2019-2020学年高中数学课时作业3极坐标系的概念北师大版选修4-4

2019-2020学年高中数学课时作业3极坐标系的概念北师大版选修4-4

课时作业(三)‎ ‎1．下列条件与有序数对不能构成一一对应的是(　　)‎ A．直角坐标平面上的点 B．复平面上的点 C．极坐标平面上的点 D．直角坐标平面上，以原点为起点的向量 答案　C 解析　由极坐标的定义知极坐标平面上的点与有序数对之间不能构成一一对应的关系．‎ ‎2．和(3，)表示同一点的是(　　)‎ A．(3，－)　　　　　　　 B．(3，π)‎ C．(3，－π) D．(3，π)‎ 答案　C 解析　和(3，)表示同一点的形式为(3，2kπ＋)k∈Z，当k＝－1时即为(3，－π)．‎ ‎3．在极坐标平面内，点M(，200π)，N(，201π)，G(，－200π)，H(2π＋，200π)中互相重合的两个点是(　　)‎ A．M和N B．M和G C．M和H D．N和G 答案　B 解析　M、G表示同一点．‎ ‎4．在极坐标系中，ρ1＝ρ2且θ1＝θ2是两点M(ρ1，θ1)和N(ρ2，θ2)重合的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A ‎5．下列极坐标对应的点在极轴上的是(　　)‎ A．(1，1) B．(2，0)‎ C．(3，) D．(3，)‎ 答案　B ‎6．已知点P(2 013，2 013π)，Q(2 014，2 014π)，下列点在直线PQ上的是(　　)‎ A．(1，1) B．(，)‎ C．(π，π) D．(π，2π)‎ 7‎ 答案　D ‎7．极坐标系中，M(1，)与N(1，π)两点间的距离为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 答案　B 解析　M(1，)，N(1，π)，O(0，0)三点共线，故|MN|＝|MO|＋|NO|＝2.‎ ‎8．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M1(ρ1，θ1)与点M2(ρ2，θ2)的位置关系是(　　)‎ A．关于极轴所在直线对称 B．关于极点对称 C．关于M(3，)对称 D．关于N(1，)对称 答案　A 解析　因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)．由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，是关于极轴所在直线对称．‎ ‎9．已知极坐标系中，点A(2，)，B(，)，若O为极点，则△OAB为(　　)‎ A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰锐角三角形 D．等腰直角三角形 答案　D 解析　由题意，得∠AOB＝，|AB|＝＝，所以|OB|2＋|AB|2＝|OA|2且|AB|＝|OB|＝，故△OAB为等腰直角三角形．‎ ‎10．已知极坐标系中，极点为O，若等边三角形ABC(顶点A，B，C按顺时针方向排列)的顶点A，B的极坐标分别是(2，)，(2，)，则顶点C的极坐标为(　　)‎ A．(2，) B．(2，)‎ C．(2，) D．(2，)‎ 答案　C 解析　如图所示，由于点A(2，)，B(2，)，故极点O为AB中点，故等边△ABC的边长|AB|＝4，则CO⊥AB，|CO|＝2，则C点的极坐标为(2，＋)，即(2，)．‎ ‎11．关于极坐标系的下列叙述：‎ ‎①极轴是一条射线； ②极点的极坐标一定是(0，0)；‎ 7‎ ‎③点(0，0)表示极点； ④点M(4，)与点N(4，)表示同一个点．‎ 其中，正确的序号为________．‎ 答案　①③‎ ‎12．点(2，)关于极点的对称点为________．‎ 答案　(2，π)‎ ‎13．在极坐标系中，已知P(2，)，Q(2，)，则线段PQ的中点M的极坐标为________．‎ 答案　(，)‎ 解析　如图，|OP|＝|OQ|＝2，∠POQ＝－＝，则|PQ|＝2，|OM|＝|PQ|＝，∠xOM＝＋＝，点M的极坐标为(，)．‎ ‎14．在极坐标系中，若A(3，)，B(－4，)，则△AOB的面积等于________．‎ 答案　3‎ 解析　点B的极坐标也可表示为(4，)，在△AOB中，S△AOB＝|OA||OB|·sin∠AOB＝×3×4×sin＝3，即△AOB的面积等于3.