2017-2018学年河北省定州中学高二（承智班）上学期期中考试数学试题

2017-2018学年河北省定州中学高二（承智班）上学期期中考试数学试题

河北定州中学 2017-2018 学年第一学期高二数 学承智班期中考试试题 一、选择题 1．执行如图的程序框图，已知输出的  0,4s 。若输入的  0,t m ，则实数 m 的最大值为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2．若集合    1,2 , 1,3A B  , 则集合 A B  （ ） A．  B． 1 C． 1,2,3 D． |1 3x x  3．若向量  1,0a  ，  1,2b  ，向量 c 在 a 方向上的投影为 2，若 / /c b ，则 c 的大小为（ ） A. 2 B. 5 C. 4 D. 2 5 4．设曲线 2 1y x  在点 处的切线的斜率为  g x ，则函数  cosy g x x 的部分图象可以 为( ) A. B. C. D. 5．设定义域为 R 的函数 | 1| 2 5 1, 0,( ) 4 4, 0 x xf x x x x        若关于 x 的方程 2 2( ) (2 1) ( ) 0f x m f x m    有 7 个不同的实数解，则 m  （ ） A．6 B．4 或 6 C．6 或 2 D．2 6．函数    sin ( 0,0 )f x x         的图象中相邻对称中心的距离为 2  ，若角 的终边 经过点 3, 3 ，则  f x 图象的一条对称轴为 （ ） A. 6x  B. 4x  C. 3x  D. 6x   7．若椭圆 2 2 2 2 1x y a b   过抛物线 2 8y x 的焦点， 且与双曲线 2 2 1x y  有相同的焦点，则该 椭圆的方程是（ ） A． 2 2 13 yx   B． 2 2 12 4 x y  C． 2 2 13 x y  D． 2 2 14 2 x y  8．函数   cosf x x 与函数   2g log 1x x  图像所有交点的横坐标之和为（） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 9．执行如图的程序框图，则输出的值为（ ） A. 33 B. 215 C. 343 D. 1025 10．若变量，满足约束条件 ，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 11．九章算术中一文：蒲第一天长 3 尺，以后逐日减半;莞第一天长 1 尺，以后逐日增加一 倍，则（ ）天后，蒲、莞长度相等？参考数据： lg2 0.3010 ， lg3 0.4771 ，结果精确 到 0.1.（注：蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的 2 倍.） A. 2.2 B. 2.4 C. 2.6 D. 2.8 12．已知定义在 R 上的函数  f x 的导函数为  f x ，对任意 x R 满足     0f x f x   ， 则下列结论正确的是（ ） A.    2 ln2 3 ln3f f B.    2 ln2 3 ln3f f C.    2 ln2 3 ln3f f D.    2 ln2 3 ln3f f 二、填空题 13．双曲线 的顶点到其渐近线的距离等于__________． 14．已知 na 是等比数列， 5 3 7 1 ,4 22a a a   ，则 7a  . 15．在 ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边长分别为 a ，b ， c ，若sin 2sinA B ，且 3a b c  ， 则角C 的大小为________. 16．若从正八边形的 8 个顶点中随机选取 3 个顶点，则以它们作为顶点的三角形是直角三角 形的概率是________． 三、解答题[][] 17．在 ABC 中， , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，若  tan tan 3 tan tan 1A C A C   . （1）求角 B ； （2）如果 2b  ，求 ABC 面积的最大值. 18．已知等差数列 na 满足 3 7a  ， 3 7 26a a  ． （1）求数列 na 的通项公式； （2）令 2 8n n nb a   （ *n N ），求数列 nb 的最大项和最小项． 19．已知各项均不为零的数列 的前 项和 ，满足： （为常数，且 ， ）． （1）设 ，若数列 为等比数列，求的值； （2）在满足（1）的情形下，设 ，数列 的前 项和 ，若不等式 对任意 的 恒成立，求实数的取值范围． 参考答案 DCDAD ADCCC 11．C 12．A 13． 14．1 15． 60C 16． 3 7 ； 17．（Ⅰ） 3B  （Ⅱ） 3 （1）利用两角和的正切公式，化简已知条件得到  tan 3A C   ，故 πtan 3, 3B B  . （2）利用 B 角的余弦定理，写出 ,a c 的关系式，利用基本不等式求得 ac 的最大值，由三角 形面积公式可求得面积的最大值. 试题解析： （1）∵  tan tan 3 tan tan 1A C A C   ，即 tan tan 31 tan tan A C A C    ∴  tan 3A C   又∵ A B C    ∴ tan 3B  由于 B 为三角形内角，故 3B  （2）在 ABC 中，由余弦定理得 2 2 2 1cos 2 2 a c bB ac    ，所以 2 2 4a c ac   ∵ 2 2 2a c ac  ∴ 4ac  ，当且仅当 2a c  时等号成立 ∴ ABC 的面积 1 1 3sin 4 32 2 2S ac B     ∴ ABC 面积的最大值为 3 18．（1） 2 1na n  （2）最大项为 4 8b  ，最小项为 3 6b   一、选择题[] 1．若 a R ，则复数 3 i i az  在复平面内对应的点在第三象限是 0a  的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2．