高中高考专题之数列的方法技巧及应用

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高中高考专题之数列的方法技巧及应用

‎ 数列专题 ‎ 一、 证明等差等比数列 1. 等差数列的证明方法:‎ ‎ (1).定义法:(常数) (2).等差中项法:‎ ‎2.等比数列的证明方法:‎ ‎(1).定义法:(常数) ‎ ‎(2).等比中项法: ‎ 例1.设{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列{}的前n项和,求Tn.‎ 解:设等差数列{an}的公差为d,则 Sn=na1+n(n-1)d.∴S7=7,S15=75,‎ ‎∴即 解得a1=-2,d=1.∴=a1+(n-1)d=-2+(n-1).‎ ‎∵,‎ ‎∴数列{}是等差数列,其首项为-2,公差为,‎ ‎∴Tn=n2-n.‎ 例2.设数列{an}的首项a1=1,前n项和Sn满足关系式:‎ ‎3tSn-(2t+3)Sn-1=3t(t>0,n=2,3,4,…)‎ 求证:数列{an}是等比数列;‎ 解:(1)由a1=S1=1,S2=1+a2,得a2=‎ 又3tSn-(2t+3)Sn-1=3t ①‎ ‎3tSn-1-(2t+3)Sn-2=3t ②‎ ‎①-②得3tan-(2t+3)an-1=0‎ ‎∴,(n=2,3,…)‎ 所以{an}是一个首项为1,公比为的等比数列.‎ 练习:(2006年山东卷)已知a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上,其中=1,2,3,…‎ (1) 证明数列{lg(1+an)}是等比数列;‎ (2) 设Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an),求Tn及数列{an}的通项;‎ 答案.(2) ,;‎ 二.通项的求法 ‎(1).利用等差等比的通项公式 ‎(2).累加法:‎ 例3.已知数列满足,,求。‎ 解:由条件知:‎ 分别令,代入上式得个等式累加之,即 所以 ‎,‎ ‎(3).构造等差或等比或 例4.(2006年福建卷)已知数列满足 ‎ 求数列的通项公式;‎ 解:‎ ‎ ‎ ‎ 是以为首项,2为公比的等比数列。‎ ‎ ‎ ‎ 即 ‎ 例5.已知数列中,,,求。‎ 解:在两边乘以得:‎ 令,则,解之得:‎ 所以 练习. 已知数列满足,且。‎ ‎ (1)求;‎ ‎ (2)求数列的通项公式。‎ 解: (1)‎ ‎ (2)‎ ‎ ‎ ‎ ∴ ‎ ‎(4)利用 例6.若和分别表示数列和的前项和,对任意正整数 ‎,.求数列的通项公式;‎ 解: ……2分 当 ‎ 当……4分 练习:1. 已知正项数列{an},其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列,求数列{an}的通项an ‎ 解: ∵10Sn=an2+5an+6, ① ∴‎10a1=a12+‎5a1+6,解之得a1=2或a1=3 ‎ 又10Sn-1=an-12+5an-1+6(n≥2),② ‎ ‎ 由①-②得 10an=(an2-an-12)+6(an-an-1),即(an+an-1)(an-an-1-5)=0 ‎ ‎∵an+an-1>0 , ∴an-an-1=5 (n≥2) ‎ 当a1=3时,a3=13,a15=‎73 a1, a3,a15不成等比数列∴a1≠3;‎ 当a1=2时, a3=12, a15=72, 有 a32=a‎1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n-3 ‎ ‎2.(2006年全国卷I)设数列的前项的和 ‎,‎ ‎(Ⅰ)求首项与通项;‎ ‎(Ⅱ)设,,证明:‎ 解:(I),解得:‎ 所以数列是公比为4的等比数列 所以:‎ 得: (其中n为正整数)‎ ‎(II)‎ 所以: ‎ ‎(5)累积法 转化为,逐商相乘.‎ 例7.已知数列满足,,求。‎ 解:由条件知,分别令,代入上式得个等式累乘之,即 又,‎ 练习:1.已知, ,求。‎ 解:‎ ‎ 。‎ ‎2.(2004,全国I,理)已知数列{an},满足a1=1, (n≥2),则{an}的通项 ‎ 解:由已知,得,用此式减去已知式,得 当时,,即,又,‎ ‎,将以上n个式子相乘,得 ‎(6)倒数变形:,两边取倒数后换元转化为。