贵州省遵义市南白中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

贵州省遵义市南白中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

贵州省遵义市南白中学2019-2020学年上学期高二期中考试理科数学试题 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 已知集合A={x|x2＜4x}，B={x|2＜x＜5}，则A∪B=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 2. 已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S3=3，a3=3，则a1011=（　　）‎ A. 2019 B. ‎1010 ‎C. 2018 D. 1011‎ 3. 若向量满足，且，则向量的夹角为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 4. 设a=log43，b=log86，c=0.5-0.1，则（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 5. 已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 6. 函数y=（x3-x）ln|x|的图象是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 7. 已知两直线m、n和平面α，若m⊥α，n∥α，则直线m、n的关系一定成立的是（　　）‎ A. m与n是异面直线 B. C. m与n是相交直线 D. ‎ 8. 已知直线l1：mx-y+3=0与l2：y= —垂直，则m=（）‎ A. B. C. D. 2‎ 9. ‎《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( ) ‎ A. 14斛 B. 22斛 C. 36斛 D. 66斛 10. 已知圆（x-a）2+y2=1与圆x2+（y-b）2=1外切，则（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 11. 如图所示，已知四棱锥P-ABCD的高为3，底面ABCD为正方形，PA=PB=PC=PD且，则四棱锥P-ABCD外接球的半径为 A. B. ‎2 ‎C. D. 3‎ 1. 己知函数，函数y=f（x）-a有四个不同的零点，从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则-x1x2+x3+x4的取值范围为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 2. 已知，则tanθ=______．‎ 3. 函数y=x++6（x＞0）的最小值为______．‎ 4. 已知实数x，y满足，则的最大值为______．‎ 5. 如图，在直角梯形ABCD中，，AB=AD=2．若M、N分别是边AD、BC上的动点，满足，，其中λ∈（0，1），若，则λ的值为______．‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ 6. 已知等差数列{an}满足a3=6，前7项和为S7=49． （1）求{an}的通项公式； （2）设数列{bn}满足，求{bn}的前n项和Tn． ‎ ‎ ‎ 7. 某校举行环保知识竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从得分不低于50分的试卷中随机抽取100名学生的成绩（得分均为正数，满分100分），进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题： （Ⅰ）求a、b的值； （Ⅱ）若从成绩较好的第3、4、5组中，按分层抽样的方法抽取6人参加社区志愿者活动，并从中选出2人做负责人，求2人中至少有1人是第四组的概率．‎ 组号 分组 频数 频率 第1组 ‎[50，60]‎ ‎5‎ ‎0.05‎ 第2组 ‎[60，70]‎ a ‎0.35‎ 第3组 ‎[70，80]‎ ‎30‎ b 第4组 ‎[80，90]‎ ‎20‎ ‎0.20‎ 第5组 ‎[90，100]‎ ‎10‎ ‎0.10‎ 合计 ‎100‎ ‎1.00‎ ‎ ‎ 1. 如图：ABCD是平行四边形，AP⊥平面ABCD，BE∥AP，AB=AP=2，BE=BC=1，∠CBA=60° （1）求证：EC∥平面PAD； （2）求证：平面PAC⊥平面EBC； （3）求直线PC与平面PABE所成角的正弦值． ‎ ‎ ‎ 2. 已知函数f（x）=cosωx（2sinωx-cosωx）+sin2ωx（ω＞0）的最小正周期为2π． （1）求ω的值； （2）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f（B）=2，a=，△ABC面积S=，求b． ‎ 3. 如图，在三棱柱ABC-A1B‎1C1中，BB1⊥平面ABC，∠BAC=90°，AC=AB=AA1，E是BC的中点．   （‎ ‎1）求证：AE⊥B‎1C； （2）求异面直线AE与A‎1C所成的角的大小； （ 3）若G为C‎1C中点，求二面角C-AG-E的正切值． ‎ 1. 