【数学】山东省泰安肥城市2020届高三适应性训练(一)试题

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【数学】山东省泰安肥城市2020届高三适应性训练(一)试题

山东省泰安肥城市2020届高三适应性训练(一)数学试题 ‎ 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 已知,则=( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 下列结论正确的是( )‎ A. 残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄,说明模型拟合精度越低.‎ B. 在线性回归模型中,相关指数,说明解释变量对于预报变量变化的贡献率约为.‎ C. 已知随机变量,若,则.‎ D. 设均为不等于1的正实数,则“”的充要条件是“”.‎ ‎4. 若的展开式中各项系数之和为,则展开式中的系数是( )‎ A. 54 B. 81 C. 96 D. 106‎ ‎5. 若圆锥的侧面展开图是半径为的半圆,则这个圆锥的表面积与侧面积比值是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6. 已知点在直线上,且满足,则的取值范围为 ‎( )‎ A. B.‎ C. D. ‎ ‎7. 函数在区间上的大致图像为( )‎ ‎8. 已知函数,其中,记为的最小值,‎ 则当时,的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符 合题目要求. 全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.‎ ‎9. 大衍数列,来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文 化中的太极衍生原理.数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总 和,是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是 ‎0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,则下列说法正确的是( )‎ A. 此数列的第20项是200 B. 此数列的第19项是182 ‎ C. 此数列偶数项的通项公式为 D. 此数列的前项和为 ‎10. 已知、是双曲线的上、下焦点,点是该双曲线的一条渐近线上 的一点,并且以线段为直径的圆经过点,则下列说法正确的是( )‎ A. 双曲线的渐近线方程为 B. 以为直径的圆的方程为 C. 点的横坐标为 D. 的面积为 ‎11. 已知定义在上的函数满足,且对 ‎,当时,都有,则以下判断正确的是( )‎ A. 函数是偶函数 B. 函数在单调递增 C. 是函数的对称轴 D. 函数的最小正周期是12‎ ‎12. 如图四棱锥,平面平面,侧面是边长为的正三 角形, 底面为矩形,,点是的中点,则下列结论正确的是( )‎ A. ‎ B. 与平面所成角的余弦值为 ‎ C. 三棱锥的体积为 ‎ D. 四棱锥外接球的内接正四面体的表面积为 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13. 用0,1,2,3,4这五个数字,可以组成 ▲ 个三位正整数.‎ ‎14. 函数在上的最小值是 ▲ .‎ ‎15. 已知一袋中装有红,蓝,黄,绿小球各一个,每次从中取出一个,记下颜色后放回. 当四 种颜色的小球全部取出时即停止,则恰好取6次停止的概率为 ▲ .‎ ‎16. 已知圆:,直线,则与直线相切且与圆外切的圆的圆 心的轨迹方程为 ▲ .点是圆心轨迹上的动点,点的坐标是,‎ 则使取最小值时的点的坐标为 ▲ . ‎ 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(10分)‎ 已知数列各项均为正数,,为等差数列,公差为2.‎ ‎(1)求数列的通项公式.(2)求.‎ ‎18. (12分)‎ 在中,角的对边分别为,且.‎ ‎(1)求角的大小. ‎ ‎(2)若,为外一点,,四边形的面积是,求. ‎ ‎19.(12分)‎ 条件①:图(1)中.‎ 条件②:图(1)中.‎ 条件③:图(2)中三棱锥的体积最大.‎ 从以上三个条件中任选一个,补充在问题(2)中的横线上,并加以解答.‎ 如图(1)所示,在中,,,过点作,垂足在线段上,沿将折起,使 (如图(2)),点分别为棱的中点.‎ ‎(1)求证:.‎ ‎(2)已知_____________,试在棱上确定一点,使得,并求锐二面角 的余弦值.‎ 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. ‎ ‎20.(12分)‎ 已知椭圆的离心率为,左、右焦点分别是、,不经过左焦点的直线上有且只有一个点满足.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程.‎ ‎(2)与圆相切的直线:交椭圆于、两点,若椭圆上存在点满足,求四边形面积的取值范围.‎ ‎21.(12分)‎ 已知函数.‎ ‎(1)讨论的零点个数.‎ ‎(2)正项数列满足,(),‎ 求证:.‎ ‎22.(12分)‎ 书籍是人类的智慧结晶和进步阶梯,阅读是一个国家的文化根基和创造源泉.2014年以来,“全民阅读”连续6年被写入政府工作报告.某学校为提高师生阅读书籍的热情,举行了“博雅杯”科技知识大奖赛,比赛分两个阶段进行:第一阶段由评委给所有参赛选手评分,并确定优胜者;第二阶段为附加赛,参赛选手由组委会按规则另行确定.数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析,这些分数都在内,以5为组距画频率分布直方图时(设),发现满足:‎ ‎,.‎ ‎(1)试确定的所有取值,并求.‎ ‎(2)组委会确定:在第一阶段比赛中低于分的参赛选手无缘获奖也不能参加附加赛;分数在的参赛选手评为一等奖;分数在的参赛选手评为二等奖,但通过附加赛有的概率提升为一等奖;分数在的参赛选手评为三等奖,但通过附加赛有的概率提升为二等奖(所有参加附加赛的获奖选手均不降低获奖等级).已知和均参加了本次比赛,且在第一阶段评为二等奖.‎ ‎(ⅰ)求最终获奖等级不低于的最终获奖等级的概率.