‎ ‎15．在极坐标系中，已知点P的极坐标为(4，)．‎ ‎(1)将极点移至O′(2，)处，极轴方向不变，求点P在新坐标系中的坐标；‎ ‎(2)极点不变，将极轴顺时针旋转，求点P在新坐标系中的坐标．‎ 解析　(1)设点P在新坐标系中的坐标为(ρ，θ)，由已知点P的极坐标为(4，)，得|OP|＝4，∠xOP＝，‎ 由已知点O′的极坐标为(2，)，得 ‎|OO′|＝2，∠xOO′＝，在△OPO′中，∠OPO′中，∠POO′＝ 7‎ ‎，‎ ‎|O′P|2＝|OP|2＋|OO′|2－2|OP|·|OO′|cos＝42＋(2)2－2×4×2×＝4，即ρ＝2，‎ 又∵＝，‎ ‎∴sin∠OPO′＝＝，∠OPO′＝，‎ 延长PO′交极轴Ox于点P′，则∠OP′P＝π－∠OPO′－∠xOP＝，∴∠x′O′P＝π－＝，即θ＝，‎ ‎∴点P在新坐标系中的坐标为(2，)．‎ ‎(2)设点P在新坐标系中的坐标为(ρ，θ)，如图，有 ρ＝4，θ＝＋＝，‎ ‎∴点P在新坐标系中的坐标为(4，)．‎ ‎16．已知极坐标系中，极点为O，0≤θ<2π，M(3，)，求在直线OM上与点M的距离为4的点的极坐标．‎ 解析　如图，|OM|＝3，∠xOM＝，在直线OM上取点P、Q使|OP|＝7，|OQ|＝1，∠xOP＝，∠xOQ＝π，显然有|PM|＝|OP|－|OM|＝7－3＝4，|QM|＝|OM|＋|OQ|＝3＋1＝4，故(7，)和(1，π)为所求．‎ ‎1．极坐标系中，下列与点P(2，)相同的点为(　　)‎ A．(2，) B．(2，)‎ C．(2，－) D．(2，－)‎ 答案　D ‎2．在极坐标系中，已知A(2，)，B(6，－)，则OA，OB的夹角为(　　)‎ 7‎ A. B．0‎ C. D. 答案　C ‎3．在极坐标系中，点P(2，1)到极点的距离是(　　)‎ A．1 B．2‎ C. D．3‎ 答案　B ‎4．极坐标系中，A(5，)，B(8，π)，C(3，π)，则△ABC是(　　)‎ A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 答案　C 解析　在△AOB中，|OA|＝5，|OB|＝8，∠AOB＝π－＝，由余弦定理，得|AB|2＝25＋64－2×5×8×cos＝49.‎ 在△AOC中，|OA|＝5，|OC|＝3，∠AOC＝π－＝π.‎ 由余弦定理，得|AC|2＝25＋9－2×5×3×cosπ＝49.‎ 在△BOC中，|OB|＝8，|OC|＝3，∠BOC＝π－π＝.‎ 由余弦定理，得|BC|2＝64＋9－2×8×3×cos＝49.‎ ‎∴|AB|＝|AC|＝|BC|＝7，即△ABC为等边三角形．‎ ‎5．点M(4，π)到极轴所在直线的距离为________．‎ 答案　2‎ ‎6．点P(3，)与Q(3，－π)关于________对称．‎ 答案　极点 解析　极径相等，且－(－π)＝π，故关于极点对称．‎ ‎7．如图，在极坐标系中，写出点P的极坐标________．‎ 7‎ 答案　(，)‎ 解析　如图所示，连接OP.‎ 由OA是圆的直径，则∠OPA＝90°，‎ 所以ρ＝|OP|＝2sin60°＝，‎ 所以点P的极坐标为(，)．‎ ‎8．如果对点的极坐标定义如下：‎ 当已知M(ρ，θ)(ρ>0，θ∈R)时，点M关于极点O的对称点M′(－ρ，θ)．‎ 例如，M(3，)关于极点O的对称点M′(－3，)，就是说(3，＋π)与(－3，)表示同一点．‎ 已知A点是极坐标是(6，)，分别在下列给定条件下，写出A点的极坐标：‎ ‎(1)ρ>0，－π<θ≤π. (2)ρ<0，0≤θ<2π. (3)ρ<0，－2π<θ≤0.‎ 解析　如图所示，|OA|＝|OA′|＝6，‎ ‎∠xOA′＝，∠xOA＝，‎ 即点A与A′关于极点O对称．‎ 由极坐标的定义知 ‎(1)当ρ>0，－π<θ≤π时，A(6，－)．‎ ‎(2)当ρ<0，0≤θ<2π时，A(－6，)．‎ ‎(2)当ρ<0，－2π<θ≤0时，A(－6，－)．‎ ‎9．求极坐标系中A(2，)与B(3，)两点之间的距离．‎ 解析　如图所示．‎ ‎∠xOB＝，∠xOA＝，‎ ‎|OA|＝2，|OB|＝3，‎ 由题意，A，O，B三点共线，‎ ‎∴|AB|＝|OA|＋|OB|＝2＋3＝5.‎ 7‎ 7‎