2020届二轮复习命题及其关系、逻辑联结词、充分条件与必要条件学案（全国通用）
2020届二轮复习 命题及其关系、逻辑联结词、充分条件与必要条件 学案（全国通用）
知识点1．命题及其关系
（1）命题的概念
在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．
（2）四种命题及相互关系
（3）四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
【典例1】【浙江省浙南名校联盟2019届高三上期末】设是方程的两个不等实根，记.下列两个命题：
①数列的任意一项都是正整数；
②数列第5项为10. ( )
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确
C．①②都正确 D．①②都错误
【答案】A
【解析】因为是方程的两个不等实根，所以1，，
因为，
所以
，即当时，数列中的任一项都等于其前两项之和，
又1，，所以，，，以此类推，即可知：数列的任意一项都是正整数，故①正确；②错误；因此选A.
【规律方法】
1.正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要．
2. 判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假．如果原命题的真假不好判断，那就首先判断其逆否命题的真假．
【变式1】【山东省枣庄市2019届高三上期末】有如下命题：①函数，，，中有三个在上是减函数；②函数有两个零点；③若，则其中真命题的个数为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题①函数，，，中，根据函数的单调性易知，，，三个函数在上是减函数，在R上递增的，故①正确；
②令函数=0
化简：=x+2，作出图像
有两个交点，故由两个零点；②正确；
③若，因为 为单调递减函数，所以
故③正确.
故选D
知识点2．逻辑联结词
（1）用联结词“且”联结命题p和命题q，记作____，读作______”．
（2）用联结词“或”联结命题p和命题q，记作_____，读作“____”．
（3）对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作_____，读作“_____”．
（4）命题p且q、p或q、非p的真假判断
【典例2】【2017山东】已知命题p：;命题q：若,则a
0，b>0，则“a+b≤4”是 “ab≤4”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；
当时，满足，但此时，必要性不成立，
综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
故选A.
【规律方法】
充要关系的几种判断方法
(1)定义法：若 ，则是的充分而不必要条件；若 ，则是的必要而不充分条件；若，则是的充要条件； 若 ，则是的既不充分也不必要条件.
(2)等价法：即利用与；与；与
的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．
(3) 集合关系法：从集合的观点理解，即若满足命题p的集合为M，满足命题q的集合为N，则M是N的真子集等价于p是q的充分不必要条件，N是M的真子集等价于p是q的必要不充分条件，M＝N等价于p和q互为充要条件，M，N不存在相互包含关系等价于p既不是q的充分条件也不是q的必要条件
【变式3】【2019年高考天津理】设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由可得，由可得，
易知由推不出，
由能推出，
故是的必要而不充分条件，
即“”是“”的必要而不充分条件.
故选B.
考点1 四种命题的关系及真假判断
【典例4】【黑龙江省海林市朝鲜族中学2019届复习】以下命题为假命题的是( )
A．“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实数根”的逆命题
B．“面积相等的三角形全等”的否命题
C．“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题
D．“若A∪B＝B，则A⊆B”的逆否命题
【答案】A
【解析】A．“若m＞0，则方程x2+x-m=0有实数根”的逆命题是“若方程x2+x-m=0有实数根，则m＞0”，
由判别式△=1+4m≥0得 ，故A是假命题，
B．“面积相等的三角形全等”的逆命题是“全等的三角形面积相等”为真命题，根据逆命题和否命题为逆否命题，则命题“面积相等的三角形全等”的否命题是真命题，
C．“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy=1”为真命题．
D．“若A∪B=B，则A⊆B”为真命题，则“若A∪B=B，则A⊆B”
的逆否命题为真命题．，
故选：A．
【思路点拨】
1.四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系（尤其是两种等价关系）的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为：
（1）交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题；
（2）同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题；
（3）交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题.
2.本题解答思路：
A．求出命题的逆命题，进行判断即可，
B．根据逆否命题的等价性判断命题的逆命题
C．根据逆命题的定义进行判断
D．根据逆否命题的等价性判断原命题的真假即可．
【变式4】【甘肃省酒泉市敦煌中学2019届高三一诊】在下列四个命题中,其中真命题是( )
①“若,则”的逆命题;
②“若,则”的否命题;
③“若,则方程有实根”的逆否命题;
④“等边三角形的三个内角均为”的逆命题.
A．①② B．①②③④ C．②③④ D．①③④
【答案】B
【解析】逐一考查所给命题的真假：
①“若,则”的逆命题为“若，则”该命题为真命题;
②“若,则”的否命题为“若,则不垂直”，
由可得：，据此可知：不垂直”，该命题为真命题;
③若,则方程的判别式，方程有实根为真命题，则其逆否命题为真命题;
④“等边三角形的三个内角均为”的逆命题为“三个内角均为的三角形为等边三角形”，该命题为真命题;
综上可得：真命题是①②③④.
本题选择B选项.
考点2 含有逻辑联结词的命题
【典例5】【山东省2018年普通高校招生（春季）】设命题，命题，则下列命题中为真命题的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为命题为真，命题为真，所以为真， 、为假，
选A.
【总结提高】若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，做出判断即可.
【变式5】【河北省唐山市2018届三模】已知命题在中，若，则；命题，.则下列命题为真命题的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
命题，当时，不成立，故为假命题，故选B.
考点3 充分必要条件的判定
【典例6】【2018年浙江卷】已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为，所以根据线面平行的判定定理得.
由不能得出与内任一直线平行，所以是的充分不必要条件，
故选A.
【思路点拨】一般地，充分、必要条件判断方法有三种.本题难度较小，根据线面平行的判定定理可得充分性成立，而由无法得到m平行于平面内任一直线，即必要性不成立．
【变式6】【2018年理数天津卷】设，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不重复条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】绝对值不等式 ，由 .据此可知是的充分而不必要条件.本题选择A选项.
考点4 充分条件与必要条件的应用
【典例7】【江西省新八校2019届高三第二次联考】若“”是“”的必要不充分条件，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】因为“”是“”的必要不充分条件，
所以是的真子集，所以，
故答案为.
【规律方法】
1.充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
2.把握探求某结论成立的充分、必要条件的3个方面
(1)准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件；
(2)注意问题的形式，看清“p是q的……”还是“p的……是q”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断；
(3)灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“⇒”来进行，即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断．
【变式7】【安徽省江南片2019届高三开学联考】设：实数满足，：实数满足．
（Ⅰ）当时，若为真，求实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，若是的必要条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（Ⅰ）当时，：，：或.
因为为真，所以，中至少有一个真命题.
所以或或，
所以或，
所以实数的取值范围是.
（Ⅱ）当时，：，
由得：：或，
所以：，
因为是的必要条件，
所以，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
