专题36 圆的方程-2018年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

专题36 圆的方程-2018年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

专题36 圆的方程 ‎2018年高考数学（理）热点题型和提分秘籍 ‎【高频考点解读】‎ ‎1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程。‎ ‎2．初步了解用代数方法处理几何问题的思想。‎ ‎【热点题型】‎ 热点题型一 求圆的方程 例1、 (1)若圆心在x轴上、半径为的圆O′位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O′的方程是(　　)‎ A．(x－5)2＋y2＝5或(x＋5)2＋y2＝5‎ B．(x＋)2＋y2＝5‎ C．(x－5)2＋y2＝5‎ D．(x＋5)2＋y2＝5‎ ‎(2)如果一个三角形的三边所在的直线方程分别为x＋2y－5＝0，y－2＝0，x＋y－4＝0，则该三角形的外接圆方程为________。‎ 解析：(1)设圆心坐标为(a,0)(a<0)，因为圆与直线x＋2y＝0相切，所以＝，解得a＝－5，因此圆的方程为(x＋5)2＋y2＝5。‎ ‎(2)因为三角形的三边所在的直线方程分别为x＋2y－5＝0，y－2＝0，x＋y－4＝0，解方程组可得三个顶点的坐标，分别设为A(1,2)，B(2,2)，C(3,1)。‎ 因为AB的垂直平分线方程为x＝，BC的垂直平分线方程为：x－y－1＝0，‎ 解方程组得 即圆心坐标为，‎ 半径r＝＝，‎ 因此，所求圆的方程为2＋2＝。‎ 即x2＋y2－3x－y＝0。‎ ‎【提分秘籍】‎ ‎1．求圆的方程的两种方法 ‎(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程。‎ ‎(2)待定系数法：‎ ‎①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；‎ ‎②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值。‎ ‎2．确定圆心位置的方法 ‎(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上。‎ ‎(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上。‎ ‎(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线。‎ 提醒：解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质。 ‎ ‎【举一反三】 ‎ 若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是(　　)‎ A．(x－2)2＋(y－1)2＝1‎ B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1‎ C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1‎ D．(x－3)2＋(y－1)2＝1‎ 热点题型二 与圆有关的最值问题 例2、已知实数x，y满足x2＋y2－4x＋1＝0，求：‎ ‎(1)的最大值；‎ ‎(2)y－x的最小值；‎ ‎(3)x2＋y2的最值。‎ 解析：(1)设＝k，得y＝kx，所以k为过原点的直线的斜率。‎ 又x2＋y2－4x＋1＝0表示以(2,0)为圆心，半径为的圆，如图所示。当直线y＝kx与已知圆相切且切点在第一象限时k最大。此时：‎ ‎|CP|＝，| OC|＝2。∴Rt△POC中，∠POC＝60°，k＝tan60°＝。‎ ‎∴的最大值为。‎ ‎ ‎ ‎(3)方法1：表示圆上一点到原点距离，‎ 其最大值为2＋，最小值为2－。‎ ‎∴(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，‎ ‎(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4。‎ 方法2：由x2＋y2－4x＋1＝0得(x－2)2＋y2＝3‎ 设(θ为参数)，‎ 则x2＋y2＝(2＋cosθ)2＋(sinθ)2‎ ‎＝7＋4cosθ。‎ ‎∴当cosθ＝－1时，(x2＋y2)min＝7－4，‎ 当cosθ＝1时，(x2＋y2)max＝7＋4。‎ ‎【提分秘籍】 ‎ 与圆有关的最值问题的常见解法 ‎(1)形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题。‎ ‎(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题。‎ ‎(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题。‎ ‎【举一反三】 ‎ 设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为(　　)‎ A．6 B．25‎ C．26 D．36‎ 解析：因为圆(x－2)2＋y2＝1的圆心坐标为(2,0)，该圆心到点(5，－4)的距离为＝5，所以圆(x－2)2＋y2＝1上的点到(5，－4)距离的最大值为6，即(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为36。‎ 答案：D 热点题型三 与圆有关的轨迹问题 ‎ 例3．设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹。‎ 解析：如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为。‎ 因为平行四边形的对角线互相平分，‎ 故＝，＝，从而 N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4。‎ 因此所求P点的轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，‎ 但应除去两点：和(点P在OM所在的直线上时的情况)。‎ ‎【提分秘籍】‎ 求与圆有关的轨迹问题的四种方法 ‎【举一反三】 ‎ 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点。‎ ‎(1)求线段AP中点的轨迹方程；‎ ‎(2)若∠PBQ＝90°，求PQ中点的轨迹方程。‎ 解析：(1)设AP中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)。‎ ‎∵P点在圆x2＋y2＝4上，‎ ‎∴(2x－2)2＋(2y)2＝4。‎ 故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1。‎ ‎(2)设PQ的中点N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连结ON，则ON⊥PQ，‎ 所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2‎ 所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4。‎ 故PQ中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0。‎ ‎【高考风向标】‎ ‎ ‎ ‎1.