内蒙古包头市乌兰察布市中考数学试卷含答案

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内蒙古包头市、乌兰察布市2014年中考数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）‎ ‎1．（3分）（2014•包头）下列实数是无理数的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣2‎ B．‎ C．‎ D．‎ 分析：‎ 根据无理数是无限不循环小数，可得答案．‎ 解答：‎ 解；A、B、C、都是有理数，‎ D、是无理数，‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2014•包头）下列计算正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎（﹣1）﹣1=1‎ B．‎ ‎（﹣1）0=0‎ C．‎ ‎|﹣1|=﹣1‎ D．‎ ‎﹣（﹣1）2=﹣1‎ 考点：‎ 负整数指数幂；绝对值；有理数的乘方；零指数幂．.‎ 分析：‎ 根据负整指数幂，可判断A，根据非0的0次幂，可判断B，根据负数的绝对值是正数，可判断C，根据相反数，可判断D．‎ 解答：‎ 解：A、（﹣1）﹣1=﹣1，故A错误；‎ B、（﹣1）0=1，故B错误；‎ C、|﹣1|=1，故C错误；‎ D、﹣（﹣1）2=﹣1，故D正确；‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 本题考查了负整指数幂，负整数指数为正整数指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2014•包头）2013年我国GDP总值为56.9万亿元，增速达7.7%，将56.9万亿元用科学记数法表示为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎56.9×1012元 B．‎ ‎5.69×1013元 C．‎ ‎5.69×1012元 D．‎ ‎0.569×1013元 考点：‎ 科学记数法—表示较大的数．.‎ 分析：‎ 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ 解答：‎ 解：56.9万亿元=5.69×1013，‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2014•包头）在一次信息技术考试中，抽得6名学生的成绩（单位：分）如下：8，8，10，8，7，9，则这6名学生成绩的中位数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎7‎ B．‎ ‎8‎ C．‎ ‎9‎ D．‎ ‎10‎ 考点：‎ 中位数．.‎ 分析：‎ 根据中位数的定义，把把这组数据从小到大排列，找出最中间的数即可．‎ 解答：‎ 解：把这组数据从小到大排列为：7，8，8，8，9，10，‎ 最中间两个数的平均数是（8+8）÷2=8，‎ 则中位数是8．‎ 故选；B．‎ 点评：‎ 本题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2014•包头）计算sin245°+cos30°•tan60°，其结果是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2‎ B．‎ ‎1‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 特殊角的三角函数值．菁优网版权所有 分析：‎ 根据特殊角的三角函数值计算即可．‎ 解答：‎ 解：原式=（）2+×‎ ‎=+‎ ‎=2．‎ 故选：A．‎ 点评：‎ 此题比较简单，解答此题的关键是熟记特殊角的三角函数值．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2014•包头）长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1种 B．‎ ‎2种 C．‎ ‎3种 D．‎ ‎4种 考点：‎ 三角形三边关系．.‎ 分析：‎ 要把四条线段的所有组合列出来，再根据三角形的三边关系判断能组成三角形的组数．‎ 解答：‎ 解：四根木条的所有组合：9，6，5和9，6，4和9，5，4和6，5，4；‎ 根据三角形的三边关系，得能组成三角形的有9，6，5和9，6，4和6，5，4．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2014•包头）下列说法正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 必然事件发生的概率为0‎ ‎　‎ B．