【数学】山东省泰安肥城市2020届高三适应性训练（一）试题

【数学】山东省泰安肥城市2020届高三适应性训练（一）试题

山东省泰安肥城市2020届高三适应性训练（一）数学试题 ‎ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 已知集合,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 已知,则=( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 下列结论正确的是( )‎ A. 残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越低.‎ B. 在线性回归模型中,相关指数,说明解释变量对于预报变量变化的贡献率约为.‎ C. 已知随机变量，若，则.‎ D. 设均为不等于1的正实数，则“”的充要条件是“”.‎ ‎4. 若的展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数是( )‎ A. 54 B. 81 C. 96 D. 106‎ ‎5. 若圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则这个圆锥的表面积与侧面积比值是( )‎ A. B． C． D．‎ ‎6. 已知点在直线上，且满足，则的取值范围为 ‎( )‎ A． B．‎ C． D． ‎ ‎7. 函数在区间上的大致图像为( )‎ ‎8. 已知函数，其中，记为的最小值，‎ 则当时，的取值范围为( )‎ A． B． C． D．‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.‎ ‎9. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文 化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总 和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是 ‎0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，…，则下列说法正确的是( )‎ A. 此数列的第20项是200 B. 此数列的第19项是182 ‎ C. 此数列偶数项的通项公式为 D. 此数列的前项和为 ‎10. 已知、是双曲线的上、下焦点，点是该双曲线的一条渐近线上 的一点,并且以线段为直径的圆经过点,则下列说法正确的是( )‎ A. 双曲线的渐近线方程为 B. 以为直径的圆的方程为 C. 点的横坐标为 D. 的面积为 ‎11. 已知定义在上的函数满足，且对 ‎，当时，都有，则以下判断正确的是( )‎ A. 函数是偶函数 B. 函数在单调递增 C. 是函数的对称轴 D. 函数的最小正周期是12‎ ‎12. 如图四棱锥,平面平面,侧面是边长为的正三 角形, 底面为矩形，，点是的中点，则下列结论正确的是( )‎ A. ‎ B. 与平面所成角的余弦值为 ‎ C. 三棱锥的体积为 ‎ D. 四棱锥外接球的内接正四面体的表面积为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 用0,1,2,3,4这五个数字，可以组成 ▲ 个三位正整数.‎ ‎14. 函数在上的最小值是 ▲ .‎ ‎15. 已知一袋中装有红,蓝,黄,绿小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回. 当四 种颜色的小球全部取出时即停止，则恰好取6次停止的概率为 ▲ .‎ ‎16. 已知圆：，直线，则与直线相切且与圆外切的圆的圆 心的轨迹方程为 ▲ .点是圆心轨迹上的动点,点的坐标是，‎ 则使取最小值时的点的坐标为 ▲ . ‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（10分）‎ 已知数列各项均为正数，，为等差数列，公差为2.‎ ‎（1）求数列的通项公式.（2）求.‎ ‎18. (12分)‎ 在中，角的对边分别为,且.‎ ‎（1）求角的大小. ‎ ‎（2）若，为外一点，,四边形的面积是，求. ‎ ‎19.（12分）‎ 条件①：图（1）中.‎ 条件②：图（1）中.‎ 条件③：图（2）中三棱锥的体积最大.‎ 从以上三个条件中任选一个，补充在问题（2）中的横线上，并加以解答.‎ 如图（1）所示，在中,，，过点作，垂足在线段上，沿将折起，使 (如图（2）)，点分别为棱的中点．‎ ‎（1）求证：.‎ ‎（2）已知_____________,试在棱上确定一点，使得，并求锐二面角 的余弦值．‎ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. ‎ ‎20.（12分）‎ 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是、，不经过左焦点的直线上有且只有一个点满足.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程.‎ ‎（2）与圆相切的直线：交椭圆于、两点，若椭圆上存在点满足，求四边形面积的取值范围.‎ ‎21.（12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）讨论的零点个数.‎ ‎（2）正项数列满足，()，‎ 求证：.‎ ‎22.（12分）‎ 书籍是人类的智慧结晶和进步阶梯，阅读是一个国家的文化根基和创造源泉.2014年以来，“全民阅读”连续6年被写入政府工作报告.某学校为提高师生阅读书籍的热情，举行了“博雅杯”科技知识大奖赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委给所有参赛选手评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛选手由组委会按规则另行确定.数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数都在内，以5为组距画频率分布直方图时（设），发现满足：‎ ‎,.‎ ‎（1）试确定的所有取值，并求.‎ ‎（2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于分的参赛选手无缘获奖也不能参加附加赛；分数在的参赛选手评为一等奖；分数在的参赛选手评为二等奖，但通过附加赛有的概率提升为一等奖；分数在的参赛选手评为三等奖，但通过附加赛有的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖选手均不降低获奖等级）.