2018-2019学年湖南省郴州市高一下学期期末数学试题（解析版）

2018-2019学年湖南省郴州市高一下学期期末数学试题（解析版）

‎2018-2019学年湖南省郴州市高一下学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．已知点P(，)为角的终边上一点，则（ ）‎ A. B.- C. D.0‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据余弦函数的定义，可直接得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为点P(，)为角的终边上一点，则.‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的定义，熟记概念即可，属于基础题型.‎ ‎2．某单位职工老年人有30人，中年人有50人，青年人有20人，为了了解职工的建康状况，用分层抽样的方法从中抽取10人进行体检，则应抽查的老年人的人数为（ ）‎ A.3 B.5 C.2 D.1‎ ‎【答案】A ‎【解析】先由题意确定抽样比，进而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意该单位共有职工人，‎ 用分层抽样的方法从中抽取10人进行体检，抽样比为，‎ 所以应抽查的老年人的人数为.‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查分层抽样，会由题意求抽样比即可，属于基础题型.‎ ‎3．已知平面向量，，且，则实数的值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】先求出的坐标，再由向量共线，列出方程，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为向量，，所以，‎ 又，所以，解得.‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查由向量共线求参数的问题，熟记向量的坐标运算即可，属于常考题型.‎ ‎4．已知变量x与y负相关，且由观测数据算得样本平均数=1.5，=5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】先由变量负相关，可排除D；再由回归直线过样本中心，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为变量x与y负相关，所以排除D；‎ 又回归直线过样本中心，‎ A选项，过点，所以A正确；‎ B选项，不过点，所以B不正确；‎ C选项，不过点，所以C不正确；‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性回归直线，熟记回归直线的意义即可，属于常考题型.‎ ‎5．甲、乙两队准备进行一场篮球赛，根据以往的经验甲队获胜的概率是，两队打平的概率是，则这次比赛乙队不输的概率是（ ）‎ A.- B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为“甲队获胜”与“乙队不输”是对立事件，对立事件的概率之和为1，进而即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意，“甲队获胜”与“乙队不输”是对立事件，‎ 因为甲队获胜的概率是，‎ 所以，这次比赛乙队不输的概率是.‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查对立事件的概率问题，熟记对立事件的性质即可，属于常考题型.‎ ‎6．为了得到函数，(x∈R)的图象，只需将( x∈R)的图象上所有的点（ ）.‎ A.向右平移个单位 B.向左平移个单位 C.向右平移个单位 D.向左平移个单位 ‎【答案】D ‎【解析】根据函数的平移原则，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，，‎ 所以为了得到函数的图象，只需将的图象上所有的点向左平移个单位.‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的平移，熟记左加右减的原则即可，属于基础题型.‎ ‎7．如图为A、B两名运动员五次比赛成绩的茎叶图，则他们的平均成绩和方差的关系是（ ）‎ A.， B.，‎ C.， D.，‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题中数据，直接计算出平均值与方差，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 由题中数据可得，，，‎ 所以；‎ 又，‎ ‎，‎ 所以.‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查平均数与方差的比较，熟记公式即可，属于基础题型.‎ ‎8．中，若，则的形状是（ ）‎ A.等腰三角形 B.等边三角形 C.锐角三角形 D.直角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】根据正弦定理，得到，进而得到，再由两角和的正弦公式，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，所以，‎ 即，所以，‎ 又因此，‎ 所以，即三角形为直角三角形.‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角形形状的判断，熟记正弦定理即可，属于常考题型.‎ ‎9．中，下列结论：①若，则，②，③，④若是锐角三角形，则 ‎，其中正确的个数是（ ）‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据正弦定理与诱导公式，以及正弦函数的性质，逐项判断，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎①在中，因为，所以，所以，故①正确；‎ ‎②，故②正确；‎ ‎③，故③错误；‎ ‎④若是锐角三角形，则，均为锐角，‎ 因为正弦函数在上单调递增，‎ 所以，故④正确；‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查命题真假的判定，熟记正弦定理，诱导公式等即可，属于常考题型.‎ ‎10．在边长为1的等边三角形ABC中，D是AB的中点，E为线段AC上一动点，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，以点为坐标原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，得到，，以及直线的方程，设出点E坐标，根据向量数量积，直接计算，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 如图，以点为坐标原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，因为等边三角形的边长为1，所以，，，，‎ 则直线的方程为，整理得，‎ 因为E为线段AC上一动点，设，，‎ 则，，‎ 所以，‎ 因为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，最大值为.‎ 即的取值范围为.‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查平面向量的数量积，利用建立坐标系的方法求解即可，属于常考题型.‎ 二、填空题 ‎11．若，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】【详解】‎ ‎,‎ 则，‎ ‎ 故答案为.‎ ‎12．函数，的递增区间为______.