‎ 一组数据1，6，3，9，8的极差为7‎ ‎　‎ C．‎ ‎“面积相等的两个三角形全等”这一事件是必然事件 ‎　‎ D．‎ ‎“任意一个三角形的外角和等于180°”这一事件是不可能事件 考点：‎ 随机事件；方差；概率的意义．.‎ 分析：‎ 根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件，可得答案．‎ 解答：‎ 解：A、必然事件发生的概率为1，故A错误；‎ B、一组数据1，6，3，9，8的级差为8，故B错误；‎ C、面积相等两个三角形全等，是随机事件，故C错误；‎ D、”任意一个三角形的外角和等于180°”是不可能事件，故D正确；‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2014•包头）在平面直角坐标系中，将抛物线y=3x2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ y=3（x+1）2+2‎ B．‎ y=3（x+1）2﹣2‎ C．‎ y=3（x﹣1）2+2‎ D．‎ y=3（x﹣1）2﹣2‎ 考点：‎ 二次函数图象与几何变换．.‎ 分析：‎ 先根据抛物线的顶点式得到抛物线y=3x2的对称轴为直线x=0，顶点坐标为（0，0），则抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，2），然后再根据顶点式即可得到平移后抛物线的解析式．‎ 解答：‎ 解：∵抛物线y=3x2的对称轴为直线x=0，顶点坐标为（0，0），‎ ‎∴抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，2），‎ ‎∴平移后抛物线的解析式为y=3（x﹣1）2+2．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数图象与几何变换：先把抛物线的解析式化为顶点式y=a（x﹣k）2+h，其中对称轴为直线x=k，顶点坐标为（k，h），若把抛物线先右平移m个单位，向上平移n个单位，则得到的抛物线的解析式为y=a（x﹣k﹣m）2+h+n；抛物线的平移也可理解为把抛物线的顶点进行平移．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2014•包头）如图，在正方形ABCD中，对角线BD的长为．若将BD绕点B旋转后，点D落在BC延长线上的点D′处，点D经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣1‎ B．‎ ‎﹣‎ C．‎ ‎﹣‎ D．‎ π﹣2‎ 考点：‎ 扇形面积的计算；正方形的性质；旋转的性质．.‎ 分析：‎ 首先根据正方形的性质可得∠DBD′=45°，BC=CD，然后根据勾股定理可得BC、CD长，再计算出扇形BDD′和△BCD的面积可得阴影部分面积．‎ 解答：‎ 解：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠DBD′=45°，BC=CD，‎ ‎∵BD的长为，‎ ‎∴BC=CD=1，‎ ‎∴S扇形BDD′==，‎ S△CBD=1×1=，‎ ‎∴阴影部分的面积：﹣，‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 此题主要考查了正方形的性质，扇形的面积和三角形的面积计算，关键是掌握扇形的面积公式：S=．‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2014•包头）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB．若AD=2BD，则的值为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 平行线分线段成比例．菁优网版权所有 分析：‎ 根据平行线分线段成比例定理得出===2，即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：∵DE∥BC，EF∥AB，AD=2BD，‎ ‎∴==2，==2，‎ ‎∴=，‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．‎ ‎　‎ ‎11．（3分）（2014•包头）已知下列命题：‎ ‎①若a＞b，则ac＞bc；‎ ‎②若a=1，则=a；‎ ‎③内错角相等；‎ ‎④90°的圆周角所对的弦是直径．‎ 其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1个 B．‎ ‎2个 C．‎ ‎3个 D．