2019届二轮复习导数与零点个数学案（全国通用）

2019届二轮复习导数与零点个数学案（全国通用）

专题02 导数与零点个数 导数与零点个数，对于考生来讲中等偏难，基本的思路是利用导数分析函数的单调性，确定函数的极值或最值，作出函数的大致图像，再数形结合可求得结果。‎ ‎【题型示例】‎ ‎1、设为实数,函数．‎ ‎(1)求的极值点；‎ ‎(2)如果曲线与轴仅有一个交点,求实数的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎（1）的极大值点为,极小值点为．（2）或．‎ ‎2、已知函数.‎ ‎（1）求的极值；‎ ‎（2）若函数的图象与函数的图象在区间上有公共点,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎（1）极大值，无极小值；‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）的定义域为,,令得，‎ 当时，，是增函数；‎ 当时，，是减函数，‎ 所以在处取得极大值,‎ 无极小值.‎ ‎（2）①当时，即时，‎ 由（1）知在上是增函数，在上是减函数，. ‎ 所以，‎ 因为的图象与的图象在上有公共点, 学 ‎ 所以，解得，又，所以. . ‎ ‎②当时，即时，在上是增函数，‎ 所以在上最大值为，‎ 所以原问题等价于,解得.‎ 又，所以此时无解.学 = ‎ 综上,实数 的取值范围是.‎ ‎3、设函数（其中）．‎ ‎（Ⅰ）求函数的极值；‎ ‎（Ⅱ）求函数在上的最小值；‎ ‎（Ⅲ）若，判断函数零点个数．‎ ‎【答案】‎ ‎（1）极小值，不存在极大值；‎ ‎（2）‎ ‎（3）1个．‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ） ，‎ 由得，由得，‎ 在单调递增，在单调递减．‎ 极小值，不存在极大值．‎ ‎（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，在单调递增，在单调递减．  学 ‎ 当时，在单调递减，单调递增，‎ ‎∴．‎ 当时，在单调递增，‎ ‎；‎ ‎（Ⅲ）由题意 求导得，‎ 由得或，由得 所以在上单调递增，在上单调递减 当时，，‎ 故函数只有一个零点．‎ ‎4、已知函数 .‎ ‎（I）若，求的极值；‎ ‎（II）若，函数有且只有一个零点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎（I）的极小值为；（II）或.‎ ‎【解析】‎ ‎（I）时，，其中 则得 当时，单调递减，当时，单调递增，‎ 因而的极小值为 ；‎ ‎（II）若有且只有一个零点，即方程在上有且只有一个实数根，‎ 分离参数得，设，则，‎ 又设，，而 因而当时，当时，‎ 那么当时，单调递增，‎ 当时，单调递减，，‎ 又时，且时 从而或，即或时函数有且只有一个零点.‎ ‎【题型专练】‎ ‎1、已知函数.‎ ‎（1）当时，求的极值；‎ ‎（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎（1）有得极大值，无极小值；（2）.‎ ‎2、设函数, .关于的方程在区间上有解,求的取值范围;‎ ‎【答案】的取值范围.‎ ‎【解析】‎ 方程即为,‎ 令,则,‎ ‎∴当时,,随变化情况如表:‎ ‎,,,‎ ‎∴当时,,∴的取值范围.‎ ‎3、已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若当时（其中），不等式恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若关于的方程在区间上恰好有两个相异的实根，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎（1）的单调减区间为，增区间；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎∵,所以 ‎(1)∵,令,  得：，所以的单调减区间为，增区间；‎ ‎（2）由（1）知,  得，函数在上是连续的，又 所以，当时，的最大值为 故时，若使恒成立，则 ‎（3）原问题可转化为：方程在区间上恰有两个相异实根.‎ 令，则，令，解得：.‎ 当时，在区间上单调递减，‎ 当时，在区间上单调递增.‎ 在和处连续，‎ 又 且当时，的最大值是，的最小值是 ‎∴在区间上方程恰好有两个相异的实根时，实数的取值范围是：‎ ‎4、设函数,其中为实数.‎ ‎（1）若在上是单调减函数, 且在上有最小值, 求的取值范围；‎ ‎（2）若在上是单调增函数, 试求的零点个数, 并证明你的结论.‎ ‎【答案】‎ ‎（１）；（２）当或时，有个零点，当时,有个零点，证明见解析．‎ ‎（2）在上恒成立, 则,故.‎ ‎①若, 令得增区间为；令得减区间为,‎ 当时, ；当时, ；当时,,‎ 当且仅当时取等号. 故:时, 有个零点；当时, 有个零点.‎ ‎5、已知函数在处的切线斜率为2.‎ ‎(1)求的单调区间和极值;‎ ‎(2)若在上无解,求的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为和.‎ 函数的极小值为，极大值为.‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎(1)∵，∴，‎ ‎∴，‎ 令，解得或..‎ 当变化时，的变化情况如下表:‎ ‎∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为和.‎ ‎∴函数的极小值为，极大值为.‎ ‎(2)令，‎ ‎∵在上无解,‎ ‎∴在上恒成立,‎ ‎∵，‎ 记，‎ ‎∵在上恒成立,‎ ‎∴在上单调递减,‎ ‎∴，‎ 若，则，‎ ‎∴，‎ ‎∴单调递减,‎ ‎∴恒成立,‎ 若，则，存在，使得，‎ ‎∴当时，，即，‎ ‎∴在上单调递增,‎ ‎∵，‎ ‎∴在上成立,与已知矛盾,故舍去, . ‎ 综上可知，.‎