【2017江苏，13】在平面直角坐标系中,点在圆上,若则点的横坐标的取值范围是 ▲ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，由，易得，由，可得或，由得P点在圆左边弧上，结合限制条件，可得点P横坐标的取值范围为．‎ ‎2.【2017课标II，理9】若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（ ）‎ A．2 B． C． ‎ ‎ D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【解析】由几何关系可得，双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，则点到直线的距离为，‎ 即，整理可得，双曲线的离心率．故选A．‎ ‎1.【2016高考新课标2理数】圆的圆心到直线的距离为1，则a=（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）2‎ ‎【答案】A ‎【解析】圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：‎ ‎，解得，故选A．‎ ‎1.【2015高考新课标2，理7】过三点，，的圆交y轴于M，N两点，则( )‎ A．2 B．‎8 C．4 D．10‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知得，，所以，所以，即为直角三角形，其外接圆圆心为，半径为，所以外接圆方程为，令，得，所以，故选C．‎ ‎2.【2015高考山东，理9】一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）‎ ‎（A）或 （B） 或 （C）或 （D）或 ‎【答案】D ‎3.【2015高考陕西，理15】设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，设的坐标为（），则，因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，因为，所以，即，解得，因为，所以，所以，即的坐标是，所以答案应填：．‎ ‎4.【2015高考广东，理20】已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，．‎ ‎（1）求圆的圆心坐标；‎ ‎（2）求线段的中点的轨迹的方程；‎ ‎（3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点：若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）．‎ ‎【解析】（1）由得，‎ ‎∴ 圆的圆心坐标为；‎ ‎（2）设，则 ‎∵ 点为弦中点即，‎ ‎∴ 即，‎ ‎∴ 线段的中点的轨迹的方程为；‎ ‎（3）由（2）知点的轨迹是以为圆心为半径的部分圆弧（如下图所示，不包括两端点），且，，又直线：过定点，‎ 当直线与圆相切时，由得，又，结合上图可知当时，直线：与曲线只有一个交点．‎ ‎1．（2014·福建卷）设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是(　　)‎ A．5 B.＋ ‎ C．7＋ D．6 ‎【答案】D　‎ ‎【解析】设圆心为点C，则圆x2＋(y－6)2＝2的圆心为C(0，6)，半径r＝.设点Q(x0，y0)是椭圆上任意一点，则＋y＝1，即x＝10－10y，‎ ‎∴|CQ|＝＝＝，‎ 当y0＝－时，|CQ|有最大值5　，‎ 则P，Q两点间的最大距离为5　＋r＝6　.‎ ‎2．（2013·新课标全国卷Ⅰ）已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)求C的方程；‎ ‎(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.‎ ‎【解析】解：由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.‎ 设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.‎ ‎(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以 ‎|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.‎ 由椭圆的定义可知，曲线C是以M, N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)．‎ ‎(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，所以R≤2，‎ 当且仅当圆P的圆心为(2，0)时，R＝2，所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4.‎ 若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝2 .‎ 若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，‎ 则＝，可求得Q(－4，0)，所以可设l：y＝k(x＋4)．由l与圆M相切得＝1，解得k＝±.当k＝时，将y＝x＋代入＋＝1，‎ 并整理得7x2＋8x－8＝0.解得x1，2＝.‎ 所以|AB|＝|x2－x1|＝.‎ 当k＝－时，由图形的对称性可知|AB|＝.‎ 综上，|AB|＝2 或|AB|＝.‎ ‎3．（2013·重庆卷）如图1－9所示，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e＝‎ ，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A′两点，|AA′|＝4.‎ ‎(1)求该椭圆的标准方程；‎ ‎(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P′，过P，P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外，若PQ⊥P′Q，求圆Q的标准方程．‎ 图1－9‎ ‎【解析】解：(1)由题意知点A(－c，2)在椭圆上，则＋＝1，从而e2＋＝1.‎ 由e＝得b2＝＝8，从而a2＝＝16.‎ 故该椭圆的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)由椭圆的对称性，可设Q(x0，0)．又设M(x，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2＝(x－x0)2＋y2＝x2－2x0x＋x＋8 ‎＝(x－2x0)2－x＋8(x∈[－4，4])．‎ 设P(x1，y1)，由题意，P是椭圆上到Q的距离最小的点，因此，上式当x＝x1时取得最小值．又因x1∈(－4，4)，所以上式当x＝2x0时取得最小值，从而x1＝2x0，且|QP|2＝8－x.‎ 因为PQ⊥P′Q，且P′(x1，－y1)，所以·′＝(x1－x0，y1)·(x1－x0，－y1)＝0，‎ 即(x1－x0)2－y＝0.由椭圆方程及x1＝2x0得x－8＝0，‎ 解得x1＝±，x0＝＝±，从而|QP|2＝8－x＝.‎ 故这样的圆有两个，其标准方程分别为 ＋y2＝，＋y2＝.‎ ‎4．