‎ ‎(ⅱ)已知和都获奖,记、两位参赛选手最终获得一等奖的人数为,求的分布列和数学期望.‎ 参考答案 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 D C B A A B C D 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 全部选对的得5分,部分选对的 得3分,有选错的得0分.‎ 题号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 AC ACD BCD BD 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13. 100 14. 15. 16. ‎ 四、解答题:本题共6小题,共70分.‎ ‎17.(10分)‎ 解:(1),,为等差数列,公差为2,‎ ‎, ……………………………2分 ‎,通项公式. ………………………………4分 ‎(2), ‎ ‎ ‎ ‎ ………………………………6分 ‎ 以上两式相减,得 ‎ ………………………………8分 ‎ ……………………………9分 ‎ ∴. ………………………………10分 ‎18.(12分)‎ 解:(1)∵角的对边分别为,且,‎ ‎∴, ……………………………2分 由余弦定理得:, ……………………………3分 由正弦定理得:,又,‎ ‎∴, ……………………5分 ‎∵,∴‎ ‎∵,∴. ……………………………6分 ‎(2)在中,,由余弦定理得:,又,‎ ‎∴∴为等边三角形, ………………………………8分 ‎∴=,又,‎ ‎∴=, …………10分 ‎,, ……………………………11分 ‎,‎ ‎, 即. ………………………………12分 ‎19.(12分)‎ 解:(1),‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎. ………………………………………………2分 又分别为的中点,‎ ‎ …………………………………3(2)方案一:选①‎ 在图(1)所示的中,由,‎ 解得或(舍去).‎ 设,在中,,‎ 解得,. …………………………………5分 以点为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,‎ ‎,则.‎ 设,则.‎ ‎,‎ 即,,,‎ 当 (即是的靠近的一个四等分点)时,. ………8分 取平面的一个法向量,且,‎ 由,得,令,则.‎ 取平面的一个法向量, …………………………………10分 ‎, …………………………………11分 锐二面角的余弦值为. …………………………………12分 方案二:选②‎ 在图(1)所示的中,‎ ‎,‎ 又因为,由平面向量基本定理知,即. ……………5分 以点为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,‎ ‎,则.‎ 设,则..‎ 即,,,‎ 当 (即是的靠近的一个四等分点)时,. …………8分 取平面的一个法向量,且,‎ 由,得,令,则.‎ 取平面的一个法向量, …………………………………10分 ‎, …………………………………11分 锐二面角的余弦值为. …………………………………12分 方案三:选③‎ 在图(1)所示的中,设,则,‎ ‎∵,∴为等腰直角三角形,∴,‎ 折起后,且,‎ ‎∴.又,‎ ‎,‎ ‎,,‎ 令,,‎ 当时,,当时,,‎ ‎∴时,三棱锥体积最大. …………………………………5分 以点为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,‎ ‎,则.‎ 设,则.,‎ 即,,,‎ 当 (即是的靠近的一个四等分点)时,. ………8分 取平面的一个法向量,且,‎ 由,得,令,则.‎ 取平面的一个法向量, …………………………………10分 ‎, …………………………………11分 锐二面角的余弦值为. …………………………………12分 ‎20.(12分)‎ 解:(1)直线上有且只有一个点满足,‎ 直线与圆相切,,‎ ‎. ………………………………………1分 又, ,,‎ 椭圆的方程为. ………………………………………3分 ‎(2)直线:与圆相切,,‎ 即,且. ………………………………………4分 设,,‎ 由 消去得,,‎ ‎,,‎ ‎. …………………………………5分 ‎,,又在椭圆上, ‎ ‎,. ………………………………7分 设的中点为,则,‎ 到的距离为,‎ ‎∴四边形的面积 …………8分 ‎,……………………………10分 令,,,‎ ‎,‎ 四边形面积的取值范围为. …………………………………12分 ‎21.(12分)‎ 解:(1)的定义域为,令,则.‎ 当;当时,,‎ 在单调递减,在单调递增,‎ 的最小值为. …………………………………2分 当时,,此时无零点.‎ 当时,,此时只有一个零点. …………………………………3分 当时,,,又,‎ 在上有且只有一个零点. …………………………………4分 ‎,令,,,,‎ ‎,,‎ 所以在上有且只有一个零点. …………………………………5分 综上:‎ 当时,函数无零点.‎ 当时,函数有且只有一个零点.‎ 当时,函数有两个零点. ………………………………6分 ‎(2)由(1)知:当时,,,‎ ‎, ………………………………7分 ‎, ………………………………8分 ‎, ………………………………9分 ‎,‎ ‎, ………………………………10分 ‎. …………………………12分 ‎22.(12分)‎ 解:(1)根据题意,在内,按组距为可分成个小区间,‎ 分别是. ………………………1分 ‎,‎ 由,, ………………………2分 每个小区间的频率值分别是 …………………3分,,‎ 的所有取值为 . …………………………4分 ‎(2)(ⅰ)由于参赛选手很多,可以把频率视为概率.‎ 由(1)知,的分数属于区间 的概率分别是:. ………………………………5分 用符号(或)表示(或)在第一轮获奖等级为,通过附加赛最终获奖等级为,其中. ………………………………6分 记“最终获奖等级不低于的最终获奖等级”为事件,‎ 则 ‎. ………………………………8分 ‎(ⅱ)最终获得一等奖的概率是,记“第一轮比赛获奖”为事件,‎ 最终获得一等奖的概率是,‎ ‎, , ‎ ‎ . ……………………………………10分 的分布列为:. ……………………………12分
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