2018年四川省达州市高考数学一诊试卷（文科）

2018年四川省达州市高考数学一诊试卷（文科）

‎2018年四川省达州市高考数学一诊试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共60分，每小题四个选项中只有一个是符合题意的，请将正确答案番号按要求涂在答题卡上相应位置）‎ ‎1．（5分）复数1+2i在复平面内所对应的点在（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限{ C．第三象限 D．第四象限 ‎2．（5分）已知集合A={x|1≤x≤3}，B={x|﹣5＜x≤3}，则A∩B=（　　）‎ A．{x|﹣3＜x≤1} B．{x|﹣1＜x≤3}}{} C．{x|﹣1≤x≤3} D．{x|1≤x≤3}‎ ‎3．（5分）某8人一次比赛得分茎叶图如图所示，这组数据的中位数和众数分别是（　　）‎ A．85 和 92 B．87 和 92 C．84 和 92 D．85 和 90‎ ‎4．（5分）在等比数列{an}中，a3=2，a6=16，则数列{an}的公比是（　　）‎ A．﹣2 B． C．2 D．4‎ ‎5．（5分）已知sinα=，则cos（π+2α）=（　　）‎ A．﹣- B．- C．﹣ D．‎ ‎6．（5分）函数f（x）=sin（x﹣），则f（x）的图象的对称轴方程为（　　）‎ A．x=+kπ，k∈Z B．x=+2kπ，k∈Z C．x=﹣+2kπ，k∈Z D．x=+kπ，k∈Z ‎7．（5分）以圆x2+y2=4与x轴的交点为焦点，以抛物线y2=10x的焦点为一个顶点且中心在原点的椭圆的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．（5分）方程x2﹣2x+a+1=0有一正一负两实根的充要条件是（　　）‎ A．a＜0 B．a＜﹣1 C．﹣1＜a＜0 D．a＞﹣1‎ ‎9．（5分）运行如图所示的程序框图，输出n的值为（　　）‎ A．5 B．6 C．100 D．101‎ ‎10．（5分）设函数f（x）=，若从区间[﹣e，e]上任取一个实数x0，A表示事件“f（x0）≤1”，则P（A）=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且在[﹣1，0]上单调递减，设a=f（﹣2.8），b=f（﹣1.6），c=f（0.5），则a，b，c大小关系是（　　）‎ A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．a＞c＞b ‎12．（5分）如图（二），需在正方体的盒子内镶嵌一个小球，使得镶嵌后三视图均为图（一）所示，且面A1C1B截得小球的截面面积为，则该小球的体积为（　　）‎ A． B． C．p D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡上相应位置）‎ ‎13．（5分）过点P（1，2），斜率为﹣3的直线的一般式方程为　 　．‎ ‎14．（5分）向量=（λ，1），=（1，﹣2），若⊥，则λ的值为　 　．‎ ‎15．（5分）已知x，y满足í，则2x﹣y的最大值是　 　．‎ ‎16．（5分）若任意a，b满足0＜a＜b＜t，都有blna＜alnb，则t的最大值为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．‎ ‎17．（12分）已知函数f（x）=sin（2x﹣）．‎ ‎（1）求函数f（x）的周期；‎ ‎（2）在△ABC中，f（A）=1，且满足sin2B+sinA•sinC=sin2A+sin2C，求角C．‎ ‎18．（12分）已知函数f（x）=ax 2+bx的图象经过（﹣1，0）点，且在x=﹣1处的切线斜率为﹣1，设数列{an}的前n项和Sn=f（n）（n∈N*）．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{}前n项的和Tn．‎ ‎19．（12分）某市去年外出务工返乡创业人员中有1000名个人年收入在区间[1，41]（单位：万元）上，从这 1000‎ 名中随机抽取100名，得到这100名年收入频率分布直方图．这些数据区间是[1，5]，…，（37，41]．‎ 已接受职业技术教育 未接受职业技术教育 总计 个人年收入超过17万元 ‎340‎ 个人年收入不超过17万元 总计 ‎600‎ ‎1000‎ ‎（1）用样本估计总体，试用直方图估算这1000名外出务工返乡创业人员年收入为（33，41]万元的人数；（2）调查发现这1000名返乡创业人员中有600人接受了职业技术教育，其中340人个人年收入超过17万元．请完成个人年收入与接受职业教育2×2列联表，是否有99%的把握认为该市这1000人返乡创业收入与创业人员是否接受职业技术教育有关？