已知和均参加了本次比赛，且在第一阶段评为二等奖.‎ ‎（ⅰ）求最终获奖等级不低于的最终获奖等级的概率.‎ ‎（ⅱ）已知和都获奖，记、两位参赛选手最终获得一等奖的人数为，求的分布列和数学期望.‎ 参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 D C B A A B C D 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 全部选对的得5分，部分选对的 得3分，有选错的得0分.‎ 题号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 AC ACD BCD BD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 100 14. 15. 16. ‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分.‎ ‎17.（10分）‎ 解：（1），，为等差数列，公差为2,‎ ‎, ……………………………2分 ‎，通项公式. ………………………………4分 ‎（2）, ‎ ‎ ‎ ‎ ………………………………6分 ‎ 以上两式相减，得 ‎ ………………………………8分 ‎ ……………………………9分 ‎ ∴. ………………………………10分 ‎18.（12分）‎ 解：（1）∵角的对边分别为，且,‎ ‎∴, ……………………………2分 由余弦定理得：, ……………………………3分 由正弦定理得：，又,‎ ‎∴, ……………………5分 ‎∵，∴‎ ‎∵,∴. ……………………………6分 ‎（2）在中，,由余弦定理得：,又,‎ ‎∴∴为等边三角形， ………………………………8分 ‎∴=，又，‎ ‎∴=, …………10分 ‎，, ……………………………11分 ‎,‎ ‎， 即. ………………………………12分 ‎19.（12分）‎ 解：（1）,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎. ………………………………………………2分 又分别为的中点，‎ ‎ …………………………………3（2）方案一：选①‎ 在图(1)所示的中，由,‎ 解得或(舍去).‎ 设，在中，,‎ 解得，. …………………………………5分 以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系,‎ ‎，则.‎ 设,则.‎ ‎,‎ 即，，,‎ 当 (即是的靠近的一个四等分点）时，. ………8分 取平面的一个法向量,且,‎ 由,得，令，则.‎ 取平面的一个法向量, …………………………………10分 ‎, …………………………………11分 锐二面角的余弦值为. …………………………………12分 方案二：选②‎ 在图(1)所示的中，‎ ‎,‎ 又因为,由平面向量基本定理知，即. ……………5分 以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系,‎ ‎，则.‎ 设,则..‎ 即，，,‎ 当 (即是的靠近的一个四等分点)时,. …………8分 取平面的一个法向量,且,‎ 由,得，令，则.‎ 取平面的一个法向量, …………………………………10分 ‎, …………………………………11分 锐二面角的余弦值为. …………………………………12分 方案三：选③‎ 在图(1)所示的中，设，则,‎ ‎∵，∴为等腰直角三角形，∴,‎ 折起后,且，‎ ‎∴.又，‎ ‎,‎ ‎,,‎ 令，,‎ 当时，，当时，,‎ ‎∴时，三棱锥体积最大. …………………………………5分 以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系,‎ ‎,则.‎ 设,则.,‎ 即，，,‎ 当 (即是的靠近的一个四等分点)时,. ………8分 取平面的一个法向量,且,‎ 由,得，令，则.‎ 取平面的一个法向量, …………………………………10分 ‎, …………………………………11分 锐二面角的余弦值为. …………………………………12分 ‎20.（12分）‎ 解：（1）直线上有且只有一个点满足,‎ 直线与圆相切，,‎ ‎. ………………………………………1分 又, ，,‎ 椭圆的方程为. ………………………………………3分 ‎（2）直线：与圆相切，，‎ 即，且. ………………………………………4分 设，，‎ 由 消去得,,‎ ‎，,‎ ‎. …………………………………5分 ‎，，又在椭圆上, ‎ ‎，. ………………………………7分 设的中点为，则,‎ 到的距离为,‎ ‎∴四边形的面积 …………8分 ‎,……………………………10分 令，，,‎ ‎，‎ 四边形面积的取值范围为. …………………………………12分 ‎21.（12分）‎ 解：（1）的定义域为，令,则.‎ 当；当时,，‎ 在单调递减，在单调递增，‎ 的最小值为. …………………………………2分 当时，，此时无零点.‎ 当时，，此时只有一个零点. …………………………………3分 当时，，，又,‎ 在上有且只有一个零点. …………………………………4分 ‎,令,，,,‎ ‎,,‎ 所以在上有且只有一个零点. …………………………………5分 综上：‎ 当时，函数无零点.‎ 当时，函数有且只有一个零点.‎ 当时，函数有两个零点. ………………………………6分 ‎（2）由（1）知：当时，，,‎ ‎, ………………………………7分 ‎， ………………………………8分 ‎， ………………………………9分 ‎，‎ ‎， ………………………………10分 ‎. …………………………12分 ‎22.（12分）‎ 解:（1）根据题意，在内，按组距为可分成个小区间，‎ 分别是. ………………………1分 ‎，‎ 由,， ………………………2分 每个小区间的频率值分别是 …………………3分，,‎ 的所有取值为 . …………………………4分 ‎（2）（ⅰ）由于参赛选手很多，可以把频率视为概率.‎ 由（1）知，的分数属于区间 的概率分别是：. ………………………………5分 用符号（或)表示（或）在第一轮获奖等级为，通过附加赛最终获奖等级为，其中. ………………………………6分 记“最终获奖等级不低于的最终获奖等级”为事件，‎ 则 ‎. ………………………………8分 ‎（ⅱ）最终获得一等奖的概率是，记“第一轮比赛获奖”为事件,‎ 最终获得一等奖的概率是，‎ ‎， ， ‎ ‎ . ……………………………………10分 的分布列为：. ……………………………12分