内蒙古包头市乌兰察布市中考数学试卷含答案

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内蒙古包头市乌兰察布市中考数学试卷含答案

内蒙古包头市、乌兰察布市2014年中考数学试卷 一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分)‎ ‎1.(3分)(2014•包头)下列实数是无理数的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎﹣2‎ B.‎ C.‎ D.‎ 分析:‎ 根据无理数是无限不循环小数,可得答案.‎ 解答:‎ 解;A、B、C、都是有理数,‎ D、是无理数,‎ 故选:D.‎ 点评:‎ 本题考查了无理数,无理数是无限不循环小数.‎ ‎ ‎ ‎2.(3分)(2014•包头)下列计算正确的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎(﹣1)﹣1=1‎ B.‎ ‎(﹣1)0=0‎ C.‎ ‎|﹣1|=﹣1‎ D.‎ ‎﹣(﹣1)2=﹣1‎ 考点:‎ 负整数指数幂;绝对值;有理数的乘方;零指数幂..‎ 分析:‎ 根据负整指数幂,可判断A,根据非0的0次幂,可判断B,根据负数的绝对值是正数,可判断C,根据相反数,可判断D.‎ 解答:‎ 解:A、(﹣1)﹣1=﹣1,故A错误;‎ B、(﹣1)0=1,故B错误;‎ C、|﹣1|=1,故C错误;‎ D、﹣(﹣1)2=﹣1,故D正确;‎ 故选:D.‎ 点评:‎ 本题考查了负整指数幂,负整数指数为正整数指数的倒数;任何非0数的0次幂等于1.‎ ‎ ‎ ‎3.(3分)(2014•包头)2013年我国GDP总值为56.9万亿元,增速达7.7%,将56.9万亿元用科学记数法表示为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎56.9×1012元 B.‎ ‎5.69×1013元 C.‎ ‎5.69×1012元 D.‎ ‎0.569×1013元 考点:‎ 科学记数法—表示较大的数..‎ 分析:‎ 科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.‎ 解答:‎ 解:56.9万亿元=5.69×1013,‎ 故选:B.‎ 点评:‎ 此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.‎ ‎ ‎ ‎4.(3分)(2014•包头)在一次信息技术考试中,抽得6名学生的成绩(单位:分)如下:8,8,10,8,7,9,则这6名学生成绩的中位数是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎7‎ B.‎ ‎8‎ C.‎ ‎9‎ D.‎ ‎10‎ 考点:‎ 中位数..‎ 分析:‎ 根据中位数的定义,把把这组数据从小到大排列,找出最中间的数即可.‎ 解答:‎ 解:把这组数据从小到大排列为:7,8,8,8,9,10,‎ 最中间两个数的平均数是(8+8)÷2=8,‎ 则中位数是8.‎ 故选;B.‎ 点评:‎ 本题考查了中位数,中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数).‎ ‎ ‎ ‎5.(3分)(2014•包头)计算sin245°+cos30°•tan60°,其结果是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎2‎ B.‎ ‎1‎ C.‎ D.‎ 考点:‎ 特殊角的三角函数值.菁优网版权所有 分析:‎ 根据特殊角的三角函数值计算即可.‎ 解答:‎ 解:原式=()2+×‎ ‎=+‎ ‎=2.‎ 故选:A.‎ 点评:‎ 此题比较简单,解答此题的关键是熟记特殊角的三角函数值.‎ ‎ ‎ ‎6.(3分)(2014•包头)长为9,6,5,4的四根木条,选其中三根组成三角形,选法有(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎1种 B.‎ ‎2种 C.‎ ‎3种 D.