已知两个定点A（0，4），B（0，1），动点P满足|PA|=2|PB|．设动点P的轨迹为曲线E，直线l：y=kx-4． （Ⅰ）求曲线E的轨迹方程； （Ⅱ）若k=1，Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM，QN，切点为M，N，探究：直线MN是否过定点． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】D ‎ ‎【解析】解：∵A={x|0＜x＜4}，B={x|2＜x＜5}， ∴A∪B={x|0＜x＜5}． 故选：D． 可以求出集合A，然后进行并集的运算即可． 考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及并集的运算． 2.【答案】A ‎ ‎【解析】解：∵Sn为等差数列{an}的前n项和，S3=3，a3=3， ∴， 解得a1=-1，d=2， a1011=-1+1010×2=2019． 故选：A． 利用等差数列的前n项和公式和通项公式能求出首项和公差，由此能求出第1011项． 本题考查等差数列的第1011项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3.【答案】C ‎ ‎【解析】解：∵向量满足，且， ∴9-6+=19，即9-6+4=19，∴=-1，即1×2×cosθ=-1， 求得cosθ=-，∴θ=120°， 故选：C． 由题意利用两个向量的夹角公式，两个向量的数量积的定义，求得cosθ的值，可得向量的夹角θ的值． 本题主要考查两个向量的夹角公式，两个向量的数量积的定义，属于基础题． 4.【答案】D ‎ ‎【解析】解：，且， ∴， 又0.5-0.1＞0.50=1， ∴c＞b＞a． 故选：D． 根据换底公式可得出，显然，从而得出a＜b＜1，并且可得出0.5-0.1＞1，这样即可得出c＞b＞a． 考查对数的换底公式，对数函数和指数函数的单调性，以及增函数和减函数的定义． 5.【答案】B ‎ ‎【解析】解：设圆柱的底面半径为r．因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为2r． 因为该圆柱的体积为54π，πr2h=2πr3=54π，解得r=3， 所以该圆柱的侧面积为2πr×2r=36π． 故选：B． 利用圆柱的体积与求出圆柱的底面半径，转化求解圆柱的侧面积即可． 本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力． ‎ ‎6.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，结合函数值的符号进行排除是解决本题的关键． 【解答】 解：f（-x）=-（x3-x）ln|x|=-f（x），函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B， 函数的定义域为{x|x≠0}， 由f（x）=0，得（x3-x）ln|x|=0，即（x2-1）ln|x|=0，即x=±1，即函数f（x）有两个零点，排除D， f（2）=6ln2＞0，排除A， 故选C． 7.【答案】B ‎ ‎【解析】解：两直线m、n和平面α，若m⊥α，n∥α， m与n是异面直线有可能是相交直线，A不正确； m⊥n正确； m与n是相交直线，有可能是异面直线． m∥n是不可能的． 故选：B． 直接利用已知条件判断选项即可． 本题考查直线与直线，直线与平面的位置关系的判断，是基础题． 8.【答案】D ‎ ‎【解析】解：直线l1：mx-y+3=0与l2：y=-垂直， 则m•（-）=-1， 解得m=2， 故选：D． 根据相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出． 本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 9.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查椎体的体积的计算，比较基础． 根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可． 【解答】‎ 解：设圆锥的底面半径为r，则r=8， 解得r=， 故米堆的体积为××π×（）2×5≈， ∵1斛米的体积约为1.62立方， ∴÷1.62≈22， 故选：B．‎ ‎ 10.【答案】C ‎ ‎【解析】解：圆（x-a）2+y2=1的圆心坐标为（a，0），半径为1； 圆x2+（y-b）2=1的圆心坐标为（0，b），半径为1‎ ‎； 由于圆（x-a）2+y2=1与圆x2+（y-b）2=1外切， 所以； 即a2+b2=4； 故选：C． 根据两圆外切的几何关系，圆心距=两圆半径之和，解出即可． 本题考查了判断两圆的位置关系的条件，属于基础题． 11.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】‎ 本题考查球体的计算，考查对于模型的理解和应用能力，属于中等题．‎ 计算出正方形ABCD的外接圆半径r，利用勾股定理计算出正四棱锥P-ABCD的侧棱长，再利用公式可得出该四棱锥的外接球半径.‎ ‎【解答】‎ 解：设四棱锥P-ABCD的外接球半径为R， 正方形ABCD的外接圆直径为，所以，， 所以，正四棱锥P-ABCD的侧棱长为， 由球的大圆的直径所对圆周角为直角，结合直角三角形的射影定理可得 侧棱的平方为侧棱在直径上的射影与直径的乘积， 因此，，解得，R=2， 故选：B． ‎ ‎ 12.