卷、面条，你班的同学最喜欢哪种主食，请设
计一个调查问卷．
综合、运用、诊断
9．下图是根据某乡 2009 年第一季度“家电下乡”产品的购买情况绘制成的两幅不完整的统
计图，请根据统计图提供的信息解答下列问题：
(1)第一季度购买的“家电下乡”产品的总台数为______；
(2)把两幅统计图补充完整．
10．查阅动物百科全书，得到信息：丹顶鹤体长约 140 厘米，营巢于周围环水的浅滩或深草
丛中，每次产卵 2 枚，为国家一级保护动物；绿孔雀体长 100～230 厘米，营巢于灌木
丛、竹丛间的地面，每次产卵 4～8 枚，为国家一级保护动物；鸳鸯体长 38～44 厘米，
营巢于树洞中，每次产卵 7～12 枚，为国家二级保护动物．请用一张统计表表示上述信
息．
11．有一位同学调查了一个月内全校学生的借书情况，数据如下：
借书次数 0 次 1 次 2 次 3 次 3 次以上 总计
学生人数 471 422 71 36 0
对应圆心角度数
(精确到 0.1°)
(1)先完成上面表格，然后根据数据画出扇形统计图；
(2)根据扇形图分析学校图书馆的借书率高吗?
(3)根据以上信息，请你向学校提出一条好的建议．
12．小李通过对某地区 1998 年至 2000 年快餐公司发展情况的调查，制成了该地区快餐公司
个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销量的平均数情况条形图，解答下列问题：
(1)1999 年该地区共销售盒饭__________万盒；
(2)该地区盒饭销量最大的年份是______年，这一年的年销量是______万盒；
(3)计算出这三年中该地区平均每家快餐公司的年销售盒饭数量(精确到 0.01 万)．
拓展、探究、思考
13．阅读下面材料：
中国人民银行资料显示，到 2001 年底，我国城乡居民银行存款数额为 8.7 万亿人民币．
你想了解居民存款的目的是什么吗?下图是根据中国人民银行提供的资料制作的统计
图，图中的百分比是受访者中选择不同存款的目的(每人只选一项)人数的百分比．
(资料来源：中国人民银行 2002 年 1 月 20 日)
观察上图后，研究下面问题：
(1)选择人数最多的前四类的存款目的分别是______、______、______、______，这四
类人数的百分比之和是______．
(2)图中的各个百分比是如何得到的?所有百分比之和是多少?
(3)假如总共调查了 1000 人，请你把不同存款目的的人数填写在下表中：
存款
目的
买房
装修
购买
汽车
生意
周转
教育
费
养老
费
预防
意外
得利
自
购买
资产
购买
大件
其他
人数(人)
(4)谈谈对上述数据调查、分析后的体会．
2 统计调查(二)
学习要求
1．了解通过抽样调查收集处理数据的方法，明确用样本估计总体是统计的基本思想．
2．通过实例理解总体、样本和样本容量的概念．
3．会用折线图表示经过整理的数据，直观地反映数据规律．
课堂学习检测
一、填空题
1．抽样调查是只从总体中抽取___________进行调查，然后根据___________推断全体对象
的情况；要考察的全体对象称为___________，组成其的每一个考察对象称为______
_____，被抽取的那些___________组成一个___________．
2．为了了解一批手表的防水性能，从中抽取 10 只手表进行防水性能测试，在这个问题中，
总体是________________，个体是________________，抽取的样本是___________，样本
容量是_________．
3．抽样调查具有____________的优点，它的缺点是不如全面调查得到的结果___________，
它得到的只是____________．比如为了解某牛奶公司生产的酸奶的质量情况作调查，这
个调查适合作___________．
4．下列调查的样本中不缺乏代表性的有哪几个___________．(填序号)
①为了了解你校七年级学生期中考试数学成绩，抽取七 1 班 50 名学生的成绩进行分析；
②为了了解我国 18 岁青年的身高，从不同的地区随机抽取 1000 名 18 岁青年的身高；
③为了了解一批洗衣粉的质量情况，从中抽取 50 袋进行调查；
④为了了解某公园的每天游园人数，从中抽查一年中每个星期天的游园人数．
二、选择题
5．为了了解某校九年级学生的视力，从中抽取 60 名学生进行视力检查，在这个问题中，总
体是( )．
(A)每名学生的视力 (B)60 名学生的视力
(C)60 名学生 (D)该校九年级学生的双眼视力
6．为了反映某地区的天气变化趋势，最好选择( )．
(A)扇形统计图 (B)条形统计图
(C)折线统计图 (D)以上三种都不行
7．要调查某校七年级学生周日的睡眠时间，选取调查对象最合适的是( )．
(A)选取一个班级的学生 (B)选取 50 名男生
(C)选取 50 名女生 (D)随机选取 50 名七年级学生
三、解答题
8．某学校为丰富大课间自由活动的项目，随机选取本校 100 名学生进行调查，调查内容是
“你最喜欢的自由活动项目是什么”，整理收集的数据，绘制成如图．
(1)学校采用的调查方式是___________________________________________________．
(2)选择喜欢“踢毽子”的学生有多少人，并在图中将“踢毽子”部分的图形补充完整．
(3)该校共有 800 名学生，请通过计算估计出喜欢“跳绳”的学生人数．
9．某中学学生会为了解该校学生喜欢球类活动的情况，采取抽样调查的方法，让若干名学
生从足球、乒乓球、篮球、排球四种球类运动中选择自己最喜欢的一种，并将调查的结
果绘制成如下的两幅不完整的统计图(如图 1，图 2，要求每位同学只能选择一种自己喜
欢的球类运动；图中用乒乓球、足球、排球、篮球代表喜欢该项目的学生人数)．
图 1 图 2
请你根据图中提供的信息解答下列问题：
(1)在这次研究中，一共调查了多少名学生?
(2)喜欢排球的人数在扇形统计图中所占的扇形圆心角是多少度?
(3)补全折线统计图．
综合、运用、诊断
一、填空题
10．在抽取样本的过程中，总体中的每一个个体都有相等的机会被抽到，像这样的抽样方法
是一种__________抽样；通常样本容量越大，估计精度就会越______(填“高”或“低”)．
11．为了让大家感受丢弃塑料袋对环境的影响，某班环保小组的六名同学记录了自己家中一
周内丢弃的塑料袋的数量，结果如下(单位：个)：33，25，28，26，25，31．如果该班
有 45 位学生，那么根据提供的数据估计本周全班各家平均丢弃塑料袋数量约为______．
12．甲、乙两家汽车销售公司根据近几年的销售量，分别制作如下统计图：
甲公司 乙公司
从 2003 年到 2007 年，这两家公司中销售量增长较快的是____________．
13．为了解 09 届本科生的就业情况，某网站对 09 届本科生的签约状况进行了网络调查，至
3 月底，参与网络调查的 12000 人中，只有 4320 人已与用人单位签约．在这个网络调
查中，样本容量是______．
二、选择题
14．某烟花爆竹厂从 20 万件同类产品中随机抽取了 100 件进行质检，发现其中有 5 件不合
格，那么你估计该厂这 20 万件产品中合格品约为( )．
(A)1 万件 (B)19 万件 (C)15 万件 (D)20 万件
15．如图为某产品产量增长情况统计图，下列说法正确的是( )．
(A)产量持续增长 (B)产量有增有减
(C)开始产量不变 (D)条件不足，无法判断
三、解答题
16．一面粉厂生产面粉，规定每袋标准质量为 50kg．采用自动装袋工艺后，每袋面粉的实
际质量和标准质量有一定的误差．任选 50 袋称质量结果如下：(单位：kg)
48.5×1 袋 49.0×4 袋 49.5×10 袋 50.0×19 袋
50.5×9 袋 51.0×5 袋 51.5×2 袋
(1)计算每袋面粉的质量与标准质量的误差，对误差进行分类，统计各类误差的面粉袋
数，并填写统计表：
误差(kg) －1.5 －1.0 －0.5 0 0.5 1.0 1.5
袋数(袋)
百分比(％)
(2)画出条形统计图，表示出各类误差的面粉袋数，说一说误差的分布有什么特点．
拓展、探究、思考
17．为了解某地区 30 万电视观众对新闻、动画、娱乐三类节目的喜爱情况，按照老年人、
成年人、青少年各年龄段实际人口 3∶5∶2 的比例，随机抽取一定数量的观众进行调查，
得到如下统计图：
(1)上面所用的调查方法是______(填“全面调查”或“抽样调查”)；
(2)写出折线统计图中 A、B 所代表的值；
A：_________ B：__________
(3)求该地区喜爱娱乐节目的成年人的人数．
18．台州素有“七山一水两分田”之说，据此画成统计图 1．图 2 是台州市 2004～2008 年
的人口统计图(单位：万人)．
图 1 图 2
资 料
◆自 1997 年以来，台州市已连续 12 年实现耕地总面积基本不变．
◆台州市 2008 年人均耕地面积 0.4 亩，不到全国人均耕地的
3
1 ，相当于联合国粮农组
织确定的人均 0.8 亩耕地警戒线的
2
1 ．
(1)请你计算扇形统计图中表示“田”的扇形圆心角的度数；
(2)请你指出台州市 2004～2008 年的人口变化趋势，并据此推断台州市 2004～2008 年
人均耕地面积是不断增加还是不断减少?(人均耕地面积＝耕地总面积÷人口)
(3)结合统计图和资料的信息，计算台州市 2008 年耕地总面积约是多少万亩?
3 直方图(一)
学习要求
1．初步认识直方图，能分析简单的频数分布情况．
2．会制作频数分布直方图，并根据统计图作出分析和判断．
课堂学习检测
一、填空题
1．分析数据的频数分布，首先计算出这组数据中__________的差，参照这个差值对数据进
行__________，然后利用___________给出数据的分布情况，进而用___________来描述
数据的分布情况．
2．对某中学同年龄的 70 名女学生的身高进行测量，得到一组数据，其中最大值是 170cm，
最小值是 147cm，对这组数据进行整理时，打算把它分成 8 组，则组距是_________．
3．如图是某单位职工年龄(取正整数)的频数分布直方图(每组数据含最小值，不含最大值)，
根据图形直接回答下列问题：
(1)该单位共有职工_________人；
(2)______年龄段的职工人数最多，该年龄段职工人数占职工总人数的______％；年龄不
小于 38 岁，但小于 44 岁的职工人数占职工总人数的______％；(结果均精确到 0.1％)
(3)如果 42 岁的职工有 4 人，则年龄在 42 岁以上的职工有_______人．
4．如图是某班学生的一次考试成绩的频数分布直方图(每组数据含最小值，不含最大值)，
由图可知：
(1)该班有______名学生；
(2)该班不及格的学生共有________名，占全班人数的________％；
(3)该班成绩优秀(分数在 85 分或 85 分以上)的学生最多________人，最少______人．
二、解答题
5．网瘾低龄化问题已引起社会各界的高度关注．有关部门在全国范围内对 12～35 岁(不含
35 岁)的网瘾人群进行了抽样调查．下图表示在调查的样本中不同年龄段的网瘾人数，
其中 30～35 岁(不含 35 岁)的网瘾人数占样本总人数的 20％(每组数据含最小值，不含最
大值)．
(1)被抽样调查的样本总人数为______人．
(2)请把统计图中缺失的数据、图形补充完整．
(3)据报道，目前我国 12～35 岁(不含 35 岁)网
瘾人数约为 200 万人，那么其中 12～18 岁
(不含 18 岁)的网瘾人数约有多少人?
综合、运用、诊断
一、选择题
6．一个有 80 个样本的数据组中，样本的最大值是 145，最小值是 50，取组距为 10，那么
可以分成( )．
(A)10 组 (B)9 组 (C)8 组 (D)7 组
7．某校对 1200 名学生的视力进行了检查，其值在 5.0～5.1 这一小组的百分比为 25％，则
该组的人数为( )．
(A)150 人 (B)300 人 (C)600 人 (D)900 人
二、解答题
8．为了了解中学生的身高情况，对某中学同年龄的若干名女生的身高进行了测量，整理数
据后画出频数分布直方图(如图)．(每组数据含最小值，不含最大值，且身高均为整数)
(1)参加这次测试的学生人数是__________；
(2)身高在__________范围内的学生人数最多，这一范围的学生占______％；
(3)如果身高在 155cm 以上(含 155cm)者为良好，试估计该校女学生身高的良好率是
________．
9．在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为 11 月 1 日至
30 日，评委会把同学们上交作品的件数按 5 天
一组分组统计，绘制了直方图如下(从左至右依
次为第一组至第六组)．已知从左至右各长方形
的高度之比为 2∶3∶4∶6∶4∶1，第三组的频
数为 12，请回答下列问题：
(1)本次活动共有多少件作品参加评比?
(2)第几组上交的作品数量最多?有多少件?
(3)经过评比，第四组和第六组分别有 10 件、2 件作品获奖，问这两组哪组的获奖率较高?
拓展、探究、思考
10．某中学为了了解本校学生的身体发育情况，对同年龄的 40 名女学生的身高进行了测量，
结果如下：(数据均近似为正整数，单位 cm)
167，154，159，166，169，159，156，162，158，159，160，164，160，157，161，
158，153，158，164，158，163，158，x，157，162，159，165，157，151，146，151，
160，165，158，163，162，154，149，168，164．
统计人员将上述数据整理后，画出了频数分布直方图，并列出了频数分布表如下：
身高(cm) 频数
144.5
0；③x=3；④x2+x； ⑤ x -4；⑥ x+2>x+1 是不等式
的有( )
A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个
2. x 的 2 倍减 7 的查不大于-1,可列关系式为( )
A.2x-7≥-1 B. 2x-7<-1 C. 2x-7=-1 D. 2x-7≥-4
3.下列列出的不等关系式中, 正确的是( )
A.a 是负数可表示为 a>0 B. x 不大于 3 可表示为 x<3
C. m 与 4 的差是负数,可表示为 m-4<0 D. x 与 2 的和非负数可表示为 x+2>0
4. 代数式 3x+4 的值不小于 0,则可列不等式为( )
A. 3x+4<0 B. 3x+4>0 C. 3x+4≥0 D. 3x+4<10
5.下列由题意列出的不等关系中, 错误的是( )
A.a 不是负数可表示为 a>0
B. x 不大于 3 可表示为 x≤3
C. m 与 4 的差是非负数,可表示为 x-4≥0
D.代数式 x2+3 大于 3x-7,可表示为 x2+3>3x-7
6.用不等式表示“a 的 5 倍与 b 的和不大于 8”为 _______.
7. a 是个非负数可表示为_______.
8. 用适当的符号表示下列关系:
（1）x 的
3
1 与 x 的 2 倍的和是非正数；
（2）一枚炮弹的杀伤半径不小于 300 米；
（3）三件上衣与四条长裤的总价钱不高于 268 元；
（4）明天下雨的可能性不小于 70%；
（5）小明的身体不比小刚轻.
9.某校规定期中考试成绩的 40%和期末考试成绩的 60%的和作为学生成绩总成绩.该校骆红
同学期中数学考了85分,她希望自己学期总成绩不低于90分,她在期末考试中数学至少应得
多少分?(只列关系式)
10.某次数学测验,共有 16 道选择题,评分方法是:答对一题得 6 分,不答或答错一题扣 2 分,
某同学要想得分为 60 分以上,他至少应答对多少道题?(只列关系式)
参考答案
1．C 2.A 3.C 4.C 5.A 6.5a+b≤8 7. a ≥0
8.(1)
3
1 x+2x≤0；
(2)设炮弹的杀伤半径为 r,则应有 r≥300；
(3)设每件上衣为 a 元, 每条长裤是 b 元,应有 3a+4b≤268；
(4)用 P 表示明天下雨的可能性, 则有 P≥70%；
（5）设小明的体重为 a 千克, 小刚的体重为 b 千克,则应有 a≥b.
9. 设她在期末至少应考 x 分, 则有 40×85%+60x≥90.
10. 设该同学至少应答对 x 道题,依题意有 6x-2(16-x) ≥60
1.1 不等关系同步练习 2
(总分：100 分 时间 45 分钟)
一、选择题（每题 5 分，共 30 分）
1、（2007 年安顺市）如图所示，对 a，b，c 三种物体的重量判断不正确的是（ ）
a a a b b c cb b b
A、a＜c B、a＜b C、a＞c D、b＜c
2、如果 a＜0,b＞0，a＋b＜0，那么下列关系式中正确的是（ ）
A、a＞b＞－b＞－a B、a＞－a＞b＞－b C、b＞a＞－b＞－a D、－a＞b＞－b＞a
3、已知实数 a、b 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（ ）
A、ab＞0 B、 a b C、a－b＞0 D、a＋b＞0
1-1 0 ab
4、若 a＜b＜0，则下列式子：①a＋1＜b＋2；② 1a
b
；③a＋b＜ab；④ 1 1
a b
中，正确的
有（ ）
A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个
5、某商贩去菜摊买黄瓜，他上午买了 30 斤，价格为每斤 x 元；下午，他又买了 20 斤，价
格为每斤 y 元．后来他以每斤
2
x y 元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，其原因是
（ ）
A、x＜y B、x＞y C、x≤y D、x≥y
6、对于命题“a、b 是有理数，若 a＞b，则 a2＞b2”，若结论保持不变，怎样改变条件，命
题才是真命题，给出下列以下四种说法：①a、b 是有理数，若 a＞b＞0，则 a2＞b2；②a、
b 是有理数，若 a＞b，且 a＋b＞0，则 a2＞b2；③a、b 是有理数，若 a＜b＜0，则 a2＞b2；
④a、b 是有理数，若 a＜b 且 a＋b＜0，则 a2＞b2。其中，真命题的个数是（ ）
A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个
二、填空题（每题 5 分，共 30 分）
7、有下列数学表达：①3 0 ；② 4 5 0x ；③ 3x ；④ 2x x ；⑤ 4x ； ⑥
2 1x x ．其中是不等式的有________个.
8、学校食堂出售两种厚度一样但大小不同的面饼,小饼直径30cm,售价30分；大饼直径40cm，
售价 40 分.你更愿意买 饼,原因是___________________________.
9、小强在一次检测中，语文与英语平均分数是 76 分，但语文、英语、数学三科的平均分不
低于 80 分，则数学分数 x 应满足的关系为 ．
10、（2007 年临沂）有如图所示的两种广告牌，其中图 1 是由两个等腰直角三角形构成的，
图 2 是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种大小关系用含字
母 a，b 的不等式表示为 ．
a
b
a
b
图 1 图 2
11、如图是测量一颗玻璃球体积的过程：
（1）将 300ml 的水倒进一个容量为 500ml 的杯子中；
（2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；
（3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出．
根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在________ cm3 以上，_________cm3 以下
12、一个工程队规定要在 6 天内完成 300 土方的工程，第一天完成了 60 土方，现在要比原
计划至少提前两天完成任务，请列出以后几天平均每天至少要完成的土方数 x 应满足的不
等式为___________________________.
三、解答题（每题 10 分，共 10 分）
13、用不等式表示：
（1）x 与－3 的和是负数；
（2）x 与 5 的和的 28%不大于－6；
（3）m 除以 4 的商加上 3 至多为 5；
（4）a 与 b 两数和的平方不小于 3；
（5）三角形的两边 a、b 的和大于第三边 c.
14、燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到 10 m 以外的
安全区域.已知导火线的燃烧速度为 0.02m/s，人离开的速度为 4m/s，导火线的长 x(m)
应满足怎样的关系式？请你列出.
15、班级 50 名学生上体育课，老师出了一道题目：现在我拿来一些篮球，如果每 5 人一组
玩一个篮球，有些同学没有球玩；如果每 6 人一组玩一个篮球，就会有一组玩篮球的人
数不足 6 个．你们知道有几个篮球吗？
甲同学说：如果有 x 个篮球，5 50x ．
乙同学说： 6 50x ．
丙同学说： 6( 1) 50x ．
你明白他们的意思吗？
16、比较下面每小题中两个算式结果的大小(在横线上填“＞”、“＜”或“＝”)．
⑴32＋42 2×3×4；⑵22＋22 2×2×2；⑶12＋
2
4
3
2×1×
4
3 ；
⑷(－2) 2＋52 2×(－2)×5；⑸
22
3
2
2
1
3
2
2
12 ．
通过观察上面的算式，请你用字母来表示上面算式中反映的一般规律．
四、拓展探究（不计入总分）
17、有 5 支排球劲旅 A 队、B 队、C 队、D 队、E 队，参加排球锦标赛，成绩如下：D 队的名
次比 C 队低，A 队比 B 队高，但低于 E 队；E 队比 C 低，B 队比 D 队高，请问：这 5 支球
队各是第几名。解决这类问题，一个非常方便的方法是利用数学符号帮忙，此处用“＞”
或“＜”，将成绩可简单表示成不等式，很快就得出这 5 个队的名次，试一下吧？
参考答案
1、C 2、D 3、C 4、D 5、B 6、D
7、4
8、大饼 相同面积的大饼价格便宜
9、152＋x≥240
10、 1
2
a2＋ 1
2
b2＞ab (a≠b)
11、40 50
12、3x≥300－60（点拨：“现在要比原计划至少提前两天完成任务”隐含着这样一个不等关
系“4 天内完成的任务不小于 300 土方”）
13、（1）x＋(－3)＜0（2）28% (x＋5)≤－6（3）
4
m ＋3≤5（4）(a＋b)2≥3
（5）a＋b＞c
14、 10
0.02 4
x
15、甲同学说的意思是：如果每 5 人一组玩一个篮球，那么玩球的人数少于 50 人，有些同
学就没有球玩．
乙同学说的意思是：如果每 6 人一组玩一个篮球，那么就会有一个组玩篮球的人数不足
6 人．
丙同学说的意思是：如果每 6 人一组玩一个篮球，除了一个球以外，剩下的每 6 人玩一
个球，还有几人（不足 6 人）玩另外一个篮球．
16、（1）＞（2）＝（3）＞（4）＞（5）＞； 2 2a b ≥2ab（当 a＝b 时取等号）
17、D＜B＜A＜E＜C.
1.2 不等式的基本性质同步练习 1
1． 判断下列各题是否正确？正确的打“√”，错误的打“×”
（1）不等式两边同时乘以一个整数，不等号方向不变.（ ）
（2）如果 a＞b，那么 3－2a＞3－2b.（ ）
（3）如果 a 是有理数，那么－8a＞－5a.（ ）
（4）如果 a＜b，那么 a2＜b2.（ ）
（5）如果 a 为有理数，则 a＞－a.（ ）
（6）如果 a＞b，那么 ac2＞bc2.（ ）
（7）如果－x＞８，那么 x＞－8.（ ）
（8）若 a＜b，则 a＋c＜b＋c.（ ）
2． 若 x＞ｙ，则 ax＞ay，那么 a 一定为（ ）
A．a＞０ B．ａ＜０ C．ａ≥0 D．a≤0
3．若 m＜ｎ，则下列各式中正确的是（ ）
A．m－3＞ｎ－3 B.3m＞3n C.－3m＞－3n D. 1 13 3
m n
4．若 a＜0，则下列不等关系错误的是（ ）
A．a＋5＜a＋7 B.5a＞7a C.5－a＜7－a D.
5 7
a a
5．下列各题中，结论正确的是（ ）
A．若 a＞0，b＜0，则 0b
a
B．若 a＞b，则 a－b＞0
C．若 a＜0，b＜0，则 ab＜0
D．若 a＞b，a＜0，则 0b
a
６．下列变形不正确的是（ ）
A．若 a＞b，则 b＜a B．－a＞－b，得 b＞a
C．由－2x＞a，得
2
ax D．由
2
x y ，得 x＞－2y
７．有理数 b 满足︱b︱＜3，并且有理数 a 使得 a＜b 恒成立，则 a 得取值范围是（ ）
A．小于或等于 3 的有理数 B．小于 3 的有理数
C．小于或等于－3 的有理数 D．小于－3 的有理数
8．若 a－b＜0，则下列各式中一定成立的是（ ）
A．a＞b B．ab＞0 C． 0b
a
D．－a＞－b
9．绝对值不大于 2 的整数的个数有（ ）
A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个
10．若 a＜0，则－
2
ba ____－
2
b
11．设 a＜b，用“＞”或“＜”填空：
a－1____b－1， a＋3____b＋3， －2a____－2b，
3
a ____
3
b
12．实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，用“＞”或“＜”填空：
a－b____0， a＋b____0，ab____0，a2____b2，
a
1 ____
b
1 ，︱a︱____︱b︱
13．若 a＜b＜0，则
2
1 （b－a）____0
１４．根据不等式的性质，把下列不等式表示为 x＞a 或 x＜a 的形式：
（1）10x－１＞9x （2）2x＋2＜3 （3）5－6x≥2
１５．某商店先在广州以每件 15 元的价格购进某种商品 10 件，后来又到深圳以每件 12.5
元的价格购进同一种商品 40 件.如果商店销售这些商品时，每件定价为 x 元，可获得大于
12％的利润，用不等式表示问题中的不等关系，并检验 x＝14（元）是否使不等式成立？
答案：
1．（1）× 注意当此整数为 0 时，此不等式变为等式了，当此整数为负数时，不等号应改变
方向；
（2）× 正确答案应为 3－2a＜3－2b，这可由不等式的基本性质 3 得到；
（3）× 当 a＜0 时，－8a＜－5a；
（4）× 当 a＝－4，b＝1 时，有 a＜b，但 a2＞b2；
（5）× 当 a≤0 时，a≤－a；
（6）× 当 c＝0 时，ac2＝bc2 ；
（7）× 由不等式的基本性质 3 应有 x＜－8；
（8）√ 这可由不等式的基本性质 1 得到.
2．A 3.C 4.D 5.B 6.C 7.C 8.D 9.C 10.＞ 11.＜ ＜ ＞ ＜
12.＜ ＜ ＞ ＞ ＞ ＞ 13.＞
14．（1）x＞1 （2）x＜
2
1 （3）x≤
2
1
15．
650
65050 x ＞12％，当 x＝14 时，不等式不成立，所以 x＝14 不是不等式的解.
1.2 不等式的基本性质同步练习 2
(总分：100 分 时间 45 分钟)
一、选择题（每题 4 分，共 32 分）
1、如果 m＜n＜0,那么下列结论中错误的是（ ）
A、m－9＜n－9 B、－m＞－n C、 1 1
n m
D、 1m
n
2、若 a－b＜0，则下列各式中一定正确的是（ ）
A、a＞b B、ab＞0 C、 0a
b
D、－a＞－b
3、由不等式 ax＞b 可以推出 x＜ b
a
，那么 a 的取值范围是（ ）
A、a≤0 B、a＜0 C、a≥0 D、a＞0
4、如果 t＞0,那么 a＋t 与 a 的大小关系是（ ）
A、a＋t＞a B、a＋t＜a C、a＋t≥a D、不能确定
5、如果
3 4
a a
，则 a 必须满足（ ）
A、a≠0 B、a＜0 C、a＞0 D、a 为任意数
6、已知有理数 a、b、c 在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（ ）
a0bc
A、cb＞ab B、ac＞ab C、cb＜ab D、c＋b＞a＋b
7、有下列说法：
（1）若 a＜b，则－a＞－b； （2）若 xy＜0，则 x＜0，y＜0；
（3）若 x＜0，y＜0，则 xy＜0； （4）若 a＜b，则 2a＜a＋b；
（5）若 a＜b，则 1 1
a b
； （6）若1 1
2 2
x y ，则 x＞y。
其中正确的说法有（ ）
A、2 个 B、3 个 C、4 个 D、5 个
8、2a 与 3a 的大小关系（ ）
A、2a＜3a B、2a＞3a C、2a＝3a D、不能确定
二、填空题（每题 4 分，共 32 分）
9、若 m＜n，比较下列各式的大小：
（1）m－3______n－3 （2）－5m______－5n （3）
3
m ______
3
n
（4）3－m______2－n (5)0_____m－n （6） 3 2
4
m _____ 3 2
4
n
10、用“＞”或“＜”填空：
（1）如果 x－2＜3，那么 x______5； （2）如果 2
3
x＜－1，那么 x______ 2
3
；
（3）如果 1
5
x＞－2，那么 x______－10；（4）如果－x＞1，那么 x______－1；
（5）若 ax b ， 2 0ac ，则 x______ b
a
.
11、x＜y 得到 ax＞ay 的条件应是____________。
12、若 x＋y＞x－y，y－x＞y，那么①x＋y＞0，②y－x＜0，③xy≤0,④ y
x
＜0 中，正确结
论的序号为________。
13、满足－2x＞－12 的非负整数有________________________。
14、若 ax＞b，ac2＜0，则 x________
a
b .
15、如果 x－7＜－5，则 x ；如果－
2
x ＞0，那么 x ；
16、当 x 时，代数式 2x－3 的值是正数.
三、解答题（每题 9 分，共 36 分）
17、说出下列不等式的变形是根据不等式的哪一条性质：
（1）由 1
2
x＞－3，得 x＞－6；___________________________;
（2）由 3＋x≤5，得 x≤2；______________________________;
（3）由－2x＜6，得 x＞－3；____________________________;
（4）由 3x≥2x－4，得 x≥－4.___________________________;
18、根据不等式的性质解下列不等式，并说出每一步的依据：
（1）x－9＜1 （2） 3 124 x
19、求不等式 1＋x＞x－1 成立的 x 取值范围。
20、同桌的甲、乙两名同学，争论着一个问题：甲同学说：“5a＞4a”，乙同学说：“这不可
能”，请你评说一下两名同学的观点究竟哪个正确？为什么？举例说明.
四、拓展探究（不计入总分）
17、（2007 年临沂）若 a＜b＜0，则下列式子：
①a＋1＜b＋2；② 1a
b
；③a＋b＜ab；④ 1 1
a b
中，正确的有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
参考答案
1、A 2、D 3、B 4、A 5、C 6、A 7、B 8、D
9、（1）＜（2）＞（3）＞（4）＞（5）＞（6）＜
10、（1）＜（2）＞（3）＞（4）＜（5）＜ 11、a＜0 12、（2）（4）
13、1，2，3，4，5 14、＜ 15、＜2 ＜0 16、＞ 3
2
17、C
1.3 不等式的解集同步练习 1
1.下列不等式的解集,不包括-4 的是( )
A.X≤-4 B.X≥-4 C.X<-6 D.X>-6
2.下列说法正确的是( )
A.X=1 是不等式-2X<1 的解集 B.X=3 是不等式-X<1 的解集
C.X>-2 是不等式-2X<1 的解集 D.不等式-X<1 的解集是 X<-1
3. 不等式 X-3>1 的解集是( )
A.X>2 B. X>4 C.X-2> D. X>-4
4.不等式 2X<6 的非负整数解为( )
A.0,1,2 B.1,2 C.0,-1,-2 D.无数个
5.用不等式表示图中的解集,其中正确的是( )
A. X≥-2 B. X>-2 C. X<-2 D. X≤-2
6.下列说法中,错误的是( )
A.不等式 X<5 的整数解有无数多个
B.不等式 X>-5 的负数解集有有限个
C.不等式-2X<8 的解集是 X<-4
D.-40 是不等式 2X<-8 的一个解
7.-3X≤9 解集在数轴上可表示为( )
8 不等式 X-3<1 的解集是_____________.