‎ ‎4种 考点:‎ 三角形三边关系..‎ 分析:‎ 要把四条线段的所有组合列出来,再根据三角形的三边关系判断能组成三角形的组数.‎ 解答:‎ 解:四根木条的所有组合:9,6,5和9,6,4和9,5,4和6,5,4;‎ 根据三角形的三边关系,得能组成三角形的有9,6,5和9,6,4和6,5,4.‎ 故选C.‎ 点评:‎ 本题考查了三角形的三边关系,熟记三角形的任意两边之和大于第三边,两边之差小于第三边是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎7.(3分)(2014•包头)下列说法正确的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ 必然事件发生的概率为0‎ ‎ ‎ B.‎ 一组数据1,6,3,9,8的极差为7‎ ‎ ‎ C.‎ ‎“面积相等的两个三角形全等”这一事件是必然事件 ‎ ‎ D.‎ ‎“任意一个三角形的外角和等于180°”这一事件是不可能事件 考点:‎ 随机事件;方差;概率的意义..‎ 分析:‎ 根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件,可得答案.‎ 解答:‎ 解:A、必然事件发生的概率为1,故A错误;‎ B、一组数据1,6,3,9,8的级差为8,故B错误;‎ C、面积相等两个三角形全等,是随机事件,故C错误;‎ D、”任意一个三角形的外角和等于180°”是不可能事件,故D正确;‎ 故选:D.‎ 点评:‎ 本题考查了随机事件,解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事.‎ ‎ ‎ ‎8.(3分)(2014•包头)在平面直角坐标系中,将抛物线y=3x2先向右平移1个单位,再向上平移2个单位,得到的抛物线的解析式是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ y=3(x+1)2+2‎ B.‎ y=3(x+1)2﹣2‎ C.‎ y=3(x﹣1)2+2‎ D.‎ y=3(x﹣1)2﹣2‎ 考点:‎ 二次函数图象与几何变换..‎ 分析:‎ 先根据抛物线的顶点式得到抛物线y=3x2的对称轴为直线x=0,顶点坐标为(0,0),则抛物线y=3x2向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到的抛物线的对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,2),然后再根据顶点式即可得到平移后抛物线的解析式.‎ 解答:‎ 解:∵抛物线y=3x2的对称轴为直线x=0,顶点坐标为(0,0),‎ ‎∴抛物线y=3x2向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到的抛物线的对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,2),‎ ‎∴平移后抛物线的解析式为y=3(x﹣1)2+2.‎ 故选C.‎ 点评:‎ 本题考查了二次函数图象与几何变换:先把抛物线的解析式化为顶点式y=a(x﹣k)2+h,其中对称轴为直线x=k,顶点坐标为(k,h),若把抛物线先右平移m个单位,向上平移n个单位,则得到的抛物线的解析式为y=a(x﹣k﹣m)2+h+n;抛物线的平移也可理解为把抛物线的顶点进行平移.‎ ‎ ‎ ‎9.(3分)(2014•包头)如图,在正方形ABCD中,对角线BD的长为.若将BD绕点B旋转后,点D落在BC延长线上的点D′处,点D经过的路径为,则图中阴影部分的面积是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎﹣1‎ B.‎ ‎﹣‎ C.‎ ‎﹣‎ D.‎ π﹣2‎ 考点:‎ 扇形面积的计算;正方形的性质;旋转的性质..‎ 分析:‎ 首先根据正方形的性质可得∠DBD′=45°,BC=CD,然后根据勾股定理可得BC、CD长,再计算出扇形BDD′和△BCD的面积可得阴影部分面积.