江苏省如皋中学2019-2020学年高一下学期期初复学考试数学试题

江苏省如皋中学2019-2020学年高一下学期期初复学考试数学试题

江苏省如皋中学2019-2020学年度高一年级第二学期数学期初考试 0407‎ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知△ABC中，a＝4，b＝4，∠A＝30°，则∠B等于(　 ) ‎ ‎　A．30° B．30°或150°　　C．60° D．60°或120°‎ ‎2. 若下列不等式成立的是 （ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 等差数列中，若,则前9项和= ( ) ‎ ‎ A.1620 B‎.810 ‎‎ C.900 D.675‎ ‎4. 已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a＜0的解集是 A. B. ( )‎ C. D. ‎ ‎5.已知的三内角的对边为，若，则的大小为 A. B. C. D. （ ）‎ ‎6. 若且，则的最小值为（ ）‎ A.6 B‎.12 C. 16 D.24‎ ‎7. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯：（ ）‎ A．3盏 B．6盏 C． 9盏 D． 281盏 ‎8. 已知命题：“在等差数列中，若，则为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为（ ）‎ A. 17 B. ‎18 C. 19 D. 20‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.‎ ‎9.已知是等差数列，其前项和为，满足，则下列四个选项中正确的有（ ） ‎ ‎ A. B． C．最小D．‎ ‎10. 下列选项中，值为的是（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎11. 下列函数中，最小值为4的函数是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎12. 在三角形ABC中，下列命题正确的有（ ）‎ A. 若，则三角形ABC有两解 B. 若，则△ABC一定是钝角三角形 C.若，则△ABC一定是等边三角形 D. 若,则ΔABC的形状是等腰或直角三角形 三、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 若实数x满足x＞－4，则函数f(x)＝x＋的最小值为________．‎ ‎14. 如图所示,为圆内接四边形,若∠,‎ ‎∠,则线段 . ‎ ‎15. 设等比数列前项和为，若.则数列的公比= . ‎ ‎16. 若的内角满足，则的最小值是 ．‎ 四、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17. （本小题共10分） 已知、、分别是的三个内角、、所对的边，‎ ‎(1) 若面积求、的值； (2)若，且，试判断的形状．‎ ‎18. （本小题共12分）已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝6，S5＝15.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)设，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎19. （本小题共12分）解关于的不等式：‎ ‎20. （本小题共12分）根据下列条件，求数列{an}的通项公式．‎ ‎(1)a1＝1，an＋1＝an＋2n；(2)a1＝，an＝an－1(n≥2)．‎ ‎(3) a1＝，an＋1＝10an＋1.‎ ‎21. （本小题共12分） 某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为b人，以后学生人数年增长率为4.9‰．该校今年年初有旧实验设备a套，其中需要换掉的旧设备占了一半．学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备，同时每年淘汰x套旧设备．‎ ‎(1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每年应更换的旧设备是多少套？‎ ‎(2)依照(1)的更换速度，共需多少年能更换所有需要更换的旧设备？‎ 下列数据提供计算时参考：‎ ‎1.19＝2.36‎ ‎1.004 99＝1.04‎ ‎1.110＝2.60‎ ‎1.004 910＝1.05‎ ‎1.111＝2.85‎ ‎1.004 911＝1.06‎ ‎22. （本小题共12分）已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝a＋an(n∈N*)．‎ ‎(1) 求数列{an}的通项公式 ‎(2) 数列{bn}满足，Tn为数列的前n项和，若对任意恒成立，求范围.‎ 数学期初考试答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ‎ ‎1. D 2. C 3. B 4. D 5. B 6. C 7. A 8. B 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.‎ ‎9. A BD 10. AB 11. AD 12. BCD 三、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 2 14. 15. 16. ‎ 四、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17. 解：（1），，得 ，‎ 由余弦定理得：，‎ 所以 ……5分 ‎（2）由余弦定理得：，‎ 所以 ；在中，，所以 ，‎ 所以是等腰直角三角形.…10分 ‎18. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，首项为a1，‎ 因为S3＝6，S5＝15，所以即解得 所以{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×1＝n.……6分 ‎(2)由(1)得bn＝＝，‎ 所以Tn＝＋＋＋…＋＋，　　①‎ 所以Tn＝＋＋＋…＋＋， ②‎ ‎①－②得Tn＝＋＋＋…＋－＝－＝1－－，‎ 所以Tn＝2－.……12分 ‎19. 解：当时，原不等式等价于，所以解为…2分 当时，‎ 当时，令得 所以当时，，不等式所对应方程的根为或 此时不等式的解为； …5分 当时，，不等式的解为；…7分 当时，，不等式的解集为……9分 当时， ，原不等式等价于，不等式所对应方程的根 或（且）‎ 所以不等式的解为……11分 综上可知：当时，解集为；‎ 当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为…12分 ‎20. 解：(1)由题意知an＋1－an＝2n，‎ an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1‎ ‎＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1. ……4分 ‎(2)因为an＝an－1(n≥2)，‎ 所以当n≥2时，＝，‎ 所以＝，＝，…，＝，＝，‎ 以上n－1个式子相乘得··…··＝··…··，‎ 即＝××2×1，所以an＝.‎ 当n＝1时，a1＝＝，也与已知a1＝相符，‎ 所以数列{an}的通项公式为an＝.……8分 ‎(3)解：由an＋1＝10an＋1，得an＋1＋＝10an＋＝10，即＝10.‎ 所以数列是等比数列，其中首项为a1＋＝100，公比为10，‎ 所以an＋＝100×10n－1＝10n＋1，即an＝10n＋1－.……12分 ‎21. 解：(1)设今年学生人数为b人，则10年后学生人数为b(1＋4.9‰)10＝1.05b，‎ 由题设可知，1年后的设备为a×(1＋10%)－x＝‎1.1a－x，‎ ‎2年后的设备为(‎1.1a－x)×(1＋10%)－x＝‎1.12a－1.1x－x＝‎1.12a－x(1＋1.1)，‎ ‎…，‎ ‎10年后的设备为a×1.110－x(1＋1.1＋1.12＋…＋1.19)＝‎2.6a－x×＝‎2.6a－16x，‎ 由题设得＝2·，解得x＝.∴每年应更换的旧设备为套．……8分 ‎(2)全部更换旧设备共需a÷＝16年． ……11分 答：（1）每年应更换的旧设备为套 ‎（2）按此速度全部更换旧设备共需16年．……12分 ‎22. 解：(1)Sn＝a＋an，①‎ 当n≥2时，Sn－1＝a＋an－1，②‎ ‎①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.‎ 由于an＋an－1≠0，‎ 所以an－an－1＝1，…4分 又当时，a1＝a＋a1，所以 a1＝1，‎ 故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n. ……6分 ‎(2)由(1)知bn＝n＋1，‎ 即.‎ 所以 ‎……‎ 因为对任意恒成立，所以……12分