【答案】A ‎ ‎【解析】解：函数y=f（x）-a有四个不同的零点，即两函数y=f（x）与y=a图象有四个不同的交点，如图所示， 由图象可知，1＜a≤e， x1，x2是方程的两根，即x2+2x+1-lna=0的两根， ∴x1x2=1-lna， x3，x4是方程x+-3=a的两根，即x2-（3+a）x+4=0的两个根， ∴x3+x4=3+a， ∴-x1x2+x3+x4=2+a+lna． ∵g（a）=2+a+lna在（1，e]上为单调增函数， ∴g（a）∈（3，e+3]． 故选：A． 画出f（x）的图象和直线y=a，考虑四个交点的情况，把-x1x2与x3+x4用含有a的代数式表示，再由函数的单调性求解． 本题考查函数零点的判定，考查数学转化思想方法与数形结合思想方法，训练了利用函数单调性求最值，属于中档题． ‎ ‎13.【答案】4 ‎ ‎【解析】解：由，得， 解得tanθ=4． 故答案为：4． 利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解． 本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 14.【答案】8 ‎ ‎【解析】解：函数y=x++6≥2+6=8，（x＞0）， 当x=1时，取得等号，即最小值为8． 故答案为：8 利用基本不等式y=x++6≥2+6=8，得出答案． 考查基本不等式的应用，基础题． 15.【答案】 ‎ ‎【解析】解：作出实数x，y满足，对应的平面区域如图：的几何意义是区域内的点到定点D（-3，0）的斜率， 由图象知DA的斜率最大， 由得A（1，）， 则DA的斜率k==， 则的最大值为：． 故答案为：． 作出不等式组对应的平面区域，根据分式的性质，结合斜率的公式进行转化求解即可． 本题主要考查线性规划的应用，根据分式的性质结合直线斜率的公式，以及数形结合是解决本题的关键． 16.【答案】 ‎ ‎【解析】解：由图可知：=+=+（1-λ）， ==， 又， 所以[+（1-λ）]•（）=-2， 所以2+λ（1-λ）=-2， 又=2，=||2=3， 可得：3λ2-5λ+2=0， 又0＜λ＜1， 所以， 故答案为：． 由平面向量的线性运算得：=+=+（1-λ），==， 由平面向量数量积的性质及其运算得：[+（1-λ）]•（）=-2，所以2+λ（1-λ）=-2，又=2，=||2=3，可得：3λ2-5λ+2=0，又0＜λ＜1，所以，得解． 本题考查了平面向量的线性运算、平面向量数量积的性质及其运算及向量投影的定义，属中档题． 17.【答案】解：（1）由，得a4=7 ∵a3=6，∴d=1， ‎ ‎∴a1=4， ∴an=n+3 （2）=n•3n， ∴Tn=1×31+2×32+3×33+…+n×3n， ∴3Tn=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1， ∴-2Tn=3+32+33+34+…+3n-n×3n+1=-n×3n+1， ∴Tn= ‎ ‎【解析】本题考查了等差数列的求和公式和等差数列的性质以及错位相减法，属于中档题. （1）根据等差数列的求和公式和等差数列的性质即可求出， （2）根据错位相减法即可求出． 18.【答案】解：（Ⅰ）由频率和等于1，所以b=1.00-（0.05+0.35+0.20+0.10）=0.30． a=100×0.35=35； （Ⅱ）因为第三、第四、第五组的学生数的比例是3：2：1，所以利用分层抽样从中选6人， 第三、第四、第五组选取的学生人数分别是3人，2人，1人． 设第三组选取的学生为1，2，3．第四组选取的学生为a，b．第五组选取的学生为c． 则从6人中任意选出2人的所有方法种数是：（1，2），（1，3），（1，a），（1，b），（1，c），（2，3）， （2，a），（2，b），（2，c），（3，a），（3，b），（3，c），（a，b），（a，c），（b，c）共15种． 其中至少1人是第四组的方法种数是：（1，a），（1，b），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），（a，b），（a，c），（b，c）共9种． 所以2人中至少有1人是第四组的概率是． ‎ ‎【解析】（Ⅰ）直接利用频率和等于1求出b，用样本容量乘以频率求a的值； （Ⅱ）由分层抽样方法求出所抽取的6人中第三、第四、第五组的学生数，利用列举法写出从中任意抽取2人的所有方法种数，查出2人至少1人来自第四组的事件个数，然后利用古典概型的概率计算公式求解． 本题考查了频率分布直方图，考查了古典概型及其概率计算公式，解答的关键是正确求出事件总数和基本事件个数，是基础题． 19.【答案】（1）证明：因为BE∥PA， BE⊄平面PAD，PA⊂平面PAD， 所以BE∥平面PAD，同理BC∥平面PAD， 所以平面PAD∥平面EBC， 因为EC⊂平面EBC，所以EC∥平面PAD…（4分） （2）证明：因为AB=2，BC=1，∠CBA=60°， 由余弦定理得，AC=， 所以由勾股定理逆定理∠BCA=90°， 所以AC⊥BC，又因为BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC， 则有AC⊥平面EBC，AC⊂平面PAC 所以平面BEC⊥平面PAC．