【数学】2019届一轮复习人教B版第46讲双曲线学案

【数学】2019届一轮复习人教B版第46讲双曲线学案

第46讲　双曲线 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．‎ ‎2．了解圆锥曲线的简单应用，了解双曲线的实际背景．‎ ‎3．理解数形结合的思想.‎ ‎2017·全国卷Ⅰ，5‎ ‎2017·北京卷，10‎ ‎2017·天津卷，5‎ ‎2017·山东卷，15‎ ‎1.求解与双曲线定义有关的问题；利用双曲线的定义求轨迹方程；求双曲线的标准方程；判断双曲线焦点的位置．‎ ‎2．求双曲线的渐近线；求解与双曲线的范围、对称性有关的问题；求解双曲线的离心率.‎ 分值：5分 ‎1．双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的！！！！__距离之差的绝对值__####等于常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做！！！！__双曲线的焦点__####，两焦点间的距离叫做！！！！__双曲线的焦距__####.‎ 集合P＝{M＝‎2a}，＝‎2c，其中a，c为常数，且a>0，c>0.‎ ‎(1)当！！！！__a＜c__####时，点P的轨迹是双曲线；‎ ‎(2)当！！！！__a＝c__####时，点P的轨迹是两条射线；‎ ‎(3)当！！！！__a＞c__####时，点P不存在．‎ ‎2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0)‎ －＝1(a＞0，b＞0)‎ 图形 性 质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：！！！！__坐标轴__####，对称中心：！！！！__原点__####‎ 顶点 A1！！！！__(－a,0)__####，A2！！！！__(a,0)__####‎ A1！！！！_(0，－a)__####，A2！！！！_(0，a)__####‎ 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝！！！！____####，e∈(1，＋∞)‎ a，b，c 的关系 c2＝！！！！__a2＋b2__####‎ 实虚轴 线段A‎1A2叫做双曲线的实轴，它的长＝！！！！__‎2a__####；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长＝！！！！__2b__####；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 ‎3．常用结论 ‎(1)双曲线的焦点到渐近线－＝0(a＞0，b＞0)的距离为b.如右图△OFH是分别以边a，b，c为边长的直角三角形．‎ ‎(2)如下图：‎ ＋＝1(a＞b＞0)　　－＝1(a＞0，b＞0)‎ 则有：P1，P2两点坐标都为，即＝＝.‎ ‎1．思维辨析(在括号内打“√”或“”)．‎ ‎(1)平面内到点F1 (0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．(　×　)‎ ‎(2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　×　)‎ ‎(3)方程－＝1(mn＞0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　×　)‎ ‎(4)双曲线方程－＝λ(m＞0，n＞0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(　√　)‎ 解析　(1)错误．由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部．‎ ‎(2)错误．因为＝8＝，表示的轨迹为两条射线．‎ ‎(3)错误．当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m＜0，n＜0时则表示焦点在y轴上的双曲线．‎ ‎(4)正确．因为－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，即－＝0，所以当λ＞0时，－＝1(m＞0，n＞0)的渐近线方程为－＝0，即－＝0，即±＝0，同理当λ＜0时，仍成立，故结论正确．‎ ‎2．过双曲线x2－y2＝8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若＝7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是(　C　)‎ A．28　　 B．14－‎8‎ C．14＋8　　 D．8 解析　由双曲线定义知 －＝4，－＝4，‎ ‎∴＋－(＋)＝8.‎ 又＋＝＝7，‎ ‎∴＋＝7＋8.‎ ‎∴△PF2Q的周长为14＋8.‎ ‎3．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　C　)‎ A．2　　 B．‎2‎ C．4　　 D．4 解析　双曲线2x2－y2＝8的标准方程为－＝1，所以实轴长‎2a＝4.故选C．‎ ‎4．