‎ 解答:‎ 解:∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴∠DBD′=45°,BC=CD,‎ ‎∵BD的长为,‎ ‎∴BC=CD=1,‎ ‎∴S扇形BDD′==,‎ S△CBD=1×1=,‎ ‎∴阴影部分的面积:﹣,‎ 故选:C.‎ 点评:‎ 此题主要考查了正方形的性质,扇形的面积和三角形的面积计算,关键是掌握扇形的面积公式:S=.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎10.(3分)(2014•包头)如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,且DE∥BC,EF∥AB.若AD=2BD,则的值为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 考点:‎ 平行线分线段成比例.菁优网版权所有 分析:‎ 根据平行线分线段成比例定理得出===2,即可得出答案.‎ 解答:‎ 解:∵DE∥BC,EF∥AB,AD=2BD,‎ ‎∴==2,==2,‎ ‎∴=,‎ 故选A.‎ 点评:‎ 本题考查了平行线分线段成比例定理的应用,注意:一组平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.‎ ‎ ‎ ‎11.(3分)(2014•包头)已知下列命题:‎ ‎①若a>b,则ac>bc;‎ ‎②若a=1,则=a;‎ ‎③内错角相等;‎ ‎④90°的圆周角所对的弦是直径.‎ 其中原命题与逆命题均为真命题的个数是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎1个 B.‎ ‎2个 C.‎ ‎3个 D.‎ ‎4个 考点:‎ 命题与定理..‎ 分析:‎ 先对原命题进行判断,再判断出逆命题的真假即可.‎ 解答:‎ 解;①若a>b,则ac>bc是假命题,逆命题是假命题;‎ ‎②若a=1,则=a是真命题,逆命题是假命题;‎ ‎③内错角相等是假命题,逆命题是假命题;‎ ‎④90°的圆周角所对的弦是直径是真命题,逆命题是真命题;‎ 其中原命题与逆命题均为真命题的个数是1个;‎ 故选:A.‎ 点评:‎ 主要考查命题与定理,用到的知识点是互逆命题的知识,两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题称为另一个命题的逆命题,判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.‎ ‎ 12.(3分)(2014•包头)关于x的一元二次方程x2+2(m﹣1)x+m2=0的两个实数根分别为x1,x2,且x1+x2>0,x1x2>0,则m的取值范围是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ m≤‎ B.‎ m≤且m≠0‎ C.‎ m<1‎ D.‎ m<1且m≠0‎ 考点:‎ 根的判别式;根与系数的关系.菁优网版权所有 分析:‎ 先由根的判别式可得方程有两个实数根则△≥0,根据根与系数的关系得出x1+x2=﹣2(m﹣1),x1x2=m2,再由x1+x2>0,x1x2>0,解出不等式组即可.‎ 解答:‎ 解:∵△=[2(m﹣1)]2﹣4m2=﹣8m+4≥0,‎ ‎∴m≤,‎ ‎∵x1+x2=﹣2(m﹣1)>0,x1x2=m2>0‎ ‎∴m<1,m≠0‎ ‎∴m≤且m≠0.‎ 故选:B.‎ 点评:‎ 此题考查了根的判别式和根与系数的关系,一元二次方程根的情况与判别式△的关系:(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;(3)△<0⇔方程没有实数根,根与系数的关系是x1+x2=﹣,x1x2=.‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)‎ ‎13.(3分)(2014•包头)计算: ﹣=  .‎ 考点:‎ 二次根式的加减法..‎ 分析:‎ 首先化简二次根式进而合并同类二次根式进而得出答案.‎ 解答:‎ 解: ﹣=×2﹣×=﹣=.‎ 故答案为:.