2021届新高考版高考数学一轮复习精练：§3-4 指数与指数函数（试题部分）
§3.4 指数与指数函数
基础篇固本夯基
【基础集训】
考点 指数与指数函数
1.设a>0,将a2a·3a2表示成分数指数幂的形式,其结果是( )
A.a12 B.a56 C.a76 D.a32
答案 C
2.函数y=12x2-2x的值域为( )
A.12,+∞ B.-∞,12 C.0,12 D.(0,2]
答案 D
3.设函数f(x)=x2-a与g(x)=ax(a>1且a≠2)在区间(0,+∞)上具有不同的单调性,则M=(a-1)0.2与N=1a0.1的大小关系是( )
A.M=N B.M≤N C.M
N
答案 D
4.[(0.06415)-2.5]23-3338-π0= .
答案 0
5.若“m>a”是“函数f(x)=13x+m-13的图象不过第三象限”的必要不充分条件,则实数a能取的最大整数为 .
答案 -1
综合篇知能转换
【综合集训】
考法一 指数式的大小比较
1.(2018黑龙江七台河月考,5)已知a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,则( )
A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>c>a
答案 A
2.(2018浙江杭州第二中学高三仿真考)已知0(1-a)b B.(1-a)b>(1-a)b2
C.(1+a)a>(1+b)b D.(1-a)a>(1-b)b
答案 D
3.(2018福建厦门一模,5)已知a=120.3,b=log120.3,c=ab,则a,b,c的大小关系是( )
A.af(c)>f(b),则下列结论中,一定成立的是 ( )
A.a<0,b<0,c<0 B.a<0,b≥0,c>0
C.2-a<2c D.2a+2c<2
答案 D
7.(2019届黑龙江哈尔滨三中第一次调研,6)函数f(x)=24x-x2的单调增区间是( )
A.(-∞,2] B.[0,2]
C.[2,4] D.[2,+∞)
答案 B
8.已知函数f(x)=2x-12|x|.
(1)若f(x)=2,求x的值;
(2)若2tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.
解析 (1)当x≤0时, f(x)=0,当x>0时, f(x)=2x-12x,
由题意可得,2x-12x=2,即22x-2×2x-1=0,解得2x=1±2,
∵2x>0,∴2x=1+2,∴x=log2(1+2).
(2)当t∈[1,2]时,2t22t-122t+m2t-12t≥0,即m(22t-1)≥-(24t-1).∵22t-1>0,∴m≥-(22t+1).∵t∈[1,2],
∴-(1+22t)∈[-17,-5],故m的取值范围是[-5,+∞).
【五年高考】
考点 指数与指数函数
1.(2019课标Ⅰ,3,5分)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则( )
A.a0,函数f(x)=2x2x+ax的图象经过点Pp,65、Qq,-15.若2p+q=36pq,则a= .
答案 6
7.(2015山东,14,5分)已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b= .
答案 -32
教师专用题组
考点 指数与指数函数
(2015江苏,7,5分)不等式2x2-x<4的解集为 .
答案 {x|-1b>c B.a>c>b
C.b>c>a D.b>a>c
答案 D
3.(2020届广东揭阳三中第一次月考,6)函数f(x)=13x2-6x+5的单调递减区间为( )
A.(-∞,+∞) B.[-3,3] C.(-∞,3] D.[3,+∞)
答案 D
4.(2020届陕西咸阳三原南郊中学第一次月考,10)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,且[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数.例如: [-2.1]=-3,[3.1]=3,已知函数f(x)=2x+11+2x-13,则函数y=[f(x)]的值域是( )
A.{0,1} B.{-1,1} C.{-1,0} D.{-1,0,1}
答案 D
5.(2019届湖北、山东部分重点中学高三第一次联考,7)已知函数y=4x-3·2x+3,若其值域为[1,7],则x可能的取值范围是( )
A.[2,4] B.(-∞,0]
C.(0,1]∪[2,4] D.(-∞,0]∪[1,2]
答案 D
6.(2020届黑龙江大庆第一中学第一次月考,11)设函数f(x)=|2x-1|,x≤2,-x+5,x>2,若互不相等的实数a,b,c满足f(a)=f(b)=f(c),则2a+2b+2c的取值范围是( )
A.(16,32) B.(18,34) C.(17,35) D.(6,7)
答案 B
7.(2018安徽合肥第二次教学质量检测,6)已知函数f(x)=a-2xa+2x是奇函数,则f(a)的值等于( )
A.-13 B.3 C.-13或3 D.13或3
答案 C
8.(2020届陕西咸阳三原南郊中学第一次月考,8)函数y=ax-b(a>0,且a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则ab的取值范围是( )
A.(1,+∞) B.(0,+∞) C.(0,1) D.无法确定
答案 C
9.(2019届安徽定远重点中学上学期第一次月考,10)已知函数y=f(x)与y=F(x)的图象关于y轴对称,当函数y=f(x)和y=F(x)在区间[a,b]同时递增或同时递减时,把区间[a,b]叫做函数y=f(x)的“不动区间”.若区间[1,2]为函数f(x)=|2x-t|的“不动区间”,则实数t的取值范围是( )
A.(0,2] B.12,+∞
C.12,2 D.12,2∪[4,+∞)
答案 C
二、多项选择题(共5分)
10.(改编题)函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论不正确的是( )
A.a>1,b<0 B.a>1,b>0
C.00 D.0n>3;②当h(a)的定义域为[n,m]时,值域为[n2,m2]?若存在,求出m,n的值;若不存在,请说明理由.
解析 (1)因为f(x)=3x,x∈[-1,1],所以g(x)=32x-2a·3x+3, f(x)∈13,3.设t=3x,t∈13,3,则φ(t)=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2,其图象的对称轴为直线x=a.当a=0时,φ(t)=t2+3,t∈13,3,所以φ(t)∈289,12.
(2)因为函数φ(t)的图象的对称轴为直线x=a,
当a<13时,h(a)=φ13=289-2a3;
当13≤a≤3时,h(a)=φ(a)=3-a2;
当a>3时,h(a)=φ(3)=12-6a.
故h(a)=289-2a3a<13,3-a213≤a≤3,12-6a(a>3).
(3)假设存在满足题意的m,n.因为m>n>3,
所以h(a)=12-6a,所以函数h(a)在(3,+∞)上是减函数,
又因为h(a)的定义域为[n,m],值域为[n2,m2],
所以12-6m=n2,12-6n=m2,两式相减得6(m-n)=(m-n)·(m+n),
又因为m>n>3,所以m-n≠0,所以m+n=6,与m>n>3矛盾,所以满足题意的m,n不存在.
13.(2019届山西太原高三阶段性考试,19)已知函数f(x)=x1ax+1-12,其中a>0,且a≠1.
(1)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论;
(2)若关于x的不等式f(x)≤16|x|在[-1,1]上恒成立,求实数a的取值范围.
解析 (1)函数f(x)是偶函数.证明如下:易知f(x)的定义域为R,关于原点对称.f(-x)=-x1a-x+1-12=x12-axax+1,∴f(x)-f(-x)=x1ax+1-12-x12-axax+1
=x1+axax+1-1=0,∴f(-x)=f(x),即f(x)是偶函数.
(2)由(1)知f(x)是R上的偶函数,则不等式f(x)≤16|x|在[-1,1]上恒成立,等价于f(x)≤16x在[0,1]上恒成立,
显然,当x=0时,上述不等式恒成立;
当x≠0时,上述不等式可转化为1ax+1-12≤16,
∴ax≥12在[0,1]上恒成立,∴12≤a<1或a>1,
∴实数a的取值范围是12,1∪(1,+∞).