设双曲线－＝1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(　C　)‎ A．4　　 B．‎3　‎　　　 C．2　　 D．1‎ 解析　双曲线－＝1的渐近线方程为±＝0，‎ 整理得3x±ay＝0，故a＝2.故选C．‎ ‎5．在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x－2y＝0，则它的离心率为(　A　)‎ A．　　 B． C．　　 D．2‎ 解析　设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，其中一条渐近线方程为y＝x，∴＝＝，即＝e2－1＝4，∴e＝.‎ 一　双曲线的定义及其标准方程 双曲线的定义和标准方程中的注意点 ‎(1)在解决与双曲线的焦点有关的距离问题时，通常考虑利用双曲线的定义．‎ ‎(2)在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清楚是指整条双曲线还是双曲线的一支．‎ ‎(3)求双曲线方程时一是标准形式的判断；二是注意a，b，c的关系易错易混．‎ ‎【例1】 (1)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于，则C的方程是(　B　)‎ A．－＝1　　 B．－＝1‎ C．－＝1　　 D．－＝1‎ ‎(2)设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3＝4，则△PF‎1F2的面积等于(　C　)‎ A．4　　 B．‎8‎ C．24　　 D．48‎ 解析　(1)由曲线C的右焦点为F(3,0)，知c＝3，‎ 由离心率e＝，知＝，则a＝2，‎ 故b2＝c2－a2＝9－4＝5，‎ 所以双曲线C的方程为－＝1.‎ ‎(2)双曲线的实轴长为2，焦距为＝2×5＝10.据题意和双曲线的定义知2＝－＝－＝，∴＝6，＝8，‎ ‎∴2＋2＝2，∴PF1⊥PF2.‎ ‎∴S△PF‎1F2＝·＝×6×8＝24.‎ 二　双曲线的几何性质及其应用 双曲线中一些几何量的求解方法 ‎(1)求双曲线的离心率(或范围)．依据题设条件，将问题转化为关于a，c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．‎ ‎(2)求双曲线的渐近线方程．依据题设条件，求双曲线中a，b的值或a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．‎ ‎(3)求双曲线的方程．依据题设条件求出a，b的值或依据双曲线的定义求双曲线的方程．‎ ‎(4)求双曲线的焦点(焦距)、实(虚)轴的长．依题设条件及a，b，c之间的关系求解．‎ ‎【例2】 (1)(2016·山东卷)已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)，矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是！！！！__2__####.‎ ‎(2)(2017·山东卷)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p＞0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为！！！！__y＝±x__####.‎ 解析　(1)由已知得|AB|＝|CD|＝，|BC|＝|AD|＝|F‎1F2|＝‎2c.因为2|AB|＝3|BC|，所以＝‎6c,2b2＝‎3ac，＝3e,2(e2－1)＝3e,2e2－3e－2＝0，解得e＝2或e＝－(舍去)．‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，|OF|＝，由|AF|＋|BF|＝y1＋＋y2＋＝y1＋y2＋p＝4|OF|＝2p，得y1＋y2＝p.‎ 联立方程，得⇒－＝1⇒－＋1＝0.‎ 由根与系数的关系得y1＋y2＝－＝×b2＝p.‎ ‎∴p＝p⇒＝⇒＝，‎ ‎∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.‎ 三　直线与双曲线的位置关系 解有关直线与双曲线的位置关系的方法 ‎(1)解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系，整体代入．‎ ‎(2)与中点有关的问题常用点差法．‎ ‎(3)根据直线的斜率与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系．‎ ‎【例3】 若双曲线E：－y2＝1(a＞0)的离心率等于，直线y＝kx－1与双曲线E 的右支交于A，B两点．‎ ‎(1)求k的取值范围；‎ ‎(2)若＝6，点C是双曲线上一点，且＝m(＋)，求k，m的值．‎ 解析　(1)由得 故双曲线E的方程为x2－y2＝1.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.①‎ ‎∵直线与双曲线右支交于A，B两点，∴ 即 即所以1＜k＜，即k的取值范围是(1，)．‎ ‎(2)由①得x1＋x2＝，x1x2＝，‎ ‎∴＝·＝2＝6，‎ 整理得28k4－55k2＋25＝0，∴k2＝或k2＝，‎ 又1＜k＜，∴k＝，∴x1＋x2＝4，‎ y1＋y2＝k(x1＋x2)－2＝8.