‎ ‎4个 考点：‎ 命题与定理．.‎ 分析：‎ 先对原命题进行判断，再判断出逆命题的真假即可．‎ 解答：‎ 解；①若a＞b，则ac＞bc是假命题，逆命题是假命题；‎ ‎②若a=1，则=a是真命题，逆命题是假命题；‎ ‎③内错角相等是假命题，逆命题是假命题；‎ ‎④90°的圆周角所对的弦是直径是真命题，逆命题是真命题；‎ 其中原命题与逆命题均为真命题的个数是1个；‎ 故选：A．‎ 点评：‎ 主要考查命题与定理，用到的知识点是互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．‎ ‎　12．（3分）（2014•包头）关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2=0的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2＞0，x1x2＞0，则m的取值范围是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ m≤‎ B．‎ m≤且m≠0‎ C．‎ m＜1‎ D．‎ m＜1且m≠0‎ 考点：‎ 根的判别式；根与系数的关系．菁优网版权所有 分析：‎ 先由根的判别式可得方程有两个实数根则△≥0，根据根与系数的关系得出x1+x2=﹣2（m﹣1），x1x2=m2，再由x1+x2＞0，x1x2＞0，解出不等式组即可．‎ 解答：‎ 解：∵△=[2（m﹣1）]2﹣4m2=﹣8m+4≥0，‎ ‎∴m≤，‎ ‎∵x1+x2=﹣2（m﹣1）＞0，x1x2=m2＞0‎ ‎∴m＜1，m≠0‎ ‎∴m≤且m≠0．‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 此题考查了根的判别式和根与系数的关系，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根，根与系数的关系是x1+x2=﹣，x1x2=．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）‎ ‎13．（3分）（2014•包头）计算： ﹣=　　．‎ 考点：‎ 二次根式的加减法．.‎ 分析：‎ 首先化简二次根式进而合并同类二次根式进而得出答案．‎ 解答：‎ 解： ﹣=×2﹣×=﹣=．‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2014•包头）如图，已知∠1=∠2，∠3=73°，则∠4的度数为　107　度．‎ 考点：‎ 平行线的判定与性质．.‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 根据已知一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行得到a与b平行，利用两直线平行同旁内角互补得到一对角互补，再利用对顶角相等即可确定出∠4的度数．‎ 解答：‎ 解：∵∠1=∠2，‎ ‎∴a∥b，‎ ‎∴∠5+∠3=180°，‎ ‎∵∠4=∠5，∠3=73°，‎ ‎∴∠4+∠3=180°，‎ 则∠4=107°．‎ 故答案为：107‎ 点评：‎ 此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）（2014•包头）某学校举行演讲比赛，5位评委对某选手的打分如下（单位：分）9.5，9.4，9.4，9.5，9.2，则这5个分数的平均分为　9.4　分．‎ 考点：‎ 加权平均数．.‎ 分析：‎ 根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可．‎ 解答：‎ 解：这5个分数的平均分为（9.5×2+9.4×2+9.2）÷5=9.4；‎ 故答案为：9.4．‎ 点评：‎ 此题考查了加权平均数，用到的知识点是加权平均数的计算公式，关键是根据公式列出算式．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）（2014•包头）计算：（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）=　2x+5　．‎ 考点：‎ 完全平方公式；平方差公式．.‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，去括号合并即可得到结果．‎ 解答：‎ 解：原式=x2+2x+1﹣x2+4‎ ‎=2x+5．‎ 故答案为：2x+5．‎ 点评：‎ 此题考查了完全平方公式，以及平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎17．（3分）（2014•包头）方程﹣=0的解为x=　2　．‎ 考点：‎ 解分式方程．.‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．‎ 解答：‎ 解：去分母得：3x﹣3﹣x﹣1=0，‎ 解得：x=2，‎ 经检验x=2是分式方程的解．‎ 故答案为：2‎ 点评：‎ 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．‎ ‎　‎ ‎18．（3分）（2014•包头）如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，点E是的中点，OE交BC于点D．连接AC，若BC=6，DE=1，则AC的长为　8　．‎ 考点：‎ 垂径定理；勾股定理；三角形中位线定理．.‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 连接OC，根据圆心角与弧之间的关系可得∠BOE=∠COE，由于OB=OC，根据等腰三角形的性质可得OD⊥BC，BD=CD．在直角三角形BDO中，根据勾股定理可求出OB，进而求出OD长，再根据三角形中位线定理可得AC的长．‎ 解答：‎ 解：连接OC，如图所示．‎ ‎∵点E是的中点，‎ ‎∴∠BOE=∠COE．‎ ‎∵OB=OC，‎ ‎∴OD⊥BC，BD=DC．‎ ‎∵BC=6，‎ ‎∴BD=3．‎ 设⊙O的半径为r，则OB=OE=r．‎ ‎∵DE=1，‎ ‎∴OD=r﹣1．‎ ‎∵OD⊥BC即∠BDO=90°，‎ ‎∴OB2=BD2+OD2．‎ ‎∵OB=r，OD=r﹣1，BD=3，‎ ‎∴r2=32+（r﹣1）2．‎ 解得：r=5．‎ ‎∴OD=4．‎ ‎∵AO=BO，BD=CD，‎ ‎∴OD=AC．‎ ‎∴AC=8．‎ 点评：‎ 本题考查了在同圆或等圆中等弧所对的圆心角相等、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识，有一定的综合性．‎ ‎　‎ ‎19．（3分）（2014•包头）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点O与原点重合，顶点B在x轴上，∠ABO=90°，OA与反比例函数y=的图象交于点D，且OD=2AD，过点D作x轴的垂线交x轴于点C．若S四边形ABCD=10，则k的值为　﹣16　．‎ 考点：‎ 相似三角形的判定与性质；反比例函数系数k的几何意义．.‎ 分析：‎ 证△DCO∽△ABO，推出===，求出=（）2=，求出S△ODC=8，根据三角形面积公式得出OC×CD=8，求出OC×CD=16即可．‎ 解答：‎ 解：∵OD=2AD，‎ ‎∴=，‎ ‎∵∠ABO=90°，DC⊥OB，‎ ‎∴AB∥DC，‎ ‎∴△DCO∽△ABO，‎ ‎∴===，‎ ‎∴=（）2=，‎ ‎∵S四边形ABCD=10，‎ ‎∴S△ODC=8，‎ ‎∴OC×CD=8，‎ OC×CD=16，‎ ‎∴k=﹣16，‎ 故答案为：﹣16．‎ 点评：‎ 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出△ODC的面积．‎ ‎　‎ ‎20．（3分）（2014•包头）如图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，EF⊥EC交AD于点F，连接CF（AD＞AE），下列结论：‎ ‎①∠AEF=∠BCE；‎ ‎②AF+BC＞CF；‎ ‎③S△CEF=S△EAF+S△CBE；‎ ‎④若=，则△CEF≌△CDF．‎ 其中正确的结论是　①③④　．（填写所有正确结论的序号）‎ 考点：‎ 矩形的性质；全等三角形的判定与性质．.‎ 分析：‎ 根据同角的余角相等可得∠AEF=∠BCE，判断出①正确，然后求出△AEF和△BCE相似，根据相似三角形对应边成比例可得=，然后根据两组边对边对应成比例，两三角形相似求出△AEF和△ECF，再根据相似三角形对应角相等可得∠AFE=∠EFC，过点E作EH⊥FC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AE=DH，利用“HL”证明△AEF和△HEF，根据全等三角形对应边相等可得AF=FH，同理可得BC=CH，然后求出AF+BC=CF，判断出②错误；根据全等三角形的面积相等可得S△CEF=S△EAF+S△CBE，判断出③正确；根据锐角三角函数的定义求出∠BCE=30°，然后求出∠DCF=∠ECF=30°，再利用“角角边”证明即可．