9.如图所示的不等式的解集是_____________.
10.当 X_______时,代数式 2X-5 的值为 0,当 X_______时,代数式 2X-5 的值不大于 0.
11.在数轴上表示下列不等式的解集.
（1）X>2.5； (2) X<-2.5； (3) X≥3
12.试求不等式 X+3≤6 的正整数解.
答案:
1.C 2.B 3.B 4.A 5.A 6.C 7.D 8.X<4 9.X<2 10. 5
2
≤
2
5
12.X=1,2,3
1.3 不等式的解集同步练习 2
(总分：100 分 时间 45 分钟)
一、耐心选一选，你会开心（每题 4 分，共 32 分）
1、－3x≤6 的解集是（ ）
0-1-2 0-1-2 0 1 2 0 1 2
A、 B、 C、 D、
2、用不等式表示图中的解集,其中正确的是( )
A. x≥－2 B. x＞－2 C. x＜－2 D. x≤－2
3、下列说法中,错误的是( )
A.不等式 x＜5 的整数解有无数多个 B.不等式 x＞－5 的负数解集有有限个
C.不等式－2x＜8 的解集是 x＜－4 D.－40 是不等式 2x＜－8 的一个解
4、下列说法正确的是( )
A.x＝1 是不等式－2x＜1 的解集 B.x＝3 是不等式－x＜1 的解集
C.x＞－2 是不等式－2x＜1 的解集 D.不等式－x＜1 的解集是 x＜－1
5、不等式 x－3＞1 的解集是( )
A.x＞2 B. x＞4 C.x－2＞ D. x＞－4
6、不等式 2x＜6 的非负整数解为( )
A.0,1,2 B.1,2 C.0,－1,－2 D.无数个
7、下列 4 种说法：① x＝
4
5 是不等式 4x－5＞0 的解；② x＝
2
5 是不等式 4x－5＞0 的一个
解；③ x＞
4
5 是不等式 4x－5＞0 的解集；④ x＞2 中任何一个数都可以使不等式 4x－5
＞0 成立，所以 x＞2 也是它的解集，其中正确的有（ ）
A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个
8、若 ( 1) 1a x a 的解集为 x＞1，那么 a 的取值范围是（ ）
A、a＞0 B、a＜0 C、a＜1 D、a＞1
二、精心填一填，你会轻松（每题 4 分，共 32 分）
9、不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式可能是_____________.
10、当 x_______时,代数式 2x－5 的值为 0,当 x_______时,代数式 2x－5 的值不大于 0.
11、不等式－5x≥－13 的解集中，最大的整数解是__________.
12、不等式 x+3≤6 的正整数解为___________________.
13、不等式－2x＜8 的负整数解的和是______.
14、直接想出不等式的解集：
（1） x＋3＞6 的解集 ；（2）2x＜12 的解集 ；
（3）x－5＞0 的解集 ；（4）0.5x＞5 的解集 ；
15、一个不等式的解集如图所示，则这个不等式的正整数解是__________.
43210-1
16、恩格尔系数 n 是指家庭日常饮食开支占家庭收入的比例，它反映了居民家庭的实际生活
水平，各种类型家庭的 n 值如下所示：
家庭类型 贫困 温饱 小康 发达国家 最富裕国家
n 75%以上 50%～75% 40%～49% 20%～39% 不到 20%
如用含 n 的不等式表示，则贫困家庭为 ；小康家庭为 ；最富裕国
家为 ；当某一家庭 n＝0.6 时，表明该家庭的实际生活水平是 .
三、细心做一做，你会成功（每题 9 分，共 36 分）
17、在数轴上表示下列不等式的解集：
（1）x≥－3.5 （2）x＜－1.5
2-1 10-2-3-4 3 2-1 10-2-3-4 3
（3） x ≥2 （4）－1≤x＜2
2-1 10-2-3-4 3 2-1 10-2-3-4 3
18、已知 x 的 1
2
与 3 的差小于 x 的－ 1
2
与－6 的和，根据这个条件列出不等式.你能估计出
它的解集吗？
19、某种饮料重约 300g，罐上注有“蛋白质含量≥0.5%”，其中蛋白质的含量为多少克？
20、求不等式 1＋x＞x－1 成立的 x 取值范围.
参考答案
1、A 2、A 3、C 4、A 5、B 6、A 7、A 8、C
9、答案不唯一，如 x－1≤0,2x≤2 等. 10、＝ 5
2
，≤ 5
2
11、x＝2
12、x＝1，2，3 13、－6 14、（1）x＞3；（2）x＜6；（3）x＞5；（4）x＞10
15、x＝1，2 16、n＞75% 40%≤n≤49% n＜20％ 温饱
17、图略 18、 1 13 62 2x x ，解集： 3x － 19、不少于 1.5 克
20、x 可取一切实数
1.4 一元一次不等式同步练习 1
(总分：100 分 时间 45 分钟)
一、选择题（每题 4 分，共 32 分）
1、下列不等式中，属于一元一次不等式的是（ ）
A、4＞1 B、3x－24＜4 C、 1 2x
D、4x－3＜2y－7
2、与不等式 3 2 1 13 2
x x 有相同解集的是（ ）
A、3x－3＜（4x＋1）－1 B、3(x-3)＜2（4x＋1）－1
C、2(x-3)＜3（2x＋1）－6 D、3x－9＜4x－4
3、不等式 1 3(1 9 ) 76 2x x 的解集是（ ）
A、x 可取任何数 B、全体正数 C、全体负数 D、无解
4、关于 x 的方程 5－a(1－x)＝8x－(3－a)x 的解是负数，则 a 的取值范围是( )
A、a＜－4 B、a＞5 C、a＞－5 D、a＜－5
5、若方程组 3 1
3 3
x y k
x y
的解为 x、y，且 x＋y＞0，则 k 的取值范围是（ ）
A、k＞4 B、k＞－4 C、k＜4 D、k＜－4
6、不等式 2x－1≥3x 一 5 的正整数解的个数为 ( )
A、1 B、2 C、3 D、4
7、不等式 7 3 212 2
x x 的负整数解有（ ）.
A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个
8、若不等式（3a－2）x＋2＜3 的解集是 x＜2，那么 a 必须满足( )
A、a＝ 5
6
B、a＞ 5
6
C、a＜ 5
6
D、a＝－ 1
2
二、填空题（每题 4 分，共 32 分）
9、不等式 10(x－4）＋x≥－84 的非正整数解是_____________
10、若 51)2( 12 mxm 是关于 x 的一元一次不等式，则该不等式的解集为
11、已知 2R－3y＝6，要使 y 是正数，则 R 的取值范围是_______________.
12、若关于 x 的不等式(2n－3)x＜5 的解集为 x＞－
3
1 ，则 n＝
13、不等式 12
x x 与 6 5ax x 的解集相同，则 a ______.
14、若关于 x 的不等式 x－1≤a 有四个非负整数解，则整数 a 的值为
15、不等式 3 2 1 1(4 3 ) (7 6) 15 2 6
x x x 的非正整数解 _____.
16、当 k 时，代数式 2
3
(k-1)的值不小于代数式 1- 5 1
6
k 的值.
三、解答题（每题 9 分，共 36 分）
17、下面解不等式的过程是否正确，如不正确，请找出，并改正.
解不等式： 4 3 7 513 5
x x
解：去分母，得5 4 3 15 3(7 5 )x x （ ） ①
去括号，得 20 15 15 21 15x x ②
移项，合并，得 5＜21 ③
因为 x 不存在，所以原不等式无解. ④
18、解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来:
（1）3( 1) 4( 2) 3x x （2） 2 1 5 1
3 2
x x ≤1
（3） 0.4 1 5
0.5 2
x x ≤ 0.03 0.02
0.03
x （4） 1 2 5
3 4
x x ＞－2
19、求不等式 28
5 x ≤
4
1
8
x 的非负数解.
20、若关于 x 的方程组
134
123
pyx
pyx 的解满足 x > y ，求 p 的取值范围.
四、拓展探究（不记入总分）
21、若 2（x＋1）－5＜3（x－1）＋4 的最小整数解是方程 1
3
x－mx＝5 的解，求代数式
2 2 11m m 的值.
参考答案
1、B 2、C 3、A 4、B 5、B 6、D 7、A 8、A
9、x＝0，－1，－2，－3，－4 10、x＜－3 11、R＞3 12、－6 13、2
14、2≤a＜3 15、0 16、x≥11
9
17、第④步错误，应该改成无论 x 取何值，该不等式总是成立的，所以 x 取一切数.
18、（1） 14x （2）x≥－1（3）x≤165
59
（4）x＜ 5
2
19、x＝0，1，2，3
20、p＞－6 21、－11.
1.4 一元一次不等式同步练习 2
(总分：100 分 时间 45 分钟)
一、选择题（每题 5 分，共 25 分）
1、亮亮准备用自己节省的零花钱买一台英语复读机，他现在已存有 45 元，计划从现在起以
后每个月节省 30 元，直到他至少有 300 元．设 x 个月后他至少有 300 元，则可以用于计
算所需要的月数 x 的不等式是（ ）
A、30x－45≥300 B、30x＋45≥300 C、30x－45≤300 D、30x+45≤300
2、初三的几位同学拍了一张合影作留念，已知冲一张底片需要 0.80 元，洗一张相片需要
0.35 元．在每位同学得到一张相片、共用一张底片的前提下，平均每人分摊的钱不足 0.5
元，那么参加合影的同学人数 （ ）
A、至多 6 人 B、至少 6 人 C、至多 5 人 D、至少 5 人
3、2x＋1 是不小于－3 的负数，表示为（ ）
A、－3≤2x＋1≤0 B、－3＜2x＋1＜0; C、－3≤2x＋1＜0 D、－3＜2x＋1≤0
4、现用甲、乙两种运输车将 46t 搞旱物资运往灾区，甲种运输车载重 5t ，乙种运输车载重 4t ，
安排车辆不超过 10 辆，则甲种运输车至少应安排（ ）
A、4 辆 B、5 辆 C、6 辆 D、7 辆
5、（2007 年佛山市）小颖准备用 21 元钱买笔和笔记本．已知每支笔 3 元，每个笔记本 2 元，
她买了 4 个笔记本，则她最多还可以买（ ）支笔．
A、1 B、2 C、3 D、4
二、填空题（每题 5 分，共 15 分）
6、某试卷共有 20 道题，每道题选对得 10 分，选错了或者不选扣 5 分，至少要选对_____
道题，其得分才能不少于 80 分。
7、某人 10∶10 离家赶 11∶00 的火车，已知他家离车站 10 公里，他离家后先以 3 公里/时
的速度走了 5 分钟，然后乘公共汽车去车站，公共汽车每小时至少走______公里才能不误
当次火车。
8、（2007 年潍坊市）幼儿园把新购进的一批玩具分给小朋友．若每人 3 件，那么还剩余 59
件；若每人 5 件，那么最后一个小朋友分到玩具，但不足 4 件，这批玩具共有
_____________件．
三、解答题（每题 10 分，共 60 分）
9、一个工程队原定在 10 天内至少要挖土 600 立方米，在前两天一共完成了 120 立方米，由
于整个工程调整工期，要求提前两天完成挖土任务。以后 6 天内平均每天至少要挖土多少
立方米？
10、某厂原定计划年产某种机器 1000 台，现在改进了技术，准备力争提前超额完成，但开
始的三个月内，由于工人不熟悉新技术，只生产 100 台机器，问以后每个月至少要生产多
少台？
11、小明在上午 8：20 分步行出发去春游，10：20 小刚在同一地骑自行车出发，已知小明
每小时走 4 千米，小刚要在 11 点前追上小明，小刚的速度应至少是多少？
12、学校图书馆有 15 万册图书需要搬迁，原准备每天在一个班级的劳动课上，安排一个小
组同学帮助搬运图书，两天共搬了 1.8 万册。如果要求在一周内搬完，设每个小组搬运图
书数相同，那么在以后 5 天内，每天至少安排几个小组？
13、红星公司要招聘 A、B 两个工种的工人 150 人，A、B 两个工种的工人的月工资分别为 600
元和 1000 元，现要求 B 工种的人数不少于 A 工种人数的 2 倍，那么招聘 A 工种工人多少
时，可使每月所付的工资最少？此时每月工资为多少元？
14、某城市平均每天生产垃圾 700 吨，由甲、乙两个垃圾处理厂处理，已知甲厂每小时可处
理垃圾 55 吨，需费用 550 元，乙厂每小时可处理垃圾 45 吨需费用 495 元，若规定该城市
每天处理垃圾的费用不超过 7370 元，甲厂每天处理垃圾至少需要多少小时？
四、拓展探究（不计入总分）
15、（2007 年内江）“六·一”儿童节那天，小强去商店买东西，看见每盒饼干的标价是整．
数．，于是小强拿出 10 元钱递给商店的阿姨，下面是他俩的对话：
如果每盒饼干和每袋牛奶的标价分别设为 x 元， y 元，请你根据以上信息：
（1）找出 x 与 y 之间的关系式；
（2）请利用不等关系，求出每盒饼干和每袋牛奶的标价．
小强：阿姨，我有 10
元钱，我想买一盒饼
干和一袋牛奶．
阿姨：小朋友，本来你用 10 元钱买
一盒饼干是有剩的，但要再买一袋
牛奶钱就不够了，不过今天是儿童
节，饼干打九折，两样东西请你拿
好，还有找你的 8 角钱．
参考答案
1、B 2、C 3、A 4、C 5、D 6、12 7、14 8、152
9、以后 6 天内平均每天至少要挖土 80 立方米
10、以后每个月至少要生产 100 台
11、不少于 16 千米
12、每天至少安排 3 个小组
13、那么招聘 A 工种工人为 50 人，可使每月所付的工资最少，此时每月工资为 130000 元 14、
甲厂每天处理垃圾至少需要 6 小时
15、饼干和牛奶的标价分别为 2 元、8 元.
1.4 一元一次不等式同步练习 3
1、如果关于 x 的不等式－k－x＋6＞0 的正整数解为 1，2，3，正整数 k 应取怎样的值？
2、已知方程 3（x－2a）＋2＝x－a＋1 的解适合不等式 2（x－5）≥8a，求 a 的取值范围.
3、甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价 20 元，乒乓
球定价每盒 5 元，现两家商店搞促销活动，甲店：每买一副乒乓球拍赠送一盒乒乓球；乙店：
按定价的九折优惠.某边需购球拍 4 副，乒乓球若干盒（不少于 4 盒）.
（1）设购买乒乓球盒数为 x（盒），在甲商店付款为 y 甲（元），在乙商店付款为 y 乙（元），
分别写出 y 甲，y 乙与 x 的关系式；
（2）就乒乓球盒数讨论去哪家商店买合算？
4．某校举行庆祝“十六大”的文娱汇演，评出一等奖 5 个，二等奖 10 个，三等奖 25 个，
学校决定给获奖的学生发奖品，同一等次的奖品相同，并且只能从下表所列物品中选取一件：
品 名 小提琴 运动服 笛子 舞鞋 口琴 相册 笔记本 钢笔
单价/元 120 80 24 22 16 6 5 4
（1）如果获奖等次越高，奖品单价就越高，那么学校最少要花多少钱买奖品？
（2）学校要求一等奖奖品单价是二等奖奖品单价的 5 倍，二等奖奖品单价是三等奖奖品单
价的 4 倍，在总费用不超过 1000 元的前提下，有几种购买方案？花费最多的一种方案需多
少钱？
答案：
1． 由 x＜6－k 及 x 的正整数解为 1，2，3，所以 3＜6－k≤4，即 2≤k＜3，又因为 k 为正
整数，故 k＝2.
2． 解方程得 x＝
2
15 a ，代入不等式 2（x－5）≥8a 中有 5a－1－10≥8a，所以 a≤－
3
11 .
3． （1）y 甲＝5x＋60，y 乙＝72+4.5x；（2）当 y 甲＝y 乙时，即 5x+60＝72+4.5x，此时 x＝24；
当 y 甲＞y 乙时，即 5x+60＞72+4.5x，此时 x＞24；当 y 甲＜y 乙时，即 5x+60＜72+4.5x，
此时 x＜24，从而可知，当购买乒乓球盒数为 24 盒时，两家商店的花费相同；当乒乓球
盒数大于 24 盒时，去乙商店购买合算；当乒乓球盒数不少于 4 盒而少于 24 盒时，去甲
商店购买合算.
4． （1）由题意，可将一、二、三等奖的奖品定为相册、笔记本、钢笔即可.此时所需费用
为 5×6+10×5+25×4＝180（元）；
（2）设三等奖的奖品单价为 x 元，则二等奖奖品单价应为 4x 元，一等奖奖品单价为 20x
元，由题意应由 5×20x＋10×4x＋25×x≤1000，解得 x≤6.06（元）.故 x 可取 6 元、5 元、
4 元.故 4x 依次应为 24 元，20 元，16 元，20x 依次应为 120 元、100 元、80 元.再看表格中
所提供各类奖品单价可知，120 元、24 元、6 元以及 80 元、16 元、4 元这两种情况适合题
意，故有两种购买方案，方案一：奖品单价依次为 120 元、24 元、6 元，所需费用为 990
元；方案二：奖品单价依次为 80 元、16 元、4 元，所需费用为 660 元.从而可知花费最多的
一种方案需 990 元.
1.5 一元一次不等式与一次函数同步练习 1
(总分：100 分 时间 45 分钟)
一、选择题:（每题 5 分，共 40 分）
1、已知函数 y＝8x－11，要使 y＞0，那么 x 应取( )
A、x＞
8
11 B、x＜
8
11 C、x＞0 D、x＜0
2、已知一次函数 y＝kx＋b 的图像，如图所示，当 x＜0 时，y 的取值范围是（ ）
A、y＞0 B、y＜0 C、－2＜y＜0 D、y＜－2
0 2
－4
x
y
3O
y2=x＋a
y1=kx＋b
(第 2 题) (第 4 题) (第 5 题)
3、已知 y1＝x－5，y2＝2x＋1．当 y1＞y2 时，x 的取值范围是（ ）．
A、x＞5 B、x＜ 1
2
C、x＜－6 D、x＞－6
4、已知一次函数 y kx b 的图象如图所示，当 x＜1 时，y 的取值范围是（ ）
A、－2＜y＜0 B、－4＜y＜0 C、y＜－2 D、y＜－4
5、一次函数 y1＝kx＋b 与 y2＝x＋a 的图象如图，则下列结论①k＜0；②a＞0；③当 x＜3 时，
y1＜y2 中，正确的个数是（ ）
A、0 B、1 C、2 D、3
6、如图，直线 y kx b 交坐标轴于 A，B 两点，则不等式 0kx b 的解集是（ ）
A、x＞－2 B、x＞3 C、x＜－2 D、x＜3
7、已知关于 x 的不等式 ax＋1＞0（a≠0）的解集是 x＜1，则直线 y＝ax＋1 与 x 轴的交点
是（ ）
A．（0，1） B．（－1，0） C．（0，－1） D．（1，0）
Ｏ x
y
(0 3)B ，
A(－2,0)
y
x1
2
1y k x b
2y k x
0
(第 6 题) (第 8 题)
8、直线 1l ： 1y k x b 与直线 2l ： 2y k x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则
关于 x 的不等式 1 2k x b k x 的解为（ ）
A、x＞－1 B、x＜－1 C、x＜－2 D、无法确定
二、填空题（每题 5 分，共 40 分）
9、若一次函数 y＝(m－1)x－m＋4 的图象与 y 轴的交点在 x 轴的上方，则 m 的取值范围是
________.
10、如图，某航空公司托运行李的费用与托运行李的重量的关系为一次函数，由图可知行李
的重量只要不超过________千克，就可以免费托运.
(第 10 题) (第 13 题)
11、当自变量 x 时，函数 y＝5x＋4 的值大于 0；当 x 时，函数 y＝5x＋4
的值小于 0.
12、已知 2x－y＝0，且 x－5＞y，则 x 的取值范围是________．
13、如图，已知函数 y＝3x＋b 和 y＝ax－3 的图象交于点 P(－2，－5)，则根据图象可得不
等式 3x＋b＞ax－3 的解集是_______________。
14、如图，一次函数 y1＝k1x＋b1 与 y2＝k2x＋b2 的图象相交于 A(3，2)，则不等式(k2－k1)x
＋b2－b1＞0 的解集为__________.
15、已知关于 x 的不等式 kx－2＞0（k≠0）的解集是 x＞－3，则直线
y＝－kx＋2 与 x轴的交点是__________．
16、已知不等式－x＋5＞3x－3 的解集是 x＜2，则直线 y＝－x
＋ 5 与 y ＝ 3x － 3 的 交 点 坐 标 是
_________． （第 14 题）
三、解答题（每题 10 分，共 20 分）
17、如果 x，y 满足不等式组
3
0
5 0
x
x y
x y
≤
≥
≥
，那么你能画出点(x，y)所在的平面区域吗?
A
y1
y2
y
xO
18、在同一坐标系中画出一次函数 y1＝－x＋1 与 y2＝2x－2 的图象，并根据图象回答下列问
题：
（1）写出直线 y1＝－x＋1 与 y2＝2x－2 的交点 P 的坐标．
（2）直接写出：当 x 取何值时 y1＞y2；y1＜y2
参考答案
1、A 2、D 3、C 4、C 5、B 6、A 7、D 8、B 9、m＜4 10、20
11、x＞－ 4
5
，x＜－ 4
5
12、x＜－5 13、x＞－2 14、x＜3 15、（－3，0）
16、（2，3）
17、在直角坐标系画出直线 x＝3，x＋y＝0，x－y＋5＝0，
因原点(0，0)不在直线 x－y＋5＝0 上，
故将原点(0，0)代入 x－y＋5 可知，原点所在平面区域表示 x-y+5≥0 部分，
因原点在直线 x+y=0 上，
故取点(0，1)代入 x+y 判定可知点(0，1)所在平面区域表示 x+y≥0 的部分，见图阴影部
分．
18、（1）P（1，0）；（2）当 x＜1 时 y1＞y2，当 x＞1 时 y1＜y2.
1.5 一元一次不等式与一次函数同步练习 2
(总分：100 分 时间 45 分钟)
1、某单位准备和一个体车主或一国营出租车公司中的一家签订月租车合同，设汽车每月行
驶 x 千米，个体车主收费 y1 元，国营出租车公司收费为 y2 元，观察下列图象可知，当
x________时，选用个体车较合算.
2、甲有存款 600 元，乙有存款 2000 元，从本月开始，他们进行零存整取储蓄，甲每月存款
500 元，乙每月存款 200 元.
(1)列出甲、乙的存款额 y1、y2(元)与存款月数 x(月)之间的函数关系式，画出函数图象.
(2)请问到第几个月，甲的存款额超过乙的存款额？
3、某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经市场调研发现，如果本月初出售，可获
利 10%，然后将本利再投资其他商品，到下月初又可获利 10%；如果下月初出售可获利 25%，
但要支付仓储费 8000 元.请你根据商场的资金情况，向商场提出合理化建议，说明何时出
售获利较多．
4、某市为鼓励居民节约用水，对每户用水按如下标准收费：若每户每月用水不超过 8 m3，
则每 m3 按 1 元收费；若每户每月用水超过 8m3，则超过部分每 m3 按 2 元收费.某用户 7 月
份用水比 8m3 多 xm3，交纳水费 y 元.
(1)求 y 关于 x 的函数解析式，并写出 x 的取值范围.
(2)此用户要想每月水费控制在 20 元以内，那么每月的用水量最多不超过多少 m3?
5、（2007 年河南省）某商场用 36 万元购进 A、B 两种商品，销售完后共获利 6 万元，其进
价和售价如下表：
A B
进价(元/件) 1200 1000
售价(元/件) 1380 1200
（注：获利＝售价－进价）
(1) 该商场购进 A、B 两种商品各多少件?
(2) 商场第二次以原进价购进 A、B 两种商品．购进 B 种商品的件数不变，而购进 A 种商
品的件数是第一次的 2 倍，A 种商品按原价出售，而 B 种商品打折销售．若两种商品销售完
毕，要使第二次经营活动获利不少于 81600 元，B 种商品最低售价为每件多少元?
6、为了加快教学手段的现代化，某校计划购置一批电脑，已知甲公司的报价是每台 5800
元，优惠条件是购买 10 台以上，则从第 11 台开始按报价的 70%计算；乙公司的报价也
是每台 5800 元，优惠条件是每台均按报价的 85%计算.假如你是学校有关方面负责人，
在电脑品牌、质量、售后服务等完全相同的前提下，你如何选择？请说明理由？
7、小杰到学校食堂买饭，看到 A、B 两窗口前面排队的人一样多（设为 a 人，a > 8），就站
到 A 窗口队伍的后面. 过了 2 分钟，他发现 A 窗口每分钟有 4 人买了饭离开队伍，B 窗口
每分钟有 6 人买了饭离开队伍，且 B 窗口队伍后面每分钟增加 5 人.
（1）此时，若小杰继续在 A 窗口排队，则他到达窗口所花的时间是多少（用含 a 的代
数式表示）？
（2）此时，若小杰迅速从 A 窗口队伍转移到 B 窗口队伍后面重新排队，且到达 B 窗口
所花的时间比继续在 A 窗口排队到达 A 窗口所花的时间少，求 a 的取值范围（不考虑其他因
素）.
8、苏州地处太湖之滨，有丰富的水产养殖资源，水产养殖户李大爷准备进行大闸蟹与河虾
的混合养殖，他了解到如下信息：
①每亩水面的年租金为 500 元，水面需按整数亩出租；
②每亩水面可在年初混合投放 4 千克蟹苗和 20 千克虾苗；
③每千克蟹苗的价格为 75 元，其饲养费用为 525 元，当年可获 1400 元收益；
④每千克虾苗的价格为 15 元，其饲养费用为 85 元，当年可获 160 元收益；
（1）若租用水面 n 亩，则年租金共需__________元；
（2）水产养殖的成本包括水面年租金、苗种费用和饲养费用，求每亩水面蟹虾混合养殖
的年利润（利润=收益－成本）；
（3）李大爷现在资金 25000 元，他准备再向银行贷不超过 25000 元的款，用于蟹虾混合
养殖.已知银行贷款的年利率为 8%，试问李大爷应该租多少亩水面，并向银行贷款多少元，
可使年利润超过 35000 元？
9、某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共 10 辆，其中轿车至少要购买 3 辆，轿车每辆 7
万元，面包车每辆 4 万元，公司可投入的购车款不超过 55 万元；
（1）符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由；
（2）如果每辆轿车的日租金为 200 元，每辆面包车的日租金为 110 元，假设新购买的这
10 辆车每日都可租出，要使这 10 辆车的日租金不低于 1500 元，那么应选择以上哪种购买
方案？
10、哈尔滨市移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴 50 元月基础费，
然后每通话 1 分钟，再付 0.4 元；“神州行”不缴月基础费，每通话 1 分钟，付话费 0.6
元（这里均指市内通话）.若一个内通话时间为 x 分钟，两种通讯方式的费用分别为 y1 元
和 y2 元.
（1）写出 y1，y2 与 x 的关系式；
（2）一个月通话为多少分钟时，两种通讯方式的费用相同？
参考答案
1、＞1500
2、(1)y1=600+500x y2=2000+200x
(2)x＞4
3
2 ，到第 5 个月甲的存款额超过乙的存款额.
3、设商场投入资金 x 元，
如果本月初出售，到下月初可获利 y1 元，
则 y1＝10%x＋(1＋10%)x·10%＝0.1x＋0.11x＝0.21x；
如果下月初出售，可获利 y2 元，则 y2＝25%x－8000＝0.25x－8000
当 y1＝y2 即 0.21x＝0.25x－8000 时，x＝200000
当 y1＞y2 即 0.21x＞0.25x－8000 时，x＜200000
当 y1＜y2 即 0.21x＜0.25x－8000 时，x＞200000
∴ 若商场投入资金 20 万元，两种销售方式获利相同；若商场投入资金少于 20 万元，
本月初出售获利较多，若投入资金多于 20 万元，下月初出售获利较多．
4、(1)y=2x+8(x≥0) (2)14
5、（1）该商场分别购进 A、B 两种商品 200 件、120 件.
（2）B 种商品最低售价为每件 1080 元.
6、解：如果购买电脑不超过 11 台，很明显乙公司有优惠，而甲公司没优惠，因此选择乙公
司.如果购买电脑多于 10 台.则：
设学校需购置电脑 x 台，则到甲公司购买需付[10×5800＋5800（x－10）×70%]元，到乙
公司购买需付 5800×85% x 元.根据题意得：
（1）若甲公司优惠：则
10×5800＋5800（x－10）×70%＜5800×85% x
解得： x＞30
（2）若乙公司优惠：则
10×5800＋5800（x－10）×70%＞5800×85% x
解得： x＜30
（3）若两公司一样优惠：则
10×5800＋5800（x－10）×70%＝5800×85% x
解得： x＝30
答：购置电脑少于 30 台时选乙公司较优惠，购置电脑正好 30 台时两公司随便选哪家，
购置电脑多于 30 台时选甲公司较优惠，
7、（1）他继续在 A 窗口排队所花的时间为
4 2 8
4 4
a a （分）
（2）由题意，得
4 2 6 2 5 2
4 6
a a ,解得 a＞20.
8、解：（1）500n
（2）每亩年利润＝（1400×4＋160×20）－（500＋75×4＋525×4＋15×20＋85×20）
＝3900（元）
（3）n 亩水田总收益＝3900n
需要贷款数＝（500＋75×4＋525×4＋15×20＋85×20）n－25000＝4900n－25000
贷款利息＝8％×(4900n－25000)＝392n－2000
根据题意得： 3900 (392 2000) 35000n n ≥
解得：n≥9.41
∴ n ＝10
需要贷款数：4900n－25000＝24000(元)
答：李大爷应该租 10 亩水面，并向银行贷款 24000 元，可使年利润超过 35000 元
9、解：（1）设轿车要购买 x 辆，那么面包车要购买（10－x）辆，由题意得：
7x＋4（10－x）≤55
解得：x≤5
又∵x≥3，则 x＝3，4，5
∴购机方案有三种：
方案一：轿车 3 辆，面包车 7 辆；方案二：轿车 4 辆，面包车 6 辆；方案三：轿车 5 辆，
面包车 5 辆；
（2）方案一的日租金为：3×200＋7×110＝1370（元）
方案二的日租金为：4×200＋6×110＝1460（元）
方案三的日租金为：5×200＋5×110＝1550（元）
为保证日租金不低于 1500 元，应选择方案三.