‎ 点评:‎ 此题主要考查了二次根式的加减运算,正确化简二次根式是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎14.(3分)(2014•包头)如图,已知∠1=∠2,∠3=73°,则∠4的度数为 107 度.‎ 考点:‎ 平行线的判定与性质..‎ 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 根据已知一对同位角相等,利用同位角相等两直线平行得到a与b平行,利用两直线平行同旁内角互补得到一对角互补,再利用对顶角相等即可确定出∠4的度数.‎ 解答:‎ 解:∵∠1=∠2,‎ ‎∴a∥b,‎ ‎∴∠5+∠3=180°,‎ ‎∵∠4=∠5,∠3=73°,‎ ‎∴∠4+∠3=180°,‎ 则∠4=107°.‎ 故答案为:107‎ 点评:‎ 此题考查了平行线的判定与性质,熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎15.(3分)(2014•包头)某学校举行演讲比赛,5位评委对某选手的打分如下(单位:分)9.5,9.4,9.4,9.5,9.2,则这5个分数的平均分为 9.4 分.‎ 考点:‎ 加权平均数..‎ 分析:‎ 根据加权平均数的计算公式列出算式,再进行计算即可.‎ 解答:‎ 解:这5个分数的平均分为(9.5×2+9.4×2+9.2)÷5=9.4;‎ 故答案为:9.4.‎ 点评:‎ 此题考查了加权平均数,用到的知识点是加权平均数的计算公式,关键是根据公式列出算式.‎ ‎ ‎ ‎16.(3分)(2014•包头)计算:(x+1)2﹣(x+2)(x﹣2)= 2x+5 .‎ 考点:‎ 完全平方公式;平方差公式..‎ 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 原式第一项利用完全平方公式展开,第二项利用平方差公式化简,去括号合并即可得到结果.‎ 解答:‎ 解:原式=x2+2x+1﹣x2+4‎ ‎=2x+5.‎ 故答案为:2x+5.‎ 点评:‎ 此题考查了完全平方公式,以及平方差公式,熟练掌握公式是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎17.(3分)(2014•包头)方程﹣=0的解为x= 2 .‎ 考点:‎ 解分式方程..‎ 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.‎ 解答:‎ 解:去分母得:3x﹣3﹣x﹣1=0,‎ 解得:x=2,‎ 经检验x=2是分式方程的解.‎ 故答案为:2‎ 点评:‎ 此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.‎ ‎ ‎ ‎18.(3分)(2014•包头)如图,AB是⊙O的直径,BC是弦,点E是的中点,OE交BC于点D.连接AC,若BC=6,DE=1,则AC的长为 8 .‎ 考点:‎ 垂径定理;勾股定理;三角形中位线定理..‎ 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 连接OC,根据圆心角与弧之间的关系可得∠BOE=∠COE,由于OB=OC,根据等腰三角形的性质可得OD⊥BC,BD=CD.在直角三角形BDO中,根据勾股定理可求出OB,进而求出OD长,再根据三角形中位线定理可得AC的长.‎ 解答:‎ 解:连接OC,如图所示.‎ ‎∵点E是的中点,‎ ‎∴∠BOE=∠COE.‎ ‎∵OB=OC,‎ ‎∴OD⊥BC,BD=DC.‎ ‎∵BC=6,‎ ‎∴BD=3.‎ 设⊙O的半径为r,则OB=OE=r.‎ ‎∵DE=1,‎ ‎∴OD=r﹣1.‎ ‎∵OD⊥BC即∠BDO=90°,‎ ‎∴OB2=BD2+OD2.‎ ‎∵OB=r,OD=r﹣1,BD=3,‎ ‎∴r2=32+(r﹣1)2.‎ 解得:r=5.‎ ‎∴OD=4.‎ ‎∵AO=BO,BD=CD,‎ ‎∴OD=AC.‎ ‎∴AC=8.‎ 点评:‎ 本题考查了在同圆或等圆中等弧所对的圆心角相等、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识,有一定的综合性.