‎ 解答：‎ 解：∵EF⊥EC，‎ ‎∴∠AEF+∠BEC=90°，‎ ‎∵∠BEC+∠BCE=90°，‎ ‎∴∠AEF=∠BCE，故①正确；‎ 又∵∠A=∠B=90°，‎ ‎∴△AEF∽△BCE，‎ ‎∴=，‎ ‎∵点E是AB的中点，‎ ‎∴AE=BE，‎ ‎∴=，‎ 又∵∠A=∠CEF=90°，‎ ‎∴△AEF∽△ECF，‎ ‎∴∠AFE=∠EFC，‎ 过点E作EH⊥FC于H，‎ 则AE=DH，‎ 在△AEF和△HEF中，，‎ ‎∴△AEF≌△HEF（HL），‎ ‎∴AF=FH，‎ 同理可得△BCE≌△HCE，‎ ‎∴BC=CH，‎ ‎∴AF+BC=CF，故②错误；‎ ‎∵△AEF≌△HEF，△BCE≌△HCE，‎ ‎∴S△CEF=S△EAF+S△CBE，故③正确；‎ 若=，则cot∠BCE=====2×=，‎ ‎∴∠BCE=30°，‎ ‎∴∠DCF=∠ECF=30°，‎ 在△CEF和△CDF中，，‎ ‎∴△CEF≌△CDF（AAS），故④正确，‎ 综上所述，正确的结论是①③④．‎ 故答案为：①③④．‎ 点评：‎ 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟记各性质是解题的关键，难点在于求出△AEF和△ECF相似并得到∠AFE=∠EFC．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共60分）‎ ‎21．（8分）（2014•包头）有四张正面分别标有数字2，1，﹣3，﹣4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从四张卡片中随机地摸取一张不放回，将该卡片上的数字记为m，再随机地摸取一张，将卡片上的数字记为n．‎ ‎（1）请画出树状图并写出（m，n）所有可能的结果；‎ ‎（2）求所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三、四象限的概率．‎ 考点：‎ 列表法与树状图法；一次函数图象与系数的关系．.‎ 分析：‎ ‎（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；‎ ‎（2）首先可得所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三四象限的有：（﹣3﹣4），（﹣4，﹣3），再利用概率公式即可求得答案．‎ 解答：‎ 解：（1）画树状图得：‎ 则（m，n）共有12种等可能的结果：（2，1），（2，﹣3），（2，﹣4），（1，2），（1，﹣3），（1，﹣4），（﹣3，2），（﹣3，1），（﹣3，﹣4），（﹣4，2），（﹣4，1），（﹣4，﹣3）；‎ ‎（2）∵所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三四象限的有：（﹣3﹣4），（﹣4，﹣3），‎ ‎∴所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三四象限的概率为：=．‎ 点评：‎ 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ‎22．（8分）（2014•包头）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠BCD=45°，点E在BC上，且∠AEB=60°．若AB=2，AD=1，求CD和CE的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）‎ 考点：‎ 梯形；勾股定理．.‎ 分析：‎ 过点D作DF⊥BC，根据∠BCD=45°，得DF=CF，再由AB=2，可得DF=CF=2，由勾股定理得CD的长，因为AD=1，所以BC=2+1，根据∠AEB=60°，可得BE，进而得出CE的长．‎ 解答：‎ 解：过点D作DF⊥BC，‎ ‎∵AD∥BC，∠ABC=90°，‎ ‎∴四边形ABFD为矩形，‎ ‎∵∠BCD=45°，‎ ‎∴DF=CF，‎ ‎∵AB=2，‎ ‎∴DF=CF=2，‎ ‎∴由勾股定理得CD=2；‎ ‎∵AD=1，‎ ‎∴BF=1，‎ ‎∴BC=2+1，‎ ‎∵∠AEB=60°，‎ ‎∴tan60°=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴BE=2，‎ ‎∴CE=BC﹣BE=2+1﹣2=2﹣1．‎ 点评：‎ 本题考查了梯形的计算以及勾股定理，是基础知识要熟练掌握．‎ ‎　‎ ‎23．（10分）（2014•包头）甲、乙两个商场出售相同的某种商品，每件售价均为3000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一件按原售价收费，其余每件优惠30%；乙商场的优惠条件是：每件优惠25%．设所买商品为x件时，甲商场收费为y1元，乙商场收费为y2元．‎ ‎（1）分别求出y1，y2与x之间的关系式；‎ ‎（2）当甲、乙两个商场的收费相同时，所买商品为多少件？‎ ‎（3）当所买商品为5件时，应选择哪个商场更优惠？请说明理由．‎ 考点：‎ 一次函数的应用．.