‎ 设C(x3，y3)，由＝m(＋)，得 ‎(x3，y3)＝m(x1＋x2，y1＋y2)＝(‎4‎m,‎8m)，‎ ‎∵点C是双曲线上一点，∴‎80m2‎－‎64m2‎＝1，得m＝±，‎ 故k＝，m＝±.‎ ‎1．过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于A，B两点，若△OAB的面积为，则双曲线的离心率为(　D　)‎ A．　　 B．　　　　 C．　　 D． 解析　由题意可求得＝，所以S△OAB＝××c＝，整理得＝，即e＝.‎ 故选D．‎ ‎2．已知点F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，点P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为(　D　)‎ A．　　 B．　　　　 C．　　 D． 解析　由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以AP∥x轴，又PF⊥x轴，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.故选D．‎ ‎3．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，若＋＝‎6a，且△PF‎1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程为(　B　)‎ A．x±y＝0　　 B．x±y＝‎0 ‎C．x±2y＝0　　 D．2x±y＝0‎ 解析　由题意不妨设－＝‎2a，∵＋＝‎6a，∴＝‎4a，＝‎2a，∵＝‎2c＞‎2a，∴△PF‎1F2最小内角为∠PF‎1F2＝30°，在△PF‎1F2中，由余弦定理得‎4a2＝‎4c2＋‎16a2－2×‎2c×‎4a×cos 30°，解得c＝a，∴b＝a，故双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，即x±y＝0.故选B．‎ ‎4．一条斜率为1的直线l与离心率为的双曲线－＝1(a＞0，b＞0)交于P，Q两点，直线l与y轴交于点R，且·＝－3，＝3，求直线和双曲线的方程．‎ 解析　∵e＝，∴b2＝‎2a2，∴双曲线方程可化为2x2－y2＝‎2a2.设直线l的方程为y＝x＋m，由得x2－2mx－m2－‎2a2＝0，∴Δ＝‎4m2‎＋4(m2＋‎2a2)>0，∴直线l一定与双曲线相交．设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝‎2m，x1x2＝－m2－‎2a2.∵＝3，xR＝＝0，∴x1＝－3x2，∴x2＝－m，－3x＝－m2－‎2a2，消去x2，得m2＝a2.·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1＋m)·(x2＋m)＝2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝m2－‎4a2＝－3，∴m＝±1，a2＝1，b2＝2.直线l的方程为y＝x±1，双曲线的方程为x2－＝1.‎ 易错点　忽略定义的应用 错因分析：不能利用平面几何知识和双曲线的定义解题，使解题无从入手．‎ ‎【例1】 已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程为！！！！______####.‎ 解析　如图，‎ ＝＝8，＝＝2，＝.‎ 所以－＝8－2＝6.‎ 根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，‎ 方程为－＝1(x＞3)．‎ 答案　－＝1(x>3)‎ ‎【跟踪训练1】 中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F‎1F2|＝2，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7.‎ ‎(1)求这两曲线的方程；‎ ‎(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．‎ 解析　(1)由已知c＝，设椭圆长半轴长、短半轴长分别为a，b，双曲线实半轴长、虚半轴长分别为m，n，则解得a＝7，m＝3.∴b＝6，n＝2.‎ ‎∴椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.‎ ‎(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，‎ ‎∴|PF1|＝10，|PF2|＝4.又|F‎1F2|＝2，‎ ‎∴cos∠F1PF2＝＝＝.‎ 课时达标　第46讲 ‎[解密考纲]对双曲线的定义、标准方程及几何性质的考查，通常与平面向量、解三角形或不等式综合在一起，以选择题或填空题形式出现．‎ 一、选择题 ‎1．(2018·湖南衡阳八中期中)如果方程－＝1表示双曲线，则实数k的取值范围是(　B　)‎ A．(－∞，－1)　　 B．(－1，＋∞)‎ C．(1，＋∞)　　 D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)‎ 解析　双曲线的方程是－＝1.