(2013年高考江西卷)若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线 y＝1相切，则圆C的方程是________．‎ 解析：由已知可设圆心为(2，b)，由22＋b2＝(1－b)2＝r2得b＝－，r2＝.故圆C的方程为(x－2)2＋2＝.‎ 答案：(x－2)2＋2＝ ‎【高考冲刺】‎ ‎1．过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是(　　)‎ A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4‎ B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4‎ C．(x－1)2＋(y－1)2＝4‎ D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4‎ ‎2．已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为(　　)‎ A．8 B．－4‎ C．6 D．无法确定 解析：圆上存在关于直线x－y＋3＝0对称的两点，则x－y＋3＝0过圆心，即－＋3＝0，∴m＝6。‎ 答案：C ‎3．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过点C，则以C为圆心，半径为的圆的方程为(　　)‎ A．x2＋y2－2x＋4y＝0‎ B．x2＋y2＋2x＋4y＝0‎ C．x2＋y2＋2x－4y＝0‎ D．x2＋y2－2x－4y＝0‎ 解析：将已知直线化为y－2＝(a－1)(x＋1)，可知直线恒过定点(－1,2)，故所求圆的方程为x2＋y2＋2x－4y＝0。‎ 答案：C ‎4．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)‎ A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1‎ B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1‎ C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4‎ D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1‎ 解析：设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则解得因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1。‎ 答案：A ‎5．过圆x2＋y2＝4外一点P(4,2)作圆的两条切线，切点为A、B，则△ABP的外接圆方程是(　　)‎ A．(x－4)2＋(y－2)2＝1‎ B．x2＋(y－2)2＝4‎ C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5‎ D．(x－2)2＋(y－1)2＝5‎ 解析：设圆心为O，则O(0,0)，则以OP为直径的圆为△ABP的外接圆。圆心为(2,1)。半径r＝＝。‎ ‎∴圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5。‎ 答案：D ‎6．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　)‎ A．5 B．10 C．15 D．20 ‎7．若实数x，y满足x2＋y2－2x＋4y＝0，则x－2y的最大值为__________。‎ 解析：方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝5，表示以(1，－2)为圆心，为半径的圆，设x－2y＝m，则圆心到直线x－2y－m＝0的距离d＝∈[0，]，解得m的最大值为10。‎ 答案：10‎ ‎8．圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于两点A(0，－ 4)，B(0，－2)，则圆C的方程为__________。‎ 解析：∵圆与y轴交于A(0，－4)，B(0，－2)，‎ ‎∴由垂径定理得圆心在y＝－3这条直线上。‎ 又已知圆心在2x－y－7＝0上，‎ ‎∴解得即圆心C(2，－3)，‎ 半径r＝|AC|＝＝，‎ ‎∴所求圆C的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5。‎ 答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝5‎ ‎9．圆心在原点且圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分的圆的方程为__________。‎ 解析：如图，因为圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分，所以∠AOB＝120°。而圆心到直线3x＋4y＋15＝0的距离d＝＝3，在△AOB中，可求得OA ‎＝6。所以所求圆的方程为x2＋y2＝36。‎ 答案：x2＋y2＝36‎ ‎10．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)的图形是圆。‎ ‎(1)求t的取值范围；‎ ‎(2)求其中面积最大的圆的方程；‎ ‎(3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围。‎ 解析：(1)由(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2‎ ‎＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－16t4－9，‎ ‎∴r2＝－7t2＋6t＋1＞0，∴－＜t＜1。‎ ‎(2)∵r＝＝，‎ ‎∴当t＝∈时，rmax＝。‎ 此时圆的方程为2＋2＝。‎ ‎(3)当且仅当32＋(4t2)2－2(t＋3)×3＋2(1－4t2)×4t2＋16t4＋9＜0时，点P在圆内，‎ ‎∴8t2－6t＜0，即0＜t＜。‎ ‎11．已知实数x，y满足x2＋y2－2y＝0。‎ ‎(1)求2x＋y的取值范围；‎ ‎(2)若x＋y＋c≥0恒成立，求实数c的取值范围。‎ 解析：由题意可知点(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上，‎ ‎(1)方法一：圆x2＋(y－1)2＝1的参数方程为 ‎∴2x＋y＝2cosθ＋sinθ＋1，‎ ‎∵－≤2cosθ＋sinθ≤，‎ ‎∴1－≤2x＋y≤＋1。‎ 方法二：2x＋y可看作直线y＝－2x＋b在y轴的截距，当直线与圆相切时b取最值，此时＝1。‎ ‎∴b＝1±，‎ ‎∴1－≤2x＋y≤1＋。‎ ‎(2)∵x＋y＝cosθ＋1＋sinθ＝sin＋1，‎ ‎∴x＋y＋c的最小值为1－＋c，‎ ‎∴x＋y＋c≥0恒成立等价于1－＋c≥0，‎ ‎∴c的取值范围为c≥－1。‎ ‎12．在平面直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x－y＝4相切。‎ ‎(1)求圆O的方程；‎ ‎(2)圆O与x轴相交于A，B两点，圆内的动点P使|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，求·的取值范围。‎ 解析：(1)依题设，圆O的半径r等于原点O到直线x－y＝4的距离，即r＝＝2，‎ 所以圆O的方程为x2＋y2＝4。‎ ‎ ‎