‎ 分析：‎ ‎（1）根据两家商场的优惠方案分别列式整理即可；‎ ‎（2）根据收费相同，列出方程求解即可；‎ ‎（3）根据函数解析式分别求出x=5时的函数值，即可得解．‎ 解答：‎ 解：（1）当x=1时，y1=3000；‎ 当x＞1时，y1=3000+3000（x﹣1）×（1﹣30%）=2100x+900．‎ ‎∴y1=；‎ y2=3000x（1﹣25%）=2250x，‎ ‎∴y2=2250x；‎ ‎（2）当甲、乙两个商场的收费相同时，2100x+900=2250x，‎ 解得x=6，‎ 答：甲、乙两个商场的收费相同时，所买商品为6件；‎ ‎（3）x=5时，y1=2100x+900=2100×5+900=11400，‎ y2=2250x=2250×5=11250，‎ ‎∵11400＞11250，‎ ‎∴所买商品为5件时，应选择乙商场更优惠．‎ 点评：‎ 本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解两家商场的优惠方案是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎24．（10分）（2014•包头）如图，已知AB，AC分别是⊙O的直径和弦，点G为上一点，GE⊥AB，垂足为点E，交AC于点D，过点C的切线与AB的延长线交于点F，与EG的延长线交于点P，连接AG．‎ ‎（1）求证：△PCD是等腰三角形；‎ ‎（2）若点D为AC的中点，且∠F=30°，BF=2，求△PCD的周长和AG的长．‎ 考点：‎ 切线的性质；等腰三角形的判定；相似三角形的判定与性质．.‎ 专题：‎ 证明题．‎ 分析：‎ ‎（1）连结OC，根据切线的性质得∠OCP=90°，即∠1+∠PCD=90°，由GE⊥AB得∠GEA=90°，则∠2+∠ADE=90°，利用∠1=∠2得到∠PCD=∠ADE，根据对顶角相等得∠ADE=∠PDC，所以∠PCD=∠PDC，于是根据等腰三角形的判定定理得到△PCD是等腰三角形；‎ ‎（2）连结OD，BG，在Rt△COF中根据含30度的直角三角形三边的关系可计算出OC=2，由于∠FOC=90°﹣∠F=60°，根据三角形外角性质可计算出∠1=∠2=30°，则∠PCD=90°﹣∠1=60°，可判断△PCD为等边三角形；再由D为AC的中点，根据垂径定理得到OD⊥AC，AD=CD，在Rt△OCD中，可计算出OD=OC=1，CD=OD=，所以△PCD的周长为3；然后在Rt△ADE中，计算出DE=AD=，AE=DE=，根据圆周角定理由AB为直径得到∠AGB=90°，再证明Rt△AGE∽Rt△ABG，利用相似比可计算出AG．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：连结OC，如图，‎ ‎∵PC为⊙O的切线，‎ ‎∴OC⊥PC，‎ ‎∴∠OCP=90°，即∠1+∠PCD=90°，‎ ‎∵GE⊥AB，‎ ‎∴∠GEA=90°，‎ ‎∴∠2+∠ADE=90°，‎ ‎∵OA=OC，‎ ‎∴∠1=∠2，‎ ‎∴∠PCD=∠ADE，‎ 而∠ADE=∠PDC，‎ ‎∴∠PCD=∠PDC，‎ ‎∴△PCD是等腰三角形；‎ ‎（2）解：连结OD，BG，如图，‎ 在Rt△COF中，∠F=30°，BF=2，‎ ‎∴OF=2OC，即OB+2=2OC，‎ 而OB=OC，‎ ‎∴OC=2，‎ ‎∵∠FOC=90°﹣∠F=60°，‎ ‎∴∠1=∠2=30°，‎ ‎∴∠PCD=90°﹣∠1=60°，‎ ‎∴△PCD为等边三角形，‎ ‎∵D为AC的中点，‎ ‎∴OD⊥AC，‎ ‎∴AD=CD，‎ 在Rt△OCD中，OD=OC=1，‎ CD=OD=，‎ ‎∴△PCD的周长为3；‎ 在Rt△ADE中，AD=CD=，‎ ‎∴DE=AD=，‎ AE=DE=，‎ ‎∵AB为直径，‎ ‎∴∠AGB=90°，‎ 而∠GAE=∠BAG，‎ ‎∴Rt△AGE∽Rt△ABG，‎ ‎∴AG：AB=AE：AG，‎ ‎∴AG2=AE•AB=×4=6，‎ ‎∴AG=6．‎ 点评：‎ 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的判定、垂径定理、圆周角定理和三角形相似的判定与性质．‎ ‎　‎ ‎25．（12分）（2014•包头）如图，已知∠MON=90°，A是∠MON内部的一点，过点A作AB⊥ON，垂足为点B，AB=3厘米，OB=4厘米，动点E，F同时从O点出发，点E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动，点F以2厘米/秒的速度沿OM方向运动，EF与OA交于点C，连接AE，当点E到达点B时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）．‎ ‎（1）当t=1秒时，△EOF与△ABO是否相似？