专题26+平面向量的数量积及平面向量的应用（押题专练）-2018年高考数学（理）一轮复习精品资料

专题26+平面向量的数量积及平面向量的应用（押题专练）-2018年高考数学（理）一轮复习精品资料

专题26+平面向量的数量积及平面向量的应用 ‎1.已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|a－b|＝(　　)‎ A.0 B.1 C.2 D. 解析　|a－b|＝＝＝＝.‎ 答案　D ‎2.已知a＝(1，－2)，b＝(x，2)，且a∥b，则|b|＝(　　)‎ A.2 B. C.10 D.5‎ 解析　∵a∥b，∴＝，解得x＝－1，∴b＝(－1，2)，∴|b|＝＝.故选B.‎ 答案　B ‎3.向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，(a＋b)⊥(2a－b)，则向量a与b的夹角为(　　)‎ A.45° B.60° C.90° D.120°‎ 解析　∵(a＋b)⊥(2a－b)，∴(a＋b)·(2a－b)＝0，‎ ‎∴2a2－a·b＋2b·a－b2＝0，∴a·b＝0，∴向量a与b的夹角为90°.故选C.‎ 答案　C ‎4．已知a，b为单位向量，其夹角为60°，则(2a－b)·b＝(　　)‎ A．－1　B．0‎ C．1 D．2‎ ‎5．已知和是平面内两个单位向量，它们的夹角为60°，则2－与的夹角是(　　)‎ A．30° B．60°‎ C．90° D．120°‎ 解析：由题意知||＝1，||＝1，·＝||||cos60°＝，因为(2－)·＝2·＋2＝2×＋1＝0，‎ 所以cos〈2－，〉＝＝0，‎ 故2－与的夹角是90°。‎ 答案：C ‎6．已知a＝(3，－2)，b＝(1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为(　　)‎ A．－ B. C．－ D. 解析：向量λa＋b与a－2b垂直，则(λa＋b)·(a－2b)＝0，又因为a＝(3，－2)，b＝(1,0)，故(3λ＋1，－2λ)·(1，－2)＝0，即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－。‎ 答案：C ‎7.在△ABC中，若|＋|＝|－|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC边的三等分点，则·＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析　法一　由向量的几何意义可知，△ABC是以A为直角的直角三角形，E，F为BC的三等分点，不妨设＝＋，＝＋，因此·＝·＝2＋2＋·＝×4＋×1＝.故选B.‎ 法二　由向量的几何意义可知，△ABC是以A为直角的直角三角形，以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，E，F为BC的三等分点，不妨设E，F，因此·＝×＋×＝，故选B.‎ 答案　B ‎8.已知向量⊥，||＝3，则·＝________.‎ 解析　因为⊥，所以·＝0.所以·＝·(＋)＝2＋·＝||2＋0＝32＝9.‎ 答案　9‎ ‎9.已知向量a，b，其中|a|＝， |b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是________.‎ 解析　设向量a和b的夹角为θ.由题意知(a－b)·a＝a2－a·b＝0，‎ ‎∴2－2cos θ＝0，解得cos θ＝，∴θ＝.‎ 答案　 ‎10.已知A(－1，cos θ)，B(sin θ，1)，若|＋|＝|－|(O为坐标原点)，则锐角θ＝________.‎ 解析　法一　利用几何意义求解：由已知可知，＋是以OA，OB为邻边作平行四边形OADB的对角线向量，－则是对角线向量，于是对角线相等的平行四边形为矩形.故OA⊥OB.因此·＝0，∴锐角θ＝.‎ 法二　坐标法：＋＝(sin θ－1，cos θ＋1)，－＝(－sin θ－1，cos θ－1)，由|＋|＝|－|可得(sin θ－1)2＋(cos θ＋1)2＝(－sin θ－1)2＋(cos θ－1)2，整理得sin θ＝cos θ，于是锐角θ＝.‎ 答案　 ‎11.设非零向量a与b的夹角是，且|a|＝|a＋b|，则的最小值是________.‎ ‎12.已知平面上三点A，B，C，＝(2－k，3)，＝(2，4).‎ ‎(1)若三点A，B，C不能构成三角形，求实数k应满足的条件；‎ ‎(2)若△ABC为直角三角形，求k的值.‎ 解　(1)由三点A，B，C不能构成三角形，得A，B，C在同一直线上，即向量与平行，∴4(2－k)－2×3＝0，解得k＝.‎ ‎(2)∵＝(2－k， 3)，∴＝(k－2，－3)，‎ ‎∴＝＋＝(k，1).若△ABC为直角三角形，‎ 则当A是直角时，⊥，即·＝0，‎ ‎∴2k＋4＝0，解得k＝－2；‎ 当B是直角时，⊥，即·＝0，‎ ‎∴k2－2k－3＝0，解得k＝3或k＝－1；‎ 当C是直角时，⊥，即·＝0，∴16－2k＝0，‎ 解得k＝8.综上得k的值为－2，－1，3，8.‎ ‎13.已知平面向量a＝(，－1)，b＝.‎ ‎(1)证明：a⊥b；‎ ‎(2)若存在不同时为零的实数k和t，使c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，试求函数关系式k＝f(t).‎ ‎14.已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，‎ ‎(1)求a与b的夹角θ；‎ ‎(2)求|a＋b|；‎ ‎(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积.‎ 解　(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，‎ ‎∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.‎ 又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，‎ ‎∴a·b＝－6.∴cos θ＝＝＝－.‎ 又0≤θ≤π，∴θ＝.‎ ‎ ‎