【数学】2019届一轮复习人教B版 由“导”寻“源”,破解函数不等式问题学案

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【数学】2019届一轮复习人教B版 由“导”寻“源”,破解函数不等式问题学案

压轴题命题区间(二)函数与导数 增分点 由“导”寻“源”,破解函数不等式问题 在近几年的高考试题中,出现了一类抽象函数与导数交汇的重要题型,这类问题由于比较抽象,很多学生解题时,突破不了由抽象而造成的解题障碍.实际上,根据所解不等式,联想导数的运算法则,构造适当的辅助函数,然后利用导数判断其单调性是解决此类问题的通法.‎ ‎[典例] (2015·全国卷Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )‎ A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞)‎ C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)‎ ‎[思路点拨]‎ 观察xf′(x)-f(x)<0这个式子的特征,不难想到商的求导公式,尝试构造函数F(x)=求解.‎ ‎[方法演示]‎ 法一:构造抽象函数求解 设F(x)=.因为f(x)是奇函数,故F(x)是偶函数,F′(x)=,易知当x>0时,F′(x)<0,所以函数F(x)在(0,+∞)上单调递减.又f(-1)=0,则f(1)=0,于是F(-1)=F(1)=0,f(x)=xF(x),解不等式f(x)>0,即找到x与F(x)的符号相同的区间,易知当x∈(-∞,-1)∪(0,1)时,f(x)>0,故选A.‎ 法二:构造具体函数求解 设f(x)是多项式函数,因为f(x)是奇函数,所以它只含x的奇次项.又f(1)=-f(-1)=0,所以f(x)能被x2-1整除.因此可取f(x)=x-x3,检验知f(x)满足题设条件.解不等式f(x)>0,得x∈(-∞,-1)∪(0,1),故选A.‎ 答案:A ‎[解题师说]‎ 抽象函数的导数问题在高考中常考常新,可谓变化多端,解决此类问题的关键是构造函数,常见的构造函数方法有如下几种:‎ ‎(1)利用和、差函数求导法则构造函数 ‎①对于不等式f′(x)+g′(x)>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)+g(x);‎ ‎②对于不等式f′(x)-g′(x)>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)-g(x);‎ 特别地,对于不等式f′(x)>k(或0(或<0),构造函数F(x)=f(x)g(x);‎ ‎②对于不等式f′(x)g(x)-f(x)g′(x)>0(或<0),构造函数F(x)=(g(x)≠0).‎ ‎(3)利用积、商函数求导法则的特殊情况构造函数 ‎①对于不等式xf′(x)+f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=xf(x);‎ ‎②对于不等式xf′(x)-f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=(x≠0);‎ ‎③对于不等式xf′(x)+nf(x)>0(或<0),构造函数F(x)=xnf(x);‎ ‎④对于不等式xf′(x)-nf(x)>0(或<0),构造函数F(x)=(x≠0);‎ ‎⑤对于不等式f′(x)+f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=exf(x);‎ ‎⑥对于不等式f′(x)-f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=;‎ ‎⑦对于不等式f(x)+f′(x)tan x>0(或<0),构造函数F(x)=sin xf(x);‎ ‎⑧对于不等式f(x)-f′(x)tan x>0(或<0),构造函数F(x)=(sin x≠0);‎ ‎⑨对于不等式f′(x)-f(x)tan x>0(或<0),构造函数F(x)=cos xf(x);‎ ‎⑩对于不等式f′(x)+f(x)tan x>0(或<0),构造函数F(x)=(cos x≠0).