‎ 例8:已知数列{an}满足:,求数列{an}的通项公式。‎ 解:取倒数:‎ 是等差数列,‎ 练习:已知数列{an}满足:a1=,且an=‎ 求数列{an}的通项公式;‎ 解:将条件变为:1-=,因此{1-}为一个等比数列,其首项为 ‎1-=,公比,从而1-=,据此得an=(n³1)‎ 三.数列求和 ‎1、等差数列求和公式: ‎ ‎2、等比数列求和公式:‎ ‎3、错位相减法求和 ‎{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.‎ 例9. 求和:‎ 解:由题可知,设………………………①‎ ‎…②(设制错位)‎ ‎①-②得 (错位相减)再利用等比数列的求和公式得:。‎ ‎∴ ‎ 练习: 求数列前n项的和.‎ 解:由题可知,{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积 设…………………………………①‎ ‎…………② ①-②得 ‎ ‎∴ ‎ ‎4、倒序相加法求和 这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n个.‎ 例10.求证:‎ 证明: 设………………………….. ①‎ ‎ 把①式右边倒转过来得 ‎ 又由可得:…………. ②‎ ‎①+②得: ‎ ‎∴ ‎ ‎5、分组法求和 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.‎ 例11. 求数列的前n项和:,…‎ 解:设 将其每一项拆开再重新组合得 ‎(分组)‎ 当a=1时,=(分组求和)‎ 当时,=‎ ‎6、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)‎ ‎(1)为等差数列,‎ ‎(2)‎ 例12. 求数列的前n项和.‎ 解:设,则 ‎ ‎=‎ 例13. 在数列{an}中,,又,求数列{bn}的前n项的和.‎ 解:   ∵ ‎ ‎   ∴ 数列{bn}的前n项和:‎ ‎ = = ‎ 练习:‎ ‎1.(理)已知数列{}的前项和为,且满足 。‎ ‎(1)求数列{}的通项公式;‎ ‎(2)(理)若,且,数列{}的前项和为,求 ‎ (文)若,且,数列{}的前项和为,求证Tn>3/4‎ 解:(1)数列{}的前项和为,且满足 则 ()‎ 相减得: () ‎ 又当n=1时,, , ‎ ‎{}是以为首项,公比的等比数列 ‎ ()‎ ‎(2) ‎ ‎=‎ ‎.‎ ‎2.已知数列:‎ ‎①求证数列为等差数列,并求它的公差 ‎②设,求的和。‎ 解:①由条件,‎ ‎∴;∴‎ 故为等差数列,公差 ‎②‎ 又知 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎3.已知点列在直线l:y = 2x + 1上,P1为直线l与 y轴的交点,等差数列{an}的公差为.‎ ‎ (Ⅰ)求{an}、{bn}的通项公式;‎ ‎ (Ⅱ)(理)若数列满足:(C2 + C3 + … +Cn);‎ ‎ (文)求C1+C2+……+Cn 解:∵在直线l:y=2x+1,‎ ‎∴bn=2an+1∵P1为直线l与y轴交点,‎ ‎∴P1=(0,1)‎ ‎∴a1=0又数列的公差为1‎ ‎∴an=n-1(n∈N*)∴‎ ‎ (Ⅱ)∵P1=(0,1),Pn(an,bn)‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎1、等差数列的通项公式: (首项,公差)‎ ‎ ‎ ‎2、等差数列的前项和公式: 或 ‎ ‎3.等差中项:如果成等差数列,那么叫做与的等差中项.‎ 即:是与的等差中项,,成等差数列.‎ ‎4.等差数列的判定方法:‎ ‎⑴定义法:(,是常数)是等差数列;‎ ‎⑵中项法:()是等差数列.‎ ‎5.等差数列的常用性质:‎ ‎⑴数列是等差数列,则数列、(是常数)都是等差数列;‎ ‎⑵在等差数列中,等距离取出若干项也构成一个等差数列,即为等差数列,公差为.‎ ‎⑶;(,是常数);(,是常数,)‎ ‎⑷若,则;‎ ‎⑸若等差数列的前项和,则是等差数列;‎ ‎⑹当项数为,则; 当项数为,则.‎ 一、选择题 ‎1.等差数列{an}中,记Sn为前n项和,若a1+a7+a13是一确定的常数,下列各式①a21;②a7;③S13;④S14;⑤S8-S5中,也为确定常数的是(  )‎ A.②③⑤ B.①②⑤‎ C.②③④ D.