2018-2019学年湖南省邵东一中高二上学期期末考试数学（理）试题（Word版）
湖南省邵东一中 2018-2019 学年下学期高二年级期末考试试题
数学（理）
分值：150 分 时量：120 分钟 命题人：刘希凡 审题人：贺卫楚
一 选择题:(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题所给出的四个选
项中,只有项是符合题目要求的。)
1、等差数列中 na 中， 1 5 410, 7a a a ，则数列 na 的公差为( )
A、1 B、2 C、3 D、4
2、三角形 ABC 中， 1, 3a b ，∠A=30°，则∠B 等于( )
A、60° B、30°或 150° C、60°或 120° D、120°
3 已知命题 p:彐 x∈R,x2-x+1≥0,命题 q:若 a2
3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤3x”；
③命题“若 2 2 0x y ,x R y R ,则 0x y ”的逆否命题为真命题；
④ (2 x xe e ） =2 。
A．1 B.2 C.3 D.4
6、与圆 2 2 1x y 及圆 2 2 8 7 0x y x 都外切的圆的圆心在（ ）。
A．一个圆上 B. 一个椭圆上 C.双曲线的一支上 D.抛物线上
7、平行六面体 ABCD－A′B′C′D′中，若AC
→
′＝xAB
→
＋2yBC
→
－3zCC
→
′，则 x＋y＋z＝
( )。
A．1 B．7
6
C．5
6
D．2
3
8、已知点 P(x，y)的坐标满足条件
1
1
3 5 0
x
y x
x y
那么点 P 到直线 3x－4y－13＝0 的距
离的最小值为( )。
A. 2 B．1 C.9
5
D． 11
5
9、函数 f(x)＝ax3＋bx2＋cx－34(a，b，c∈R)的导函数为 f′(x)， 若不等式 f
′(x)≤0 的解集为{x|－2≤x≤3}，且 f(x)的极小值等于－196，则 a 的值是( )。
A．－81
22
B．1
3
C．5 D． 4
10、设 0 1x ，a，b 都为大于零的常数，则
2 2
1
a b
x x
的最小值为（ ）。
A． 2( )a b B． 2( )a b C. 2 2a b D． 2a
11、如图 F1、F2 分别是椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的两个焦点，A 和 B 是以 O 为圆心，以|OF1|
为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F2AB 是等边三角
形，则椭圆的离心率为( )。
A． 3
2 B．1
2 C． 2
2 D． 3－1
12、已知函数 ln(2 )( ) xf x x
，关于 x的不等式 2 ( ) ( ) 0f x af x 只有两个整数解，
则实数a的取值范围是（ ）
A． 1 ,ln 23
B． 1ln 2, ln 63
C． 1ln 2, ln 63
D． 1 ln 6,ln 23
二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13、设曲线 y＝3x－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程 。
14、已知 (1 ,2 1,0), (2, , )a t t b t t ，则| |b a 的最小值为 。
15、 1 2
1
( 1 | |)x x dx
= 。
16、直线l 与抛物线 xy 82 交于 BA, 两点，且l 经过抛物线的焦点 F ，已知 )8,8(A ，则
线段 AB 的中点到准线的距离为 。
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）
17.(本小题 10 分)
已知数列 na 满足 1
1 ( )3n na a n N
,且 3 1a
①)求 1a 及 na ；
(2)设 3log na
nb 求数列 nb 的前 n 项和 nS
18.(本小题 12 分)
设△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.且(b-c)2=a2—3bc
(I)求角 A
(Ⅱ)若 3, 1a b 求角 B 及△ABC 的面积
19.(本小题 12 分)
如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1C1C 是边长为 4 的正方形,AA1⊥AB，
AB=3，BC=5.
(l)求证:AA1⊥BC
(II)求二面角 A1-BC1-B1 的余弦值:
20、（12 分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y(单
位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系式 y＝ a
x－3＋10(x－6)2，
其中 30.