…（8分） （3）解：作CH⊥AB于H，连结PH， 又因为CH⊥PA，所以CH⊥平面PABE， 所以∠HPC即为线面角， ‎ ‎∴．…（13分） ‎ ‎【解析】（1）由已知条件推导出平面PAD∥平面EBC，由此能证明EC∥平面PAD． （2）由余弦定理得AC=，由勾股定理得AC⊥BC，由线面垂直得BE⊥AC，由此能证明平面BEC⊥平面PAC． （3）作CH⊥AB于H，连结PH，由题设知∠HPC即为线面角，由此能求出直线PC与平面PABE所成角的正弦值． 本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养． 20.【答案】解：（1）函数f（x）=cosωx（2sinωx-cosωx）+sin2ωx（ω＞0）=sin2ωx-cos2ωx+sin2ωx =sin2ωx-cos2ωx=2sin（2ωx-）最小正周期为2π=，∴ω=， ∴f（x）=2sin（x-）． （2）△ABC中，∵f（B）=2sin（B-）=2，∴B-=，B=． 又a=，△ABC面积S=ac•sinB==，c=， ∴b==3． ‎ ‎【解析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，求得ω的值． （2）由f（B）=2，求得B的值，利用三角形的面积公式求得c的值，再利用余弦定理求得b的值． 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，三角形的面积公式、余弦定理的应用，属于中档题． 21.【答案】（1）证明：因为BB1⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，所以AE⊥BB1, 由AB=AC，E为BC的中点得到AE⊥BC, ∵BC∩BB1=B，BC、BB1​平面BB‎1C1C， ∴AE⊥平面BB‎1C1C， , ∴AE⊥B‎1C； （2）解：取B‎1C1的中点E1，连A1E1，E‎1C，则AE∥A1E1， ∴∠E‎1A1C是异面直线AE与A‎1C所成的角， 设AC=AB=AA1=2，则由∠BAC=90°， 可得A1E1=AE=，A‎1C=2，E‎1C1=EC=BC=， ∴E‎1C==， ∵在△E‎1A1C中，cos∠E‎1A1C==， 所以异面直线AE与A‎1C所成的角为； （3）解：设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q，连EP，EQ，则EP⊥AC， 又∵平面ABC⊥平面ACC‎1A1,平面ABC平面ACC‎1A1=AC,平面ABC， ∴EP⊥平面ACC‎1A1，AG平面ACC‎1A1， ‎ ‎∴AG⊥EP，又PQ⊥AG，EP，PQ平面EPQ，EPPQ=P， ∴AG⊥平面EPQ，EQ平面EPQ， ∴EQ⊥AG． ∴∠PQE是二面角C-AG-E的平面角， 由(2)假设知：EP=1，AP=1， RtRt，PQ=， 故tan∠PQE==， 所以二面角C-AG-E的平面角正切值是. ‎ ‎【解析】本题考查异面直线的夹角，二面角，线线垂直的判定，属于中档题，熟练掌握线面垂直，线线垂直与面面垂直之间的转化及异面直线夹角及二面角的定义，是解答本题的关键，属于较难题. （1）由BB1⊥平面ABC及线面垂直的性质可得AE⊥BB1，由AC=AB，E是BC的中点，及等腰三角形三线合一，可得AE⊥BC，结合线面垂直的判定定理可证得AE⊥平面BB‎1C1C，进而由线面垂直的性质得到AE⊥B‎1C； （2）取B‎1C1的中点E1，连A1E1，E‎1C，根据异面直线夹角定义可得，∠E‎1A1C是异面直线AE与A‎1C所成的角，设AC=AB=AA1=2，解三角形E‎1A1C可得答案． （3）连接AG，设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q，连EP，EQ，则EP⊥AC，由直三棱锥的侧面与底面垂直，结合面面垂直的性质定理，可得EP⊥平面ACC‎1A1，进而由二面角的定义可得∠PQE是二面角C-AG-E的平面角． 22.【答案】解：（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y）， 由|PA|=2|PB|可得，， 整理可得x2+y2=4， 所以曲线E的轨迹方程为x2+y2=4． （Ⅱ）依题意，ON⊥QN，OM⊥QM， 则M，N都在以OQ为直径的圆F上Q是直线l：y=x-4上的动点， 设Q（t，t-4）， 则圆F的圆心为，且经过坐标原点， 即圆的方程为x2+y2-tx-（t-4）y=0． 又因为M，N在曲线E：x2+y2=4上， 由，可得tx+（t-4）y-4=0， 即直线MN的方程为tx+（t-4）y-4=0 由t∈R且t（x+y）-4y-4=0可得，解得， 所以直线MN是过定点（1，-1）． ‎ ‎【解析】（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），由|PA|=2|PB|列出方程化简求解即可． （Ⅱ）说明M，N都在以OQ为直径的圆F上Q是直线l：y=x-4上的动点，设Q（t，t-4），圆F的圆心为，且经过坐标原点，圆的方程为x2+y2-tx-（t-4）y=0．M，N在曲线E：x2+y2=4上，推出直线MN的方程为tx+（t-4）y-4=0，然后求解直线MN是过定点（1，-1）． 本题考查轨迹方程的求法，直线系方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题． ‎