‎ ‎【答案】[0，](开区间也行)‎ ‎【解析】根据正弦函数的单调递增区间，以及题中条件，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 由得：‎ ‎，‎ 又，‎ 所以函数，的递增区间为.‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦型函数的单调区间，熟记正弦函数的单调区间即可，属于常考题型.‎ ‎13．某学校成立了数学，英语，音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图.现随机选取一个成员，他恰好只属于2个小组的概率是____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题中数据，确定课外小组的总人数，以及恰好属于2个小组的人数，人数比即为所求概率.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，课外小组的总人数为，‎ 恰好属于2个小组的人数为，‎ 所以随机选取一个成员，他恰好只属于2个小组的概率是.‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查古典概型，熟记列举法求古典概型的概率即可，属于常考题型.‎ ‎14．定义运算，如果，并且不等式对任意实数x恒成立，则实数m的范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先由题意得到，根据题意求出的最大值，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意得到，‎ 其中，‎ 因为，所以，‎ 又不等式对任意实数x恒成立，‎ 所以.‎ 故答案 ‎【点睛】‎ 本题主要考查由不等式恒成立求参数的问题，熟记三角函数的性质即可，属于常考题型.‎ ‎15．我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜公式”为.若，，则用“三斜公式”求得的面积为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先由，根据余弦定理，求出，再由，结合余弦定理，求出，再由题意即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，因此；‎ 又，由余弦定理可得，‎ 所以，‎ 因此.‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理即可，属于常考题型.‎ 三、解答题 ‎16．已知， ，且 ‎(Ⅰ)求的值；‎ ‎(Ⅱ)若，求的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) ‎ ‎【解析】(Ⅰ)根据题中条件，求出，进而可得，再由两角差的正切公式，即可得出结果；‎ ‎(Ⅱ)根据题中条件，得到，求出，再由，根据两角差的正弦公式，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)因为，，所以，‎ 因此，‎ 所以；‎ ‎(Ⅱ)因为， ，所以，‎ 又，所以，所以，‎ 因此.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角恒等变换，给值求值的问题，熟记公式即可，属于常考题型.‎ ‎17．为了解学生的学习情况，某学校在一次考试中随机抽取了20名学生的成绩，分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，绘制了如图所示频率分布直方图.求：‎ ‎(Ⅰ)图中m的值； ‎ ‎(II)估计全年级本次考试的平均分；‎ ‎(III)若从样本中随机抽取分数在[80，100]的学生两名，求所抽取两人至少有一人分数不低于90分的概率.‎ ‎【答案】(I)0.045; (II)75;(III)0.7‎ ‎【解析】(Ⅰ)根据频率之和为1，结合题中数据，即可求出结果；‎ ‎(II)每组的中间值乘以该组频率，再求和，即可得出结果；‎ ‎(III)用列举法列举出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，基本事件的个数比即为所求的概率.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)由题意可得：‎ ‎(Ⅱ)各组的频率分别为0.05，0.25，0.45，0.15，0.1，所以可估计全年级的平均分为；‎ ‎ (Ⅲ)分数落在[80，90)的人数有3人，设为a，b，c，落在[90，100的人数有2人，设为A、B，则从中随机抽取两名的结果有{ab}，(ac}，{a4}，(aB}，{bc}，(bA}，(bB)，{cA}，{cB)，{AB}共10种，其中至少有一人不低于90分的有7种，故概率为0.7.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由频率分布直方图求参数，以及求均值的问题，同时考查古典概型的问题，熟记古典概型的概率公式，以及均值的求法即可，属于常考题型.‎ ‎18．已知A，B，C是的内角，a，b，c分别是其对边长，向量，，且.‎ ‎(1)求角的大小；‎ ‎(2)若，，求的面积.‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)‎ ‎【解析】(1)先由，结合正弦定理，得到，再由，即可求出结果；‎ ‎（2）由余弦定理得到，进而可求出三角形的面积.‎ ‎【详解】‎ 解: (1)∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴;‎ ‎(2)在中，，‎ 由余弦定理知 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理即可，属于常考题型.‎ ‎19．如图为函数的图象.‎ ‎(Ⅰ)求函数的解析式；‎ ‎(Ⅱ)若时，函数有零点，求实数m的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)‎ ‎【解析】(Ⅰ)根据三角函数的图像，得到周期，求出，再由函数零点，得到，结合题中条件，即可求出，从而可得函数解析式；‎ ‎(Ⅱ)先由题意得到，再将函数有零点，化为方程有实根，从而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)由图象知，‎ ‎∴，‎ ‎∵，及得 而，，得 故 ‎ ‎(Ⅱ)∵‎ ‎∴，则 ‎ 又函数有零点，故方程有实根 ‎∵‎ ‎∴‎ 因此，实数m的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由三角函数的部分图像求解析式的问题，以及由函数的零点求参数的问题，熟记三角函数的图像与性质即可，属于常考题型.‎ ‎20．如图，在△ABC中，已知AB=4，AC=6，点E为AB的中点，点D、F在边BC、AC上，且，，EF交AD于点P.‎ ‎(Ⅰ)若∠BAC=，求与所成角的余弦值；‎ ‎(Ⅱ)求的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)‎ ‎【解析】(Ⅰ)以AC所在直线为x轴，过B且垂直于AC的直线于AC的直线为y轴建系,得到，，，，再由向量数量积的坐标表示，即可得出结果；‎ ‎(Ⅱ)先由A、P、D三点共线，得到，再由平面向量的基本定理，列出方程组，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)以AC所在直线为x轴，过B且垂直于AC的直线于AC的直线为y轴建系如图，‎ 则，，，，‎ ‎∴， ‎ ‎∴‎ ‎ (Ⅱ)∵A、P、D三点共线，可设 同理，可设 由平面向量基本定理可得，解得 ‎∴，.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查平面向量的夹角运算，以及平面向量的应用，熟记向量的数量积运算，以及平面向量基本定理即可，属于常考题型.‎