2018-2019学年安徽省阜阳市第三中学高二竞培中心下学期开学考试数学（理）试题 Word版

2018-2019学年安徽省阜阳市第三中学高二竞培中心下学期开学考试数学（理）试题 Word版

安徽省阜阳市第三中学2018-2019学年高二竞培中心下学期 开学考试数学（理科）‎ ‎ ‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设集合，，则 A． B． C． D．‎ ‎2．若复数满足，则 A． B． C． D．‎ ‎3．下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎4．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2015年1月至2017年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．‎ ‎ ‎ ‎ 根据该折线图，下列结论错误的是 A．年接待游客量逐年增加 B．各年的月接待游客量高峰期在8月 C．2015年1月至12月月接待游客量的中位数为30万人 D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 ‎5.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”. 现有一阳马，其 ‎ 正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎6．已知的边上有一点满足，则可表示为 ‎ A． B． ‎ C． D． ‎7．已知双曲线的中心为坐标原点，离心率为，点在上，则的方程为 A． B． C． D．‎ ‎8．由的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍 后， 所得图象对应的函数解析式为 ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎9．抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长度为，则点的纵坐标的最小值为 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎10. 若实数，满足不等式组 则的取值范围是 A． B． C． D． ‎ ‎11．已知三棱锥中，，，，，且二面角 ‎ 的大小为，则三棱锥外接球的表面积为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知数列满足．设，为数列的前项和．若（常数），，则的最小值是 ‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．已知，则 ．‎ ‎14．设为第二象限角，若，则 = ．‎ ‎15．已知点及圆，一光线从点出发，经轴上一点反射后与圆相切于点，则的值为 ． ‎ ‎16．已知函数满足，则的单调递减区间是 ‎ ．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 设为数列的前项和，已知，．‎ ‎（1）证明：数列为等比数列；‎ ‎（2）求数列的通项公式，并判断，，是否成等差数列？‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 在某市高中某学科竞赛中，某一个区名考生的参赛成绩统计如图所示.‎ ‎（1）求这名考生的竞赛平均成绩（同一组中数据用该组区间中点作代表）；‎ ‎（2）由直方图可认为考生竞赛成绩服正态分布，其中，分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差，那么该区名考生成绩超过分（含分）的人数估计有多少人？‎ ‎（3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取名考生，记成绩不超过分的考生人数为，求.（精确到）‎ 附：①，；②，则，；③.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎ 如图甲，设正方形的边长为3，点、分别在、上，且满足，．如图乙，将直角梯形沿折到的位置，使得点在平面上的射影恰好在上．（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成二面角的余弦值．‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ ‎ 已知动圆过定点，且与定直线相切．‎ ‎（1）求动圆圆心的轨迹的方程；‎ ‎（2）过点的任一条直线与轨迹交于不同的两点，试探究在轴上是否存在定点 ‎（异于点），使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数e.‎ ‎（1）若e，求的单调区间；（2）当时，记的最小值为，求的最大值．‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 ‎ 已知函数．‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围．‎ 安徽省阜阳市第三中学2018-2019学年高二竞培中心下学期开学考试试题数学（理科）参考答案 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D C B C A D ‎ B A A A D C 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13． 14． 15． 16．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17． 解：（1）证明：∵，，∴, ……………………………………1分 ‎∴， ……………………………………2分 ‎∴， ……………………………………3分 ‎， ……………………………………5分 ‎ ‎∴是首项为，公比为的等比数列． …………………………………………6分 ‎（2）解：由（1）知，， ……………………………………7分 ‎∴， ……………………………………8分 ‎∴， ……………………………………9分 ‎∴， ……………………10分 ‎∴. ……………………11分 ‎ 即，，成等差数列． ……………………12分 ‎18．解：‎ 解：（1）由题意知：‎ 中间值 概率 ‎∴，‎ ‎∴名考生的竞赛平均成绩为分.‎ ‎（2）依题意服从正态分布，其中，‎ ‎，，‎ ‎∴服从正态分布，‎ 而，‎ ‎∴.‎ ‎∴竞赛成绩超过分的人数估计为人人.‎ ‎（3）全市竞赛考生成绩不超过分的概率.‎ 而，‎ ‎∴.‎ ‎ ……………………………12分 ‎19． 解：（1）在图甲中，易知，从而在图乙中有，‎ 平面，平面，‎ 平面． …………………………………………………… 4分 ‎（2）‎ 如图，在图乙中作,垂足为,‎ 连接,由于平面，则,‎ 平面,则，图甲中有， 又，则、、三点共线． 设的中点为,则,可证，‎ ‎，则， 又由，得，，‎ 于是, ， 在中, ， ……………………………………………… 8分 作交于点，则． 以点为原点,分别以、、所在直线为、、轴,建立如图丙所示的空间直角坐标系， 则, , , ， 则, ,是平面的一个法向量， 易求得平面的一个法向量, ………………………………………… 10分 设平面与平面所成二面角为，可以看出，为锐角， ， 所以，平面与平面所成二面角的余弦值为．……………………………… 12分 ‎……………………………………………12分 ‎20．（1）解法1：依题意动圆圆心到定点的距离，与到定直线的距离相等，…1分 ‎ 由抛物线的定义，可得动圆圆心的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， ……2分 ‎ 其中．动圆圆心的轨迹的方程为． ……………………………3分 ‎ 解法2：设动圆圆心，依题意：. ……………………………2分 ‎ 化简得：，即为动圆圆心的轨迹的方程． ……………………………3分 ‎（2）解：假设存在点满足题设条件．‎ 由可知，直线与的斜率互为相反数，即 ① ……4分 直线的斜率必存在且不为，设, ………………………………5分 由得． ………………………………………6分 由,得或． ……………………………………7分 设，则． ………………………………………………8分 由①式得,‎ ‎,即．‎ 消去，得, …………………………………………………9分 ‎, ……………………………………………………………10分 ‎, ……………………………………………………………11分 存在点使得． ……………………………………………………12分 ‎21．（1）解：当时， ，的定义域是 ……1分 ‎， …………………………………2分 当时，；当时，． …………………………………3分 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． …………………………4分 ‎（2）由（1）得的定义域是，，‎ 令，则，在上单调递增，………………………5分 因为,‎ 所以，，‎ 故存在，使得． …………………………………………6分 当时，，，单调递减；‎ 当时，，，单调递增；‎ 故时，取得最小值，即 ‎, …………………………8分 由得， ………………………………9分 令，，则，‎ 当时，，单调递增， ………………………………10分 当时，，单调递减，………………………………11分 故，即时，取最大值1，故． ……………………12分 ‎22． 解：（1）当时，原不等式可化为， …………………………1分 ‎①当时，，解得，所以； ……………………………2分 ‎②当时，，解得，所以； ……………………3分 ‎③当时，，解得，所以． ……………………………4分 综上所述，当时，不等式的解集为． ………………………………5分 ‎（2）不等式可化为，‎ 依题意不等式在上恒成立，……………………………………6分 所以，即，即， ……………………………8分 所以，解得，‎ 故所求实数的取值范围是． ………………………………………………………10分