根据定义和条件知k＋1>0⇒k>－1.故选B．‎ ‎2．已知实数1，m,9成等比数列，则圆锥曲线＋y2＝1的离心率为(　C　)‎ A．　　 B．‎2　‎　 C．或2　　 D．或 解析　根据条件可知m2＝9，∴m＝±3.当m＝3时，e＝＝；当m＝－3 时，e＝2.故选C．‎ ‎3．双曲线－2y2＝1的渐近线与圆x2＋(y＋a)2＝1相切，则正实数a的值为(　C　)‎ A．　　 B． C．　　 D． 解析　∵双曲线－2y2＝1的渐近线方程为y＝±x，圆心为(0，－a)，半径为1，∴由渐近线和圆相切，得＝1，解得a＝.‎ ‎4．若实数k满足0b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2‎ 的离心率之积为，则C2的渐近线方程为(　A　)‎ A．x±y＝0　　 B．x±y＝‎0 ‎C．x±2y＝0　　 D．2x±y＝0‎ 解析　由已知得·＝，所以＝，∴C2的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0.‎ 二、填空题 ‎7．(2017·北京卷)若双曲线x2－＝1的离心率为，则实数m＝！！！！__2__####.‎ 解析　由已知可得a＝1，c＝，所以e＝＝＝，解得m＝2.‎ ‎8．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线l：x＋y＝0垂直，双曲线C的一个焦点到直线l的距离为1，则双曲线C的方程为！！！！__x2－＝1__####.‎ 解析　∵双曲线的一条渐近线与直线l：x＋y＝0垂直，∴双曲线的渐近线的斜率为，即＝.①‎ 由题意知双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线的一个焦点坐标为(c,0)，根据点到直线的距离公式，得＝1，∴c＝2，即a2＋b2＝4.②‎ 联立①②，解得a2＝1，b2＝3 ，‎ ‎∴双曲线的标准方程为x2－＝1.‎ ‎9．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－6,0)和C(6,0)，若顶点B在双曲线－＝1的左支上，则＝！！！！____####.‎ 解析　由条件可知|BC|－|BA|＝10，且|AC|＝12.又在△ABC中，有＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)，从而＝＝.‎ 三、解答题 ‎10．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．‎ ‎(1)求双曲线的方程；‎ ‎(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F‎1F2为直径的圆上．‎ 解析　(1)∵离心率e＝，∴双曲线为等轴双曲线，‎ 可设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，则由点(4，－)在双曲线上，‎ 可得λ＝42－(－)2＝6，∴双曲线方程为x2－y2＝6.‎ ‎(2)证明：∵点M(3，m)在双曲线上，∴32－m2＝6，∴m2＝3.‎ 又双曲线x2－y2＝6的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)，‎ ‎∴·＝ (－2－3，－m)·(2－3，－m)＝(－3)2－(2)2＋m2＝9－12＋3＝0，‎ ‎∴MF1⊥MF2，∴点M在以F‎1F2为直径的圆上．‎ ‎11．设A，B分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.‎ ‎(1)求双曲线的方程；‎ ‎(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t，求t的值及点D的坐标．‎ 解析　(1)由题意知a＝2，∴一条渐近线为y＝x，‎ 即bx－2y＝0，∴＝.‎ 又c2＝12＋b2，即b2(12＋b2)＝3b2＋36，∴b2＝3.‎ ‎∴双曲线方程为－＝1.‎ ‎(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，‎ 则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.‎ 将直线方程代入双曲线方程得x2－16x＋84＝0，‎ 则x1＋x2＝16，y1＋y2＝12.‎ ‎∴∴ 由＋＝t，得(16，12)＝(4t,3t)，‎ ‎∴t＝4，点D的坐标为(4，3)．‎ ‎12．已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.‎ ‎(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；‎ ‎(2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．‎ 解析　(1)双曲线C与直线l有两个不同的交点，则方程组 有两个相异实根，整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.‎ ‎∴解得－

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