‎ ‎⑪(理)对于不等式f′(x)+kf(x)>0(或<0),构造函数F(x)=ekxf(x);‎ ‎⑫(理)对于不等式f′(x)-kf(x)>0(或<0),构造函数F(x)=;‎ ‎[应用体验]‎ ‎1.定义在R上的函数f(x),满足f(1)=1,且对任意x∈R都有f′(x)<,则不等式f(lg x)>的解集为__________.‎ 解析:构造函数g(x)=f(x)-,‎ 则g′(x)=f′(x)-<0,‎ ‎∴g(x)在定义域上是减函数.‎ 又g(1)=f(1)-1=0,‎ ‎∴原不等式可化为g(lg x)>g(1),‎ ‎∴lg x<1,解得01的解集为( )‎ A.(-3,-2)∪(2,3)‎ B.(-,)‎ C.(2,3)‎ D.(-∞,-)∪(,+∞)‎ 解析:选A 由y=f′(x)的图象知,f(x)在(-∞,0]上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,又f(-2)=1,f(3)=1,∴f(x2-6)>1可化为-2(x-1)f(x2-1)的解集为( )‎ A.(0,1) B.(1,+∞)‎ C.(1,2) D.(2,+∞)‎ 解析:选D 因为f(x)+xf′(x)<0,所以[xf(x)]′<0,故xf(x)在(0,+∞‎ ‎)上为单调递减函数,又(x+1)f(x+1)>(x2-1)f(x2-1),所以x+12.‎ ‎3.(2018·沈阳质检)已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x),其导函数为f′(x),对任意正实数x满足xf′(x)>-‎2f(x),若g(x)=x‎2f(x),则不等式g(x)0时,xf′(x)+‎2f(x)>0,所以g′(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(x)为偶函数,则g(x)也是偶函数,所以g(x)=g(|x|),由g(x)0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集为( )‎ A.(-3,0)∪(3,+∞)‎ B.(-3,0)∪(0,3)‎ C.(-∞,-3)∪(3,+∞)‎ D.(-∞,-3)∪(0,3)‎ 解析:选D 设F(x)=f(x)g(x),当x<0时,‎ ‎∵F′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,‎ ‎∴F(x)在(-∞,0)上为增函数.‎ 又∵F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-F(x),‎ 故F(x)为R上的奇函数.‎ ‎∴F(x)在(0,+∞)上也为增函数.‎ 由g(-3)=0,‎ 得F(-3)=F(3)=0.‎ 画出函数F(x)的大致图象如图所示,‎ ‎∴F(x)<0的解集为{x|x<-3或00,f(x)≥0.‎ ‎∴f′(x)≤-,即f(x)在(0,+∞)上是减函数.‎ 又0x2,则下面的不等式在R上恒成立的是( )‎ A.f(x)>0 B.f(x)<0‎ C.f(x)>x D.f(x)0时,g′(x)>0,∴g(x)>g(0),‎ 即x‎2f(x)-x4>0,从而f(x)>x2>0;‎ 当x<0时,g′(x)<0,∴g(x)>g(0),‎ 即x‎2f(x)-x4>0,从而f(x)>x2>0;‎ 当x=0时,由题意可得‎2f(0)>0,∴f(0)>0.‎ 综上可知,f(x)>0.‎ 法二:∵‎2f(x)+xf′(x)>x2,‎ 令x=0,则f(0)>0,故可排除B、D.‎ 如果f(x)=x2+0.1,已知条件‎2f(x)+xf′(x)>x2成立,但f(x)>x不恒成立,故排除C,选A.‎ ‎7.已知函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f′(x)>2,则不等式f(x)>2x+4的解集为( )‎ A.(-1,1) B.(-1,+∞)‎ C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞)‎ 解析:选B 令m(x)=f(x)-(2x+4),‎ 则m′(x)=f′(x)-2>0,‎ ‎∴函数m(x)在R上为单调递增函数.