10、（1）y1＝50＋0.4x，y2＝0.6x；
（2）当 y1＝y2，即 50＋0.4x＝0.6x 时，x＝250（分钟），即当通话时间为 250 分钟时，
两种通讯方式的费用相同；
（3）由 y1＜y2 即 50＋0.4x＜0.6x，知 x＞250，即通话时间超过 250 分钟时用“全球通”
的通讯方式便宜.
1.5 一元一次不等式与一次函数同步练习 3
A 卷：基础题
一、选择题
1．在一次函数 y=－2x+8 中，若 y>0，则（ ）
A．x>4 B．x<4 C．x>0 D．x<0
2．如图是一次函数 y=kx+b 的图象，当 y<2 时，x 的取值范围是（ ）
A．x<1 B．x>1 C．x<3 D．x>3
（第 2 题） （第 5 题）
3．一次函数 y=3x+m－2 的图象不经过第二象限，则 m 的取值范围是（ ）
A．m≤2 B．m≤－2 C．m>2 D．m<2
4．已知函数 y=mx+2x－2，要使函数值 y 随自变量 x 的增大而增大，则 m 的取值范围是（ ）
A．m≥－2 B．m>－2 C．m≤－2 D．m<－2
5．直线 L1：y=k1x+b 与直线 L2：y=k2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于 x
的不等式 k1x+b>k2x 的解为（ ）
A．x>－1 B．x<－1 C．x<－2 D．无法确定
二、填空题
6．已知 y1=3x+2，y2=－x－5，如果 y1>y2，则 x 的取值范围是_____．
7．当 a 取_____时，一次函数 y=3x+a+6 与 y 轴的交点在 x 轴下方．（在横线上填上一个你
认为恰当的数即可）
8．已知一次函数 y=（a+5）x+3 经过第一，二，三象限，则 a 的取值范围是____．
9．一次函数 y=kx+2 中，当 x≥ 1
2
时，y≤0，则 y 随 x 的增大而_____．
三、解答题
10．一次函数 y=2x－a 与 x 轴的交点是点（－2，0）关于 y 轴的对称点，求一元一次不等式
2x－a≤0 的解集．
11．我边防局接到情报，在离海岸 5 海里处有一可疑船只 A 正向公海方向行驶，边防局迅
速派出快艇 B 追赶．图中 LA，LB 分别表示两船相对于海岸的距离 s（海里）与追赶时间 t
（分）之间的关系．
（1）A，B 哪个速度快？
（2）B 能否追上 A？
12．小华准备将平时的零用钱节约一些储存起来，他已存有 62 元，从现在起每个月存 12
元，小华的同学小丽以前没有存过零用钱，听到小华在存零用钱，表示从现在起每个月
存 20 元，争取超过小华．
（1）试写出小华的存款总数 y1 与从现在开始的月数 x之间的函数关系式以及小丽存
款数 y2 与与月数 x 之间的函数关系式；
（2）从第几个月开始小丽的存款数可以超过小华？
B 卷：提高题
一、七彩题
1．（一题多解）已知一次函数 y=kx+b 中，k<0，则当 x1y2，求 a 的取值范围．
二、知识交叉题
3．（科内交叉题）已知│3a+6│+（a+b+2m）=0，则：
（1）当 b>0 时，求 m 的取值范围；
（2）当 b<0 时，求 m 的取值范围；
（3）当 b=0 时，求 m 的值．
4．（科外交叉题）两个物体 A，B 所受压强分别为 PA（帕）与 PB（帕）
（PA，PB 为常数）， 它们所受压力 F（牛）与受力面积 S（平方米）
的函数关系图象分别是射线 LA，LB，如图所示，则（ ）
A．PAPB D．PA≤PB
三、实际应用题
5．光华农机租赁公司共有 50 台联合收割机，其中甲型 20 台，乙型 30 台．现将这 50 台联
合收割机派往 A，B 两地区收割小麦，其中 30 台派往 A 地区，20 台派往 B 地区．
两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表：
每台甲型收割机的租金 每台乙型收割机的租金
A 地区 1800 元 1600 元
B 地区 1600 元 1200 元
（1）设派往 A 地区 x 台乙型联合收割机，农机租赁公司这 50 台联合收割机一天获得的
租金为 y（元），求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出 x 的取值范围；
（2）若使农机租赁公司这 50 台联合收割机一天获得的租金总额不低于 79600 元，说
明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来；
（3）如果要使这 50 台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提出
一条合理建议．
四、经典中考题
6．（2008，沈阳，3 分）一次函数 y=kx+b 的图象如图所示，当 y<0 时，x 的
取值范围是（ ）
A．x>0 B．x<0 C．x>2 D．x<2
7．（2007，福州，10 分）李晖到“宁泉牌”服装专卖店做社会调查．了解到商店为了激励
营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资＋计件奖金”的方法，并获得如下信
息：
营业员 小俐 小花
月销售件数（件） 200 150
月总收入（元） 1400 1250
假设月销售件数为 x 件，月总收入为 y 元，销售 1 件奖励 a 元，营业员月基本工资为 b
元．
（1）求 a，b 的值；
（2）若营业员小俐某月总收入不低于 1800 元，则小俐当月至少要卖服装多少件？
C 卷：课标新型题
1．（条件开放题）当 x 取______时，一次函数 y=－2x+7 的函数值为负数．（在横线上填上
一个你认为恰当的数即可）
2．（图象信息题）如图,某面粉加工企业急需汽车，但因资金问题无力购买，公司经理想租
一辆汽车．一国有公司的条件是每百千米租费 110 元；一个体出租车公司的条件是每月
付工资 1000 元，油钱 600 元，另外每百千米付 10 元，请问公司经理该根据自己的情况
怎样租汽车？
3．（最佳方案设计题）某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为 1 万元，其原材料成本
价（含设备损耗）为 0.55 万元，同时在生产过程中平均每生产一件产品有 1 吨废渣产生，
为达到国家环保要求，需要对废渣进行脱硫，脱氯等处理，现有两种方案可供选择．
方案一：由工厂对废渣直接进行处理，每处理 1 吨废渣所用的原料费为 0.05 万元，
并且每月设备维护及损耗费为 20 万元；
方案二：工厂将废渣集中到废渣处理厂统一处理，每处理一吨废渣需付 0.1万元的
处理费．
问：（1）设工厂每月生产 x 件产品，每月利润为 y 万元，分别求出方案一和方案二
处理废渣时，y 与 x 之间的关系式（利润=总收入－总支出）；
（2）若你作为该厂负责人，如何根据月产量选择处理方案，既可达到环保要求又最
合算？
3.某学校需刻录一批光盘，若在电脑公司刻录每张需 8 元（包括空白光盘费）；若学校自制，
除租用刻录机需 120 元外，每张还需成本 4 元（包括空白光盘费）．问刻录这批电脑光
盘到电脑公司刻录费用省，还是自制费用省？请你说明理由．
参考答案
A 卷
一、1．B 点拨：由题意知－2x+8>0，2x<8，x<4．
2．C 点拨：由图象可知，当 y<2 时，x<3．
3．A 点拨：其图象过第一，三象限或第一，三，四象限．
4．B 点拨：由题意知 m+2>0，m>－2．
5．B
二、6．x>－ 7
4
点拨：由题意知 3x+2>－x－5，4x>－7，x>－ 7
4
．
7．－7 点拨：当 a+6<0，即 a<－6 时，一次函数 y=3x+a+6 与 y 轴的交点在 x 轴的下方，
此题答案不唯一．
8．a>－5 点拨：由题意知 a+5>0，a>－5
9．减小 点拨：由题意可知，直线 y=kx+2 与 x 轴相交于点（ 1
2
，0），代入表达式求得 k=
－4<0，y 随 x 的增大而减小，也可以通过作图判断．
三、10．解：由题意得点（2，0）在 y=2x－a 上，所以 0=4－a，
所以 a=4．当 a=4 时，2x－4≤0，所以 x≤2．
11．解：（1）因为直线 LA 过点（0，5），（10，7）两点，
设直线 LA 的解析式为 y=k1x+b，则
1
5 ,
7 10
b
k b
，
所以 1
1
5
5,
k
b
，所以 y= 1
5
x+5，
因为直线 LB 过点（0，0），（10，5）两点，
设直线 LB 的解析式为 y=k2x．
当 5=10k2，所以 k2= 1
2
，所以 y= 1
2
x．
因为 k162+12x，得 x>7．75，所以从第 8 个月开始，小丽的存款数可以超过小华．
B 卷
一、1．解法一：当 k<0 时，一次函数 y=kx+b 中 y 随 x 的增大而减小，
所以当 x1y2．
解法二：由题意可得 1 1
2 2 ,
y kx b
y kx b
，所以
1
1
2
2
y bx k
y bx k
，
由 x1y2－b，所以 y1>y2．
点拨：解法一是根据函数性质，判断 y1 与 y2 的大小，解法二是由方程组得到
1
1
2
2
y bx k
y bx k
，再由 x1y2－b，得 y1>y2．
2．解：由题意可知－2x+3<3x－5，－5x<－8，x> 8
5
．
（1）由题意可知－2x+3=3x－5，－5x=－8，x= 8
5
．
（2）由题意可知－2x+3>3x－5，－5x>－8，x< 8
5
．
（3）当 x=3 时，y1=－6+a，y2=9－5a，因为 y1>y2，
所以－6+a>9－5a，6a>15，a> 5
2
．
二、3．解：由题意得 3a+6=0，a+b+2m=0，由 3a+6=0，得 a=－2，所以－2+b+2m=0，即 b=2
－2m．
（1）当 b>0 时，2－2m>0，2m<2，m<1．
（2）当 b<0 时，2－2m<0，2m>2，m>1．
（3）当 b=0 时，2－2m=0，2m=2，m=1．
点拨：由非负数的性质可得到两个方程，由其中一个方程求出 a 的值，代入另一个主程，
从而得到一个含有 b 和 m 的方程，用含 m 的代数式表示 b，然后分别代入题目的一个条件
中，解不等式或方程即可．
4．A 点拨：在两图象上分别找一点 A（S，FA），B（S，FB），它们的横坐标相同．由题意
知 PA= AF
S
，PB= BF
S
，PA－PB= AF
S
－ BF
S
= A BF F
S
，因为 FA2，所以选 C．
7．解：（1）依题意，得 y=ax+b，所以 1400 200 ,
1250 150 ,
a b
a b
，解得 a=3，b=800．
（2）依题意，得 y≥1800，即 3x+800≥1800，解得 x≥333 1
3
．
答：小俐当月至少要卖服装 334 件．
点拨：列解方程组，求出 a，b 的值，得到 y 与 x 之间的函数关系式，令 y≥1800，得
关于 x 的一元一次不等式，解这个不等式，得 x 的取值范围，注意 x 取正整数．
C 卷
1．4 点拨：本题是条件开放题，答案不唯一．
2．解：从图象上可以看出：当 x<16 时，y 国有16 时，y 国有>y 个体．
所以若该公司每月业务量小于 16 百千米时，应选用国有公司的车；若每月业务量等于
16 百千米时，国有和个体的花费一样多；若每月的业务量大于 16 百千米时，应选个体出
租车．
点拨：数形结合的思想是解决本题的关键．验证结果正确与否，可通过列不等式求解．
3．解：（1）y1=x－0.55x－0.05x－20=0.4x－20；
y2=x－0.55x－0.1x=0.35x．
（2）若 y1>y2，0.4x－20>0.35，x>400；
若 y1=y2，0.4x－20=0.35x，x=400；
若 y1y2 时，即 4x+120>8x，解得 x<30；
（2）当 y1=y2 时，即 4x+120=8x，解得 x=30；
（3）当 y130．
所以，当刻录光盘小于 30 张时，到电脑公司刻录费用省；当刻录光盘等于 30 张时，两
个地方都行；当刻录光盘大于 30 张时，学校自刻费用省．
点拨：本题是经济决策问题，也是近几年中考试题的热点，涉及的知识有函数，不等式，
方程等．解决这类问题的关键是先找出相应的数学模型，然后进行抽象，推理，比较，从
而选择最佳的经济方案．
1.6 一元一次不等式组同步练习 1
(总分：100 分 时间 45 分钟)
一、选择题（每题 4 分，共 32 分）
1、下列不等式组中，解集是 2＜x＜3 的不等式组是( )
A、
2
3
x
x B、
2
3
x
x C、
2
3
x
x D、
2
3
x
x
2、在数轴上从左至右的三个数为 a，1＋a，－a，则 a 的取值范围是（ ）
A、a＜ 1
2
B、a＜0 C、a＞0 D、a＜－ 1
2
3、（2007 年湘潭市）不等式组 1 0
2 3 5
x
x
≤ ，
的解集在数轴上表示为（ ）
1 1 x 1 1 x 1 1 x 1 1 x
A B C D
4、不等式组 3 1 0
2 5
x
x
的整数解的个数是（ ）
A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个
5、在平面直角坐标系内，P（2x－6,x－5）在第四象限，则 x 的取值范围为（ ）
A、3＜x＜5 B、－3＜x＜5 C、－5＜x＜3 D、－5＜x＜－3
6、（2007 年南昌市）已知不等式：① 1x ，② 4x ，③ 2x ，④ 2 1x ，从这四个
不等式中取两个，构成正整数解是 2 的不等式组是（ ）
A、①与② B、②与③ C、③与④ D、①与④
7、如果不等式组 x a
x b
无解，那么不等式组 2
2
x a
x b
的解集是（ ）
A.2－b＜x＜2－a B.b－2＜x＜a－2 C.2－a＜x＜2－b D.无解
8、方程组 4 3 2
8 3
x m
x y m
的解 x、y 满足 x＞y，则 m 的取值范围是（ ）
A. 9
10m B. 10
9m C. 19
10m D. 10
19m
二、填空题（每题 4 分，共 32 分）
9、若 y 同时满足 y＋1＞0 与 y－2＜0，则 y 的取值范围是______________.
10、（2007 年遵义市）不等式组 3 0
1 0
x
x
≥ 的解集是 ．
11、不等式组 2 0.5
3 2.5 2
x
x x
≥
≥ 的解集是 .
12、若不等式组
12
1
mx
mx 无解，则 m 的取值范围是 ．
13、不等式组
1
5
x
x
x
≥2 的解集是_________________
14、不等式组 2x
x a
的解集为 x＞2，则 a 的取值范围是_____________.
15、若不等式组 2 1
2 3
x a
x b
的解集为－1＜x＜1，那么（a＋1）（b－1）的值等于________.
16、若不等式组 4 0
5 0
a x
x a
无解，则 a 的取值范围是_______________.
三、解答题（每题 9 分，共 36 分）
17、解下列不等式组
（1） 3 2 8
2 1 2
x
x
（2）
（3）2x＜1－x≤x＋5 （4）
3(1 ) 2( 9)
3 4 140.5 0.2
x x
x x
≤
18、（2007 年滨州）解不等式组
3 (2 1) 42
1 3 2 1.2
x x
x x
≤ ，
把解集表示在数轴上，并求出不等式组
的整数解．
5 7 2 4
31 ( 1) 0.54
x x
x
≥
19、求同时满足不等式 6x－2≥3x－4 和 2 1 1 2 13 2
x x 的整数 x 的值.
20、若关于 x、y 的二元一次方程组 5
3 3
x y m
x y m
中，x 的值为负数，y 的值为正数，求 m
的取值范围.
参考答案
1、C 2、D 3、C 4、B 5、A 6、D 7、C 8、D 9、1＜y＜2 10、－1≤x＜3
11、－ 1
4
≤x≤4 12、m＞2 13、2≤x＜5 14、a＜2 15、－6 16、a≤1
17、（1） 3 10
2 3x （2）无解（3）－2＜x＜ 1
3
（4）x＞－3 18、2，1，0，－1
19、不等式组的解集是 2 7
3 10x ≤ ，所以整数 x 为 0
20、－2＜m＜0.5
1.6 一元一次不等式组同步练习 2
(总分：100 分 时间 45 分钟)
1、（10 分）我市一山区学校为部分家远的学生安排住宿，将部分教室改造成若干间住房. 如
果每间住 5 人，那么有 12 人安排不下；如果每间住 8 人，那么有一间房还余一些床位，
问该校可能有几间住房可以安排学生住宿？住宿的学生可能有多少人？
2、（10 分）一玩具厂生产甲、乙两种玩具，已知造一个甲种玩具需用金属 80 克，塑料 140
克，造一个乙种玩具需用金属 100 克，塑料 120 克.若工厂有金属 4600 克，塑料 6440 克，
计划用两种材料生产甲、乙两种玩具共 50 件，求甲种玩具件数的取值范围.
3、（10 分）现计划把甲种货物 1240 吨和乙种货物 880 吨用一列货车运往某地，已知这列货
车挂在 A、B 两种不同规格的货车厢共 40 节，使用 A 型车厢每节费用为 6000 元，使用 B
型车厢每节费用为 8000 元.
（1）设运送这批货物的总费用为 y 万元，这列货车挂 A 型车厢 x 节，试定出用车厢节
数 x 表示总费用 y 的公式.
（2）如果每节 A 型车厢最多可装甲种货物 35 吨和乙种货物 15 吨，每节 B 型车厢最多
可装甲种货物 25 吨和乙种货物 35 吨，装货时按此要求安排 A、B 两种车厢的节数，那么共
有哪几种安排车厢的方案？
4、（10 分）为了保护环境，某企业决定购买 10 台污水处理设备，现有 A、B 两种型号的设
备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表：
A 型 B 型
价 格（万元／台） 12 10
处理污水量（吨／月） 240 200
年消耗费（万元／台） 1 1
经预算，该企业购买设备的资金不高于 105 万元.
（1）请你设计该企业有几种购买方案；
（2）若企业每月产生的污水量为 2040 吨，为了节约资金，应选择哪种购买方案；
（3）在第（2）问的条件下，若每台设备的使用年限为 10 年，污水厂处理污水费为每
吨 10 元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，10 年节约资
金多少万元？（注：企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费）
5、（15 分）某厂计划 2004 年生产一种新产品，下面是 2003 年底提供的信息，人事部：明
年生产工人不多于 800 人，每人每年可提供 2400 个工时；市场部：预测明年该产品的销
售量是 10000～12000 件；技术部：该产品平均每件需要 120 个工时，每件要 4 个某种主
要部件；供应部：2003 年低库存某种主要部件 6000 个.预测明年能采购到这种主要部件
60000 个.根据上述信息，明年产品至多能生产多少件？
6、（15 分）某宾馆底层客房比二楼少 5 间，某旅行团有 48 人.若全部住底层，每间 4 人，
房间不够；每间住 5 人，有房间没有住满 5 人.若全部安排在二楼，每间住 3 人，房间不
够；每间住 4 人，有房间没有住满 4 人.问该宾馆底层有客房多少间？
7、（15 分）（2007 年眉山市）某县响应“建设环保节约型社会”的号召，决定资助部分村镇
修建一批沼气池，使农民用到经济、环保的沼气能源．幸福村共有 264 户村民，政府补
助村里 34 万元，不足部分由村民集资．修建 A 型、B 型沼气池共 20 个．两种型号沼气
池每个修建费用、可供使用户数、修建用地情况如下表：
政府相关部门批给该村沼气池修建用地 708 平方米．设修建 A 型沼气池 x 个，修建两种
型号沼气池共需费用 y 万元．
（1）用含有 x 的代数式表示 y；
（2）不超过政府批给修建沼气池用地面积，又要使该村每户村民用上沼气的修建方案有
几种；
（3）若平均每户村民集资 700 元，能否满足所需费用最少的修建方案？
沼气池 修建费用（万元/个）可供使用户数（户/个）占地面积（㎡/个)
A 型 3 20 48
B 型 2 3 6
8、（15 分）（2007 年常州市）学校举办“迎奥运”知识竞赛，设一、二、三等奖共 12 名，
奖品发放方案如下表：
一等奖 二等奖 三等奖
1 盒福娃和 1 枚徽章 1 盒福娃 1 枚徽章
用于购买奖品的总费用不少于 1000 元但不超过 1100 元，小明在购买“福娃”和微章
前，了解到如下信息：
（1）求一盒“福娃”和一枚徽章各多少元？
（2）若本次活动设一等奖 2 名，则二等奖和三等奖应各设多少名？
参考答案
1、 解：设住房有 x 间，住宿的学生有（5x＋12）人，根据题意：
0＜（5x＋12）－8(x－1)＜8
4＜x＜ 26 3
∵x 为整数，∴x＝5，6
答：当有 5 间房的时候，住宿学生有 37 人；当有 6 间房的时候，住宿学生有 42 人.
2、解：设甲种玩具为 x 件，则甲种玩具为（50－x）件.根据题意得：
80 100(50 ) 4600
140 120(50 ) 6440
x x
x x
≤
≤
解得：20≤x≤22
答：甲种玩具不少于 20 个，不超过 22 个
3、（1）y＝32000－2000x
（2）共有三种方案，A、B 两种车厢的节数分别为 24 节、16 节或 25 节、15 节或 26 节、
14 节
4、（1）共有三种购买方案，A、B 两种型号的设备分别为 0 台、10 台或 1 台、9 台或 2 台、
8 台.（2）A、B 两种型号的设备分别 1 台、9 台；（3）10 年节约资金 42.8 万元
5、解：设明年可生产产品 x 件，根据题意得：
120 800 2400
10000 12000
4 6000 60000
x
x
x
≤
≤ ≤
≤
解得：10000≤x≤12000
答：明年产品至多能生产 12000 件.
6、解：设宾馆底层有客房 x 间，则二楼有客房（x+5）间.根据题意得：
48)5(4
48)5(3
485
484
x
x
x
x
解得：9.6＜x＜11
所以： x = 10
答：该宾馆底层有客房 10 间.
7、解：（1） 3 2(20 )y x x 40x
（2）由题意可得
20 3(20 ) 264
48 6(20 ) 708
x x
x x
≥ ①
≤ ②
解①得 x≥12
解②得 x≤14
∴不等式的解为 12≤x≤14
x 是正整数
∴x 的取值为 12，13，14
即有 3 种修建方案：①A 型 12 个，B 型 8 个；②A 型 13 个，B 型 7 个；③A 型 14 个，B
型 6 个
（3）∵y＝x＋40 中， y 随 x 的增加而增加，要使费用最少，则 x＝12
∴最少费用为 y＝x＋40＝52（万元）
村民每户集资 700 元与政府补助共计：700×264＋340000＝524800＞520000
∴每户集资 700 元能满足所需要费用最少的修建方案
8、解：（1）设一盒“福娃” x 元，一枚徽章 y 元，根据题意得
2 315
3 195
x y
x y
解得 150
15
x
y
答：一盒“福娃”150 元，一枚徽章 15 元．
（2）设二等奖 m 名，则三等奖（10—m）名，
2 165 150 15(10 ) 1000
2 165 150 15(10 ) 1100
m m
m m
≥
≤
解得104 124
27 27m≤ ≤ ．
m 是整数，∴m＝4，∴10－m＝6．
答：二等奖 4 名，三等奖 6 名．
1.6 一元一次不等式组同步练习 3
A 卷：基础题
一、选择题
1．下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（ ）
A． 2,
3
x
x
B． 1 0,
2 0
x
y
C． 3 2 0,
( 2)( 3) 0
x
x x
D．
3 2 0,
11
x
x x
2．下列说法正确的是（ ）
A．不等式组 3,
5
x
x
的解集是 52 B．x<3 C．2a2>a3，请将 x1，x2，
x3 按从大到小的顺序排列起来．
3．（科外交叉题）设“○”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质
量的大小，两次情况如图所示，那么每个“○”、“□”、“△”这样的物体，按质量
从小到大的顺序排列为（ ）
A．○□△ B．○△□ C．□○△ D．△□○
三、实际应用题
4．某宾馆底层客房比二楼少 5 间，某旅游团有 48 人，若全安排在底层，每间 4 人，则房间
不够；若每间 5 人，则有房间没有住满 5 人；若全安排在二楼，每间住 3 人，房间不够；
每间住 4 人，则有房间没有住满 4 人，求该宾馆底层有客房多少间？
四、经典中考题
5．（2007，厦门，3 分）小宝和爸爸，妈妈三人在操场上玩跷跷板，爸爸体重为 69千克，
坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小宝和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时爸
爸的一端仍然着地．后来小宝借来一副质量为 6 千克的哑铃，加在他和妈妈坐的一端，
结果爸爸被跷起，那么小宝的体重可能是（ ）
A．23.2 千克 B．23 千克 C．21.1 千克 D．19.9 千克
6．（2008，天津，3 分）不等式组 3 2 2( 1),
8 4 1
x x
x x
的解集为______．
7．（2007，青岛，8 分），某饮料厂开发了 A，B 两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每
瓶饮料中甲，乙的含量如下表所示，现用甲原料和乙原料各 2800 克进行试生产，计划
生产 A，B 两种饮料共 100 瓶．
甲 乙
A 20 克 40 克
B 30 克 20 克
设生产 A 种饮料 x 瓶，解答下列问题．
（1）有几种符合题意的生产方案？写出解答过程；
（2）如果 A 种饮料每瓶的成本为 2.60 元，B 种饮料每瓶的成本为 2.80 元，这两种饮
料成本总额为 y 元，请写出 y 与 x 之间的关系式，并说明 x 取何值会使成本总额最低．
C 卷：课标新型题
1．（结论开放题）有甲，乙，丙三个人在一起讨论一个一元一次不等式组，他们各说出该
不等式组的一个性质．
甲：它的所有解为非负数．
乙：其中一个不等式的解集为 x≤8．
丙：其中一个不等式在解的过程中需改变不等号的方向．
请试着写出符合上述条件的一个不等式组，并解答．
2．（阅读理解题）先阅读不等式 x2+5x－6<0 的解题过程，然后完成练习．
解：因为 x2+5x－6<0，所以（x－1）（x+6）<0．
因为两式相乘，异号得负．
所以 1 0,
6 0
x
x
或 1 0,
6 0
x
x
即 1,
6
x
x
（舍去）或 1,
6
x
x
所以不等式 x2+5x－6<0 的解集为－65，B，D 中不等式组的解集是空集．
3．B 点拨：不等式组的解集为－ 2
3
－3．所以原不等式组的解集
为－3m+1，所以 m>2．
正确解法：由题意得 2m－1≥m+1 时，因为原不等式组无解，所以 m≥2．
点拨：此题错误原因在于忽略了 m+1 与 2m－1 可以相等，即类似 ,x a
x a
的形式也是无
解的．
12．解：设学校每天计划用电量为 x 度，依题意，得 110( 2) 2530
110( 2)
x
x
≤2200 ，解得 210，即 a>1 时，
5
1
2
ax a
x
的解集为 x<2．
所以 5
1
a
a
≥2，所以 a≤7，所以 10，即 a>1 时，1a2>a3．
所以 x1－x2= 1
2
（a1+a3－a2）－ 1
2
（a1+a2－a3）=a3－a2<0，
所以 x1x3，所以 x3□，由第二个天平知□=2△，即□>△，
所以○>□>△．本题主要考查了数形结合的数学思想和观察识别图形的能力．
三、4．解：设该宾馆底层有客房 x 间，则二楼有客房（x+5）间，
根据题意得
48 48 ,5 4
48 485 ,4 3
x
x
，解得 48
5
－4；由②得：x<3，分别解完不等式后可以利用数轴或口诀
“比大的小，比小的大，中间找”得到最终结果．
此题考查利用数形结合解不等式组，是对学生基本运算方法、运算法则、基本性质的动
用能力的考查．
7．解：（1）设生产 A 种饮料 x 瓶，根据题意，得 20 30(100 ) 2800,
40 20(100 ) 2800.
x x
x x
≤
≤
解这个不等式组，得 20≤x≤40，因为其中正整数解共有 21 个，
所以符合题意的生产方案有 21 种．
（2）根据题意，得 y=2.6x+2.8（100－x），整理，得
y=－0.2x+280．因为 k=－0.2<0，所以 y 随 x 的增大而减小，
所以当 x=40 时成本总额最低．
C 卷
1． 解：可以写出不同的不等式组，如 3 3 2 5
2 2 1
x x
x x
≤ ①
②
，
不等式①的解集为 x≤8，不等式②的解集为 x>1，所以原不等式组的解集为 10，
所以 b－c=0，即 b=c．所以△ABC 为等腰三角形．
解法二：因为 b2+2ab=c2+2ac，所以 b2+2ab+a2=c2+2ac+a2，
所以（a+b）2=（a+c）2．因为 a，b，c 为三角形三边，所以 a+b=a+c．
所以 b=c．所以△ABC 为等腰三角形．
12．解：1792－212=（179+21）×（179－21）=200×158=31600（m2）．
点拨：本题是分解因式在实际问题中的应用，利用分解因式可使运算简化．
B 卷
一、1．解法一：a2+b2=（a+b）2－2ab．因为 a+b=1，ab=－1，
所以 a2+b2=12－2×（－1）=3．
解法二：因为 a+b=1，所以（a+b）2=1，即 a2+b2+2ab=1，
因为 ab=－1，所以 a2+b2=1－2ab=1－2×（－1）=3．
点拨：本题综合考查完全平方公式．
2．解：因为 9m2－12mn+8n2－4np+2p2－4p+4
=（9m2－12mn+4n2）+（4n2－4np+p2）+（p2－4p+4）
=（3m－2n）2+（2n－p）2+（p－2）2=0．
所以
3 2 0,
2 0,
2 0.
m n
n p
p
所以
2 ,3
1,
2.
m
n
p
所以 m+n+p= 2
3
+1+2=11
3
．
点拨：此题的巧妙之处是把 8n2 分成 4n2+4n2，把 2p2 分成 p2+p2，从而把原式左边
化成几个完全平方式和的形式，根据非负数和为零，各数均为零的性质可求 m，n，
p 的值．
二、3．解：（1012+25）2－（1012－25）2
=（1012+25+1012－25）·（1012+25－1012+25）=2×1012×50=1014=10n．
所以 n=14． 点拨：若底数相等，幂相等，则指数必相等．
4．103010 或 301010 或 101030
点拨：4x3－xy2=x（4x2－y2）=x（2x+y）（2x－y）．
当 x=10，y=10 时，2x+y=30，2x－y=10．
所以 x（2x+y）（2x－y） 103010，
（2x+y）（2x－y） 301010
（2x－y）x（2x+y） 101030． 答案不唯一，写出一个即可．
三、5．解：设大圆盘的半径为 Rcm，一个小圆盘的半径为 rcm，
根据题意，得： R2－4 r2=5 ，即（R+2r）（R－2r）=5．
因为 R，r 均为正整数，所以 R+2r，R－2r 也为正整数，所以：
2 5,
2 1
R r
R r
解得 3,
1
R
r
答：大圆盘的半径为 3cm，一个小圆盘的半径为 1cm．
点拨：本题利用因式分解法求不定方程的整数解，注意要把 5 分解质因数．
四、6．（x－3） 点拨：x2－9=x2－32=（x+3）（x－3）．
因为长为（x+3）米，所以宽为（x－3）米．
7．a（a+b）（a－b） 点拨：多项式 a3－ab2 只有两项，可以考虑两种方法，提公因式
法和平方差公式，观察题目可知此题这两种方法均要用到，即首先提取公因式，
然后再用平方差公式．所以 a3－ab2=a（a2－b2）=a（a+b）（a－b）．
C 卷
1．±4x 或 4x4 或－1 或－4x2
点拨：若添加±4x 和 4x4 成为一个多项式的平方；若添加－1 或－4x2，其结果成为一
个单项式的平方．
2．解：假设存在这样的正整数 m，由题意得 m+98=x2，①
m+121=y2，②．②－①得 y2－x2=23．所以（y+x）（y－x）=23×1．
只有当 x+y=23，y－x=1 时，成立，即 23,
1.
x y
y x
解得 11
12.
x
y
所以 m=x2－98=112－98=121－98=23．
点拨：本题仍然是利用分解因式求不定方程的整数解，再求 m 的值．
3．解：（1－ 2
1
2
）（1－ 2
1
3
）…（1－ 2
1
n
）= 1
2
× 3
2
× 2
3
×…
× 1n
n
× 1n
n
= 1
2
× 1n
n
= 1
2
n
n
．
当 n=2007 时，上式= 2007 1 1004
2 2007 2007
．
4.解：－2a2b2+ab3+a3b=－ab（2ab－b2－a2）=ab（b2－2ab+a2）=ab（a－b）2．
当 a－b= 1
2
，ab= 1
8
时，原式=ab（a－b）2= 1
8
×（ 1
2
）2= 1
8
× 1 1
4 32
．
点拨：多项式求值时可根据已知条件，将多项式先分解因式，变为含 ab 或 a－b 的形
式，然后整体代入即可．
2. 3 运 用 公 式 法 同 步 练 习 3
1．填空：
（1）多项式 2 224 18m n n 各项的公因式是 _________ ；
（2）多项式 3 2 3 2 4 2 4 312 18 30x y z x y z x yz 各项的公因式是 _________ ；
（3）如果 2 6x x k 是一个完全平方式，那么 k 的值是 _________ ；
（4） 2(_____) 2 1 (______)ab ．
2．把下列各式分解因式：
（1） 3x x ； （2） 3 2 22a a b ab ； （3） 2 23 6a b ab ；
（4） 3 2 26 15 9a ab ac ；（5） ( )a x y x y ； （6） 2 24 4x y xy ；
（7） 2 ( ) 4( )x a b b a ； （8） 2 2 2( 4) 16x x ．
3．利用分解因式计算：
（1） 0.41 27.6 0.35 27.6 2.76 2.4 ； （2） 1 1001 0.1258
；
（3） 2101 101 ； （4） 23.95 3.95 3.94 ；
（5） 299 ； （6） 7 716.8 7.632 16
；
（7） 2 21.22 9 1.33 4 ； （8）5 998 10 ．
4．先分解因式，再求值：
（1） 4 3 2 24 4a a b a b ，其中 8a ， 2b ；
（2） 2 2 2 2 2( ) 4a b a b ，其中 3.5a ， 1.5b ．
5．对于任意自然数 n ， 2 2( 7) ( 5)n n 是否能被 24 整除？为什么？
参考答案
1．（1） 6n ；（2） 2 26x yz ；（3）9；（4） 2 2a b ， 1ab ．
2．（1） ( 1)( 1)x x x ；（2） 2( )a a b ；（3）3 ( 2 )ab a b ；（4） 2 2 23 (2 5 3 )a a b c ；
（5）( )( 1)x y a ；（6） 2( 2 )x y ；（7）( )( 2)( 2)a b x x ；（8） 2 2( 2) ( 2)x x ．
3．（1）27.6；（2）125；（3）10100；（4）0.0395；（5）9801；（6）7；（7）6.32；
（8）5000．
4．（1） 2 2( 2 )a a b ，当 8a ， 2b 时，原式＝9216；
（2） 2 2( ) ( )a b a b ，当 3.5a ， 1.5b 时，原式＝100．
5． 2 2( 7) ( 5) ( 7 5)( 7 5) (2 2) 12 24( 1)n n n n n n n n ，能被
24 整除．
第三章 分式
3.1 分式同步练习
1.下列说法正确的是（ ）
A.如果 A，B 是整式，那么
B
A 就叫做分式；
B.只要分式的分子为零，则分式的值就为零；
C.只要分式的分母为零，则分式必无意义；
D.因为
x
x 2
不是分式，而是整式.