‎ ‎ ‎ ‎19.(3分)(2014•包头)如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABO的顶点O与原点重合,顶点B在x轴上,∠ABO=90°,OA与反比例函数y=的图象交于点D,且OD=2AD,过点D作x轴的垂线交x轴于点C.若S四边形ABCD=10,则k的值为 ﹣16 .‎ 考点:‎ 相似三角形的判定与性质;反比例函数系数k的几何意义..‎ 分析:‎ 证△DCO∽△ABO,推出===,求出=()2=,求出S△ODC=8,根据三角形面积公式得出OC×CD=8,求出OC×CD=16即可.‎ 解答:‎ 解:∵OD=2AD,‎ ‎∴=,‎ ‎∵∠ABO=90°,DC⊥OB,‎ ‎∴AB∥DC,‎ ‎∴△DCO∽△ABO,‎ ‎∴===,‎ ‎∴=()2=,‎ ‎∵S四边形ABCD=10,‎ ‎∴S△ODC=8,‎ ‎∴OC×CD=8,‎ OC×CD=16,‎ ‎∴k=﹣16,‎ 故答案为:﹣16.‎ 点评:‎ 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,相似三角形的性质和判定的应用,解此题的关键是求出△ODC的面积.‎ ‎ ‎ ‎20.(3分)(2014•包头)如图,在矩形ABCD中,点E为AB的中点,EF⊥EC交AD于点F,连接CF(AD>AE),下列结论:‎ ‎①∠AEF=∠BCE;‎ ‎②AF+BC>CF;‎ ‎③S△CEF=S△EAF+S△CBE;‎ ‎④若=,则△CEF≌△CDF.‎ 其中正确的结论是 ①③④ .(填写所有正确结论的序号)‎ 考点:‎ 矩形的性质;全等三角形的判定与性质..‎ 分析:‎ 根据同角的余角相等可得∠AEF=∠BCE,判断出①正确,然后求出△AEF和△BCE相似,根据相似三角形对应边成比例可得=,然后根据两组边对边对应成比例,两三角形相似求出△AEF和△ECF,再根据相似三角形对应角相等可得∠AFE=∠EFC,过点E作EH⊥FC于H,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AE=DH,利用“HL”证明△AEF和△HEF,根据全等三角形对应边相等可得AF=FH,同理可得BC=CH,然后求出AF+BC=CF,判断出②错误;根据全等三角形的面积相等可得S△CEF=S△EAF+S△CBE,判断出③正确;根据锐角三角函数的定义求出∠BCE=30°,然后求出∠DCF=∠ECF=30°,再利用“角角边”证明即可.‎ 解答:‎ 解:∵EF⊥EC,‎ ‎∴∠AEF+∠BEC=90°,‎ ‎∵∠BEC+∠BCE=90°,‎ ‎∴∠AEF=∠BCE,故①正确;‎ 又∵∠A=∠B=90°,‎ ‎∴△AEF∽△BCE,‎ ‎∴=,‎ ‎∵点E是AB的中点,‎ ‎∴AE=BE,‎ ‎∴=,‎ 又∵∠A=∠CEF=90°,‎ ‎∴△AEF∽△ECF,‎ ‎∴∠AFE=∠EFC,‎ 过点E作EH⊥FC于H,‎ 则AE=DH,‎ 在△AEF和△HEF中,,‎ ‎∴△AEF≌△HEF(HL),‎ ‎∴AF=FH,‎ 同理可得△BCE≌△HCE,‎ ‎∴BC=CH,‎ ‎∴AF+BC=CF,故②错误;‎ ‎∵△AEF≌△HEF,△BCE≌△HCE,‎ ‎∴S△CEF=S△EAF+S△CBE,故③正确;‎ 若=,则cot∠BCE=====2×=,‎ ‎∴∠BCE=30°,‎ ‎∴∠DCF=∠ECF=30°,‎ 在△CEF和△CDF中,,‎ ‎∴△CEF≌△CDF(AAS),故④正确,‎ 综上所述,正确的结论是①③④.‎ 故答案为:①③④.‎ 点评:‎ 本题考查了矩形的性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,解直角三角形,熟记各性质是解题的关键,难点在于求出△AEF和△ECF相似并得到∠AFE=∠EFC.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共6小题,共60分)‎ ‎21.