请说明理由；‎ ‎（2）在运动过程中，不论t取何值时，总有EF⊥OA．为什么？‎ ‎（3）连接AF，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得S△AEF=S四边形ABOF？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 相似形综合题．.‎ 分析：‎ ‎（1）运用=和夹角相等，得出△EOF∽△ABO．‎ ‎（2）证明Rt△EOF∽Rt△ABO，进而证明EF⊥OA．‎ ‎（3）由已知S△AEF=S四边形ABOF．得出S△FOE+S△ABE=S梯形ABOF，求出t的值．‎ 解答：‎ 解：（1）∵t=1，‎ ‎∴OE=1.5厘米，OF=2厘米，‎ ‎∵AB=3厘米，OB=4厘米，‎ ‎∴==，==‎ ‎∵∠MON=∠ABE=90°，‎ ‎∴△EOF∽△ABO．‎ ‎（2）在运动过程中，OE=1.5t，OF=2t．‎ ‎∵AB=3，OB=4．‎ ‎∴．‎ 又∵∠EOF=∠ABO=90°，‎ ‎∴Rt△EOF∽Rt△ABO．‎ ‎∴∠AOB=∠EOF．‎ ‎∵∠AOB+∠FOC=90°，‎ ‎∴∠EOF+∠FOC=90°，‎ ‎∴EF⊥OA．‎ ‎（3）如图，连接AF，‎ ‎∵OE=1.5t，OF=2t，‎ ‎∴BE=4﹣1.5t ‎∴S△FOE=OE•OF=×1.5t×2t=t2，S△ABE=×（4﹣1.5t）×3=6﹣t，‎ S梯形ABOF=（2t+3）×4=4t+6‎ ‎∵S△AEF=S四边形ABOF ‎∴S△FOE+S△ABE=S梯形ABOF，‎ ‎∴t2+6﹣t=（4t+6），即6t2﹣17t+12=0，‎ 解得t=或t=．‎ ‎∴当t=或t=时，S△AEF=S四边形ABOF．‎ 点评：‎ 本题主要考查了相似形综合题，解题的关键是利用S△FOE+S△ABE=S梯形ABOF求t的值．‎ ‎　‎ ‎26．（12分）（2014•包头）已知抛物线y=ax2+x+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴相交于点C，该抛物线的顶点为点M，对称轴与BC相交于点N，与x轴交于点D．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式及点M的坐标；‎ ‎（2）连接ON，AC，证明：∠NOB=∠ACB；‎ ‎（3）点E是该抛物线上一动点，且位于第一象限，当点E到直线BC的距离为时，求点E的坐标；‎ ‎（4）在满足（3）的条件下，连接EN，并延长EN交y轴于点F，E、F两点关于直线BC对称吗？请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．.‎ 分析：‎ ‎（1）利用待定系数法即可求得解析式，把解析式转化成顶点式即可求得顶点坐标．‎ ‎（2）根据有两组对应边对应成比例且夹角相等即可求得△ABC∽△NBO，由三角形相似的性质即可求得．‎ ‎（3）作EF⊥BC于F，根据抛物线的解析式先设出E点的坐标，然后根据两直线垂直的性质求得F点的坐标，根据勾股定理即可求得．‎ ‎（4）延长EF交y轴于Q，根据勾股定理求得FQ的长，再与EF比较即可．‎ 解答：‎ 解：（1）∵抛物线y=ax2+x+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，‎ ‎∴，‎ ‎ 解得．‎ ‎∴抛物线为y=﹣x2+x+2；‎ ‎∴抛物线为y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，‎ ‎∴顶点M（，）．‎ ‎（2）如图1，∵A（﹣1，0），B（2，0），C（0，2），‎ ‎∴直线BC为：y=﹣x+2，‎ 当x=时，y=，‎ ‎∴N（，），‎ ‎∴AB=3，BC=2，OB=2，BN==，‎ ‎∴==，==，‎ ‎∵∠ABC=∠NBO，‎ ‎∴△ABC∽△NBO，‎ ‎∴∠NOB=∠ACB；‎ ‎（3）如图2，作EF⊥BC于F，‎ ‎∵直线BC为y=﹣x+2，‎ ‎∴设E（m，﹣m2+m+2），直线EF的解析式为y=x+b，‎ 则直线EF为y=x+（﹣m2+2），‎ 解 得，‎ ‎∴F（m2，﹣ m2+2），‎ ‎∵EF=，‎ ‎∴（m﹣m2）2+（﹣m2+2+m2﹣m﹣2）2=（）2，‎ 解得m=1，‎ ‎∴﹣m2+m+2=2，‎ ‎∴E（1，2），‎ ‎（4）如图2，延长EF交y轴于Q，‎ ‎∵m=1，‎ ‎∴直线EF为y=x+1，‎ ‎∴Q（0，1），‎ ‎∵F（，），‎ ‎∴FQ==，‎ ‎∵EF=，EF⊥BC，‎ ‎∴E、F两点关于直线BC对称．‎ 点评：‎ 本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的顶点的求法，直线的交点问题，勾股定理的应用等．‎