2.在
x
1 ，
2
1 ，
2
12 x ，
xy3 ，a+
m
1 中,分式的个数有（ ）
A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个
3.使分式
1
2
a
aa 有意义的 a 取值应是（ ）
A. 任意实数 B. a 1 C. a 1 D. a 0 或 1
4.要使分式
1
1
2
2
a
a 有意义，则 a 取值应是（ ）
A．-1 B. 1 C. 1 D. 任意实数
5.当 x=2 时，下列各式的值为 0 的是（ ）
A.
23
2
2
xx
x B.
2
1
x
C.
9
42
x
x D.
1
2
x
x
6.对于分式
13
x
ax 中，当 x=-a 时，下列结论正确地是（ ）
A. 分式无意义 B. 分式值为 0
C. 当 a
3
1 时，分式的值为 0 D. 当 a
3
1 时，分式的值为 0
7.下列各式从左到右的变形不正确的是（ ）
A.
yy 3
2
3
2 B.
x
y
x
y
66
C.
y
x
y
x
4
3
4
3
D.
y
x
y
x
3
8
3
8
8.下列各个算式中正确的是（ ）
A． 2
2
a
b
a
b B. baba
ba
22
C. 2
2
y y
x y x y
D.
xy
yx
xy
yx 23
6
1
3
1
2
1
9.把分式 则分式的值倍都扩大中 ,2b,a2
ba
a
（ ）
A．扩大 4 倍 B.扩大 2 倍 C. 缩小 2 倍 D. 不变
10.下列等式成立的是（ ）
A． ba
ba
ba
22 B
ba
ba
ba
baba
2
22 2
C． abba
baba
22 2 D baab
ba
1
2
11.在-3x,
5
2,5
3,8,7,3
2, 22 ba
y
xxyyxy
x
中，是分式的是 .
12.要使分式
32
1
a
a 有意义，则 a 的值应是 ；要使分式
1
42
a
a 的值为零，则 a 的值
应为 .
13.分式
x
x
1
，当 时，其值为 0；当 时，分式无意义；当 时，分式的
值为正数.
14.化简
ab
bca
15
25 2
.
15.当 x=3 时，分式
44
4
2
2
xx
x 的值为 .
答案：
1.C 2.B 3.C 4.D 5.C 6.C 7.D 8.D 9.D 10.B 11.
yy
x
5
3,
12. a
2
3 a=2 13.x=0 x= 1 -10 B. x<0 C.x 0 D. x 1
二、解答题
8. 2
2
4
42
bc
a
a
b ；
9.化简 22
2
2
10
5
22
yx
ab
ba
yx
；
10.化简 x
xx
xx
122
2
；
11.若 m 等于它的倒数，求分式
2
2
4
44 2
2
2
m
mm
m
mm 的值；
12.若分式
4
3
2
1
x
x
x
x 有意义，求 x 的取值范围；
13.计算- 4
425
mnm
n
n
m
；
14.计算 2
2
3
22
35
8
15
4
m
ab
m
ba ;
15.计算（xy-x2）
xy
yx .
答案：
1. C 2 .A 3.C 4.C 5.C 6.D 7.C
8.- 22c
a 9.
)(
4
yxa
b
10.
1
1
x
11. 1
12. 2, 3, 4 13. 1
n
14.- 7
6
a
m
15.- 2x y
3.3 分式的加减法同步练习
1.已知 x 0 ,则
xxx 3
1
2
11 等于（ ）
A.
x2
1 B.
x6
1 C.
x6
5 D.
x6
11
2.化简
xy
yx
zx
xz
yz
zy
6
49
3
32
2
32 可得到（ ）
A.零 B.零次多项式 C.一次多项式 D.不为零的分式
3.分式 35
,3,
x
a
bx
c
ax
b
的最简公分母是（ ）
A.5abx B.15ab 5x C.15abx D.15ab 3x
4.在分式① ;3
yx
x
② 22
2
ba
ab
；③ ;23
ba
a
④
))((
2
baba
ab
中分母相同的分式是（ ）
A.①③④ B.②③ C.②④ D.①③
5.下列算式中正确的是（ ）
A.
a
cb
a
c
a
b
2
B.
ac
db
d
c
a
b C.
ca
db
d
c
a
b
D.
ac
adbc
d
c
a
b
6.x 克盐溶解在 a 克水中，取这种盐水 m 克，其中含盐（ ）
A.
a
mx 克 B.
x
am 克 C.
ax
am
克 D.
ax
mx
克
7.
ba
2a
ab
b
ba
2ba ；
8.
1ba
baba ；
9.若 ab=2,a+b=-1,则
ba
11 的值为 ；
10.计算
abba 6
5
4
3
3
2
2 ；
11.化简分式
yx
xyyxyx
xyyx 44 的结果是 ；
12.计算：
（1）
3
2
9
12
2
mm
（2）
96
9
3
9
2
2
2
2
xx
x
xx
xx
13.化简
2
1
4
2
1 2
2
aa
aa
a
aa
14.先化简，再求值： ,2121
2
xxx
其中 x=-3.5.
15.先化简，再求值：
1
1
12
3
1
3
2
xxx
x
x
x ,其中 x= 2 +1.
答案：
1.D 2.A 3.D 4.C 5.D 6.D 7.–1 8.
ba
ab
9.-
2
1 10.
ba
aab
2
2
12
1098
11.x2-y2
12.(1)原式=
)3(
2
)3)(3(
)3(2
)3)(3(
3212
mmm
m
mm
m ；
(2)原式= 23
62
)3(
)3(
)3(
)9(
)3(
)3)(3(
)3(
)9(
2
x
x
x
x
x
x
x
xx
xx
xx .
13.原式=
1)2(
1
)2(
)2)(2(
1
2
a
a
aaa
aa
a
a .
14.原式=
xx
x
x
x 1
2
2
2 ，当 x=-3.5 时，原式的值为-
7
2 .
15.原式= ,11
1
1
1
1
1
3
)1(
)1)(1(
3 2
x
x
xx
x
xx
x
xx
x
当 x= 2 +1 时，原式的值为
2
22 .
3.4 分式方程同步练习
1.判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错误的打“×”.
（1）
3
1y =
5
1y 是关于 y 的分式方程. （ ）
（2）分式方程
5
3||
x
x =0 的解是 x=3. （ ）
（3）只要是分式方程，一定出现增根. （ ）
（4）方程
x
5 =
2
7
x
与方程 5（x-2）=7x 的解相同. （ ）
（5）方程
2
1
x
=
x
x
2
1 －３的两边都乘以（x-2），得 1=（x－1）－３. （ ）
（6）方程
2
1
x
=
x
x
2
1 －３无解. （ ）
（7）方程
xx
x
2 =
xx
x
2
2 的根为 x=0. （ ）
（8）方程
1
1
1
)1(
x
x
x
xx 变形得 x=1，而 x=1 是原方程的增根，故原方程无解.（ ）
2.若
2
52
x
x 的值为－１，则 x 等于 （ ）
A.－
3
5 Ｂ．
3
5 Ｃ．
3
7 Ｄ．－
3
7
3.老张师傅做 m 个零件用了一个小时，则他做 20 个零件需要的小时数是 （ ）
A.
20
m B.
m
20 C.20m D.20+m
4.一项工程，甲独做需 m 小时完成，若与乙合作 20 小时完成，则乙单独完成需要的时间是
（ ）
A.
20
20
m
m B.
20
20
m
m C.
m
m
20
20 D.
m
m
20
20
5.甲、乙两班学生参加植树造林，已知甲班每天比乙班多植 5 棵树，甲班植 80 棵树所用的
天数与乙班植 70 棵树所用的天数想等，若设甲班每天植树 x 棵，则根据题意列出的方程
是（ ）
Ａ．
5
80
x
＝
x
70 B.
5
7080
xx
C.
xx
70
5
80
D.
5
7080
xx
6.下列各式中，不是分式方程的是（ ）
A.
x
x
x
11 B. 1)1(1 xxx
C.
2
131
1
xx
D.
3
1 ·（ 3)12
1 x
7.分式方程
3
1
x
+
9
4
3
1
2
xx
的解是 （ ）
A.无解 B.x=2 C.x=－３ Ｄ．ｘ＝±３
8.若分式方程 ax
ax
1
无解，则 a 的值是 （ ）
A.－１ B. 1 C. ±1 D.-2
9.若分式方程
5
1
5
6
xkx
x （其中 k 为常数）产生增根，则增根是 （ ）
A.x=6 B.x=5 C.x=k D.无法确定
10.解关于 x 的方程
11
3
x
m
x
x 产生增根，则常数 m 的值等于 （ ）
A.-2 B.-1 C.1 D.2
11.下列关于 x 的方程① 53
1 x ，②
1
41
xx
，③ xx
3
3 1，④
1
1
ba
x 中，是分
式方程的是 .（填序号）
12.如果
xx
x 1
3
1
2
，则 x= .
13.方程
xx
x
25
5152
的解是 .
14.甲做 90 个机器零件所用的时间与乙做 120 个机器零件所用的时间相等，又已知平均每小
时甲、乙两人一共做了 35 个零件，求甲、乙每小时各做多少个？
15.某校师生到距学校 20 千米的公路旁植树，甲班师生骑自行车先走，45 分钟后，乙班师
生乘汽车出发，结果两班师生同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的 2.5 倍，求两种
车的速度各是多少?
答案：
1.（1）×；（2）×；（3）×;(4)√;
(5) × 提示：去分母时，漏掉了-3 这一项，应改为 1=（x-1）-3（x-2）；
（6）√;(7) ×;(8) ×.
2.C 3.B 4.A 5.D 6.D 7.B 8.C 9.C
10.A 11.② 12.-3
13.x=0
14.设甲每小时做 x 个，则乙每小时做（35-x）个，由题意可列方程为
xx
35
12090 .
解得 x=15，经检验 x=15 适合题意，故甲每小时做 15 个，乙每小时做 20 个.
15.设自行车速度为 x 千米/小时，则汽车速度为 2.5x 千米/小时，
由题意可列方程为
xx 5.2
20
60
4520 ，解得 x=16，经检验，x=16 适合题意，
故 2.5x=40，所以自行车速度为 16 千米/小时，汽车速度为 40 千米/小时.
第四章 相似图形
4.1 线段的比同步练习
一、请你填一填
1、如果
5
3
b
ba ,那么
b
a =________.
2、若 a= 2 ,b=3,c=3 3 ,则 a、b、c 的第四比例项 d 为________.
3、若
753
zyx ,则
zyx
zyx
=________.
4、在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是 3 cm,而两地的实际距离为 1500 m，那么
这张地图的比例尺为________.
二、认真选一选
1、已知
d
c
b
c ,则下列式子中正确的是（ ）
A. a∶b=c2∶d2 B. a∶d=c∶b
C. a∶b=（a+c）∶（b+d） D. a∶b=（a－d）∶（b－d）
2、如图 1，已知直角三角形的两条直角边长的比为 a∶b=1∶2,其斜边长为 4 5 cm，
那么这个三角形的面积是（ ）cm2.
A.32 B.16 C.8 D.4
图 1 图 2
3、若
875
cba ,且 3a－2b+c=3,则 2a+4b－3c 的值是（ ）
A.14 B.42 C.7 D.
3
14
4、如图 2，等腰梯形 ABCD 的周长是 104 cm，AD∥BC，且 AD∶AB∶BC=2∶3∶5，则这
个梯形的中位线的长是（ ）cm.
A.72.8 B.51 C.36.4 D.28
三、已知四条线段 a、b、c、d 的长度，试判断它们是否成比例？
1、a=16 cm ，b=8 cm ，c=5 cm ，d=10 cm
2、a=8 cm ，b=5 cm ，c=6 cm ，d=10 cm
四、画一画，算一算
1、若点 P 在线段 AB 上，点 Q 在线段 AB 的延长线上，AB=10，
2
3
BQ
ΑQ
BP
AP ，求线段 PQ
的长.
2、若
6
5
43
2 cba ,且 2a－b+3c=21.试求 a∶b∶c.
参考答案
一、1、
5
8 2、
2
69 3、5 4、1∶50000
二、1、C 2、B 3、D 4、D
三、1、
b
a =2
c
d =2 则
c
d
b
a 所以 a、b、d、c 成比例
2、由已知得：ab≠cd, ac≠bd, ad≠bc
所以 a、b、c、d 四条线段不成比例
四、1、设 AP=3x,BP=2x
∵AB=10
∴AB=AP+BP=3x+2x=5x,即 5x=10,
∴x=2 ∴AP=6,BP=4
∵
2
3
BQ
AQ ,∴可设 BQ=y,则 AQ=AB+BQ=10+y
∴
2
310
y
y ,解得：y=20,
∴PQ=PB+BQ=4+20=24
2、令
6
5
43
2 cba =m,则 a+2=3m,b=4m,c+5=6m
∴a=3m－2,b=4m,c=6m－5
∵2a－b+3c=21
∴2（3m－2）－4m+3（6m－5）=21,即 20m=40
解得 m=2
∴a=3m－2=4,b=4m=8,c=6m－5=7
∴a∶b∶c=4∶8∶7
4.2 黄金分割同步练习
◆基础训练
一、选择题
1．若 3a=4b，则（a-b）：（a+b）的值是（ ）．
A． 1
7
B． C．- 1
7
D．-7
2．已知 P 是线段 AB 上一点，且 AP：PB=2：5，则 AB：PB 等于（ ）．
A．7：5 B．5：2 C．2：7 D．5：7
3．已知线段 AB，点 P 是它的黄金分割点，AP>BP，设以 AP 为边的正方形的面积为 S1，以
PB、AB 为边的矩形面积为 S2，则 S1 与 S2 的关系是（ ）．
A．S1>S2 B．S1BC，则 ______,AB BC
AC AB
=_______．
5．等边△ABC 中，AD⊥BC，AB=4，则高 AD 与边长 AB 的比是______．
三、解答题
6．求下列各式中的 x：
（1）7：4=11：x； （2）2：3=（5-x）：x．
7．已知 a
b
= 1 1 2,a c
c b a b c
求证: ．
◆能力提高
一、填空题
8．在线段 AB 上取一点 P，使 AP：PB=1：3，则 AP：AB=______，BC：PB=______．
9．如图，已知 3 , (1)
2
AB AC BC CE
AD AE DE AE
则: =______，（2）若 BD=10cm，则
AD=______；（3）若△ADE 的周长为 16cm，则
△ABC 的周长为_______．
二、解答题
10．已知两数 4 和 8，试写出第三个数，使这三个数中，其中一个数是其余两个数的比例中
项，那么第三个数是多少？
11．在相同时刻的物高和影长成比例．已知上午 9 点时，高为 1.5m 的测杆的影长为 2.5m，
此时一古塔在地面的影长是 50m，求古塔的高．如果上午 10 点时，1.5m高的测杆的影
长为 2m，中午 12 点时，1.5m 高的测杆的影长为 1m，求古塔的影长是 20m 的时刻．
◆拓展训练
12．用厘米作为长度单位量一下几何作业本，求出长与宽的比．如果你来设计作业本的大
小，你能利用所学的知识设计一种既美观又实用的“黄金作业本”吗？
答案:
1．A 2．A 3．C 4． 5 1 3 5 44, 5. 3 : 2 6.(1)2 2 7
（2）x=3
7．由已知得 ac-ab=ab-bc，∴ac+bc=2ab，
∴ 2 1 1 2a b
ab c a b c
即 ．
8．1：4，4：3 9．（1） 5
2
（2）4cm （3）24cm
10．2 或 16 或±4 2 11．30m，中午 12 点 12．略.
4.1 线段的比-4.2 黄金分割同步练习
课堂练习
一、选择题
1.等边三角形的一边与这边上的高的比是( )
A. 3 ∶2 B. 3 ∶1 C.2∶ 3 D.1∶ 3
2.下列各组中的四条线段成比例的是( )
A.a= 2 ，b=3，c=2，d= 3 B.a=4，b=6，c=5，d=10
C.a=2，b= 5 ，c=2 3 ，d= 15 D.a=2，b=3，c=4，d=1
3.已知线段 a、b、c、d 满足 ab=cd，把它改写成比例式，错误的是( )
A.a∶d=c∶b B.a∶b=c∶d C.d∶a=b∶c D.a∶c=d∶b
4.若 ac=bd，则下列各式一定成立的是( )
A.
d
c
b
a B.
c
cb
d
da C.
c
d
b
a 2
2
D.
d
a
cd
ab
5.已知点 M 将线段 AB 黄金分割(AM＞BM)，则下列各式中不正确的是( )
A.AM∶BM=AB∶AM B.AM=
2
15 AB C.BM=
2
15 AB D.AM≈0.618AB
二、填空题
6.在 1∶500000 的地图上，A、B 两地的距离是 64 cm，则这两地间的实际距离是________.
7.正方形 ABCD 的一边与其对角线的比等于________.
8.若 2x－5y=0，则 y∶x=________，
x
yx =________.
9.若
5
3
b
ba ，则
b
a =________.
10.若
AE
AC
AD
AB ，且 AB=12，AC=3，AD=5，则 AE=________.
三、解答题
11.已知
3
4
2
x
yx ，求
y
x .
12.在同一时刻物高与影长成比例，如果一古塔在地面上的影长为 50 m，同时高为 1.5 m
的测杆的影长为 2.5 m，那么古塔的高是多少?
13.在△ABC 中，D 是 BC 上一点，若 AB=15 cm，AC=10 cm，且 BD∶DC=AB∶AC，BD－DC=2
cm，求 BC.
14.现有三个数 1， 2 ，2，请你再添上一个数写出一个比例式，这样的比例式唯一吗？
*15.如果一个矩形 ABCD(AB＜BC)中，
2
15
BC
AB ≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩
形，黄金矩形给人以美感.在黄金矩形 ABCD 内作正方形 CDEF，得到一个小矩形 ABFE(如图
1)，请问矩形 ABFE 是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性.
图 1
参考答案
一、1.C 2.C 3.B 4.B 5.C
二、6.320 km 7.1∶ 2 8.2∶5
5
7 9.
5
8 10.
4
5
三、11.
5
3 12.30 m 13.10 cm
14.
2
2 ，1， 2 ，2 成比例；1 2 2 ，2 也成比例，比例式不惟一
15.矩形 ABFE 是黄金矩形 由于
2
15
BC
AB ，设 AB=( 5 －1)k，BC=2k，所以
FC=CD=AB，BF=BC－FC=BC－AB=2k－( 5 －1)k=(3－ 5 )k，
所以
2
15
)15(
)53(
k
k
AB
BF ，所以矩形 ABFE 是黄金矩形.
课外练习
一、请你填一填
（1）如图 1，若点 P 是 AB 的黄金分割点，则线段 AP、PB、AB 满足关系式________，
即 AP 是________与________的比例中项.
图 1
（2）黄金矩形的宽与长的比大约为________（精确到 0.001）.
（3）如果线段 d 是线段 a、b、c 的第四比例项，其中 a=2 cm,b=4 cm,c=5 cm,则
d=_____________cm.
（4）已知 O 点是正方形 ABCD 的两条对角线的交点，则 AO∶AB∶AC=________.
（5）若
d
c
b
a =3（b+d≠0），则
db
ca
=________.
二、认真选一选
（1）已知
yx
23 ,那么下列式子成立的是（ ）
A.3x=2y B.xy=6 C.
3
2
y
x D.
3
2
x
y
（2）把 ab=
2
1 cd 写成比例式，不正确的写法是（ ）
A.
b
d
c
a
2
B.
b
d
c
a
2
C.
b
d
c
a 2 D.
d
a
b
c 2
（3）已知线段 x,y 满足（x+y）∶（x－y）=3∶1,那么 x∶y 等于（ ）
A.3∶1 B.2∶3 C.2∶1 D.3∶2
（4）有以下命题:
①如果线段 d 是线段 a,b,c 的第四比例项，则有
d
c
b
a
②如果点 C 是线段 AB 的中点，那么 AC 是 AB、BC 的比例中项
③如果点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 AC>BC，那么 AC 是 AB 与 BC 的比例中项
④如果点 C 是线段 AB 的黄金分割点，AC>BC，且 AB=2，则 AC= 5 －1
其中正确的判断有（ ）
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
三、细心算一算
已知实数 a,b,c 满足
c
ba
b
ac
a
cb ,求
a
cb 的值.
四、好好想一想
以长为 2 的线段 AB 为边作正方形 ABCD，取 AB 的中点 P，连结 PD，
在 BA 的延长线上取点 F，使 PF=PD，以 AF 为边作正方形 AMEF，点 M 在
AD 上，如图 2.
（1）求 AM、DM 的长.
（2）求证：AM2=AD·DM.
（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？
图 2
参考答案
一、（1）
AP
PB
AB
AP PB AB （2）0.618 （3）10 （4）
2
2 ∶1∶ 2 即 1∶ 2 ∶2 （5）
3
二、（1）D （2）B （3）C （4）C
三、解：设
c
ba
b
ac
a
cb =k
则 b+c=ak,c+a=bk,a+b=ck
∴2（a+b+c）=k（a+b+c）
当 a+b+c≠0 时，∴k=2,∴
a
cb =2
当 a+b+c=0 时,b=－（b+c）,
a
cb =－1
四、解：如图（见原题图）
（1）∵正方形 ABCD 的边长为 2，P 是 AB 中点
∴AB=AD=2，AP=1
在 Rt△APD 中，PD= 522 ADAP
∵PF=PD,
∴AF=PF－AP= 5 －1
∵AMEF 是正方形，
∴AM=AF= 5 －1，DM=AD－AM=2－（ 5 －1）=3－ 5
（2）由（1）得 AM2=（ 5 －1）2=6－2 5
AD·DM=2（3－ 5 ）=6－2 5
∴AM2=AD·DM
（3）图中点 M 是线段 AD 的黄金分割点.
4.3 形状相同的图形同步练习
一、请认真观察
下面各组中的两个图形，哪些是形状相同的图形，哪些是形状不同的图形.
二、仔细辨认哟！
观察下面图形，指出（1）—（9）中的图形有没有与给出的图形（a）、（b）、（c）形状
相同的？
三、请你画一画，试着把下面的两个图形利用给出的格点放大
四、想一想
如图 1：已知 A（0，－2），B（－2，1），C（3，2）
图 1
（1）求线段 AB、BC、AC 的长.
（2）把 A、B、C 三点的横坐标、纵坐标都乘以 2，得到 A′、B′、C′的坐标,求 A B 、
B C 、 A C 的长.
（3）以上六条线段成比例吗？
（4）△ABC 与△ A B C 的形状相同吗？
参考答案
一、（3）、（5）组中的图形形状相同
（1）、（2）、（4）、（6）组中的图形形状不同
二、图形（4）、（8）与图形（a）形状相同；图形（6）与图形（b）形状相同；图形（5）
与图形（c）形状相同
三、略
四、解：如图（见原题图）A（0，－2），B（－2，1），C（3，2）
（1）由勾股定理得：
AB= 1323 22 ，BC= 2615 22 ，AC= 22 43 =5
（2）由已知得 A（0，－4）， B（－4，2）， C （6，4）
由勾股定理得：
A B = 13264 22 ， B C = 262210 22 ， A C = 22 86 =10
（3）∵
2
1 CA
AC
CB
BC
BA
AB ；∴这六条线段成比例
（4）△ABC 与△ A B C 的形状相同.
4.4 相似多边形同步练习 1
一、请你填一填
（1）以下五个命题：①所有的正方形都相似 ②所有的矩形都相似 ③所有的三角
形都相似 ④所有的等腰直角三角形都相似 ⑤所有的正五边形都相似.
其中正确的命题有_______.
（2）已知三个数 1，2， 3 ，请你再写一个数，使这四个数能成比例，那么这个数是
________（填写一个即可）.
（3）相同时刻的物高与影长成比例，如果有一根电线杆在地面上的影长是 50 米，同时
高为 1.5 米的标竿的影长为 2.5 米，那么这根电线杆的高为________米.
（4）在一张比例尺为 1∶50000 的地图上，量得 A、B 两地的图上距离为 2.5 厘米，那
么 A、B 两地的实际距离是________米.
二、
如图，图（1）是一个正六边形 ABCDEF，使线段 BC、FE 的长增加相等的数，得图（2），
将图（1）中的点 A、D 分别向两边拉长相等的量，得图（3）.
那么图（1）与图（2）相似吗？图（1）与图（3）相似吗？图（2）与图（3）呢？为什
么？
三、
（1）如图 1 与图 2,等腰梯形 ABCD 与等腰梯形 A B C D 相似,∠ A=65°，A B =6 cm,
AB=8 cm, AD=5 cm,试求梯形 ABCD 的各角的度数与 A D 、 B C 的长.
图 1 图 2
（2）如图 3，有一个半径为 50 米的圆形草坪，现在沿草坪的四周开辟了宽 10 米的环
形跑道，那么：①草坪的外边缘与环形跑道的外边缘所成的两个圆相似吗？
②这两个圆的半径之比和周长之比分别是多少？它们有什么关系吗？
图 3
参考答案
一、（1）①④⑤ （2）2 3 或
2
3 或
3
32 （填写一个即可） （3）30 （4）1250
米
二、图（1）与图（2）不相似，图（1）与图（3）不相似，图（2）与图（3）也不相似.
理由略
三、（1）解：∵等腰梯形 ABCD 与 A B C D 相似，∠ A=65°
∴∠A=65°,∠B=65°
∠D=∠C=180°－65°=115°
又
AD
DA
AB
BA ,
∴
58
6 DA ,
∴ A D =
4
15 cm
∴ B C = A D =
4
15 cm
（2）解：①两个圆相似
②这两个圆的半径分别为 50 米，60 米
所以它们的半径之比为 5∶6，周长之比为（2π×50）∶（2π×60）即为 5∶6，所以这
两个圆的半径之比等于周长之比.