‎ 又∵m(-1)=f(-1)-(-2+4)=0,‎ ‎∴m(x)>0的解集为{x|x>-1},‎ 即f(x)>2x+4的解集为(-1,+∞).‎ ‎8.设函数f(x),g(x)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)上可导,且f′(x)g(x)‎ B.f(x)g(x)+f(b),故选项C正确.‎ ‎9.函数f(x)是定义在R上的偶函数,f(-2)=0,且x>0时,f(x)+xf′(x)>0,则不等式xf(x)≥0的解集是( )‎ A.[-2,0] B.[0,2]‎ C.[-2,2] D.[-2,0]∪[2,+∞)‎ 解析:选D 因为x>0时,f(x)+xf′(x)>0,故构造函数y=xf(x),则该函数在(0,+∞)上单调递增.‎ 又因为f(x)为偶函数,故y=xf(x)为奇函数.‎ 结合f(-2)=0,画出函数y=xf(x)的大致图象如图所示.‎ 所以不等式xf(x)≥0的解集为[-2,0]∪[2,+∞).‎ ‎10.函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(3)=0,且x<0时,xf′(x)f′(x)对任意x∈R都成立,则下列不等式中成立的是( )‎ A.f(2 018)>e2 ‎018f(0),f(2 018)>ef(2 017)‎ B.f(2 018)>e2 ‎018f(0),f(2 018)ef(2 017)‎ D.f(2 018)f′(x),得f′(x)-f(x)<0,‎ 所以g′(x)==<0,‎ 即函数g(x)=在R上单调递减.‎ 所以<<,‎ 即有f(2 018)k>1,则下列结论中一定错误的是( )‎ A.f< B.f> C.f< D.f> 解析:选C 令g(x)=f(x)-kx+1,‎ 则g(0)=f(0)+1=0,‎ g=f-k·+1‎ ‎=f-.‎ ‎∵g′(x)=f′(x)-k>0,‎ ‎∴g(x)在[0,+∞)上为增函数.‎ 又∵k>1,∴>0,‎ ‎∴g>g(0)=0,‎ ‎∴f->0,‎ 即f>.‎ 二、填空题 ‎13.设f(x)是定义在R上的可导函数,且满足f(x)+xf′(x)>0,则不等式f()>f()的解集为________.‎ 解析:令g(x)=xf(x),则g′(x)=f(x)+xf′(x)>0,∴g(x)是R上的增函数.又f()>f()可等价转化为f()>f(),即g()>g(),所以解得1≤x<2,∴原不等式的解集为{x|1≤x<2}.‎ 答案:[1,2)‎ ‎14.设函数f(x)是定义在(-∞,0)上的可导函数,其导函数为f′(x),且有‎2f(x)+xf′(x)>x2,则不等式(x+2 018)2·f(x+2 018)-‎4f(-2)>0的解集为________.‎ 解析:令g(x)=x‎2f(x),则g′(x)=2xf(x)+x‎2f′(x).‎ 结合条件‎2f(x)+xf′(x)>x2,将条件两边同时乘以x,‎ 得2xf(x)+x‎2f′(x)0,‎ 即g(x+2 018)>g(-2),‎ 得x+2 018<-2,解得x<-2 020,‎ ‎∴原不等式的解集为(-∞,-2 020).‎ 答案:(-∞,-2 020)‎ ‎15.已知定义在R上的可导函数y=f(x)的导函数为f′(x),满足f′(x)0,‎ 故原不等式的解集为{x|x>0}.‎ 答案:(0,+∞)‎ ‎16.设f(x)是R上的奇函数,且f(-1)=0,当x>0时,(x2+1)f′(x)-2xf(x)<0,则不等式f(x)>0的解集为______.‎ 解析:令g(x)=,则g′(x)=.因为当x>0时,(x2+1)f′(x)-2xf(x)<0,‎ 所以g′(x)<0,所以g(x)在[0,+∞)上单调递减.‎ 又f(x)=g(x)(x2+1),‎ 所以f(x)在[0,+∞)上单调递减.‎ 又f(x)是R上的奇函数,f(-1)=0,所以f(1)=0.‎ 当x>0时,f(x)>0=f(1)⇒00=f(-1)⇒x<-1.‎ 综上,可得不等式f(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).‎ 答案:(-∞,-1)∪(0,1)‎
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