(8分)(2014•包头)有四张正面分别标有数字2,1,﹣3,﹣4的不透明卡片,它们除数字外其余全部相同,现将它们背面朝上,洗匀后从四张卡片中随机地摸取一张不放回,将该卡片上的数字记为m,再随机地摸取一张,将卡片上的数字记为n.‎ ‎(1)请画出树状图并写出(m,n)所有可能的结果;‎ ‎(2)求所选出的m,n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三、四象限的概率.‎ 考点:‎ 列表法与树状图法;一次函数图象与系数的关系..‎ 分析:‎ ‎(1)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果;‎ ‎(2)首先可得所选出的m,n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三四象限的有:(﹣3﹣4),(﹣4,﹣3),再利用概率公式即可求得答案.‎ 解答:‎ 解:(1)画树状图得:‎ 则(m,n)共有12种等可能的结果:(2,1),(2,﹣3),(2,﹣4),(1,2),(1,﹣3),(1,﹣4),(﹣3,2),(﹣3,1),(﹣3,﹣4),(﹣4,2),(﹣4,1),(﹣4,﹣3);‎ ‎(2)∵所选出的m,n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三四象限的有:(﹣3﹣4),(﹣4,﹣3),‎ ‎∴所选出的m,n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三四象限的概率为:=.‎ 点评:‎ 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件,树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.‎ ‎ ‎ ‎22.(8分)(2014•包头)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,∠BCD=45°,点E在BC上,且∠AEB=60°.若AB=2,AD=1,求CD和CE的长.(注意:本题中的计算过程和结果均保留根号)‎ 考点:‎ 梯形;勾股定理..‎ 分析:‎ 过点D作DF⊥BC,根据∠BCD=45°,得DF=CF,再由AB=2,可得DF=CF=2,由勾股定理得CD的长,因为AD=1,所以BC=2+1,根据∠AEB=60°,可得BE,进而得出CE的长.‎ 解答:‎ 解:过点D作DF⊥BC,‎ ‎∵AD∥BC,∠ABC=90°,‎ ‎∴四边形ABFD为矩形,‎ ‎∵∠BCD=45°,‎ ‎∴DF=CF,‎ ‎∵AB=2,‎ ‎∴DF=CF=2,‎ ‎∴由勾股定理得CD=2;‎ ‎∵AD=1,‎ ‎∴BF=1,‎ ‎∴BC=2+1,‎ ‎∵∠AEB=60°,‎ ‎∴tan60°=,‎ ‎∴=,‎ ‎∴BE=2,‎ ‎∴CE=BC﹣BE=2+1﹣2=2﹣1.‎ 点评:‎ 本题考查了梯形的计算以及勾股定理,是基础知识要熟练掌握.‎ ‎ ‎ ‎23.(10分)(2014•包头)甲、乙两个商场出售相同的某种商品,每件售价均为3000元,并且多买都有一定的优惠.甲商场的优惠条件是:第一件按原售价收费,其余每件优惠30%;乙商场的优惠条件是:每件优惠25%.设所买商品为x件时,甲商场收费为y1元,乙商场收费为y2元.‎ ‎(1)分别求出y1,y2与x之间的关系式;‎ ‎(2)当甲、乙两个商场的收费相同时,所买商品为多少件?‎ ‎(3)当所买商品为5件时,应选择哪个商场更优惠?请说明理由.‎ 考点:‎ 一次函数的应用..‎ 分析:‎ ‎(1)根据两家商场的优惠方案分别列式整理即可;‎ ‎(2)根据收费相同,列出方程求解即可;‎ ‎(3)根据函数解析式分别求出x=5时的函数值,即可得解.‎ 解答:‎ 解:(1)当x=1时,y1=3000;‎ 当x>1时,y1=3000+3000(x﹣1)×(1﹣30%)=2100x+900.‎ ‎∴y1=;‎ y2=3000x(1﹣25%)=2250x,‎ ‎∴y2=2250x;‎ ‎(2)当甲、乙两个商场的收费相同时,2100x+900=2250x,‎ 解得x=6,‎ 答:甲、乙两个商场的收费相同时,所买商品为6件;‎ ‎(3)x=5时,y1=2100x+900=2100×5+900=11400,‎ y2=2250x=2250×5=11250,‎ ‎∵11400>11250,‎ ‎∴所买商品为5件时,应选择乙商场更优惠.