4.4 相似多边形同步练习 2
一、训练平台（第 1～5 小题各 6 分，第 6 小题 10 分，共 40 分）
1．两个多边形相似的条件是（ ）
A．对应角相等 B．对应边相等
C．对应角相等，对应边相等 D．对应角相等，对应边成比例
2．下列图形是相似多边形的是（ ）
A．所有的平行四边形； B．所有的矩形 C．所有的菱形； D．所有的正方形
3．找出两类永远相似的图形_________、_________．
4．在四边形 ABCD 与四边形 A B C D 中，∠A=∠ A，∠B=∠ B，∠C=∠C ，∠D=∠ D ，
且 2
' ' ' ' ' ' ' ' 3
AB BC CD DA
A B B C C D D A
，则四边形________∽四边形________，且它们的
相似比是________．
5．有一个角为 120°的菱形与有一个角为________的菱形相似．
6．把一个矩形剪去一个正方形，若剩余的矩形和原矩形相似，求原矩形的长与宽的比．
二、提高训练（第 1～3 小题各 6 分，第 4 小题 10 分，共 28 分）
1．下列命题正确的是（ ）
A．有一个角对应相等的平行四边形相似 B．对应边成比例的两个平行四边形相似
C．有一个角对应相等的两个等腰梯形相似；D．有一个角对应相等的两个菱形相似
2．下列说法中正确的是（ ）
A．相似形一定是全等形 B．不全等的图形不是相似形
C．全等形一定是相似形 D．不相似的图形可能是全等形
3．如图所示，有三个矩形，其中是相似形的是（ ）
A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙
丙
乙
甲
1.5
1
1.5
2.5
3
2
4．已知如图所示的两个梯形相似，求出未知的 x，y，z 的长和∠α，∠β的度数．
三、探索发现（每小题 12 分，共 24 分）
1．相片框（如图所示）中，外矩形的长和宽分别为 20cm、10cm，内矩形的长和宽分别为 16cm、
6cm ，内外两个矩形是否相似？
2．暑假时，康子帮母亲到鱼店去买鱼，鱼店里有一种“竹笑鱼”，个个都长得非常相似，现
在根据大小有两种不同的价格，如图所示，鱼长 10cm 的每条 100 日元，鱼长 18cm 的每条
150 日元，康子不知道买哪条更好些，你看怎么办？
四、拓展创新（共 8 分）
如图所示，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之
比都等于相似比（a：b），设 S 甲，S 乙分别表示两个正方体的表面积，则
2
2
2
6 ( )6
S a a
S b b
甲
乙
，
又设 V 甲，V 乙分别表示这两个正方体的体积，则
3
3
3 ( )V a a
V b b
甲
乙
，下列几何体中，一定属于
相似体的是（ ）
A．两个球体 B．两个圆柱体 C．两个圆锥体 D．两个长方体
中考演练
（中考预测题）把矩形对折后，和原来的矩形相似，那么这个矩形的长、宽之比为（ ）
A．2：1 B．4：1 C． 2 ：1 D． 3
2
：1
参考答案：
一、1．D 2．D 3．正方形 等边三角形
4．ABCD A B C D 2：3
5．60°或 120° 6．（ 5 -1）：2
二、1．D 2．C 3．B
4．x=3，y=3，z=6，∠α=70°，∠β=120°．
三、1．不相似． 2．买 18cm 长的鱼更合算．
四、A
※C
4.5 相似三角形同步练习 1
课内练习
一、选择题
1.△ABC∽△ A B C ，如果∠A=55°，∠B=100°，则∠C 的度数等于( )
A.55° B.100° C.25° D.30°
2.如图 1，△ADE∽△ACB，∠AED=∠B，那么下列比例式成立的是( )
A.
BC
DE
AB
AE
AC
AD B.
BC
DE
AC
AE
AB
AD
C.
BC
DE
AB
AC
AE
AD D.
BC
DE
EC
AE
AB
AD
3.如果△ABC∽△ A B C ，BC=3， B C =1.8，则△ A B C 与
△ABC 的相似比为( )
A.5∶3 B.3∶2 C.2∶3 D.3∶5 图 1
4.若△ABC∽△ A B C ，AB=2，BC=3， A B =1，则 B C 等于( )
A.1.5 B.3 C.2 D.1
5.△ABC 的三边长分别为 2 、 10 、2，△ A B C 的两边长分别为 1 和 5 ，如果△ABC
∽△ A B C ，那么△ A B C 的第三边的长应等于( )
A.
2
2 B.2 C. 2 D.2 2
二、填空题
6.如图 2，已知△ADE∽△ABC，且∠ADE=∠B，则对应角为________，对应边为________.
图 2
图 3
7.如图 3，已知 DE∥BC，△ADE∽△ABC，则
AB
AD =________=________.
8. 如果△ABC 和△ A B C 的相似比等于 1，则这两个三角形________.
9. 已知△ABC∽△ A B C ，A 和 A′，B 和 B′分别是对应点，若 AB=5 cm， A B =8 cm，
AC=4 cm， B C =6 cm，则△ A B C 与△ABC 的相似比为________， A C =________，
BC=________.
10.如果 Rt△ABC∽Rt△ A B C ，∠C=∠C′=90°，AB=3，BC=2，A B =12，则 A C =________.
三、解答题
11.判断下列两组三角形是否相似，并说明理由.
(1)△ABC 和△ A B C 都是等边三角形.
(2)△ABC 中，∠C=90°，AC=BC；△ A B C 中，∠C′=90°， A C = B C .
12.已知△ABC 中，AB=15 cm，BC=20 cm，AC=30 cm，另一个与它相似的△ A B C 的最长边
为 40 cm，求△ A B C 的其余两边的长.
13.已知：△ABC 三边的比为 1∶2∶3，△ A B C ∽△ABC，且△ A B C 的最大边长为 15 cm，
求
△ A B C 的周长.
*14.如图 4，正方形 ABCD 中，点 E 是 CD 的中点，点 F 在 BC 上，且 CF∶BC=1∶4，你能说明
EC
AD
EF
AE 吗？
图 4
参考答案
一、1.C 2.A 3.D 4.A 5.C
二、6.∠A 与∠A ∠AED 与∠C AD 与 AB，AE 与 AC，DE 与 BC 7.
AC
AE
BC
DE
8.全等 9.
5
8 6.4 cm 3.75 cm 10.4 5
三、11.(1)相似 (2)相似
12. A B =20 cm， B C =26
3
2 cm
13.30 cm 14.略
课外练习
一、请你填一填
（1）如果两个三角形的相似比为 1，那么这两个三角形________.
（2）若△ABC 与△ A B C 相似，一组对应边的长为 AB=3 cm， A B =4 cm，那么△ A B C
与△ABC 的相似比是________.
（3）若△ABC 的三条边长的比为 3∶5∶6,与其相似的另一个△ A B C 的最小边长为 12 cm，
那么△ A B C 的最大边长是________.
（4）已知△ABC 的三条边长分别为 3 cm,4 cm,5 cm,△ABC∽△ A B C ，那么△ A B C 的
形状是______，又知△ A B C 的最大边长为 20 cm，那么△ A B C 的面积为________.
二、认真选一选
（1）下列命题错误的是（ ）
A.两个全等的三角形一定相似
B.两个直角三角形一定相似
C.两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例
D.相似的两个三角形不一定全等
（2）若△ABC∽△DEF,它们的周长分别为 6 cm 和 8 cm，那么下式中一定成立的是（ ）
A.3AB=4DE B.4AC=3DE C.3∠A=4∠D D.4（AB+BC+AC）=3（DE+EF+DF）
（3）若△ABC 与△ A B C 相似，∠A=55°,∠B=100°，那么∠C′的度数是（ ）
A.55° B.100° C.25° D.不能确定
（4）把△ABC 的各边分别扩大为原来的 3 倍，得到△ A B C ，下列结论不能成立的是
（ ）
A.△ABC∽△ A B C B.△ABC 与△ A B C 的各对应角相等
C.△ABC 与△ A B C 的相似比为
4
1 D.△ABC 与△ A B C 的相似比为
3
1
三、△ABC 中，AB=12 cm，BC=18 cm，AC=24 cm，若△ A B C ∽△ABC，且△ A B C 的周
长为 81 cm，求△ A B C 各边的长.
四、好好想一想
如图 5：分别取等边三角形 ABC 各边的中点 D、E、F，得△DEF.若△ABC 的边长为 a.
（1）△DEF 与△ABC 相似吗？如果相似，相似比是多少？
（2）分别求出这两个三角形的面积.
（3）这两个三角形的面积比与边长之比有什么关系吗？
图 5
参考答案
一、（1）全等 （2）3∶４ （3）24cm （4）直角三角形 96cm2
二、（1）B （2）D （3）C （4）C
三、解法 1：设△ A B C 与△ABC 的相似比为 x，根据题意得：
BC
CB
AC
CA
AB
BA =x
将 AB=12，BC=18，AC=24 代入上式可得：
A B =12x, B C =18x, A C =24x
∵△ A B C 的周长为 81 cm
∴12x+18x+24x=81,解得：x=
2
3
∴ A B =12x=18（cm）, B C =18x=27（cm）， A C =24x=36（cm）
解法 2：由已知得△ABC 的周长为 12+18+24=54（cm）
所以△ A B C 与△ABC 的相似比等于 81∶54 即 3∶2
则
2
3
AC
CA
BC
CB
AB
BA ，
∴
2
3
241812
CACBBA
∴ A B =18（cm）, B C =27（cm）, A C =36（cm）
四、（1）根据三角形中位线定理得 DE=
2
1 a,EF=DF=
2
1 a
所以△DEF 是等边三角形，△DEF 与△ABC 相似，相似比为
2
1
（2）△ABC 的面积为
2
1 AB·AE=
2
1 a· 222
4
3)2
1( aaa
△DEF 的面积为
2
1 ·
2
1 a·
16
3)4
1()2
1( 22 aa a2
（3）S△DEF∶S△ABC=
16
3 a2∶
4
3 a2=
4
1 ∶1=1∶4
这两个三角形的面积比等于边长之比的平方.
4.5 相似三角形同步练习 2
一、选择题
1．如图 1，在△ABC 中，AB＝AC，AD 是高，EF∥BC，则图中与△ADC 相似的三角形共有
（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．多于 3 个
2．某班在布置新年联欢晚会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如
图 2 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝30cm，AB＝50cm，依次裁下宽为 1cm 的矩形纸条 1a 、
2a 、 3a …若使裁得的矩形纸条的长都不小于 5cm，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸
条的总数是（ ）
A．24 B．25 C．26 D．27
图 1 图 2 图 3
图 4
二、填空题
3．如图 3，△AED∽△ABC，其中∠1＝∠B，则 AD∶________＝________∶BC＝________∶
AB．
4．如图 4，D、E、F 分别是△ABC 的边 AB、BC、CA 的中点，则图中与△ABC 相似的三角形共
有________个，它们是_______________．
5．阳光通过窗口照到室内，在地面上留下 2.7m 宽的亮区，已知亮区到窗下的墙脚最远距离
是 8.7m，窗口高 1.8m，那么窗口底边离地面的高等于________．
三、解答题
6．如图 5，在△ABC 中，AB＝AC，AD 是中线，P 是 AD 上一点，过 C 作 CF∥AB，延长 BP 交
AC 于 E，交 CF 于 F．求证： 2BP PE PF ．
图 5
7．已知：如图 6，等腰△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝36°，AE 是△ABC 的外角平分线，BF 是
∠ABC 的平分线，BF 的延长线交 AE 于 E．
求证：(1)AF＝BF＝BC；(2)EF∶BF＝BC∶FC．
图 6
8．四边形 ABCD 是平行四边形，点 E 在边 BA 的延长线上，CE 交 AD 于 F，∠ECA＝∠D．求证：
AC·BE＝AD·CE．
参考答案
1．C 2．C
3．AC，ED，AE 4．4，△ADF、△DBE、△FEC、△EFD 5.4m
6．连结 PC，先证明△ABP≌△ACP，∴PB＝PC，再证明△PCF∽△PEC，∴PC∶PE＝PF∶PC．∴
PFPEPC 2 ，∴ PFPEPB 2
7．(1)由已知可求得∠ABF＝∠BAC＝36°，∠C＝∠BFC＝72°，∴BC＝BF＝AF
(2)∵△EAF、△BCF 都是底角为 72°的等腰三角形，∴△EAF∽△BCF，∴EF∶BF＝AF∶CF，
又 AF＝BC，∴EF∶BF＝BC∶FC
8．∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD＝BC，∠D＝∠B，∵∠ECA＝∠D，∴∠ECA＝∠B，又
∵∠E＝∠E，∴△ECA∽△EBC，∴AC∶BC＝CE∶BE，∴AC∶AD＝CE∶BE，∴AC·BE＝AD·CE
4.6 探索三角形相似的条件同步练习 1
一、请说一说什么是相似三角形
答：_____________.
通过探索和学习，你知道怎样判定两个三角形相似？那么请把你的判定方法写在下面吧.
（1）_____________.
（2）_____________.
（3）_____________.
二、请你填一填
（1）如图 1，在△ABC 中，DE∥BC，AD=3 cm，BD=2 cm,△ADE 与△ABC 是否相似________，
若相似，相似比是________.
图 1 图 2
（2）如图 2，D、E 分别为△ABC 中 AB、AC 边上的点，请你添加一个条件，使△ADE 与△ABC
相似，你添加的条件是_____________（只需填上你认为正确的一种情况即可）.
（3）如图 3，测量小玻璃管口径的量具 ABC 中，AB 的长是 10 毫米，AC 被分成 60 等份.如
果小管口 DE 正好对着量具上 30 份处（DE∥AB），那么小管口径 DE 的长是_____________毫
米.
图 3
（4）如图 4，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，作 CD⊥AB 于点 D，则图中相似的三角形有________
对，它们分别是_____________.
图 4
三、认真选一选
（1）下列各组图形中有可能不相似的是（ ）
A.各有一个角是 45°的两个等腰三角形
B.各有一个角是 60°的两个等腰三角形
C.各有一个角是 105°的两个等腰三角形
D.两个等腰直角三角形
（2）△ABC 和△ A B C 符合下列条件，其中使△ABC 和△ A B C 不相似的是（ ）
A.∠A=∠A′=45°， ∠B=26°，∠B′=109°
B.AB=1，AC=1.5 ，BC=2 ， A B =4 ， A C =2， B C =3
C.∠A=∠B′，AB=2，AC=2.4 ， A B =3.6 ， B C =3
D.AB=3 ，AC=5 ，BC=7 ， A B = 3 ， A C = 5 ， B C = 7
（3）如图 5，AB∥CD，AD 与 BC 相交于点 O，那么在下列比例式中，正确的是（ ）
A.
AD
OA
CD
AB B.
BC
OB
OD
OA C.
OC
OB
CD
AB D.
OD
OB
AD
BC
图 5 图 6
（4）如图 6，D 为△ABC 的边 AB 上一点，且∠ABC=∠ACD，AD=3 cm, AB=4 cm，则 AC 的长
为（ ）
A.2 cm B. 3 cm C.12 cm D.2 3 cm
四、用数学眼光看世界
如图 7，长梯 AB 斜靠在墙壁上，梯脚 B 距墙 80 cm，梯上点 D 距墙 70 cm，量得 BD 长
55 cm，求梯子的长.
图 7
参考答案
一、答：对应角相等、对应边成比例的两个三角形是相似三角形
判定两个三角形相似的方法详见课本，略.
二、（1）相似 3∶5 （2）∠C=∠ADE（或∠B=∠AED 等）
（3）5 （4）三 △ACD∽△ABC △BCD∽△BAC △ACD∽△CBD
三、（1）A （2）D （3）C （4）D
四、解：设梯子的长 AB 为 x cm（如图）
由 Rt△ADE∽Rt△ABC 得：
AB
AD
BC
DE
∴
x
x 55
80
70
解得：x=440
答：梯子的长是 440 cm.
4.6 探索三角形相似的条件同步练习 2
一、请你填一填
（1）如图 1，在△ABC 中，AC 是 BC、DC 的比例中项，则△ABC∽________,理由是________.
图 1 图 2
（2）如图 2，D、E、F 分别是△ABC 各边的中点，则△DEF∽________,理由是________.
（3）如图 3，∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，AB=2AD，若 BC=3 cm,则 DE=________cm.
图 3 图 4
（4）如图 4，正方形 ABCD 的边长为 2，AE=EB，MN=1，线段 MN 的两端分别在 CB、CD 上滑动，
那么当 CM=________时，△ADE 与△MNC 相似.
二、认真选一选
（1）如图 5，下列条件不能判定△ABC 与△ADE 相似的是（ ）
A.
AB
AC
AD
AE B.∠B=∠ADE C.
BC
DE
AC
AE D.∠C=∠AED
图 5 图 6
（2）在□ABCD 中，E 在 BC 边上，AE 交 BD 于 F，若 BE∶EC=4∶5，则 BF∶FD 等于（ ）
A.4∶5 B.5∶4 C.5∶9 D.4∶9
（3）如图 6，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于点 D，CD=2，BD=1，则 AD 的长是（ ）
A.1 B. 2 C.2 D.4
三、开动脑筋哟
如图 7，在四边形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，∠ABD=∠ACD，试找出图中的相似三角
形，并加以证明.
图 7
四、用数学眼光看世界
如图 8，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一点 A，再在河的这一边选定点 B
和点 C，使得 AB⊥BC，然后选定点 E，使 EC⊥BC，确定 BC 与 AE 的交点 D，若测得 BD=180
米，DC=60 米，EC=50 米，你能知道小河的宽是多少吗？
图 8
参考答案
一、（1）△DAC 这两个三角形的两边对应成比例且夹角相等，这两个三角形相似
（2）△ABC 这两个三角形的三边对应成比例，这两个三角形相似
（3）1.5 （4）
5
52 或
5
5
二、（1）C （2）D （3）D
三、（1）△AOB∽△DOC （2）△AOD∽△BOC
证明：（1）∵∠ABD=∠ACD，∠AOB=∠DOC（对顶角相等）
∴△AOB∽△DOC
（2）由（1）知△AOB∽△DOC
∴
OC
OB
OD
OA ，
∴
OC
OD
OB
OA
又∵∠AOD=∠BOC
∴△AOD∽△BOC
四、解：∵由已知得∠ABD=∠DCE=90°,∠ADB=∠CDE
∴△ABD∽△ECD ∴
DC
BD
EC
AB
将 EC=50，BD=180，DC=60 代入上式得：
60
180
50
AB ，∴AB=150
即：小河的宽是 150 米.
4.7 测量旗杆的高度同步练习
一、请你填一填
（1）某建筑物在地面上的影长为 36 米，同时高为 1.2 米的测杆影长为 2 米，那么该建筑物
的高为________米.
（2）垂直于地面的竹竿的影长为 12 米，其顶端到其影子顶端的距离为 13 米，如果此时测
得某小树的影长为 6 米，则树高________米.
（3）如图 1，若 OA∶OD=OB∶OC=n，则 x=________（用 a,b,n 表示）.
图 1 图 2 图 3
二、认真选一选
（1）如图 2，铁道口的栏道木短臂长 1 米，长臂长 16 米，当短臂下降 0.5 米时，长臂的端
点升高（ ）米
A.11.25 B.6.6 C.8 D.10.5
（2）一个地图上标准比例尺是 1∶300000,图上有一条形区域，其面积约为 24 cm2，则这块
区域的实际面积约为（ ）平方千米
A.2160 B.216 C.72 D.10.72
（3）如图 3，将△ADE 绕正方形 ABCD 的顶点 A 顺时针旋转 90°得△ABF，连结 EF 交 AB 于 H，
则下列结论错误的是（ ）
A.AE⊥AF B.EF∶AF= 2 ∶1 C.AF2=FH·FE D.FB∶FC=HB∶EC
三、用数学眼光看世界
如图 4，要测一个小湖上相对两点 A、B 的距离，要求在 AB 所在直线同一侧岸上测.小
明采取了以下三种方法，如图 5，图 6，图 7.
图 4
（1）请你说明他各种测量方法的依据.
（2）根据所给条件求 AB 的长.
方 法一 ：已 知 AB BC ，BC=50 米 ，AC=130 米 ，则 AB=________ 米 ，其 依据 是
___________________________________ .
图 5
方 法 二 ： 已 知 AO ∶ OD=OB ∶ OC=3 ∶ 1,CD=40 米 ， 则 AB=________ 米 ， 其 依 据 是
___________________________________ .
图 6
方法三 ：已知 E、F 分别为 AC、BC 的中点，EF=60 米，则 AB=________米，其依据是
___________________________________ .
图 7
参考答案
一、（1）21.6 （2）2.5 （3）
2
nba
二、（1）C （2）B （3）C
三、方法一：AB=120 米，△ABC 为直角三角形，根据勾股定理可得 AB 长.
方法二：AB=120 米，△AOB∽△DOC 则对应边成比例.
方法三：AB=120 米，EF 是△ABC 的中位线，由三角形中位线定理得 EF=
2
1 AB.
4.8 相似多边形的性质同步练习 1
一、选择题
1.△ABC∽△ A B C ，相似比是 2∶3，那么△ A B C 与△ABC 面积的比是 ( )
A.4∶9 B.9∶4 C.2∶3 D.3∶2
2.将一个五边形改成与它相似的五边形，如果面积扩大为原来的 9 倍，那么周长扩大为原来
的 ( )
A.9 倍 B.3 倍 C.81 倍 D.18 倍
3.在△ABC 中，DE∥BC，交 AB 于 D，交 AC 于 E，且 AD∶DB=1∶2，则下列结论正确的是( )
A.
BC
DE =
2
1 B.
BC
DE =
3
1 C.
的周长
的周长
ABC
ADE
=
2
1 D.
ABC
ADE
S
S
=
3
1
4.如图 1，□ABCD 中，AE∶ED=1∶2，S△AEF=6 cm2，则 S△CBF 等于( )
图 1
A.12 cm2 B.24 cm2 C.54 cm2 D.15 cm2
5.下列说法中正确的是( )
A.位似图形可以通过平移而相互得到 B.位似图形的对应边平行且相等
C.位似图形的位似中心不只有一个 D.位似中心到对应点的距离之比都相等
二、填空题
6.△ABC∽△ A B C ，相似比是 3∶4，△ABC 的周长是 27 cm，则△ A B C 的周长为________.
7.两个相似多边形对应边的比为 3∶2，小多边形的面积为 32 cm2，那么大多边形的面积为
________.
8.若两个三角形相似，且它们的最大边分别为 6 cm 和 8 cm，它们的周长之和为 35 cm，则
较小的三角形的周长为________.
9.在矩形 ABCD 中，E、F 分别为 AB、CD 的中点，如果矩形 ABCD∽矩形 BCFE，那么 AD∶
AB=________，相似比是________，面积比是________.
10.已知，如图 2， A B ∥AB， B C ∥BC，且OA ∶ A A =4∶3，则△ABC 与________是位
似图形，位似比为________；△OAB 与________是位似图形，位似比为________.
图 2
三、解答题
11.在比例尺为 1∶50000 的地图上，一块多边形地区的周长是 72 cm，多边形的两个顶点 A、
B 之间的距离是 25 cm，求这个地区的实际边界长和 A、B 两地之间的实际距离.
12.如图 3，梯形 ABCD 中，AB∥CD，AC、BD 交于 E，若 S△DCE∶S△DCB=1∶3，求 S△DCE∶S△ABD.
图 3
13.已知：△ABC∽△ A B C ，它们的周长之差为 20，面积比为 4∶1，求△ABC 和△ A B C
的周长.
14.选取一个你喜欢的图形，然后将此图形放大，使放大后的图形的面积是原图形面积的 4
倍.
参考答案
一、1.B 2.B 3.B 4.C 5.D
二、6.36 cm 7.72 cm2 8.15 cm 9. 2 ∶2 2 ∶1 2∶1 10.△ A B C 7∶4
△OA B 7∶4
三、11.36 千米 12.5 千米 12.1∶6 13.40 20 14.略
4.8 相似多边形的性质同步练习 2
相似多边形的周长比和面积比
一、请你填一填
（1）若△ABC∽△ A B C ，AB=4，BC=5，AC=6，△ A B C 的最大边长为 15，那么它们的
相似比是________,△ A B C 的周长是________.
图 1
（2）两个相似三角形的相似比为 2∶3，它们周长的差是 25，那么较大三角形的周长是
________.
（3）如图 1，在□ABCD 中，延长 AB 到 E，使 BE=
2
1 AB，延长 CD 到 F，使 DF=DC，EF 交 BC
于 G，交 AD 于 H，则△BEG 与△CFG 的面积之比是________.
（4）把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的
2
1 倍，那么边长应缩
小到原来的________倍.
二、认真选一选
(1)如图 2，把一个矩形纸片 ABCD 沿 AD 和 BC 的中点连线 EF 对折，要使矩形 AEFB 与原矩形
相似，则原矩形长与宽的比为（ ）
A.2∶1 B. 3 ∶1 C. 2 ∶1 D.4∶1
图 2 图 3
(2)如图 3，在△ABC 中，D、E 分别是边 AB、AC 的中点，△ADE 和四边形 BCED 的面积分别记
为 S1、S2，那么
2
1
S
S 的值为（ ）
A.
2
1 B.
4
1 C.
3
1 D.
3
2
图 4
(3)如图 4，在 Rt△ABC 中，AD 为斜边 BC 上的高，若 S△CAD=3S△ABD，则 AB∶AC 等于（ ）
A.1∶3 B.1∶4 C.1∶ 3 D.1∶2
(4)顺次连结三角形三边的中点，所成的三角形与原三角形对应高的比是（ ）
A.1∶4 B.1∶3 C.1∶ 2 D.1∶2
三、灵机一动
某生活小区开辟了一块矩形绿草地，并画了甲、乙两张规划图，其比例尺分别为 1∶200
和 1∶500，求这块矩形草地在甲、乙两张图纸上的面积比.
四、用数学眼光看世界
如图 5，△ABC 是一块锐角三角形余料，其中 BC=12 cm，高 AD=8 cm，现在要把它裁剪
成一个正方形材料备用，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB、AC 上，问这个
正方形材料的边长是多少？
图 5
参 考 答 案
一、（1）2∶5 37.5 (2)75 (3)1∶16 (4)
2
2
二、（1）C (2)C (3)C (4)D
三、解：设这块矩形绿地的面积为 S，在甲、乙两张规划图上的面积分别为 S1、S2
则
S
S1 =（
200
1 ）2，
S
S 2 =（
500
1 ）2
∴S1=
40000
S ，S2=
250000
S
∴S1∶S2=
40000
S ∶
250000
S =
4
1 ∶
25
1 =25∶4
即：这块草地在甲、乙两张图上的面积比为 25∶4
四、解：设这个正方形材料的边长为 x cm
则△PAN 的边 PN 上的高为（8－x） cm
∵由已知得：△APN∽△ABC
∴
BC
PN =
AD
x8 ，即
12
x =
8
8 x 解得：x=4.8
答：这个正方形材料的边长为 4.8 cm.
4.9 图形的放大与缩小同步练习
一、请你填一填
（1）如果 a∶b=3∶2,则（a+b）∶b=________.
（2）如果一张地图的比例尺为 1∶3000000,在地图上量得长春到大连的距离为 25 cm，长春
到大连的实际距离为________千米.
（3）如果梯形的中位线长是 12 cm，一条对角线与中位线所成两条线段的比是 2∶1，则梯
形两底的长分别为________.
（4）如图 1，火焰的光线穿过小孔 O，在竖直的屏幕上形成倒立的实像，像的长度 BD=2 cm，
OA=60 cm, OB=15 cm，则火焰的长度为________.
图 1 图 2
（5）如图 2，五边形 ABCDE 与五边形 A B C D E 是位似图形，且位似比为
2
1 .若五边形 ABCDE
的面积为 17 cm2，周长为 20 cm，那么五边形 A B C D E 的面积为________，周长为________.
二、认真选一选
（1）如图 3，AD 是△ABC 的中线，AE=EF=FC，则下列关系式：
①
AD
AG =
2
1 ②
BE
GE =
3
1 ③
BE
BC =
4
3 ,其中正确的是（ ）
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
图 4
图 3
（2）若
zy
x
=
zx
y
=
yx
z
=k,则 k=（ ）
A.0 B.
2
1 C.－1 D.
2
1 或－1
（3）某班在布置新年联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如
图 4，在 Rt△ABC 中，∠C=90°,AC=30 cm，AB=50 cm，依次裁下宽为 1 cm 的矩形彩条 a1、
a2、a3…….若使裁得的矩形纸条的长都不小于 5 cm，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形
纸条总数是（ ）
A.24 B.25 C.26
D.27
三、举一反三
（1）将有一个锐角为 30°的直角三角形放大，使放大后的三角形的边是原三角形对应边的
3 倍，并分别确定放大前后对应斜边的比值、对应直角边的比值.
（2）一三角形三顶点的坐标分别是 A（0，0），B（2，2），C（3，1），试将△ABC 放大，使
放大后的△DEF 与△ABC 对应边的比为 2∶1.并求出放大后的三角形各顶点坐标.
参 考 答 案
一、（1）5∶2 （2）750 （3）8 cm、16 cm
（4）8 cm （5）
4
17 cm2 10 cm
二、(1)B (2)D (3)B
三、(1)1∶3 1∶3
(2)位似中心取点不同,所得 D、E、F 各点坐标不同，即答案不惟一.
第五章 数据的收集与处理
5.1 每周干家务活的时间同步练习
一、选择题（每题 5 分，共 30 分）
1.下列统计中，能用“全面调查”的是（ ）
A.某厂生产的电灯使用寿命 B.全国初中生的视力情况
C.某校七年级学生的身高情况 D.“娃哈哈”产品的合格率
2.下列调查中，用全面调查方式收集数据的是（ ）．
①为了了解全校学生对任课教师的意见，学校向全校学生进行问卷调查
②为了了解初中生上网情况，某市团委对 10 所初中的部分学生进行调查
③某班学生拟组织一次春游活动，为了确定春游的地点，向同学进行调查
④了解全班同学的作业完成情况，对学号为奇数的学生进行调查
A.①③ B.①② C.②④ D.②③
3.今年我市有 9 万名初中毕业生参加升学考试，为了了解 9 万名考生的数学成绩，从中抽取
2000 名考生数学成绩进行统计分析．在这个问题中总体是（ ）
A.9 万名考生 B.2000 名考生
C.9 万名考生的数学成绩 D.2000 名考生的数学成绩
4.下列调查方式，合适的是（ ）
A.要了解一批灯泡的使用寿命，采用普查方式
B.要了解淮安电视台“有事报道”栏目的收视率，采用普查方式
C.要保证“神舟六号”载人飞船成功发射，对重要零部件的检查采用抽查方式
D.要了解外地游客对“淮扬菜美食文化节”的满意度，采用抽查方式
5.为了了解一批冰箱的功能，从中抽取 10 台进行检查试验，这个问题中，数目 10 是（ ）
A.总体 B.个体 C.样本 D.样本容量
6.某市社会调查队对城区内一个社区居民的家庭经济状况进行调查. 调查的结果是, 该社
区共有 500 户, 高收入.中等收入和低收入家庭分别有 125 户.280 户和 95 户. 已知该市
有 100 万户家庭下列表述正确的是 ( )
A.该市高收入家庭约 25 万户
B.该市中等收入家庭约 56 万户
C.该市低收入家庭业 19 万户
D.因城市社区家庭经济状况好，所以不能据此估计全市所有家庭经济状况
二、填空题（每题 5 分，共 30 分）
7.总体是__________,样本是_________. 样本的容量是________, 个体是__________.