已知 1cos 3 2       ，则sin 6      的值等于 ( ) A. 3 2 B. 3 2  C. 1 2 D. 1 2  3．设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，给出下列四个命题中错误的是（ ） A. 若 ，则 ； B. 若 ，则 ； C. 若 ，则 ； D. 若 ，则 . 4．  0,1,2A  ，  { | 3 0}B x x x   ，则 A B  （ ） A.  1,2 B.  0,1 C.  2,3 D.  0,1,2 5．已知函数   1 lnxf x x  ，若关于 x 的不等式    2 0f x af x  恰有两个整数解，则 实数 a 的取值范围是（ ） A. 1 ln2 1 ln3,2 3       B. 1 ln3 1 ln2,3 2      C. 1 ln2 1 ln3,2 3       D. 1 ln31, 3      6．函数 的部分图象可能是( ) A. B. C. D. 7．在区间 1,m 上随机选取一个数 x ，若 1x  的概率为 2 5 ，则实数 m 的值为 A. 3 2 B. 2 C. 4 D. 5 8．已知向量  , 2m x x  与向量  1,3n x 是共线向量，则 x 等于（ ） A. 2 3 或 1 B. 2 3  或 1 C. 3 2 或 1 D. 3 2  或 1 9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）． A. B. C. D. 10．已知数列 na 满足  1 1 1 2 1 22 , 1, 3,n n n n na a a n a a S a a a          ，则下 列结论正确的是（ ） A. 2014 20141, 2a S   B. 2014 20143, 5a S   C. 2014 20143, 2a S   D. 2014 20141, 5a S   11．如右图，茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已 知甲组数据的平均数为 17，乙组数据的中位数为 17，则 x，y 的值分别为（ ） A. 2，6 B. 2，7 C. 3，6 D. 3，7 12．已知 是坐标原点，点 ，若点 为平面区域 1 { 2 2 x y x y     上一个动点， 则 的最大值为 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题 13．已知 ABC 中，过中线 AD 的中点 E 任作一条直线分别交边 AB ， AC 于 M ， N 两 点，设 AM xAB  ， AN yAC  （ 0xy  ），则 4x y 的最小值 ． 14．已知数列 na 中， 1 1a  ， 1 1 2n na a   （ 2n  ），则数列 na 的前 9 项和等于 ____________. 15．过点 1,2 且在坐标轴上的截距相等的直线的一般式方程是________ 16．若关于 x 的不等式 txx  22 至少有一个负数解，则实数t 的取值范围是 三、解答题 17．某校有一块圆心 ，半径为 200 米，圆心角为 的扇形绿地 ，半径 的中点分 别为 ， 为弧 上的一点，设 ，如图所示，拟准备两套方案对该绿地再利用. （1）方案一：将四边形绿地 建成观赏鱼池，其面积记为 ，试将 表示为关于 的函 数关系式，并求 为何值时， 取得最大？ （2）方案二：将弧 和线段 围成区域建成活动场地，其面积记为 ，试将 表示为 关于 的函数关系式；并求 为何值时， 取得最大？ 18．设不等式组 所表示的平面区域为 ，记 内的整点个数为 ， （整点即横、纵坐标均为整数的点） （1）计算 的值； （2）求数列 的通项公式 ； （3）记数列 的前 项和为 ，且 ，若对于一切的正整数 ，总有 ，求实 数 的取值范围. 19．已知函数 在 1x  与 1 3x  处都取得极值． （1）求 、 的值；（2）若对 时， 恒成立，求实数 的取值范围．参考 答案 1．B 【解析】因为 3 3aiz a ii     ，所以由题设可得 0 0a a  ，因此不充分；反之，当 0 0a a    ，则复数 3z a i   对应的点在第三象限，是必要条件，故应选答案 B。 2．D 【 解 析 】 6 3 2                 ， 所 以 6 2 3                 ， 则 1sin sin cos6 2 3 3 2                                ，故选择 D. 3．B 【解析】对于 A,假设 n ⊂ β,α∩β=l,因为 n∥α,所以 n∥l，又 m⊥α， 所以 m⊥l,而 n∥l，所以 m⊥n，正确； 对于 B,若 m∥n,n∥α,则 m∥α或 m ⊂ α，故错误； 对于 C,若 m∥n,n⊥β,则 m⊥β,又 m∥α,所以在平面α内一定存在一条直线 l,使 m∥l， 而 m⊥β，所以 l⊥β，l ⊂ α，则α⊥β，正确； 对于 D，由面面平行的判定定理，可以判断出是正确的。 故选 B. 4．A 【解析】    0 3 1 2B A B    ， ， ,选 A. 5．A 【解析】∵     2 2 1 1' lnx lnxf x x x     ， ∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减， 当 a>0 时,f2(x)+af(x)>0 ⇔ f(x)<−a 或 f(x)>0,此时不等式 f2(x)+af(x)>0 有无数个整数解，不符合 题意； 当 a=0 时,f2(x)+af(x)>0 ⇔ f(x)≠0,此时不等式 f2(x)+af(x)>0 有无数个整数解，不符合题意； 当 a<0 时,f2(x)+af(x)>0 ⇔ f(x)<0 或 f(x)>−a,要使不等式 f2(x)+af(x)>0 恰有两个整数解，必须满 足 f(3) ⩽ −a  f e ，即  f x 在 1 ,x ee      上的最小值为 1 e +4-3e， 要使对 1 ,x ee      时，  f x c 恒成立，必须  min 1 4 3c f x ee    