③④⑤‎ ‎【解析】 ∵a1+a13=2a7,∴a1+a7+a13=3a7,故a7为确定的常数;‎ 根据性质,在等差数列中,S13=13·a7,∴S13为确定的常数,S8-S5=a6+a7+a8=3a7,‎ ‎∴S8-S5为确定的常数. 【答案】 A ‎2.若等差数列的前项和为,且为确定的常数,则下列各式中,也为确定的常数是( ) A. B. C. D.‎ ‎3. 等差数列的前n项和当首项和公差d变化时,若是一个定值,则下列各数中为定值的是―――――――――( )‎ ‎ A、 B.S C、 D、‎ 答案 B ‎4. 已知等差数列满足,则有(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.在等差数列中,,则的值为 ‎(A)5 (B)6 (C)8 (D)10‎ ‎【答案】 A解析:由角标性质得,所以=5‎ ‎6.已知为等差数列,a1+a3+a5=105,a,2+a4+a6=99,则a20等于(  )‎ A. -1 B. ‎1 ‎‎ ‎ C. 3 D.7‎ ‎7.已知等差数列中,的值是 ( )‎ A.15 B.‎30 ‎C.31 D.64‎ ‎8.己知等比数列满足则=( )‎ A.64 B‎81 ‎‎ C.128 D.243‎ 答案 A ‎9.等差数列中,,,则的值为( )‎ A.15 B.‎23 ‎C.25 D.37‎ 答案 B ‎10. 设等差数列的前项和为,若,则= ‎ ‎11.已知是等差数列,,则该数列前10项和=________‎ 答案 100‎ ‎12.在等差数列中,,,则数列的前9项之和等于 ( )‎ A.66 B.‎99 ‎‎ C.144 D..297‎ 答案 B ‎13.设等差数列的前项和为,若,,则(  )‎ A.63 B.‎45 C.36 D.27‎ 答案 B ‎14.设等差数列的前n项和为 ( )‎ A.18 B.‎17 ‎C.16 D.15‎ ‎15.已知等差数列的前项和为,若,则 .‎ 答案 7‎ ‎16.已知等差数列的前项和为,若等于( )‎ A.18 B.‎36 C.54 D.72‎ 答案D ‎ ‎17.在等差数列中,,表示数列的前项和,则 A. B. C. D.‎ 答案 B ‎18.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若,则的值为( )‎ ‎ A.2 B.‎4 ‎C.7 D.8‎ 答案 B ‎19.等差数列中,,其前项和为,且( )‎ A. B.‎1 C. 0 D. 2 ‎ 答案:C ‎20.记等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2=4,S4=20,则该数列的公差d=(  )‎ A.7 B.6‎ C.3 D.2‎ ‎【解析】 设数列{an}的首项为a1,‎ 则,解得.‎ ‎21.已知{an}是等差数列,a4+a6=6,其前5项和S5=10,则其公差d=________.‎ 解析:由a4+a6=6,得a5=3,‎ 又,∴a1=1.∴4d=a5-a1=2,.‎ ‎22.等差数列中,且,则公差= ‎ 答案 10‎ ‎23.在等差数列{an}中,其前n项和是Sn,若S15>0,S16<0,则在,,…中最大的是(  )‎ A. B. C. D. ‎【解析】 由于S15==15a8>0,S16==8(a8+a9)<0,‎ 所以可得a8>0,a9<0.这样>0,>0,…,>0,<0,<0,…,‎ <0,而S1<S2<…<S8,a1>a2>…>a8,所以在,,…,中最大的是.‎ ‎【答案】 B ‎24.等差数列{an}的前n项和满足S20=S40,下列结论中正确的是(  )‎ A.S30是Sn中的最大值 B.S30是Sn中的最小值 C.S30=0 D.S60=0‎ ‎【解析】 由S20=S40,得a21+a22+…+a40=0,即10(a21+a40)=0,即a21+a40=0,‎ ‎∴a1+a60=0,∴S60==0.‎ ‎【答案】 D ‎25.已知Sn为等差数列{an}的前n项和,若a2∶a4=7∶6,则S7∶S3等于______.‎ ‎【解析】 ∵=,∴=,∴=,∴=∴=2.【答案】 2∶1‎ ‎26.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若,则等于______.‎ 解析:.‎ ‎27. 为等差数列的前n项和,若,则= .‎ 解析: 由,即 ,得.,.