8.①为了了解你们班同学的视力情况，对全班同学进行调查.②为了了解你们学校学生对某
本书的喜爱情况，对所有学号是 9 的倍数的学生进行调查.在调查过程中，①采取了
_____________调查方式.②采取了________调查方式
9.为了全校 800 名八年级学生的身高，抽查某一班 50 名学生测量身高.在这个问题中，
_______________是总体，_______________是个体，_______________是样本.
10.为了了解某八年级学生的营养状况，可通过抽区学生的血样进行血色素检测。在这个问
题中是以普查还是以抽样调查好？答_____________.
11.某班 50 名学生右眼视力的检查结果如下表：
视力 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 1.0 1.2 1.5
人数 1 1 3 4 3 4 4 6 8 10 6
（1）视力为 1.5 的有_____人，视力为 1.0 的有______人，视力小于 1.0 的有______人.
（2）视力在 1.0 以上（包括 1.0）的为正常，则视力正常的有_____人，视力正常的人数
占全班人数的___________；
（3）该班学生视力情况________（选填“好”“一般”“差”）
12.某移动公司为了调查手机发送短信的情况，在本区域的 1000 位用户中抽取了 10 位用户
来统计他们某月份发送短信息的条数，结果如下表所示：
手机用户序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
发送短信息条数 85 78 83 79 84 85 86 88 80 85
则本次调查中抽取的样本容量是________，由此估计这 1000 位用户这个月共发送短信
________条.
三、解答题:（每题 10 分，共 40 分）
13.下列调查中，分别采用了哪种调查方式：
（1）为了了解你们班同学的年龄，对全班同学进行了调查.__________________。
（2）为了考察一个学校的学生参加课外体育活动情况，调查了其中 20 名学生每天参加课
外体育活动时间.___________________。
14 某农户承包了荒山种了 44 棵苹果树，现已进入第三年收获期。收获时，先随意摘了 5 颗
树上的苹果，称得每棵摘得的苹果重量如下（单位：千克）：35，35，34，39，37。
（1）在这个问题中总体，个体，样本各是什么？
（2）试根据样品平均数去估计总体情况，你认为该农户可收获苹果大约多少千克？
（3）若市场上苹果的售价为每千克 5 元，该农户的苹果收入将达多少元。
15.李娟同学为考察学校的用水情况,她在 4 月份一周内同一时刻连续记录了水表的示数,
记录结果如下表:
星期 一 二 三 四 五 六 日
水表示数(吨) 217 220 224 229 235 226 245
李娟估计学校 4 月份的用水量是多少吨？
16.为了考察一批树苗的高度，从中抽出 10 株，量得结果如下（单位：cm）：11，12，11，
13，12，14，11，13，11，14
（1）在这个问题中，总体，个体，样本各是什么？
（2）在这个样本中其众数，中位数，平均数各是什么？
（3）试估计这一批树苗的平均高度。
四.拓展探究（不计入总分）
17.查阅动物百科全书可以知道：喜鹊体长 41～52cm，营巢于高大乔木的中上层，每次产卵
5～8 枚；丹顶鹤体长约 140cm，营巢于周围环水的浅滩或深草丛中，每次产卵 2 枚；绿
孔雀体长 100～230cm，营巢于灌木丛.竹丛间的地面，每次产卵 4～8 枚；鸳鸯体长 38～
44cm，营巢于树洞中，每次产卵 7～12 枚，请用一张统计表简洁地表示上述信息，并谈
谈你从这些信息中发现了什么？
参考答案
1.C 2.A 3.C 4.D 5.D 6.D 7.全体七年级女同学的身高情况 抽测的 100 名女同
学的身高情况 100 每个女同学的身高情况 8.（1）普查；（2）抽样 9.800 名八年级
学生的身高 每个学生的身高 50 名学生的身高 10.抽样调查好
11.（1）6 8 26 （2）24 48％ （3）一般 12.10 83300
13.全面调查 抽样调查 14.（1）44 棵苹果树上的苹果重量是总体，每棵树上的苹果重量
是个体，样本是抽取 5 棵树上的苹果重量；
（2）由 35 35 34 39 37 44 15845
千克；（3）1584×5=7920 元
15.6840 吨 16.（1）略；（2）众数，中位数，平均数分别为 11，12，12.2；
（3）这批树苗的平均高度为 12.2cm.
17.统计表如下
鸟 名 喜鹊 丹顶鹤 绿孔雀 鸳鸯
营巢环境 大乔木 浅滩.深草丛 灌木丛.竹丛间 树洞
体长（cm） 41～52cm 约 140cm 100～230 cm 38～44cm
产卵枚数 5～8 2 4～8 7～12
从统计表可以看出：（1）丹顶鹤和其他三种鸟相比，它的营巢环境要求比较高，而产卵
数量比较少，这些可能是丹顶鹤被列为国家一级保护动物的部分原因；（2）鸟类的体长与产
卵数量没有明显的关系，等等.
5.2 数据的收集同步练习
(总分：50 分 时间 30 分钟)
一、选择题（每题 4 分，共 12 分）
1.下列方法属于“划记法”的是（ ）
A.我国古代的象形文字 B.鲁滨孙漂流时为了记日期而在船上刻的线
C.古罗马数字 D.阿拉伯数字
2.下列说法正确的是（ ）
A．有通过普查才能够获取总体的特征 B．抽样调查是获取数据的唯一途径
C．普查比抽样调查方便得多 D．抽样调查时的样本应具有随机性
3.为了了解某县 20-30 岁青年的文化水平（学历来反映），采取了抽样调查方式获得结果。
下面所采取的抽样方式合理的是（ ）
A.抽查了该县 20-30 岁的在职干部
B.抽查了该县城关地区 20-30 岁的青年
C.随机抽查了该县所有 20-30 岁青年共 500 名
D.抽查了该县农村某镇的所有 20-30 岁的青年
二、填空题（每题 4 分，共 8 分）
4.为了了解中央电视台春节联欢晚会的收视率，应采用适合的调查方式为_________（选填
“全面调查”或“抽样调查”）.
5.抽样调查为了获得较为准确的调查结果，抽样时要注意样本的_______和________.
三、解答题（每题 6 分，共 30 分）
6.2003 年 5 月，一场抗击非典肺炎的“战争”在全国各地进行着，为了获得每天感染非典
患者，疑似病例患者的数据，需要对十二亿多人进行普查吗？你认为采取什么调查方式更
适合？请结合实际情况谈谈你的想法。
7.为了完成下列任务，你认为采用什么调查方式更合适？
（1）了解你们班同学周末时间是如何安排的.
（2）了解一批圆珠笔芯的使用寿命.
（3）了解我国八年级学生的视力情况.
8.姚明作为我国最优秀的篮球运动员转会至美国 NBA，一方面推动我国篮球事业的快速发
展，同时也给他所加入的 NBA 俱乐部带来更大的商机，它将拥有来自世界人口最多的国家
的广大球迷爱好者和姚明的崇拜者，使得凡是姚明所参加的每一场 NBA 球赛能获得更多的
观众收视率。如果要对姚明最近一场球赛的收视率在国内进行调查，是否每个看电视的人
都要被问到？仅对六十岁以上的老年同志的调查结果能否作为该场比赛的国内收视率？
你认为应该怎样调查更合适些？
9.《红楼梦》是我国最经典的名著之一，为了了解我国阅读过，《红楼梦》的读者，你认为
采用什么方式调查更合适些？你认为对不同地区，不同年龄，不同文化背景的人所做的调
查结果会一样吗？
10.为了保护环境，某校环保小组成员小明收集废电池，第一天收集 1 号电池 4 节，5 号电
池 5 节。总重量为 450 克，第二天收集 1 号电池 2 节，5 号电池 3 节，总重量为 240 克。
求 1 号电池和 5 号电池每节分别重多少？
学校环保小组为估算四月份收集废电池的总重量，他们随意抽取了该月某 5 天每天收集
废电池的数量，如下表：
1 号废电池（单位：节） 29 30 32 28 31
5 号废电池（单位：节） 51 53 47 49 50
分别计算两种废电池的样本平均数；并由此估算该月（30 天）环保小组收集废电池的总
重量是多少千克？
试说明上述表格中数据的获取方法。你认为这种方法合理吗？
四、拓展探究（不计入总分）
11.社会的信息化程度越来越高，计算机网络已进人普通百姓家，某市电信局对计算机拨号
上网用户提供三种付费方式供用户选择（每个用户只能选择其中一种付费方式）：甲种方
式是按实际用时付费，每小时付信息费 4 元，另加付电话话费每小时 1 元 2 角；乙种方
式是包月制，每月付信息费 100 元，同样另加付电话话费每小时 1 元 2 角；丙种方式也
是包月制，每月付信息费 150 元，但不必另付电话费．某用户为选择合适的付费方式，
连续记录了 7 天中每天上网所花的时间（单位：分）：
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
上网时间 62 40 35 74 27 60 80
根据上述情况，该用户选择哪种付费方式比较合适，请你帮助选择，并说明理由（每个
月按 30 天计）
参考答案
1.B 2.D 3.C 4.抽样调查 5.代表性 广泛性
6.可采用重点地区重点调查方法 7.普查：（1）；抽样调查：（2）（3） 8.略
9.可采用对不同地区，不同年龄，不同文化背景的人群中抽样调查即可，不一样
10.（1）设每节 1 号电池重 x 克，每节 5 号电池为 y 克。
依题意可列方程组为 4 5 450
2 3 240
x y
x y
解得 x=75（克），y=30（克），即 1 号电池每节 75 克，5 号电池每节 30 克；
（2） 1x ＝ 29 30 32 28 31
5
＝30（节）， 5
51 53 47 49 50 505x （节）.
故每天可收集的废电池总重量是为 30×75+50×30=3750（克）
因而环保小组本月可收集 3750×30＝112500 克＝112.5 千克；
（3）上述表格中数据是抽样调查的结果，且由于抽样的“随意”性知，这种抽样调查方法
是合理的。
11.该用户一个月总上网时间约为：
62 40 35 74 27 60 80 30 607
＝27（小时）
选甲每月付：5.2×27＝140.4（元），
选乙每月付：100＋1.2×27＝132.4（元），
选丙每月付 150 元，
所以选乙种付费方式比较恰当.
5.3 频数与频率同步练习 1
(总分：100 分 时间 45 分钟)
一、选择题（每题 5 分，共 30 分）
1.下列四个统计图中，用来表示不同品种的奶牛的平均产奶量最为合适的是（ ）
2.在对 n 个数据进行整理的频率分布表中，各组的频数与频率之和分别等于（ ）
A.n，1 B.n，n C.1，n D.1，1
3.某地上半年每月的平均气温是 5℃，8℃，12℃，18℃，24℃，30℃，为了表示出气温变
化的情况可以把它绘制成（ ）
A.扇形统计图 B.折线统计图 C.条形统计图 D.以上都可以
4.下表是某一地区在一年中不同季节对同一商品的需求情况的统计表（单位：件），如果你
是工商局的统计员，要为厂家提供关于这种商品的直观统计图，则应选择的统计图为
（ ）
季 度 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度
某商品需求量 3300 1500 2700 4000
A.条形统计图 B.折线统计图 C.扇形统计图 D.前面三种都可以
5.如图是某中学七年级学生参加课外活动人数的扇形统计图，若参加舞蹈类的学生有42人，
则参加球类活动的学生人数有（ ）
A.145 人 B.147 人 C.149 人 D.151 人
球类
其它
35%
40%
15%
美术
类
舞蹈
类
6.如图是两户居民家庭全年各项支出的统计图.根据统计图，下列对两户教育支出占全年总
支出的百分比作出的判断中，正确的是（ ）
A.甲户比乙户大 B.乙户比甲户大 C.甲.乙两户一样大 D.无法确定哪一户大
7.甲.乙二人参加某体育项目训练，为了便于研究，把最近五次训练成绩绘制成如图所示的
折线图，下面的结论错误的是（ ）
A.乙的第二次成绩与第五次成绩相同 B.第三次测试甲的成绩与乙的成绩相同
C.第四次测试甲的成绩比乙的成绩多 2 分 D.由表可以看出，甲的成绩稳定
543210
10
11
12
13
14
15
16
得分 甲：
乙：
次序
二、填空题（每题 5 分，共 30 分）
8.某中学一位同学调查了八年级 60 名学生观看自己最喜爱的电视节目的情况，其中有 10
人爱看动画片，15 人爱看连续剧，23 人爱看体育节目，12 人爱看新闻节目.在上面问题
中，__________________________分别为各节目出现的频数，其中爱看动画片的频率约为
__________________________.
9.中国历届奥运会奖牌可用折线图表示，第______届奥运会比它的上一届奖牌增加的最多.
第
23
届
第
24
届
第
25
届
第
26
届
第
27
届
0
35
70
奖牌数
10.在扇形统计图中，其中有一个扇形的圆心角为 108°，那么这个扇形所表示的部分占总
体的百分比是___________.
11.如图是某晚报社“百姓热线”一周内接到的热线电话的统计图，其中有关环境保护的问
题最多，共 60 个电话，请观察统计图，回答下列问题：（1）本周“百姓热线”共接到热
线电话________个，（2）有关交通电话有_________个.
5%
15%
15%
10%
20%
35%
万闻轶事
其他投诉
道路交通
环境保护
房产建筑
表扬建议
12.已知样本容量为 30，在以下样本频率分布直方图中，各小长方形的高之比 AE∶BF∶CG∶
DH＝2∶4∶3∶1，则第 2 组的频率和频数分别为_________.__________.
A B C D
H
G
F
E
频率
组距
三、解答题（每题 10 分，共 40 分）
13.某市有 5 类学校，各类学校占总校数的百分比如下：
学校 幼儿园 小学 中学 特殊教育 高等院校
百分比 36％ 32％ 22％ 4％ 6％
（1）计算各类学校对应的扇形圆心角度数；
（2）画扇形统计图来表示上面的信息；
（3）哪两类学校较多？各占百分比是多少？
（4）若高等院校有 42 所，则该市共有学校多少所？中学有多少所？
14.某中学团委会为研究该校学生的课余活动情况，采取抽样的方法，从阅读.运动.娱乐.
其它等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制了如下的两幅不完
整的统计图（如图），请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次研究中，一共调查了多少名学生？
（2）“其它”在扇形图中所占的圆心角是多少度？
（3）补全频数分布折线图．
15.下图是 A.B 两所学校艺术节期间收到的各类艺术作品情况的统计图：
(1)从图中你能否看出哪所学校收到的水粉画作品的数量多？为什么?
(2)已知 A 学校收到的剪纸作品比 B 学校的多 20 件，收到的书法作品比 B 学校的少 100
件，请问这两所学校收到艺木作品的总数分别是多少件？
其它娱乐
40%
运动
20% 阅读
阅读 运动 娱乐 其它 项目
10
20
30
40
50
人数
O
书法
40％
剪纸
10％
其他
28％
水粉画
22％
书法
50％
水粉画
20％
其他
25％
剪
纸
5％
A 学校 B 学校
16.某市对当年初中升高中数学考试成绩进行抽样分析，试题满分 100 分，将所得成绩（均
为整数）整理后，绘制了如图所示的统计图，根据图中所提供的信息，回答下列问题：
（1）共抽取了多少名学生的数学成绩进行分析？
（2）如果 80 分以上（包括 80 分）为优生，估计该年的优生率为多少？
（3）该年全市共有 22000 人参加初中升高中数学考试，请你估计及格（60 分及 60 分以
上）人数大约为多少？
四、拓展探究（不计入总分）
17.（2007 年武汉）某区七年级有 3000 名学生参加“安全伴我行知识竞赛”活动.为了了解
本次知识竞赛的成绩分布情况，从中抽取了 200 名学生的得分(得分取正整数，满分为 100
分)进行统计.
分组 频数 频率
49.5～59.5 10
59.5～69.5 16 0.08
69.5～79.5 0.20
79.5～89.5 62
20
10
30
40
50
60
70
80
16
62
72
频数
成绩(分)
49.5 59.5 69.5 79.5 89.5 100.5
89.5～100.5 72 0.36
请你根据不完整的频率分布表，解答下列问题：
(1)补全频数分布直方图；
(2)若将得分转化为等级，规定得分低于 59.5 分评为“D”，59.5～69.5 分评为“C”，69.5～
89.5 分评为“B”，89.5～100.5 分评为“A”.这次全区七年级参加竞赛的学生约有多少学生
参赛成绩被评为“D”？如果随机抽查一名参赛学生的成绩等级，则这名学生的成绩被评为
“A”.“B”.“C”.“D”哪一个等级的可能性大？请说明理由.
参考答案
1.D 2.A 3.B 4.D 5.B 6.D 7.D
8.15.23.12 0.17 9.25 10.30％ 11.300 105 12.0.4 12
13.（1）
学 校 幼儿园 小学 中学 特殊教育 高等院校
圆心角 129.6° 115.2° 79.2° 14.4° 21.6°
（2）图略
（3）幼儿园和小学较多，分别占 36％.32％
（4）若高等院校有 40 所，则该市共有学校 700 所，中学有 154 所.
14.（1）100 名 （2）36°
（3）
阅读 运动 娱乐 其它 项目
10
20
30
40
50
人数
O
15.（1）不能，因为扇形统计图只能看出水粉画所占的比例，而得不到具体数据的多少.
（2）A 学校收到艺术作品总数为 500 件，B 学校收到艺术作品为 600 件.
16.（1）共抽取了 300 名学生的数学成绩进行分析.
（2）如果 80 分以上（包括 80 分）为优生，估计该年的优生率为 35％.
（3）该年全市共有 22000 人参加初中升高中数学考试，请你估计及格（60 分及 60 分以
上）人数大约为 15400 人.
17.（1）图略
（2）由表知：评“D”的频率是 10 1
200 20
，
由此估计全区七年级参加竞赛的学生约 1
20
×3000＝150（人）被评为“D”
∵P（A）＝0.36，P（B）＝0.51，P（C）＝0.08，P（D）＝0.05,
∴P（A）＞P（B）＞P（C）＞P（D），
∴随机抽查一名参赛学生的成绩等级“B”的可能性大.
5.3 频数与频率同步练习 2
一、选择题（每题 5 分，共 30 分）
1.一个扇形统计图中，扇形 A、B、C、D 的面积之比为 2∶1∶4∶5，则最大扇形的圆心角为
（ ）
A.80° B.100° C.120° D.150°
2.某校为了了解九年级全体男生的身体发育情况，对20名男
生的身高进行了测量（测量结果均为整数，单位：厘米）.
将所得的数据整理后，列出频率分布表，如右表所示：
则下列结论中：（1）这次抽样分析的样本是20名学生；（2）
频率分布表中的数据a＝0.30；（3）身高167cm（包括167cm）
的男生有9人，正确的有（ ）
A.（1）（2）（3） B.（1）（2） C.(1)(3) D.（2）（3）
3.如图，是一个正在绘制的扇形统计图，整个圆表示某班参加体育活动的总人
数，那么表示参加立定跳远训练的人数占总人数的 35%的扇形是（ ）
A.M B.N C.P D.Q
4.如图为 1995～2000 年我国国内生产总值年增长率的变化情况，从图上看，下
列结论中不正确的是（ ）
A.1995～1999 年，国内生产总值的年增长率逐
年减少
B.2000 年国内生产总值的年增长率开始回升
C.这 7 年中，每年的国内生产总值不断增长
D.这 7 年中，每年的国内生产总值有增有减
5.某校公布了该校反映各年级学生体育达标情
况的两张统计图，该校七.八.九三个年级共有学生 800 人.甲、乙、丙三个同学看了这两张统
计图后，甲说：“七年级的体育达标率最高.”乙说：“八年级共有学生 264 人.”丙说：“九年
级的体育达标率最高.”甲.乙.丙三个同学中，说法正确的是（ ）
A.甲和乙 B.乙和丙 C.甲和丙 D.甲和乙及丙
6.“长三角”16 个城市中浙江省有 7 个城市.下图分别表示 2004 年这 7 个城市 GDP（国民生
产总值）的总量和增长速度.则下列对嘉兴经济的评价，错误．．的是（ ）
A.GDP 总量列第五位 B.GDP 总量超过平均值
分 组 频数 频率
151.5～156.5 3 0.15
156.5～161.5 2 0.10
156.5～166.5 6 a
166.5～171.5 5 0.25
171.5～176.5 4 0.20
Ｐ
Ｑ
Ｍ
Ｎ
年2000199919981997199619951994
百分比
12
10
8
6
4
2
0
C.经济增长速度列第二位 D.经济增长速度超过平均值
二、填空题（每题 5 分，共 30 分）
7.一个样本含有下面 10 个数据：52，51，49，50，47，48，50，51，48，53，则最大的值
是_________，最小的值是_________，如果组距为 1.5，则应分成________组.
8.在数据 55，66，23，33，22，65，84，87，23，24，88 中，大于等于 50 而小于等于 70
的数共有_________个
9.在扇形统计图中，有两个扇形的圆心角度数之比为 3∶4，且较小扇形表示 24 本课本书，
则较大扇形表示________本课本书.
10.一组数据共 50 个，分别落在 5 个小组内 ，第一、二、三、四组的数据分别为 2，8，15，
20，则第五小组的频数和频率分别为________，_________.
11.已知样本 25，21，23，25，27，29，25，28，30，29，26，24，25，27，26，22，24，
25，26，28.若取组距为 2，那么应分为______组，在 24.5～26.5 这一组的频数是_______.
12.小亮调查本班同学的身高后，将数据绘制成如右图所示的
频数分布直方图（每小组数据包含最小值，但不包含最大
值．比如，第二小组数据 x 满足：145≤x＜150，其它小组
的数据类似）．设班上学生身高的平均数为 x ，则 x 的取值
范围是_______________．
三、解答题（每题 10 分，共 40 分）
13.甲.乙两人在某公司做见习推销员，推销“小天鹅”洗衣机，
他们在 1～8 月份的销售情况如下表所示：
月份 1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月
140145150155160165170175
3
6
9
16
9
5
2
5
10
15
20
学生人数
身高 / cmx
甲的销售量（单位：台） 7 8 6 7 6 6 7 7
乙的销售量（单位：台） 5 6 5 6 7 7 8 9
（1）在右边给出的坐标系中，绘制甲、乙两人这 8 个月的月销售量
的折线图：（甲用实线；乙用虚线）
（2）请根据（1）中的折线图，写出 2 条关于甲、乙两人在这 8 个月
中的销售状况的信息. ① ；
② .
14.为了了解学生参加体育活动的情况，学校对学生进行随机抽样调查，
其中一个问题是“你平均每天参加体育活动的时间是多少?”，共有 4 个选项：
A．1．5 小时以上 B．1～1．5 小时 C．0．5—1 小时 D．0．5 小时以下
图 1、图 2 是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息，
解答以下问题：
(1)本次一共调查了多少名学生?
(2)在图 1 中将选项 B 的部分补充完整；
(3)若该校有 3000 名学生，你估计全校可能有多少名学生平均每天参加体育活动的时间
在 0．5 小时以下．
图 1 图 2
月份
销售量（台）
0
1
1
15.下图表示的是某班同学衣服上口袋的数目：
（1）从图中是否能够得出以下信息？
①只有 4 个人的衣服上有 4 个口袋；②只有 1 个人的衣服上有 8 个口袋；
③只有 3 个人的衣服上有 5 个口袋；
（2）根据上图填写下面的频数分布表，并绘制频数分布直方图.
口袋数目 1≤x＜3 3≤x＜5 5≤x＜7 7≤x＜9 x≥9
频数记录
频 数
16.某校为了了解九年级学生的体能情况，抽调了一部分学生进行一分钟跳绳测试，将测试
成绩整理后作出如下统计图．甲同学计算出前两组的频率和是 0.12，乙同学计算出跳绳
次数不少于 100 次的同学占 96％，丙同学计算出从左至右第二.三.四组的频数比为 4∶
17∶15．结合统计图回答下列问题：
（1）这次共抽调了多少人?
（2）若跳绳次数不少于 130 次为优秀，则这次测试成绩的优秀率是多少?
四、拓展探究（不计入总分）
17.人们常用人均教育经费来反映一个地区对教育投入的情况，我国 30 个城市 2001 年人均
教育经费的统计数据如下.（单位：元）
北京 731 南宁 100 长春 101 重庆 102 乌鲁木齐 171
青岛 425 深圳 584 合肥 192 武汉 184 上海 790
兰州 170 呼和浩特 206 广州 483 天津 440 郑州 197
南京 292 福州 349 洛阳 127 南昌 117 贵阳 166
吉林 76 海口 183 济南 205 昆明 234 西安 126
成都 160 哈尔滨 249 石家庄 228 长沙 155 沈阳 237
（1）将以上数据进行如下分组，并填写表格：
人均教育经费 0≤x＜160 160≤x＜320 320≤x＜480 480≤x＜640 640≤x＜800
城市数（频数）
（2）画出分布直方图和折线图.
参考答案
1.D 2.B 3.C 4.D 5.A 6.B 7.53 47 4 8.3 9.32
10.5 0.1 11.5 8 12.154.5 159.5x ≤
13.（1）略（2）①乙的月销售量总体上呈上升趋势；
②甲的月销售量总体上呈平稳态势；等等.
14.（1）解:200 名 （2）略 （3）3000×5％＝150 人
15.（1）能得到①③；
（2）
口袋数目 1≤x＜3 3≤x＜5 5≤x＜7 7≤x＜9 x≥9
频数记录
频 数 4 7 6 1 2
16.（1）这次共抽调 150 人；（2）26.67%；
17.（1）
人均教育经费 0≤x＜160 160≤x＜320 320≤x＜480 480≤x＜640 640≤x＜800
城市数（频数） 8 15 3 2 2
（2）图略.
5.4 数据的波动同步练习 1
(总分：100 分 时间 45 分钟)
一、选择题（每题 5 分，共 30 分）
1.若一组数据 1，2，3，x 的极差为 6，则 x 的值是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．7 或－3
2.已知甲.乙两组数据的平均数相等，若甲组数据的方差 2s 甲 ＝0.055，乙组数据的方差 2s 乙
＝0.105，则（ ）
A．甲组数据比乙组数据波动大 B．乙组数据比甲组数据波动大
C．甲组数据与乙组数据的波动一样大 D．甲、乙两组数据的数据波动不能比较
3.一组数据 13，14，15，16，17 的标准差是（ ）
A.0 B.10 C. 2 D.2
4.在方差的计算公式 s 2 =
10
1 [（x 1 -20） 2 +（x 2 -20） 2 +……+（x 10 -20） 2 ]中，数字 10
和 20 分别表示的意义可以是 （ ）
A.数据的个数和方差 B.平均数和数据的个数
C.数据的个数和平均数 D.数据组的方差和平均数
5.已知一组数据的方差为 34
5
，数据为：－1，0，3，5，x，那么 x 等于（ ）
A.－2 或 5.5 B.2 或－5.5 C.4 或 11 D.－4 或－11
6.如果将所给定的数据组中的每个数都减去一个非零常数，那么该数组的 （ ）
A.平均数改变，方差不变 B.平均数改变，方差改变
C.平均输不变，方差改变 D.平均数不变，方差不变
二、填空题（每题 5 分，共 30 分）
7.数据 100，99，99，100，102，100 的方差 2S =_________．
8.已知一组数据-3，-2，1，3，6，x 的中位数为 1，则其方差为 .
9.已知数据：1，2，1，0，－1，－2，0，－1，这组数据的方差为__________.
10.已知一个样本的方差 2 2 2 2
1 2
1 [( 6) ( 6) ( 6) ]11 nS x x x ，则这个样本的容量
是____________，样本的平均数是_____________.
11.若 40 个数据的平方和是 56，平均数是 2
2
，则这组数据的方差是_________
12.体育老师对甲.乙两名同学分别进行了 5 次立定跳远测试，经计算这两名同学成绩的平均
数相同，甲同学成绩的方差是 0.03，乙同学的成绩(单位：m)如下：2.3 2.2 2.5 2.1 2.4，
那么这两名同学立定跳远成绩比较稳定的是____同学.
三、解答题（每题 10 分，共 40 分）
13.甲.乙两位同学五次数学测验成绩如下表：
测验(次) 1 2 3 4 5 平均数 方差
甲(分) 75 90 96 83 81
乙(分) 86 70 90 95 84
请你在表中的空白处填上适当的数，用学到的统计知识对两位同学的成绩进行分析，并
写出一条合理化建议．
14.一次期中考试中，A.B.C.D.E 五位同学的数学.英语成绩等有关信息如下表所示：（单位：
分）
A B C D E 平均分 标准差
数学 71 72 69 68 70 2
英语 88 82 94 85 76 85
（1）求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的标准差；
（2）为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计
算公式是：标准分＝（个人成绩－平均成绩）÷成绩标准差。
从标准分看，标准分大的考试成绩更好。请问 A 同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考
得更好？
15.为了配合“八荣八耻”宣传教育，针对闯红灯的现象时有发生的实际情况，八年级某班
开展一次题为“红灯与绿灯”的课题学习活动，它们将全班学生分成 8 个小组，其中第①～
⑥组分别负责早.中.晚三个时段闯红灯违章现象的调查，第⑦小组负责查阅有关红绿灯的
交通法规，第⑧小组负责收集有关的交通标志. 数据汇总如下：
部分时段车流量情况调查表
时间 负责组
别
车流总
量
每分钟车
流量
早晨上学 6：30～
7：00
①② 2747 92
中午放学 11：20～
11：50
③④ 1449 48
下午放学 5：00～
5：30
⑤⑥ 3669 122
回答下列问题：
（1）请你写出 2 条交通法规：① .
② .
（2）画出 2 枚交通标志并说明标志的含义.
标志含义: 标志含义:
（3）早晨、中午、晚上三个时段每分钟车流量的极差是 ，这三个时段的车
流总量的中位数是 .
（4）观察表中的数据及条形统计图，写出你发现的一个现象并分析其产生的原因.
（5）通过分析写一条合理化建议.
16.为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛，A.B 两位同学在学校实习基地现场进行加
工直径为 20mm 的零件的测试，他俩各加工的 10 个零件的相关数据依次如下图表所示（单
位：mm）
根据测试得到的有关数据，试解答下列问题：
⑴ 考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为 _______ 的成绩好些；
⑵ 计算出 SB
2 的大小，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些；
⑶ 考虑图中折线走势及竞赛中加工零件个数远远超过 10 个的实际情况，你认为派谁去
参赛较合适？说明你的理由。
A
B
一
20.1
19.8
五 六 八 十三
20.3
20.0
19.9
19.7
四 七 九二
·
20.2
零件直径：mm
件数
四、拓展探究（不计入总分）
17.在一次科技知识竞赛中，两组学生成绩统计如下表，通过计算可知两组的方差为
2S甲＝172 ， 2 256S乙＝ 。下列说法：①两组的平均数相同；②甲组学生成绩比乙组学生成
绩稳定；③甲组成绩的众数＞乙组成绩的众数；④两组成绩的中位数均为 80，但成绩≥
平均数 方差 完全符合
要求个数
A 20 0.026 2
B 20 SB
2
80 的人数甲组比乙组多，从中位数来看，甲组成绩总体比乙组好；⑤成绩高于或等于 90
分的人数乙组比甲组多，高分段乙组成绩比甲组好。其中正确的共有（ ）.