参考答案
一、选择题 BCBDB CBADB DC
二、填空题
13、 14、 15、 16、
三、解答题
17.(本小题 10 分)
解：（1） nn aa 2
1
1 ，且 13 a ， 01 a ， 数列{ na }是公比为
3
1 的等比数列，
1)3
1( 2
13 aa ， 91 a ， 31 )3
1()3
1(9 nn
na ……………………5 分
（2）由（1）知 nbn 3 ，
11 nn bb ，又 21 b ， 数列 }{ nb 是首项为 2，公差为 1 的等差数列，
2
5
2
)32( 2 nnnnSn
………………………………………………10 分
18.(本小题 12 分)
解：（1） bcacb 3) 22 （ ,即 bcacb 222
在 ABC 中，由余弦定理得
2
1
2cos
222
bc
acbA
又 A0 ，
3
2 A ……………………………………………………5 分
（2）在 ABC 中，由正弦定理得
A
a
B
b
sinsin
，即
3
2sin
3
sin
1
B
，
2
1sin B ，
又
20 B ，
6
B ，
6
C ，
6sin132
1 ABCS 4
3 …10 分
19. (本小题 12 分)
解：（1）证明： AA1C1C 是边长为 4 的正方形， ACAA 1 ，
又 ABAA 1 ， AABAC ， 1AA 平面 ABC ，
AA1⊥BC………………………4 分
（2）在 ABC 中，有 222 BCACAB ， ACAB
分别以 1,, AAACAB 为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系
)0,0,3(),4,4,0(),4,0,0( 11 BCA ， )4,0,3(),0,4,0( 111 BACA ，
设平面 11BCA 的法向量为 ),,( 1111 zyxn ，则
043
04
11
1
zx
y ，
取 41 x ，则 )3,0,4(1 n ，同理得平面 11BBC 的法向量 )0,3,4(2 n
设二面角 111 BBCA 的平面角为 ，则
25
16
||||
cos
21
21
nn
nn ……………10 分
20、解：(1)∵x＝5 时，y＝11，∴a2＋10＝11，∴a＝2，------------------3
(2)由(1)知该商品每日的销售量 y＝ 2x－3＋10(x－6)2，
∴商场每日销售该商品所获得的利润为
f(x)＝2＋10(x－3)(x－6)2，30，函数 f(x)在(3，4)上递增；
当 40，故 f(x)单调递增．
(ⅱ)若Δ＝0，则 a＝ 2或 a＝－ 2.
若 a＝ 2，x∈(－ 2，＋∞)，f′(x)＝（ 2x＋1）2
x＋ 2
.
当 x＝－ 2
2
时，f′(x)＝0，当 x∈
－ 2，－ 2
2 ∪
－ 2
2
，＋∞
时，f′(x)>0，所以
f(x)单调递增．
若 a＝－ 2，x∈( 2，＋∞)，f′(x)＝（ 2x－1）2
x－ 2
>0，f(x)单调递增．
(ⅲ)若Δ>0，即 a> 2或 a<－ 2，
则 2x2＋2ax＋1＝0 有两个不同的实根 x1＝－a－ a2－2
2
，x2＝－a＋ a2－2
2 .
当 a<－ 2时，x1<－a，x2<－a，从而 f′(x)在 f(x)的定义域内没有零点，故 f(x)单调递
增．
当 a> 2时，x1>－a，x2>－a，f′(x)在 f(x)的定义域内有两个不同的零点，
即 f(x)在定义域上不单调．综上：实数 a 的取值范围为 a≤ 2. 6 分
(2)因为 g(x)＝ex＋x2－f(x)＝ex－ln(x＋a)，
当 a≤2，x∈(－a，＋∞)时，ln(x＋a)≤ln(x＋2)，故只需证明当 a＝2 时，g(x)>0.
当 a＝2 时，函数 g′(x)＝ex－ 1
x＋2
在(－2，＋∞)上单调递增，
又 g′(－1)<0，g′(0)>0，故 g′(x)＝0 在(－2，＋∞)上有唯一实根 x0，且 x0∈(－1，
0)，
当 x∈(－2，x0)时，g′(x) <0，当 x∈(x0，＋∞)时，g′(x)>0，从而当 x＝x0 时，g(x)
取得最小值 g(x0)．
由 g′(x0)＝0 得 ex0＝ 1
x0＋2
，ln(x0＋2)＝－x0，
故 g(x0)＝ex0－ln(x0＋2)＝ 1
x0＋2
＋x0＝x20＋2x0＋1
x0＋2
＝（x0＋1）2
x0＋2
>0，所以 g(x)≥g(x0)>0.
综上，当 a≤2 时，g(x)>0. 12 分