故=4.‎ ‎28.等差数列{an}中,Sn是其前n项和,a1=-2 008,-=2,则S2 008的值为________.‎ ‎【解析】 -=-=a1 004-a1 003=2,‎ ‎∴d=2,a2 008=a1+(n-1)d=-2 008+2 007×2=2 006,‎ S2 008===-2 008.‎ ‎29.等差数列的前项和为,且则 ‎ 解析 ∵Sn=na1+n(n-1)d ∴S5=‎5a1+10d,S3=‎3a1+3d ‎ ∴6S5-5S3=‎30a1+60d-(‎15a1+15d)=‎15a1+45d=15(a1+3d)=‎15a4‎ ‎30.将含有k项的等差数列插入4和67之间,结果仍成一新的等差数列,并且新的等差数列所有项的和是781,则k的值为 ‎ ‎【解析】 由等差数列前n项和公式可得781=,解得k=20.‎ ‎31.等差数列{an}中,a1=-5,它的前11项的平均值是5,若从中抽取1项,余下10项的平均值是4,则抽取的是 ‎ 解析:设抽取的是第n项.‎ ‎∵S11=55,S11-an=40,∴an=15.又S11=‎11a6,a6=5,‎ 由a1=-5,得,令15=-5+(n-1)×2,∴n=11.‎ ‎32.在各项均不为零的等差数列{an}中,若an+1-an2+an-1=0(n≥2),则S2n-1-4n等于 ‎ 解析:此题考查等差数列的等差中项及常数列的求和.由an+1-an2+an-1=0(n≥2),‎ 可得an+1+an-1=2an=an2.又an≠0,∴an=2.∴S2n-1-4n=4n-2-4n=-2.‎ ‎33.等差数列的前n项和为,已知,,则 ‎ ‎【解析】因为是等差数列,所以,,由,得:2-=0,所以,=2,又,即=38,即(‎2m-1)×2=38,解得m=10,‎ ‎34.在数列中,,且,_________。答案 2550‎ ‎35.各项不为零的等差数列中,,则的值为_______.答案4 ‎ ‎36.在数列的值为____.答案: ‎4951 ‎ ‎ ‎37.设{an}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a‎1a2a3=80,则a11+a12+a13等于____.‎ 解析:∵a1+a2+a3=15,,∴a2=5,a1+a3=10.又∵a‎1a2a3=80,∴a1·a3=16.又知公差为正数,∴a1=2,a3=8,公差d=3.∴a11=a1+10d=2+10×3=32,a12=a11+d=35,a13=a12+d=38.∴a11+a12+a13=105.‎ ‎38.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为____ .‎ 解析:S偶-S奇=5d=15,∴d=3.‎ ‎39.等差数列{an}共有2n项,其中奇数项的和为90,偶数项的和为72,且,则该数列的公差为____.答案:-3 ‎ ‎40.在等差数列中,‎ ‎(1)若,当 9 时,有最 大 值;‎ ‎(2)若,当 8或9 时,有最 小 值;‎ ‎(3)若,且,则当 7 时,有最 大 值;‎ ‎(4)若且,则当 5 时,有最 小 值.‎ ‎41.若数列{an}的前n项和Sn=n2-10n(n=1,2,3,…),则此数列的通项公式为_______________;数列{nan}中数值最小的项是第_______项.‎ 解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-10n-[(n-1)2-10(n-1)]=2n-11;‎ 当n=1时,a1=S1=-9符合上式2n-11=an,∴an=2n-11.‎ 设第n项最小,则∴‎ 解得.又n∈N*,∴n=3.‎ ‎42.已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列,则的值是_____‎ 解析:因为原方程有四个根,所以方程和各有两个根.‎ 又因为这两个方程的两根之和都等于2,且四个根组成等差数列,记为,所以可设四个根为.所以.设公差为,则有,所以,从而有,.‎ 故.‎ ‎43.设等差数列的前项和为,若,则的最大值为___.答案 4‎ ‎44.在等差数列中,若它的前n项和有最大值,则使取得最小正数的 . 答案19‎
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