分数 50 60 70 80 90 100
人
数
甲组 2 5 10 13 14 6
乙组 4 4 16 2 12 12
A．2 种 B．3 种 C．4 种 D．5 种
参考答案
1.D 2.B 3.C 4.C 5.A 6.A
7.1 8.9 9.1.5 10.11 6 11.0.9 12.乙
13.解：
平均分 方差
甲 85 53．2
乙 85 70．4
从上述数据可以看出，两人的成绩的平均分相等，乙同学的数学成绩不够稳定，波动较
大，希望乙同学在学习上补缺补漏，稳定自己的成绩
14.（1）数学平均分为 70 分，英语标准差为 6
（2）数学：（71－70）÷ 2 ＝ 2
2
，英语（88－85）÷6＝0.5
∵ 2
2
＞0.5，∴数学成绩考得更好些
15.（1）如：红灯停.绿灯行；过马路要走人行横道线；不可酒后驾车等.
（2）略；（3）74 2747；
（4）现象：如行人违章率最高，汽车违章率低，原因是汽车驾驶员是经过专门培训过的，
行人存在图方便的心理等.
16.（1）B (2)B（3）B 呈现上升趋势 17.D.
5.4 数据的波动同步练习 2
(总分：100 分 时间 45 分钟)
一、选择题（每题 6 分，共 36 分）
1.如图是甲、乙两位同学 5 次数学考试成绩的折线统计图，你认为成绩较稳定的是（ ）
A.甲 B.乙 C.甲.乙的成绩一样稳定 D.无法确定
2.某工厂为了选拔 1 名车工参加加工直径为 10mm 的精密零件的技术比赛，随机抽取甲.乙两
名车工加工的5个零件，现测得的结果如下表，请你用计算器比较S 2
甲.S 2
乙的大小（ ）
A．S 2
甲＞S 2
乙 B．S 2
甲＝S 2
乙 C．S 2
甲＜S 2
乙 D．S 2
甲≤S 2
3.人数相等的甲.乙两班学生参加了同一次数学测验，班级平均分和方差如下： 甲x =80，
乙x =80，s 2
甲 =240，s 2
乙 =180，则成绩较为稳定的班级为 （ ）
A.甲班 B.乙班 C.两班成绩一样稳定 D.无法确定
4.下列统计量中，能反映一名同学在 7～9 年级学段的学习成绩稳定程度的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
5.某车间 6 月上旬生产零件的次品数如下（单位：个）：0，2，0，2，3，0，2，3，1，2
则在这 10 天中该车间生产零件的次品数的（ ）
A．众数是 4 B．中位数是 1.5 C．平均数是 2 D．方差是 1.25
6.在甲.乙两块试验田内，对生长的禾苗高度进行测量，分析数据得：甲试验田内禾苗高度
数据的方差比乙实验田的方差小，则（ ）
A.甲试验田禾苗平均高度较高 B．甲试验田禾苗长得较整齐
C.乙试验田禾苗平均高度较高 D．乙试验田禾苗长得较整齐
二、填空题（每题 6 分，共 36 分）
7.5 名同学目测同一本教科书的宽度时，产生的误差如下（单位：cm）：0，2，－2，－1，1，
则这组数据的极差为__________cm．
8.五个数 1，2，4，5，a 的平均数是 3，则 a= ，这五个数的方差为 .
9.已知一组数据 1，2，1，0，－1，－2，0，－1，则这组数据的平均数为 ，中位数
为 ，方差为 .
甲 10.05 10.02 9.97 9.96 10
乙 10 10.01 10.02 9.97 10
10.某校高一新生参加军训，一学生进行五次实弹射击的成绩（单位：环）如下：8，6，10，
7，9，则这五次射击的平均成绩是____环，中位数_____环，方差是______环 2 .
11.今天 5 月甲.乙两种股票连续 10 天开盘价格如下：（单位：元）
甲 5.23 5.28 5.35 5.3 5.28 5.2 5.08 5.31 5.44 5.46
乙 6.3 6.5 6.7 6.52 6.66 6.8 6.9 6.83 6.58 6.55
则在 10 天中，甲.乙两种股票波动较大的是 .
12.已知数据 a，b，c 的方差是 1，则 4a，4b，4c 的方差是 .
三、解答题（共 28 分）
13.（8 分）某学生在一学年的 6 次测验中语文.数学成绩分别为（单位：分）：
语文：80，84，88，76，79，85
数学：80，75，90，64，88，95
试估计该学生是数学成绩稳定还是语文成绩稳定？
14.（10 分）在某次体育活动中，统计甲.乙两班学生每分钟跳绳的成绩（单位：次）情况
如下表：
班 级 参加人数 平均次数 中 位 数 方 差
甲 班 55 135 149 190
乙 班 55 135 151 110
下面有三种说法：（1）甲班学生的平均成绩高于乙班的学生的平均成绩；（2）甲班学生
成绩的波动比乙班成绩的波动大；（3）甲班学生成绩优秀的人数比乙班学生成绩优秀的人数
（跳绳次数≥150 次为优秀）少，试判断上述三个说法是否正确？请说明理由.
15.（10 分）某校要从小王和小李两名同学中挑选一人参加全国数学竞赛，在最近的五次选
拔测试中，他俩的成绩分别如下表：
根据上表解答下列问题：
（1）完成下表：（5 分）
姓名 极差（分） 平均成绩（分） 中位数（分） 众数（分） 方差
小王 40 80 75 75 190
小李
（2）在这五次测试中，成绩比较稳定的同学是谁？若将 80 分以上（含 80 分）的成绩视
为优秀，则小王.小李在这五次测试中的优秀率各是多少？
（3）历届比赛表明，成绩达到 80 分以上（含 80 分）就很可能获奖，成绩达到 90 分以
上（含 90 分）就很可能获得一等奖，那么你认为应选谁参加比赛比较合适？说明你的理由.
参考答案
1.A 2.A 3.B 4.D 5.D 6.B
7.4 8.3 2 9.0 0
2
3 10.8 8 2 11.乙 12.16
13.语文平均分为 82 分，数学的平均分为 82 分，语文的极差为 12 分，数学的极差为 31 分，
从极差上看，该同学语文成绩相对稳定些，当然也可通过求方差来判别.
14.从表中可以看出，甲班学生平均成绩为 135，乙班学生平均成绩也是 135，因而甲.乙两
班平均成绩相同，所以（1）的说法是错误的；因 s 2
甲 =190> s 2
乙 =110，，故甲的波动比乙
大，所以（2）的说法是正确的；从中位数上看，甲班学生跳绳次数有 27 人少于 149 次，
27 人大于 149 次，而乙班学生跳绳次数 151 次的必有 27 人，故必有至少 28 人跳绳次数
高于 150 次，因而甲班学生成绩的优秀人数比乙班少，从而知（3）是正确的.
15.（1）极差：90－70＝20
平均成绩：（70＋90＋80＋80＋80）÷5＝80
中位数：将这组数据按从小到大的顺序排列：70.80.80.80.90，就会得到中位数是 80.
众数：在这组数据中 80 出现了 3 次，出现次数最多，因此这组数据的众数是 80
方差： 2 2 2 2 2 21[(70 80) (90 80) (80 80) (80 80) (80 80) ]5s ＝40
（2）在这五次考试中，成绩比较稳定的是小李，小王的优秀率为 40%，小李的优秀率为
80%
（3）方案一：我选小李去参加比赛，因为小李的优秀率高，有 4 次得 80 分，成绩比较
稳定，获奖机会大
方案二：我选小王去参加比赛，因为小王的成绩获得一等奖的机率较高，有 2 次 90
分以上（含 90 分）因此有可能获得一等奖.
第六章 证明（一）
6.1 你能肯定吗同步练习 1
(总分：100 分 时间 45 分钟)
一、选择题（每题 6 分，共 30 分）
1、下列结论，你能肯定的是 ( )
A．今天天晴，明天必然还是晴天.
B．三个连续整数的积一定能被 6 整除.
C．小明的数学成绩一向很好，因而后天的竞赛考试中他必然能获得一等奖.
D．两张照片看起来完全一样，可以知道这两张必然是同一张底片冲洗出来的
2、骑自行车的速度是每小时 15 千米，骑摩托车的速度每小时 40 千米，则下列结论中你能
肯定的是（ ）
A．从 A 地到 B 地，骑摩托车的人比骑自行车的人一定先到达
B．从 A 地到 B 地，骑自行车的人比骑摩托车的人后到达
C．从 A 地到 B 地，骑自行车和骑摩托车的不可能同时到达
D．从 A 地到 B 地，骑自行车的人有可能比骑摩托车的人先到达
3、下列推理正确的是（ ）
A．弟弟今年 13 岁，哥哥比弟弟大 6 岁，到了明年，哥哥比弟弟只大 5 岁了，因为弟弟的
明年比今年长大了 1 岁
B．如果 a＞b，b＞c，则 a＞c
C．∠A 与∠B 相等，原因是它们看起来大小也差不多
D．因为对顶角必然相等，所以相等角也必是对顶角
4、下列说法正确的是（ ）
A．经验、观察或实验完全可以判断一个数学结论的正确与否
B．推理是科学家的事，与我们没有多大的关系
C．对于自然数 n，n2+n+37 一定是质数
D．有 10 个苹果，将它放进 9 个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少于 2 个
5、如图，∠1＝60º，∠2＝60º，∠3＝57º，则∠4＝57º，下面是 A，B，C，D 四个同
学的推理过程，你认为推理正确的是（ ）
A．因为∠1＝60º＝∠2，所以 a∥b，所以∠４＝∠3＝57º
B．因为∠4＝57º＝∠3，所以 a∥b，故∠1＝∠2＝60º
C．因为∠2＝∠5，又∠1＝60º，∠2＝60º，故∠1＝∠5＝60º，所以 a∥b， 所以∠4＝∠
3＝57º
D．因为∠1＝60º，∠2＝60º，∠3＝57º，所以∠1＝∠3＝∠2－∠4＝60º－57º＝3º，故∠
4＝57º
二、解答题（每题 10 分，共 70 分）
6、如图 A、B、C、D、E、F 六个人坐在圆桌的周围，已知 E 与 C 间间隔 1 人且此人在 C 的左
边，D 坐在 A 的对面，B 与 F 相隔 1 人，且此人在 F 的左边，F 与 A 不相邻。试问 A、B、
C、D、E、F 各坐在什么位置？
F
7、你写出两个判断，让其他同学判断一下是否正确.并且试着说明理由.
8、顺次连接等腰梯形四边中点，得到一个四边形。度量四边形的四条边，你能有什么结论？
再换一个等腰梯形还有同样的结论吗？你能肯定这个结论对所有的等腰梯形都成立吗？
9、小洁、琳琳、晓彤、奇奇和聪聪 5 位同学身体都不怎么舒服，他们分别在医院的牙科、
眼科、皮肤科、外科、耳鼻喉科就诊。请根据他们的对话猜一猜，他们分别去了哪一科
看病？
小洁、琳琳、晓彤说：我们是在牙科、眼科和皮肤科各自接受治疗的。
奇奇说：我没有去耳鼻喉科和皮肤科。
晓彤说：我最近夜里牙老疼。
小洁说：我的皮肤好得很，我没有必要去皮肤科。
10、在△ABC 中，AB=AC，D 为 BC 中点，连接 AD，试问 AD 与 BC 有怎样的位置关系？请说明
理由.
11、平行四边形 ABCD 中，E，F 分别为 BC，AD 中点，连接 AE，CF，试问四边形 AECF 是什么
四边形？你能肯定吗？请说明理由.
12、观察下列各式，： 2
1
×2= 2
1
+2； 3
2
×3= 3
2
+3； 4
3
×4= 4
3
+4； 5
4
×5= 5
4
+5；……
想一想：什么样的两个数之积等于这两个数的和？设 n 表示正整数，用关于 n 的代数式表
示这个规律为： _____ × _____ = _____ + _____ .你能说明吗？
四、拓展探究（不计入总分）
13、如图，在平行四边形中，DF⊥AC 于 F，BE⊥AC 于 E，试问 DF 与 BE 的位置关系和数量关
系如何？你能肯定吗？请说明理由.
参考答案
1、B 2、D 3、B 4、D 5、C
6、从 F 点按照顺时针的顺序依次是 F、D、B、C、A、E
7、略
8、得到的四边形的四条边都相等；换一个等腰梯形仍有相同的结论；不能
9、晓彤去了牙科，琳琳去了皮肤科，小洁去了眼科，聪聪去了耳鼻喉科，奇奇去了外科。
10、AD⊥BC，由题意知，在△ABD 与△ACD 中，AB=AC，BD=CD（中点定义），AD=AD，
故△ABD≌△ACD，因此有∠ADB=∠ADC，又∠ADB+∠ADC=180º（平角定义），
故∠ADB=∠ADC=90º，即 AD⊥BC.
11、四边形 AECF 是平行四边形.
理由：因为 E，F 分别为 BC，AD 中点，故 EC= 1
2
BC，AF= 1
2
AD，
又因为平行四边形 ABCD，故 BC∥AD，因而有 AF∥EC，且 AF=EC，
从而四边形 AECF 为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.
12、 1 ( 1)n nn
＝ 1 ( 1)n nn
，
理由： 1 ( 1)n nn
＝ 1n
n
+ ( 1)n n
n
＝
2 2 1n n
n
＝
2( 1)n
n
＝ 1 ( 1)n nn
13、DF∥BE，DF=BE，理由：由 DF⊥AC，BE⊥AC，可知∠DFC=∠BEA=90º，故 DF∥BE，又平
行四边形 ABCD 中，AB∥CD，AB=CD，由 AB∥CD 得∠DCF=∠BAE，因而在△DCF 和△BAE
中，DC=BA，∠DCF=∠BAE，∠CFD=∠AEB=90º。所以△DCF≌△BAE，所以 DF=BE.
6.1 你能肯定吗同步练习 2
一、训练平台（每小题 12 分，共 36 分）
1．如图所示，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，点 E，F，M，N 分别为 AD，AB，BC，CD 的中点，
连接 EF，FM，MN，EN，你能肯定四边形 EFMN 是平行四边形吗？为什么？若将梯形 ABCD
改变成等腰梯形，其他条件不变，你又会得到 EFMN 是什么四边形呢？为什么？
2．用火柴棒按如图所示的方式拼图形．
（1）你知道第 6 个图形需要多少根火柴棒吗？
（2）第 n 个图形需要多少根火柴棒呢？
（3）你能肯定（2）中猜想是正确的吗？请验证一下当 n=4 时的情形．
3．在手工制作课上，小明和小华各自用铁丝制作楼梯模型，如图所示，他们制作模型所用
的铁丝是一样长吗？请通过计算说明．
二、提高训练（每小题 12 分，共 36 分）
1．如图所示，若已知 C，D 是线段 AB 上两点，且 AC=DB，E 是 AB 中点，那么点 E的位置有
什么特点？你能说明原因吗？
2．如图所示，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分 ABCD 是菱形吗？为什么？若已
知纸条宽为 1，又量得∠ABC=60°，则四边形 ABCD 的面积是多少？若∠ABC=90°呢？
若∠ABC=120°呢？由此你得到关于四边形 ABCD 的面积的什么结论？
3．如图所示，△DEF 是将△ABC 沿 BC 边平移而得到的，且 DE 经过 AC 边的中点 O，问 O 一
定是 DE 边的中点吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
三、探索发现（共 14 分）
易知：等腰三角形三边分别为 4，4，5；5，5，6；6，6，7 时，其周长分别为 4+4+5=13，
5+5+6=16，6+6+7=19，那么，等腰三角形的两条边分别为 3 和 8 时，其周长一定是 14，这
一结论对吗？
四、拓展创新（共 14 分）
问题：你能很快算出 21995 吗？
为了解决这个问题，我们考察个位上的数为 5 时自然数的平方，任意一个个位数为 5
的自然数都可写成：10n+5，即求（10n+5）的值（n 为自然数）．请你试分别 n=1，n=2，n=3…
这些简单情况，从中探索其规律，并归纳，猜想得出结论．
（1）通过计算，探索规律：
152=225，可写成 100×1×（1+1）+25；
252=625，可写成 100×2×（2+1）+25；
352=1225，可写成 100×3×（3+1）+25；
452=2025，可写成 100×4×（4+1）+25；
752=5625，可写成____________；
852=7225，可写成____________；
（2）从第（1）题结果归纳，猜想得：（10n+5）2=________；
（3）根据上面的归纳，猜想，请计算 19952=________．
中考演练
（2005·长春）如图所示，在等边△ABC 中，D，E 分别在边 BC，AC 上，DC=AE，AD，BE
交于点 F，请你量一量∠BFD 的度数，并证明你的结论．
参考答案
一、1．四边形 EFMN 是平行四边形，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
或一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（这里用到三角形中位线定理）．
证明：∵E，F，M，N 分别是各边中点，
∴EN // 1
2
AC，FM // 1
2
AC，∴EN // FM．
∴四边形 EFMN是平行四边形．
当梯形为等腰梯形时，四边形 EFMN 是菱形．
因为有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
2．（1）32 根 （2）7+5（n-1） （3）当 n=4 时，共有 7+5（4-1）=22．
3．一样长，说明略．
二、1．解：点 E 也是线段 CD 的中点，原因如下：
∵E 是线段 AB 中点，∴AE=BE，
又 AE-AC=BE-DB，∴CE=DE，即 E 是 CD 的中点．
2．解：是菱形，因为四边形 ABCD 四边相等且对边平行．
当∠ABC=60°时，AB= 2 3
3
，∴S= 2 3
3
．
当∠ABC=90°，AB=1，∴S=1．
当∠ABC=120°，AB= 2 3
3
，∴S= 2 3
3
．
当两张纸条垂直放置时，四边形 ABCD 的面积最小．
3．提示：是，可证△AOD≌△COE，∴DO=OE．
三、解：不对，因为 3+3<8，所以另一边不能为 3，只能为 8，此时周长为 3+8+8=19．
四、（1）100×7×（7+1）+25 100×8×（8+1）+25
（2）100×n×（n+1）+25 （3）100×199×（199+1）+25=3980025
※∠BFD=60°
证明：在等边三角形 ABC 中，AB=AC，∠BAE=∠C=60°，AE=CD，
∴△ABE≌△CDA．∴∠AEB=∠ADC，
又∠DAC+∠ADC=120°，
∴∠AEB+∠DAC=120°，∴∠AFE=∠BFD=60°．
6.2 定义与命题同步练习 1
一、选择题：
1.下列句子中,不是命题的是( )
A.三角形的内角和等于 180 度. B.对顶角相等.
C.过一点作已知直线的平行线. D.两点确定一条直线.
2.下列句子中,是命题的是( )
A.今天的天气好吗? B.作线段 AB∥CD. C.连接 A、B 两点. D.正数大于负数.
3.下列命题是真命题的是( )
A.如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角. B.两互补的角一定是邻补角.
C.如果 a2=b2,那么 a=b. D.如果两角是同位角,那么这两角一定相等.
4.下列命题是假命题的是( )
A.如果 a∥b,b∥c,那么 a∥c. B.锐角三角形中最大的角一定大于或等于 60°.
C.两条直线被第三条直线所截,内错角相等. D.矩形的对角线相等且互相平分.
5.下列叙述错误的是( )
A.所有的命题都有条件和结论. B.所有的命题都是定理.
C.所有的定理都是命题. D.所有的公理都是真命题.
6.下列命题中,真命题有( )
①如果△A1B1C1∽△A2B2C2,△A2B2C2∽△A3B3C3,那么△A1B1C1∽△A3B3C3 ；②直线外一点到这条
直线的垂线段,叫做这个点到这条直线的距离；③如果
2 4
2
x
x
=0,那么 x=±2； ④如果
a=b,那么 a3=b3
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
二、计算题:
1.写出下列命题的条件和结论:
(1)两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补；
(2)如果两个三角形全等,那么它们对应边上的高也相等.
2.判断下列命题的真假:
(1)一个三角形如果有两个角互余,那么这个三角形是直角三角形；
(2)如果│a│=│b│,那么 a3=b3.
3.举出反例说明“如果 AB=BC,那么点 C 是 AB 的中点”是个假命题.
三、指出下列命题的条件和结论,并判断命题的真假,如果是假命题,请举出反例.
如果等腰三角形的两条边长为 5 和 7,那么这个等腰三角形的周长为 17.
四、在讨论“对顶角不相等”是不是命题的问题时,甲认为:这不是命题,因为这句话是错误
的.乙认为:这是命题,因为它作出了判断,只不过这一判断是错误的,所以它是假命题,你
认为谁的说法是正确的?
五、把下列命题改写成“如果……,那么……”的形式.
同角或等角的余角相等.
六、我们知道任何一个命题都由条件和结论两部分组成,如果我们把一个命题的条件变结论,
结论变条件,那么所得的是不是一个命题?试举例说明.
参考答案
一、1.C 2.D 3.A 4.C 5.B 6.C
二、1.(1)条件:两条直线被第三条直线所截结论:同旁内角互补
(2)条件:两个三角形全等
结论:对应边上的高相等
2.(1)真命题 (2)假命题
3.当 A、B、C 三点不在同一条直线上时
三、条件:等腰三角形的两条边长为 5 和 7
结论:等腰三角形的周长为 17
是假命题;反例:当腰长为 7,底边长为 5 时,周长为 19
四、乙的说法正确
五、如果两个角是同一个角或相等角的余角,那么这两个角相等.
六、是一个命题,例如“对顶角相等”条件结论互换就变为“相等的角是对顶角”.
6.2 定义与命题同步练习 2
基础巩固
一、训练平台（每小题 6 分，共 24 分）
1．下列命题中是真命题的是（ ）
A．平行于同一条直线的两条直线平行.
B．两直线平行，同旁内角相等.
C．两个角相等，这两个角一定是对顶角.
D．相等的两个角是平行线所得的内错角
2．下列语句中不是命题的是（ ）
A．延长线段 AB. B．自然数也是整数.
C．两个锐角的和一定是直角. D．同角的余角相等.
3．下列语句中是命题的是（ ）
A．这个问题 B．这只笔是黑色的. C．一定相等. D．画一条线段.
4．下列命题是假命题的是（ ）
A．互补的两个角不能都是锐角. B．若 a⊥b，a⊥c，则 b⊥c.
C．乘积是 1 的两个数互为倒数. D．全等三角形的对应角相等.
二、提高训练（第 1～4 小题各 6 分，第 5～6 小题各 12 分，共 48 分）
1．（2003·上海）下列命题中正确的是（ ）
A．有限小数是有理数； B．无限小数是无理数；
C．数轴上的点与有理数一一对应； D．数轴上的点与实数一一对应.
2．（2003·黑龙江）现有下列命题，其中真命题的个数是（ ）
①（-5）2 的平方根是-5；②近似数 3.14×103 有 3 个有效数字；
③单项式 3x2y 与单项式-2xy2 是同类项；④正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2003·四川）下列命题中，真命题是（ ）
A．有两边相等的平行四边形是菱形；
B．有一个角是直角的四边形是矩形；
C．四个角相等的菱形是正方形；
D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
4．某工程队，在修建兰定高速公路时，有时需将弯曲的道路改直，根据什么公理可以说明
这样做能缩短路程（ ）
A．直线的公理； B．直线的公理或线段最短公理
C．线段最短公理； D．平行公理
5．证明：两条平行线被第三条直线所截，则它们的一对同位角的平分线互相平行．（要求画
图，写出已知、求证、证明）
6．在一次数学竞赛中，A，B，C，D，E 五位同学分别得到了前五名（没有并列同一名次的）．关
于各人的名次大家作出了下面的猜测：
A 说：“第二名是 D，第三名是 B.” B 说：“第二名是 C，第四名是 E．”
C 说：“第一名是 E，第五名是 A．” D 说：“第三名是 C，第四名是 A．”
E 说：“第二名是 B，第五名是 D．”
结果每人都只猜对了一半，请判断他们的名次如何．
三、探索发现（共 14 分）
在四边形 ABCD 中，给出下列论断：①AB∥DC；②AD=BC；③∠A=∠C．以其中两个作为
条件，另外一个作为结论，用“如果……那么……”的形式，写出一个你认为正确的命题．
四、拓展创新（共 14 分）
如图所示，ABCD 中，AQ，BN，CN，DQ 分别是∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA 的平分
线，AQ 与 BN 交于 P，CN 与 DQ 交于 M，在不添加其他条件的情况下，试写出一个由上述条件
推出的结论，并给出证明过程．（推理过程中用到平行四边形和角平分线这两个条件）
中考演练
（2004·天津）下列命题正确的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是菱形；
B．对角线互相平分且相等的四边形是菱形；
C．对角线互相垂直的四边形是菱形；
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
参考答案
一、1．A 2．A 3．B 4．B
二、1．AD 2．B 3．C 4．C
5．如图所示，已知 a∥b，AB，CD 分别是∠EAC 和∠FCG 的平分线，求证 AB∥CD．证明略．
6．E，C，B，A，D．
三、如图所示，在四边形 ABCD 中，如果 AB∥CD，∠A=∠C，那么 AD=BC，证明略．
四、可得出△APB 是直角三角形，△ABP≌△CDM，四边形 PQMN 是矩形，等等，证明略．
6.3 它们为什么平行同步练习 1
一、选择题（每题 5 分，共 30 分）
1、如图，∠1＝∠2，则下列结论正确的是（ ）
A、AD∥BC B、AB∥CD C、AD∥EF D、EF∥BC
A D
FE
B C
2
1
l3
l4
l1 l2
1 52
4
3
l1
l2
l5
l4l3
1
5
23
4
A E
F
B
H
G
C D
（第 1 题） （第 2 题） （第 3 题） （第 4 题）
2、如图，下列说法错误的是（ ）
A、∵∠1＝∠2，∴ 3l ∥ 4l B、∵∠3＝∠4，∴ 3l ∥ 4l
C、∵∠1＝∠3，∴ 3l ∥ 4l D、∵∠2＝∠3，∴ 1l ∥ 2l
3、如图所示，若∠1 与∠2 互补，∠2 与∠4 互补，则（ ）
A、 3l ∥ 4l B、 2l ∥ 5l C、 1l ∥ 5l D、 1l ∥ 2l
4、如图，以下条件能判定 GE∥CH 的是（ ）
A、∠FEB＝∠ECD B、∠AEG＝∠DCH C、∠GEC＝∠HCF D、∠HCE＝∠AEG
5、如图所示，已知直线 BF、CD 相交于点 O，∠D＝40°，下面判定两条直线平行正确的是
（ ）
A、当∠C＝40°时，AB∥CD B、当∠A＝40°时，AC∥DE
C、当∠E＝120°时，CD∥EF D、当∠BOC＝140°时，BF∥DE
A
B
C
D E
FO
l1
l2
1 2
5
4 3
A
B E
FD
C
12
3 4
12
43
A
B C
D
（第 5 题） （第 6 题） （第 7 题） （第 8 题）
6、已知：如图，下列条件中，不能判断直线 1l ∥ 2l 的是（ ）
A、∠1＝∠3 B、∠2＝∠3 C、∠2＝∠4 D、∠4＋∠5＝180°
二、填空题（每题 5 分，共 30 分）
7、（8 分）如图：
（1）如果∠1＝∠B，那么_______∥_______，根据是___________________________。
1
A
D
F
E
CB
（2）如果∠3＝∠D，那么_______∥_______，根据是___________________________。
（3）如果要使 BE∥DF，必须∠1＝∠_______，根据是___________________________。
8、（6 分）如图，
（1）如果 AB∥CD，必须具备条件∠______＝∠________，根据是____________________。
（2）要使 AD∥BC，必须具备条件∠______＝∠________，根据是____________________。
9、（5 分）一条公路两次转弯后又回到原来的方向（即 AB∥CD，如图），如果第一次转弯时
的∠B＝140°，那么，∠C 应是____________。
A B
C D
140°
E
A
B C
D
F
O
（第 9 题） （第 10 题） （第 11 题）
10、（5 分）如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是____________。
11、（6 分）观察图形，回答问题：若使 AD∥BC，需添加什么条件？（要求：至少找出 4 个
条件）
答：①______________________；②______________________；
③______________________；④______________________.
12、已知直线 a、b、c,若 a∥b，b∥c，则 a_____c，若 a⊥b，b⊥c，则 a_____c，若 a∥b，
b⊥c，则 a______c。
三、解答题（每题 10 分，共 40 分）
13、如图，已知∠ADE＝60°，DF 平分∠ADE，∠1＝30°，求证：DF∥BE
证明：∵DF 平分∠ADE（已知）
∴__________＝ 1
2
∠ADE（ ）
∵∠ADE＝60°（已知）
∴_________________＝30°（ ）
∵∠1＝30°（已知）
∴____________________（ ）
∴____________________（ ）
14、如图，点 B 在 DC 上，BE 平分∠ABD，∠DBE＝∠A，则 BE∥AC，请说明理由。
AE
B CD
15、如图，AB⊥EF 于 B，CD⊥EF 于 D，∠1＝∠2
（1）请说明 AB∥CD 的理由；
（2）试问 BM 与 DN 是否平行？为什么？
16、如图，已知∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC。
（1）计算：∠DAB＋∠B
（2）AB 与 CD 平行吗？AD 与 BC 平行吗？
四、拓展探究（不计入总分）
1
A
B C
D
A CM N
B D FE
21
17、如图，∠1 与∠3 互余，∠2 与∠3 的余角互补，判断直线 1l 、 2l 是否平行。
l2
l1
l3l4
1
32
参考答案
1、C 2、C 3、C 4、C 5、D 6、B
7、（1）AB CD 同位角相等，两直线平行 （2）BE DF 内错角相等，两直线平行
（3）∠D 同位角相等，两直线平行
8、（1）2 4 内错角相等，两直线平行 （2）1 3 内错角相等，两直线平行
9、140° 10、同位角相等，两直线平行
11、①∠DAC＝∠ACB；②∠ADB＝∠DBC；③∠EAD＝∠EBC；④∠FDA＝∠FCB。
12、∥ ∥ ⊥
13、∠FDE 角平分线的定义 ∠FDE 等量代换 ∠1＝∠FDE
等量代换 DF∥BE 内错角相等，两直线平行
14、∵BE 平分∠ABD（已知）∴∠EBA＝∠EBD（角平分线的定义），
∵∠DBE＝∠A，∴∠EBA＝∠A（等量代换）∴BE∥AC（内错角相等，两直线平行）
15、（1）∵AB⊥EF，CD⊥EF（已知），∴∠ABE＝∠CDE＝90°（垂直的定义），
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
（2）∵∠1＝∠2，∠ABE＝∠CDE＝90°，∴∠MBE＝∠NDE（等式性质）
∴BM∥DN（同位角相等，两直线平行）
16、（1）180°（2）AD∥BC，AB 与 CD 不平行
17、答： 1l ∥ 2l ，（提示：证明∠1＋∠2＝180°）
6.3 为什么它们平行同步练习 2
一、选择题
1.下列关于两直线平行的叙述不正确的是( )
A.同位角相等,两直线平行； B.内错角相等,两直线平行
C.同旁内角不互补,两直线不平行； D.如果 a∥b,b⊥c,那么 a∥c
2.如图 1,下列推论及所注理由正确的是( )
A.∵∠1=∠B,∴DE∥BC(两直线平行,同位角相等)
B.∵∠2=∠C,∴DE∥BC(两直线平行,同位角相等)
C.∵∠2+∠3+∠B=180°,∴DE∥BC(同旁内角互补,两直线平行)
D.∵∠4=∠1,∴DE∥BC(对顶角相等)
4
3
2
1
E
F
D
C
B
A
5
4
3
2
1
D
C
B
A
5
4
3
2
1
D
C
B
A
图 1 图 2 图 3
3.如图 2,当∠1 等于( )时,AB∥CD
A.∠2 B.∠3 C.∠4 D.∠5
4.如图 3,当∠1 等于( )时,AB 不平行于 CD(∠1≠90°)
A.∠2 B.∠3 C.∠4 的同位角 D.∠5
5.如图 4,要使 DE∥BC,可根据( )对角的关系得出
A.1 B.2 C.3 D.4
E
D
C
B
A
c
b
a
2
1
b
a
2
1
图 4 图 5 图 6
6.如图 5,已知直线 a、b 被直线 c 所截,∠1=∠2,你有( )种证明 a∥b 的方法
A.3 B.4 C.5 D.6
二、填空题
1._____________互补,两直线平行.