‎ 点评:‎ 本题考查了一次函数的应用,读懂题目信息,理解两家商场的优惠方案是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎24.(10分)(2014•包头)如图,已知AB,AC分别是⊙O的直径和弦,点G为上一点,GE⊥AB,垂足为点E,交AC于点D,过点C的切线与AB的延长线交于点F,与EG的延长线交于点P,连接AG.‎ ‎(1)求证:△PCD是等腰三角形;‎ ‎(2)若点D为AC的中点,且∠F=30°,BF=2,求△PCD的周长和AG的长.‎ 考点:‎ 切线的性质;等腰三角形的判定;相似三角形的判定与性质..‎ 专题:‎ 证明题.‎ 分析:‎ ‎(1)连结OC,根据切线的性质得∠OCP=90°,即∠1+∠PCD=90°,由GE⊥AB得∠GEA=90°,则∠2+∠ADE=90°,利用∠1=∠2得到∠PCD=∠ADE,根据对顶角相等得∠ADE=∠PDC,所以∠PCD=∠PDC,于是根据等腰三角形的判定定理得到△PCD是等腰三角形;‎ ‎(2)连结OD,BG,在Rt△COF中根据含30度的直角三角形三边的关系可计算出OC=2,由于∠FOC=90°﹣∠F=60°,根据三角形外角性质可计算出∠1=∠2=30°,则∠PCD=90°﹣∠1=60°,可判断△PCD为等边三角形;再由D为AC的中点,根据垂径定理得到OD⊥AC,AD=CD,在Rt△OCD中,可计算出OD=OC=1,CD=OD=,所以△PCD的周长为3;然后在Rt△ADE中,计算出DE=AD=,AE=DE=,根据圆周角定理由AB为直径得到∠AGB=90°,再证明Rt△AGE∽Rt△ABG,利用相似比可计算出AG.‎ 解答:‎ ‎(1)证明:连结OC,如图,‎ ‎∵PC为⊙O的切线,‎ ‎∴OC⊥PC,‎ ‎∴∠OCP=90°,即∠1+∠PCD=90°,‎ ‎∵GE⊥AB,‎ ‎∴∠GEA=90°,‎ ‎∴∠2+∠ADE=90°,‎ ‎∵OA=OC,‎ ‎∴∠1=∠2,‎ ‎∴∠PCD=∠ADE,‎ 而∠ADE=∠PDC,‎ ‎∴∠PCD=∠PDC,‎ ‎∴△PCD是等腰三角形;‎ ‎(2)解:连结OD,BG,如图,‎ 在Rt△COF中,∠F=30°,BF=2,‎ ‎∴OF=2OC,即OB+2=2OC,‎ 而OB=OC,‎ ‎∴OC=2,‎ ‎∵∠FOC=90°﹣∠F=60°,‎ ‎∴∠1=∠2=30°,‎ ‎∴∠PCD=90°﹣∠1=60°,‎ ‎∴△PCD为等边三角形,‎ ‎∵D为AC的中点,‎ ‎∴OD⊥AC,‎ ‎∴AD=CD,‎ 在Rt△OCD中,OD=OC=1,‎ CD=OD=,‎ ‎∴△PCD的周长为3;‎ 在Rt△ADE中,AD=CD=,‎ ‎∴DE=AD=,‎ AE=DE=,‎ ‎∵AB为直径,‎ ‎∴∠AGB=90°,‎ 而∠GAE=∠BAG,‎ ‎∴Rt△AGE∽Rt△ABG,‎ ‎∴AG:AB=AE:AG,‎ ‎∴AG2=AE•AB=×4=6,‎ ‎∴AG=6.‎ 点评:‎ 本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了等腰三角形的判定、垂径定理、圆周角定理和三角形相似的判定与性质.‎ ‎ ‎ ‎25.(12分)(2014•包头)如图,已知∠MON=90°,A是∠MON内部的一点,过点A作AB⊥ON,垂足为点B,AB=3厘米,OB=4厘米,动点E,F同时从O点出发,点E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动,点F以2厘米/秒的速度沿OM方向运动,EF与OA交于点C,连接AE,当点E到达点B时,点F随之停止运动.设运动时间为t秒(t>0).‎ ‎(1)当t=1秒时,△EOF与△ABO是否相似?请说明理由;‎ ‎(2)在运动过程中,不论t取何值时,总有EF⊥OA.为什么?‎ ‎(3)连接AF,在运动过程中,是否存在某一时刻t,使得S△AEF=S四边形ABOF?