2.内错角_________或同位角________,两直线平行.
3.如图 6,∠1=60°,当∠2=________时,直线 a∥b.
4.根据图 7 及上下文的含义推理并填空:
(1)∵∠DAC=________(已知)
∴AD∥BC( )
(2)∵∠B+_________=180°(已知)
∴AD∥BC( )
D
C
B
A
2
1
D
C
B
A
b
a
4
3
2
1
图 7 图 8 图 9
5.如图 8,已知∠ABC=∠ADC,∠1=∠2,则 AB 与 CD 的关系是___________.
6.如图 9,∠1=∠2,∠3=120°,则∠4=_______.
三、计算题：
1.如图,AC 平分∠BAD,∠1=∠2.求证:DC∥AB.
3
2
1
D
C
B
A
2.如图,已知:AB⊥EF,垂足为 E,CD⊥EF,垂足为 F.求证:AB∥CD.
3.已知:如图,∠3 与∠1 互余,∠3 与∠2 互余.求证:AB∥CD.
四、如图,已知∠ECD=∠BDC,∠B+∠ECD=180°,求证:AB∥CD.
H
G
3
2
1
E
F
D
C
B
A
G
E
F
D
C
B
A
E
D
C
B
A
五、如图,直线 EF 交 AB 于 E,交 CD 于 F,EG 平分∠AEF,FG 平分∠EFC,它们相交于 G,若∠
EGF=90°,求证:AB∥CD.
G
4
3
2
1
E
F
D
C
B
A
六、小明创造了利用圆规和直尺作平行线的方法:①任意画一个∠AOB,②以 O 为圆心,任意长
为半径画弧,交 OA、OB 于 C、D.③以 O 为圆心,取大于 OC的长为半径画弧,交 OA、OB 于 E、
F,连接 CD、EF.则 CD∥EF.如图,你能解释为什么 CD∥EF 吗?
E
F
O
D
C
B
A
七、如图,直线 a、b 相交于点 O,以 O 为圆心的圆分别交 a、b 于 A、B 和 C、D,则 AD和 BC
有怎样的位置关系?
b
a
O
D
C
B
A
参考答案
一、1.D 2.C 3.A 4.D 5.D 6.D
二、1.同旁内角互补 2.相等；相等 3.120°
4.(1)∠BCA；内错角相等,两直线平行
(2)∠BAD；同旁内角互补,两直线平行
5.平行 6.120°
三、1.证明:∵AC 平分∠BAD
∴∠1=∠3
又∵∠1=∠2
∴∠2=∠3
∴DC∥AB
2.证明:∵AB⊥EF CD⊥EF
∴∠AEF=∠CFG=90°
∴AB∥CD
3.∵∠3 与∠2 互余,∠3 与∠1 互余
∴∠1=∠2
∴AB∥CD
四、∵∠ECD=∠BDC ∠B+∠ECD=180°
∴∠B+∠BDC=180°
∴AB∥CD
五、∵EG 平分∠AEF,FG 平分∠EFC
∴∠1=∠2 ∠3=∠4
∴∠AEF=2∠2 ∠EFC=2∠3
又∵∠EGF=90°
∴∠2+∠3=90°
∴∠AEF+∠EFC=2∠2+2∠3=2(∠2+∠3)=2×90°=180°
∴AB∥CD
六、∵OC=OD,OE=OF
∴∠OCD=∠ODC ∠OEF=∠OFE
又∵∠OCD+∠ODC+∠O=∠OEF+∠OFE+∠O=180°
∴2∠OCD=2∠OEF
∴∠OCD=∠OEF
∴CD∥EF
七、平行；∵OA=OD OC=OB
∴∠OAD=∠ODA,∠OCB=∠OBC
又∵∠OAD+∠ODA+∠AOD=∠OCB+∠OBC+∠BOC,∠AOD=∠BOC
∴2∠OAD=2∠OBC
∴∠OAD=∠OBC
∴AD∥BC.
6.4 如果两条直线平行同步练习 1
一、选择题：
1.下列命题的结论不成立的是( )
A.两直线平行,同位角相等； B.两直线平行,内错角相等
C.两直线平行,同旁内角互补； D.两直线平行,同旁内角相等
E
F
D
C
B
A
2.如图 1,直线 a∥b,∠1=60°,则∠2=( )
A.60° B.120° C.150° D.100°
c
b
a
2
1
E
D
C
B
A
2
1
E
D
C
B
A
P
D
C
B
A
图 1 图 2 图 3 图 4
3.如图 2,在△ABC 中,DE∥BC,∠A=55°,∠B=70°,则∠AED=( )
A.55° B.70° C.125° D.50°
4.如图 3,已知 AE∥BC,∠1=∠2 则下列结论不成立的是( )
A.∠B=∠C B.∠1+∠2=∠B+∠C； C.∠1=∠BAC D.∠1=∠2=∠B=∠C
5.一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角( )
A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.不能确定
6.如图 4,AB∥CD,∠B=135°,∠D=150°,则∠P=( )
A.45° B.30° C.75° D.80°
二、填空题:
1. 如图 5 所示,a∥b,截线 c⊥a,则 c 与 b 的位置关系是________.
c
b
a
2
1
P
D
C
B
A
E
D
C
B
A
b
a
2
1
图 5 图 6 图 7 图 8
2.如图 6,AB∥CD,AP、CP 分别平分∠BAC 和∠ACD,则∠1+∠2=________,AP 和 CP 的位置关系
是________.
3.如果直线 a∥b,b∥c,那么直线 a 与 c 的位置关系是________.
4. 如 图 7, 在 △ABC 中 ,DE∥BC,∠EDC=40°,∠ECD=45°, 则
∠ACB=________.
5.如图 8,直线 a∥b,则∠1+∠2=________.
6.如图,AD∥EF∥BC,∠BDC=∠DFE=75°,则∠DBC=_______.
三、计算题:
1. 如 图 , 在 梯 形 ABCD 中 ,AD∥BC,∠D=120°,∠DCA=20°, 求
∠BCA 和∠DAC 的度数.
D
C
B
A
2. 如图,已知∠1=∠2,求证:∠3+∠4=180°.
b
a
5
4
3
2
1
3. 如图,AD∥BC,∠A=135°,∠C=65°,求:∠B+∠D 的度数.
D
C
B
A
四、如图,一条公路经过两条拐变和原来方向相同,第一次拐的角∠A=135°,那么第二拐的角
∠B 是多少度?请说明理由?
B
A
五、如图,已知:AB∥CD,甲、乙两人分别沿着 BC 与 AB、CD的夹角的平分线运动,小明认为
甲、乙两人运动的路线 BE、CF 平行.你认为正确吗?请说明理由.
E
F
D
C
B
A
六、如图,小亮把两张三角形纸片按如图方式摆放,你能否帮助他找出∠B、∠F 和∠BCE 之
间的关系来?
E
D
C
B
A
七、如图,AB∥CE,并探寻∠A、∠B、∠ACB 的和等于多少度?
E
D
C
B
A
参考答案
一、1.D 2.B 3.A 4.C 5.C 6.C
二、1.互相垂直 2.90°;垂直 3.平行 4.85° 5.180° 6.30°
三、1.∵AD∥BC
∴∠D+∠DCB=180°,∠BCA=∠DAC
∴∠DCB=180°-∠D=180°-120°=60°
又∵∠DCA=20°
∴∠BCA=∠DCB-∠DCA=60°-20°=40°
∴∠DAC=∠BCA=40°
2.∵∠1=∠5 ∠1=∠2
∴∠5=∠2
∴a∥b
∴∠3+∠4=180°
3.∵AD∥BC
∴∠B+∠A=180° ∠D+∠C=180°
又∵∠A=135° ∠C=65°
∴∠B=45° ∠D=115°
∴∠B+∠D=45°+115°=160°
另解:ABCD 为四边形
∴∠A+∠B+∠C+∠D=360°
∴∠B+∠D=360°-∠A-∠C=360°-135°-65°=160°
四、135°;理由是两直线平行,内错角相等
五、∵AB∥CD
∴∠ABC=∠DCB
又∵BE、CF 分别平分∠ABC 和∠DCB
∴∠EBC= 1
2
∠ABC ∠FCB= 1
2
∠DCB
∴∠EBC=∠FCB
∴BE∥CF
六、过点 C 作 CF∥AB,则∠BCF=∠B
∵∠A+∠D=90°+90°=180°
∴AB∥DE
∴CF∥DE
∴∠FCE=∠E
∴∠BCF+∠FCE=∠B+∠E
即∠BCE=∠B+∠E
七、∠A+∠B+∠ACB=180°.
6.4 如果两条直线平行同步练习 2
一、选择题（每题 5 分，共 30 分）
1、若两条平行线被第三条直线所截，则下列说法错误的是（ ）
A、一对同位角的平分线互相平行 B、一对内错角的平分线互相平行
C、一对同旁内角的平分线互相平行 D、一对同旁内角的平分线互相垂直
2、如图 1,直线 AB∥CD，EF⊥AB 于 E，交 CD 于 F，直线 MN 交 AB 于 M，CD 于 N，EF 于 O，
则直线 AB 和 CD 之间的距离是哪个线段的长（ ）
A、MN B、EF C、OE D、OF
M
O
E
FN
A B
C D
A B
C D
α120°
25°
A B
O
C D
O P S T
RQ
31
2
图 1 图 2 图 3 图 4
3、如图 2，AB∥CD，∠α＝（ ）
A、50° B、80° C、85° D、95°
4、已知∠A＝50°，∠A 的两边分别平行于∠B 的两边，则∠B＝（ ）
A、50° B、130° C、100° D、50°或 130°
5、如图 3，AB∥CD，AD、BC 相交于 O，∠BAD＝35°，∠BOD＝76°，则∠C 的度数是（ ）
A、31° B、35° C、41° D、76°
6、如图 4，OP∥QR∥ST，则下列等式中正确的是（ ）
A、∠1＋∠2－∠3＝90° B、∠2＋∠3－∠1＝180°
C、∠1－∠2＋∠3＝180° D、∠1＋∠2＋∠3＝180°
二、填空题（每题 5 分，共 30 分）
7、如图 5，AB∥CD，∠B＝42°，∠2＝35°，则∠1＝_____，∠A＝______，∠ACB＝______，
∠BCD＝______.
8、如图 6，AB∥CD，∠EGD＝50°，∠AEM＝30°，则∠1＝_________°.
9、如图 7，若 AB∥DE，BC∥FE，∠E＋∠B＝__________°.
A
B C
D
E
1
2
M
N
DC
A BE
G
1
EF
CB
A D
图 5 图 6 图 7
10、如图 8，DH∥EG∥BC，DC∥EF，那么与∠1 相等的角共有______个.
A
B F C
E
D H
G
1
A
E FO
B C A
B
图 8 图 9 图 10
11、如图 9，∠ABC 和∠ACB 的平分线 BO 与 CO 相交于点 O，EF 过点 O，且 EF∥BC，若∠BOC
＝130°，∠ABC∶∠ACB＝3∶2，则∠AEF＝ _______，∠EFC＝_______.
12、如图 10，A、B 之间是一座山，一条铁路要通过 A、B 两地，在 A 地测得铁路的走向是北
偏东
68°20′，如果 A、B 两地同时开工，那么在 B 地按_________方向施工，才能使铁路在
山腹中
准确接通.
三、解答题（每题 10 分，共 40 分）
13、如图，已知∠B＝∠C，AE∥BC，说明 AE 平分∠CAD.
D
A
B C
E
14、如图，已知 DE∥BC，CD 是∠ACB 的平分线，∠B＝70°，∠ACB＝50°，求∠EDC 和
∠BDC 的度数.
A
B C
D E
15、如图，直线 AD 与 AB、CD 相交于 A、D 两点，EC、BF 与 AB、CD 相交于 E、C、B、F，如
果∠1＝∠2，∠B＝∠C.说明∠A＝∠D.
1
2
DFC
A E B
H
G
16、如图，已知 AB∥CD，分别探究下面四个图形中∠APC 和∠PAB、∠PCD 的关系，并从所
得的四个关系中任选一个加以说明，证明所探究的结论的正确性.
A B
C D
P
A B
C D
P A B
C D
P A B
C D
P
结论（1）____________________________；（2）____________________________；
（3）____________________________；（4）____________________________；
选择结论________，说明理由是什么.
四、拓展探究（不计入总分）
17、如图，AB∥CD，EF⊥AB 于 O ，∠2＝135°，求∠1 的度数．
下面提供三个思路：（1）过 F 作 FH∥AB，（2）延长 EF 交 CD 于 I；（3）延长 GF 交 AB 于
K．请你利用三个思路中的两个思路，求∠1 的度数．
E
D
C
B
A
参考答案
1、C 2、B 3、C 4、D 5、C 6、B 7、42° 35° 103° 138° 8、100
9、180 4、5 10、60° 40° 11、南偏西 68°20′
13、∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠C，∠DAE＝∠B，
∵∠B＝∠C，∴∠DAE＝∠EAC，∴AE 平分∠CAD
14、∠EDC＝25°，∠BDC＝85°
15、∵∠2＝∠AGB，∠1＝∠2，∴∠1＝∠AGB，∴CE∥BF，
∴∠B＝∠AEC，∵∠B＝∠C，∴∠C＝∠AEC，∴AB∥CD，∴∠A＝∠D
16、结论：（1）∠P＋∠A＋∠C＝180°；（2）∠P＝∠A＋∠C；
（3）∠C－∠A＝∠P；（4）∠A－∠C＝∠P
理由：提示过点 P 作 AB 的平行线
17、135°
6.5 三角形内角和定理的证明同步练习 1
一、选择题
1.如图所示,BC⊥AD,垂足是 C,∠B=∠D,则∠AED 与∠BED 的关系是( )
A.∠AED>∠BED
B.∠AED<∠BED；
C.∠AED=∠BED
D.无法确定
2.关于三角形内角的叙述错误的是( )
A.三角形三个内角的和是 180°； B.三角形两个内角的和一定大于 60°
C.三角形中至少有一个角不小于 60°； D.一个三角形中最大的角所对的边最长
3.下列叙述正确的是( )
A.钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和；
B.三角形两个内角的和一定大于第三个内角；
C.三角形中至少有两个锐角；
D.三角形中至少有一个锐角.
4.△ABC 中,∠A+∠B=120°,∠C=∠A,则△ABC 是( )
A.钝角三角形 B.等腰直角三角形； C.直角三角形 D.等边三角形
D
C
B
A
5.在△ABC 中,∠A-∠B=35°,∠C=55°,则∠B 等于( )
A.50° B.55° C.45° D.40°
6.三角形中最大的内角一定是( )
A.钝角 B.直角； C.大于 60°的角 D.大于等于 60°的角
二、填空题
1.直角三角形的两个锐角___________.
2.在△ABC 中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,则△ABC 是________三角形.
3.在△ABC 中,∠A=∠B= 1
10
∠C,则∠C=_______.
4.在△ABC 中,∠A+∠B=120°,∠A-∠B+∠C=120°,则∠A=_______,∠B=______.
5.如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC 于 D,则∠B=∠________,∠C=∠________.
6.在一个三角形中,最多有______个钝角,至少有______个锐角.
三、计算题
1.如图,已知:∠A=∠C.
求证:∠ADB=∠CEB.
2.如图,在△ABC 中,∠B=30°,∠C=65°,AE⊥BC 于 E,AD 平分∠BAC,求∠DAE 的度数.
E
D
C
B
A
3.如图,在正方形 ABCD 中,已知∠AEF=30°,∠BCF=28°,求∠EFC 的度数.
E
F
D
C
B
A
四、如图,一块梯形玻璃的下底及两腰的一部分被摔碎,量得∠A=120°,∠D=105°,你能否
求出两腰的夹角∠P 的度数.
E
D
C
B
A
P
D
C
B
A
五、小明在证明“三角形内角和等于 180°”时用了如图所示的辅助线的方法,即延长 BC 到
D,延长 AC 到 E,过点 C 作 CF∥AB,你能接着他的辅助线的做法证明出来吗?
E
F
D
C
B
A
六、请你利用“三角形内角和定理”证明“四边形的内角和等于 360°”.四边形 ABCD 如图
所示.
D
C
B
A
七、我们已经证明了“三角形的内角等于 180°”,易证“四边形的内角和等于 360°=2×180°,
五边形的内角和等于 540°=3×180°……”试猜想一下十边形的内角等于多少度?n
边形的内角和等于多少度?
参考答案
一、1.C 2.B 3.C 4.D 5.C 6.D
二、1.互余 2.直角 3.150° 4.90°,30° 5.∠DAC;∠BAD 6.1;2
三、1.∵∠A+∠B+∠ADB=∠C+∠B+∠CEB
又∵∠A=∠C,∠B=∠B
∴∠ADB=∠CEB
2.∵∠B+∠C+∠BAC=180°
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-66°=84°
又∵AD 平分∠BAC
∴∠DAC= 1
2
∠BAC= 1
2
×84°=42°
∵AE⊥BC
∴∠EAC=90°-∠C=90°-66°=24°
∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=42°-24°=18°
3.∵四边形 ABCD 是正方形
∴∠A=∠B=90°
∴∠AFE=90°-∠AEF=90°-30°=60°
∠BFC=90°-∠BCF=90°-28°=62°
∴∠EFC=180°-∠AFE-∠BFC=180°-60°-62°=58°
四、∵∠PAD+∠BAD=180° ∠PDA+∠ADC=180°
∴∠PAD=180°-∠BAD=180°-120°=60°
∠PDA=180°-∠ADC=180°-105°=75°
又∵∠P+∠PAD+∠PDA=180°
∴∠P=180°-∠PAD-∠PDA=180°-60°-75°=45°
五、∵AB∥CF
∴∠A=∠ACF ∠B=∠FCD
又∵∠ACB=∠DCE
∴∠A+∠B+∠C=∠ACF+∠FCD+∠DCE=180°
六、连接 AC ∵∠B+∠BAC+∠ACB=180°
∠D+∠DAC+∠ACD=180°
∴(∠B+∠BAC+∠ACB)+(∠D+∠DAC+∠ACD)=180°+180°
∴∠B+∠D+(∠BAC+∠DAC)+(∠ACB+∠ACD)=360°
∴∠B+∠C+∠BAD+∠BCD=360°
即四边形 ABCD 的内角和等于 360°.
七、十边形的内角和:(10-2)×180°=1440°
n 边形的内角和:(n-2)×180°.
6.6 关注三角形的外角同步练习 1
一、选择题（每题 5 分，共 30 分）
1.以下命题中正确的是（ ）
A.三角形的三个内角与三个外角的和为 540°
B.三角形的外角大于它的内角
C.三角形的外角都比锐角大
D.三角形中的内角中没有小于 60°的
2.如果一个三角形的一个外角等于等于它相邻的内角，这个三角形是（ ）
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形
3.下列说法正确的有（ ）
①三角形的外角大于它的内角；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；③
三角形的外角中至少有两个钝角；④三角形的外角都是钝角.
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
4.三角形的三个外角之比为 2∶2∶3，则此三角形为( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形
5.如果一个三角形的一个内角大于相邻的外角，这个三角形是（ ）
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形
6.如图，∠x 的两条边被一直线所截，用含α和β的式子表示∠x 为（ ）
A.α－β B.β－α C.180°－α＋β D.180°－α－β
β
α
x
（第 6 题图）
二、填空题（每题 5 分，共 30 分）
7.直接根据图示填空：
（1）∠α＝_________ （2）∠α＝_________ （3）∠α＝_________;
（4）∠α＝_________ （5）∠α＝_________ （6）∠α＝_________.
α38°
62° 20°α°
30° 25° 150°α
（1） （2） （3）
70°α°
70°
60° 20°α 20° 135°45°
α
（4） （5） （6）
（第 7 题图）
8.如图△ABC 中，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD＝158°，则∠EDF＝________.
A
B CD
F
E
1
2
3
A
B C
D E 1
2
B
C
A
E
D
（第 8 题图） （第 10 题图） （第 11 题图） （第 12 题图）
9.在△ABC 中，∠A 等于和它相邻的外角的四分之一，这个外角等于等于∠B 的两倍，那么
∠A＝______，∠B＝_______，∠C＝_______.
10.如图，∠1，∠2，∠3 是△ABC 的不同的三个外角，则∠1＋∠2＋∠3＝________.
11.如图，比较∠A，∠BEC，∠BDC 的大小关系为_______________________.
12.如图，把△ABC 的纸片沿 DE 折叠，当点 A 落在四边形 BCED 内部时，则∠A 与∠1、∠2
之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找出这个规律为___________________.
三.解答题（每题 10 分，共 40 分）
13.如图，求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°
14.D 为△ABC 的边 AB 上一点，且∠ADC＝∠ACD.求证：∠ACB＞∠B
A
B C
F
D E
A
D CB
15.如图，D 在 BC 延长线上一点，∠ABC，∠ACD 平分线交于 E.求证：∠E＝ 1
2
∠A
16.如图，D 为 AC 上一点，E 是 BC 延长线上一点，连 BD，DE.求证：∠ADB＞∠CDE.
四.拓展探究（不计入总分）
17.如图，P 是△ABC 内一点，请用量角器量出∠ABP，∠ACP，∠A 和∠BPC 的大小，再计算
一下，∠ABP＋∠ACP＋∠A 是多少度？这三个角的和与∠BPC 有什么关系？你能用学到的
知识来解释其中的道理吗？你能判断∠BPC 和∠A 的大小吗？把你的想法与同伴交流，看
谁说得更有道理．
A
B C D
E
参考答案
1.A 2.A 3.B 4.A 5.B 6.B
7.（1）100°（2）35°（3）60°（4）70°（5）30°（6）70°
8.68° 9.36° 72° 72° 10.360° 11.∠A＜∠BEC＜∠BDC
12.2∠A＝∠1＋∠2
13.提示：连接 BC，证明∠FBC＋∠FCB＝∠D＋∠E
14.∠ACB＝∠ADC＞∠B
15.提示：∠E＝∠ECD－∠EBC＝ 1
2
（∠ACD－∠ABC）＝ 1
2
∠A
16.因为∠ADB＞∠2，而∠2＞∠CDE,所以∠ADB＞∠CDE
17.∠ABP＋∠ACP＋∠A＝∠BPC（点拨：用外角来证明）
6.6 关注三角形的外角同步练习 2
一、选择题：
1.三角形的一个外角等于和它相邻的内角,则这个三角形是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形； C.直角三角形 D.等腰直角三角形
2.下列叙述正确的是( )
A.三角形的外角等于两个内角的和
B.三角形的外角大于内角
C.三角形任何两个内角的和都等于第三个角的外角
D.三角形每一个内角都只有一个外角
3.下列说法正确的是( )
A.三角形的每一个外角都大于和它相邻的一个内角
B.三角形的一个外角可以等于和它相邻的一个内角
C.三角形的外角和等于 180°
D.三角形中至少有一个外角小于和它相邻的内角
4.在△ABC 中,∠A、∠B 的外角分别是 120°、150°,则∠C=( )
A.120° B.150° C.60° D.90°
5.如图 1,∠1=∠2.∠3=∠4,则∠5 是∠1 的( )
A.2 倍 B.3 倍 C.4 倍 D.6 倍
5
4
3
2
1
80
30
1
E
D
C
B
A
图 1 图 2 图 3
6.三角形的外角都大于和它相邻的内角,则这个三角形是( )三角形.
A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不确定
二、填空题
1.在△ABC 中,∠A=50°,∠B=70°,则∠C 的外角等于________.
2.如图 2,∠1=________.
3.五角形的五个内角的和是________.
4.由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个公理或定理的________.
5.如图 3,∠BAC_______∠BEC.
6.在△ABC,∠A:∠B:∠C=∠1:∠2:∠3,则它们外角的比是_______.
三、计算题
1. 如图,△ABC 中,∠B=∠C,外角∠DAC=100°,求∠B、∠C 的度数.
2. 如图,△ABC 中,∠ABC=∠C=72°,BD 平分∠ABC,求∠ADB 的度数.
D
C
B
A
D
C
B
A
3.如图,△ABC 中,∠A=80°,∠B、∠C 的角平分线相交于点 O,∠ACD=30°,求∠DOB 的度数.
四、如图,△ABC 中,∠A=90°,∠C 的平分线交 AB 于 D,已知∠DCB=2∠B.求∠ADC 的度数.
五、如图,P 是△ABC 内的一点,连接 PB、PC,求证:∠BPC>∠A.
六、如图,E 是 BC 延长线上的点,∠1=∠2.求证:∠BAC>∠B
O
D
C
B
A
D
C
B
A
P
C
B
A
2
1
E
D
C
B
A
七、如图,△ABC 的两外角平分线交于点 P,易证∠P=90°- 1
2
∠A；△ABC两内角的平分线交
于点 Q,易证∠BQC=90°+ 1
2
∠A；那么△ABC 的内角平分线 BM 与外角平分 CM的夹角∠
M=_____∠A.
参考答案
一、1.C 2.C 3.B 4.D 5.C 6.A
二、1.120° 2.130° 3.180° 4.推论 5.< 6.5:4:3
三、1.∵∠DAC=∠B+∠C ∠B=∠C
∴∠DAC=2∠B=2∠C
∴∠B=∠C= 1
2
∠DAC= 1
2
×100°=50°
2.∵BD 平分∠ABC
∴∠DBC= 1
2
∠ABC= 1
2
×72°=36°
∴∠ADB=∠DBC+∠C=36°+72°=108°
3.∵BO、CO 分别平分∠ABC 和∠ACB
∴∠ABO=∠CBO ∠BCD=∠ACD=30°
又∵∠A=80°
∴∠ABC=180°-∠A-∠ACD-∠BCD=180°-80°-30°-30°=40°
∴∠CBO = 1
2
∠ABC= 1
2
×40°=20°
∴∠DOB=∠CBO+∠BCD=20°+30°=50°
四、∵CD 平分∠ACB
∴∠ACD=∠DCB=2∠B
又∵∠A=90°
∴∠B+∠ACB=90°
M
Q
P
C
B
A
∴∠B+∠ACD+∠DCB=90°
∴∠B+2∠B+2∠B=90°
∴∠B=18°
∴∠ADC=∠B+∠DCB=∠B+2∠B=3∠B=3×18°=54°
五、延长 BP 到 D
∵∠PDC>∠A ∠BPC>∠PDC
∴∠BPC>∠A
六、∵∠2=∠B+∠D
∴∠B=∠2-∠D
又∵∠BAC=∠1+∠D ∠1=∠2
∴∠BAC>∠B
七、 1
2
.
6.5 三角形内角和定理的证明--6.6 关注三角形的外角
同步练习
基础巩固
一、训练平台（第 1～4 小题各 5 分，第 5～6 小题各 10 分，共 40 分）
1．如图 1 所示，在△ABC 中，AD 和 CD 分别平分∠BAC 和∠BCA，如果∠B=40°，
那么∠ADC=________．
图 1 图 2 图 3
2．如图 2 所示，如果∠ADC=100°，那么∠A，∠B，∠C 三个角的和是_____．
3．如图 3 所示，△ABC 中，AB=AC，BD 是∠ABC 的平分线，若∠ADB=93°，则∠A=_________．
4．在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的外角度数的比是 4：3：2，则∠A=_______．
5．如图所示，DE∥AB，FG∥BC，HM∥CA，求∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M 的度数．
6．如图所示，∠BAC=∠CAE=∠EAD，试问△ABC 中哪个角最大？哪个角最小？说明你的理由．
二、提高训练（第 1～5 小题各 5 分，第 6 小题 9 分，共 34 分）
1．如图 4 所示，D 是△ABC 的 BC 边上一点，∠B=∠BAD，∠ADC=80°，∠BAC=70°，则∠
B=________，∠C=________．
图 4 图 5 图 6
2．三角形的三个外角中，最多有______个锐角．
3．如果三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形一定是______三角形．
4．如图 5 所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=_______．
5．如图 6 所示，用“>”连接∠1，∠2，∠3，∠4 为____________．
6．如图所示，在△ABC 中，∠B 的平分线与∠C 的外角平分线相交于点 D，请比较∠D 与
∠A 的大小关系．
三、探索发现（共 10 分）
如图所示，已知△ABC 是等边三角形，且∠1=∠2=∠3，问△DEF 是等边三角形吗？为什
么？
四、拓展创新（共 16 分）
如图所示．
（1）图甲是一个五角形 ABCDE，你能计算出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的大小吗？
（2）如图乙，如果点 B 向右移动到 AC 上时，还能算出∠A+∠EBD+∠C+∠D+∠E的大小
吗？
（3）如图丙，点 B 向右移动到 AC 的另一侧时，（1）的结论成立吗？为什么？
（4）如图丁，点 B，E 移动到∠CAD 的内部时，结论又如何？
中考演练
如图所示，在△ABC 中 D 是 AC 延长线上的一点，∠BCD 等于（ ）
A．72° B．82°
C．98° D．124°
参考答案
一、1．110° 2．100° 3．56° 4．20° 5．360°
6．∠ACB 最大，∠B 最小，理由略．
二、1．40° 70° 2．1 3．钝角 4．180°
5．∠3>∠1>∠2∠4 6．2∠D=∠A．
三、△DEF 是等边三角形，原因略．
四、（1）∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°
（2）（3）（4）略
※C