若存在,请求出此时t的值;若不存在,请说明理由.‎ 考点:‎ 相似形综合题..‎ 分析:‎ ‎(1)运用=和夹角相等,得出△EOF∽△ABO.‎ ‎(2)证明Rt△EOF∽Rt△ABO,进而证明EF⊥OA.‎ ‎(3)由已知S△AEF=S四边形ABOF.得出S△FOE+S△ABE=S梯形ABOF,求出t的值.‎ 解答:‎ 解:(1)∵t=1,‎ ‎∴OE=1.5厘米,OF=2厘米,‎ ‎∵AB=3厘米,OB=4厘米,‎ ‎∴==,==‎ ‎∵∠MON=∠ABE=90°,‎ ‎∴△EOF∽△ABO.‎ ‎(2)在运动过程中,OE=1.5t,OF=2t.‎ ‎∵AB=3,OB=4.‎ ‎∴.‎ 又∵∠EOF=∠ABO=90°,‎ ‎∴Rt△EOF∽Rt△ABO.‎ ‎∴∠AOB=∠EOF.‎ ‎∵∠AOB+∠FOC=90°,‎ ‎∴∠EOF+∠FOC=90°,‎ ‎∴EF⊥OA.‎ ‎(3)如图,连接AF,‎ ‎∵OE=1.5t,OF=2t,‎ ‎∴BE=4﹣1.5t ‎∴S△FOE=OE•OF=×1.5t×2t=t2,S△ABE=×(4﹣1.5t)×3=6﹣t,‎ S梯形ABOF=(2t+3)×4=4t+6‎ ‎∵S△AEF=S四边形ABOF ‎∴S△FOE+S△ABE=S梯形ABOF,‎ ‎∴t2+6﹣t=(4t+6),即6t2﹣17t+12=0,‎ 解得t=或t=.‎ ‎∴当t=或t=时,S△AEF=S四边形ABOF.‎ 点评:‎ 本题主要考查了相似形综合题,解题的关键是利用S△FOE+S△ABE=S梯形ABOF求t的值.‎ ‎ ‎ ‎26.(12分)(2014•包头)已知抛物线y=ax2+x+c(a≠0)经过A(﹣1,0),B(2,0)两点,与y轴相交于点C,该抛物线的顶点为点M,对称轴与BC相交于点N,与x轴交于点D.‎ ‎(1)求该抛物线的解析式及点M的坐标;‎ ‎(2)连接ON,AC,证明:∠NOB=∠ACB;‎ ‎(3)点E是该抛物线上一动点,且位于第一象限,当点E到直线BC的距离为时,求点E的坐标;‎ ‎(4)在满足(3)的条件下,连接EN,并延长EN交y轴于点F,E、F两点关于直线BC对称吗?请说明理由.‎ 考点:‎ 二次函数综合题..‎ 分析:‎ ‎(1)利用待定系数法即可求得解析式,把解析式转化成顶点式即可求得顶点坐标.‎ ‎(2)根据有两组对应边对应成比例且夹角相等即可求得△ABC∽△NBO,由三角形相似的性质即可求得.‎ ‎(3)作EF⊥BC于F,根据抛物线的解析式先设出E点的坐标,然后根据两直线垂直的性质求得F点的坐标,根据勾股定理即可求得.‎ ‎(4)延长EF交y轴于Q,根据勾股定理求得FQ的长,再与EF比较即可.‎ 解答:‎ 解:(1)∵抛物线y=ax2+x+c(a≠0)经过A(﹣1,0),B(2,0)两点,‎ ‎∴,‎ ‎ 解得.‎ ‎∴抛物线为y=﹣x2+x+2;‎ ‎∴抛物线为y=﹣x2+x+2=﹣(x﹣)2+,‎ ‎∴顶点M(,).‎ ‎(2)如图1,∵A(﹣1,0),B(2,0),C(0,2),‎ ‎∴直线BC为:y=﹣x+2,‎ 当x=时,y=,‎ ‎∴N(,),‎ ‎∴AB=3,BC=2,OB=2,BN==,‎ ‎∴==,==,‎ ‎∵∠ABC=∠NBO,‎ ‎∴△ABC∽△NBO,‎ ‎∴∠NOB=∠ACB;‎ ‎(3)如图2,作EF⊥BC于F,‎ ‎∵直线BC为y=﹣x+2,‎ ‎∴设E(m,﹣m2+m+2),直线EF的解析式为y=x+b,‎ 则直线EF为y=x+(﹣m2+2),‎ 解 得,‎ ‎∴F(m2,﹣ m2+2),‎ ‎∵EF=,‎ ‎∴(m﹣m2)2+(﹣m2+2+m2﹣m﹣2)2=()2,‎ 解得m=1,‎ ‎∴﹣m2+m+2=2,‎ ‎∴E(1,2),‎ ‎(4)如图2,延长EF交y轴于Q,‎ ‎∵m=1,‎ ‎∴直线EF为y=x+1,‎ ‎∴Q(0,1),‎ ‎∵F(,),‎ ‎∴FQ==,‎ ‎∵EF=,EF⊥BC,‎ ‎∴E、F两点关于直线BC对称.‎ 点评:‎ 本题考查了待定系数法求解析式,抛物线的顶点的求法,直线的交点问题,勾股定理的应用等.‎
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