请说明理由．‎ 参考公式及数据K2检验临界值表：‎ K2=（其中n=a+b+c+d）‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M，N分别为线段A1B，B1C的中点．‎ ‎（1）求证：MN∥平面AA1C1C；‎ ‎（2）若∠ABC=90°，AB=BC=2，AA1=3，求点B1到面A1BC的距离．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）=x2﹣（2a+1）x+（a+1）lnx．‎ ‎（1）当a=1时，求函数f（x）的极大值；‎ ‎（2）当a≥1时，求证：方程f（x）=g（x）有唯一实根．‎ ‎　‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4参数方程与极坐标 ‎22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴为极轴建立极坐标系．已知直线l：（t为参数），曲线C的极坐标方程是ρ2﹣6ρcosθ+1=0，l与C相交于两点A、B．‎ ‎（1）求l的普通方程和C的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知M（0，﹣1），求|MA|•|MB|的值．‎ ‎　‎ 选修4-5不等式选讲 ‎23．已知正数a，b，c满足：a+b+c=1，函数f（x）=|x﹣|+|x+|．‎ ‎（1）求函数f（x）的最小值；‎ ‎（2）求证：f（x）≥9．‎ ‎　‎ ‎2018年四川省达州市高考数学一诊试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共60分，每小题四个选项中只有一个是符合题意的，请将正确答案番号按要求涂在答题卡上相应位置）‎ ‎1．（5分）复数1+2i在复平面内所对应的点在（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限{ C．第三象限 D．第四象限 ‎【解答】解：复数1+2i在复平面内所对应的点的坐标为（1，2）‎ 所以：该点在第一象限．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）已知集合A={x|1≤x≤3}，B={x|﹣5＜x≤3}，则A∩B=（　　）‎ A．{x|﹣3＜x≤1} B．{x|﹣1＜x≤3}}{} C．{x|﹣1≤x≤3} D．{x|1≤x≤3}‎ ‎【解答】解：∵集合A={x|1≤x≤3}，B={x|﹣5＜x≤3}，‎ ‎∴A∩B={x|1≤x≤3}．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）某8人一次比赛得分茎叶图如图所示，这组数据的中位数和众数分别是（　　）‎ A．85 和 92 B．87 和 92 C．84 和 92 D．85 和 90‎ ‎【解答】解：这组数据从小到大为：82，83，84，85，89，92，92，93，‎ 众数为92，中位数为中间两数的平均数，即（85+89）÷2=87‎ 故选：B ‎　‎ ‎4．（5分）在等比数列{an}中，a3=2，a6=16，则数列{an}的公比是（　　）‎ A．﹣2 B． C．2 D．4‎ ‎【解答】解：根据题意，等比数列{an}中，a3=2，a6=16，‎ 则q3==8，‎ 解可得q=2；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）已知sinα=，则cos（π+2α）=（　　）‎ A．﹣- B．- C．﹣ D．‎ ‎【解答】解：已知sinα=，‎ 由cos（π+2α）=﹣cos2α=﹣（1﹣2sin2α）=2×=‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）函数f（x）=sin（x﹣），则f（x）的图象的对称轴方程为（　　）‎ A．x=+kπ，k∈Z B．x=+2kπ，k∈Z C．x=﹣+2kπ，k∈Z D．x=+kπ，k∈Z ‎【解答】解：函数f（x）=sin（x﹣），‎ 则f（x）的图象的对称轴方程：x﹣=+kπ，‎ 可得：x=，k∈Z．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）以圆x2+y2=4与x轴的交点为焦点，以抛物线y2=10x的焦点为一个顶点且中心在原点的椭圆的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：根据题意，x2+y2=4与x轴的交点为（±2，0），抛物线y2=10x的焦点为（，0），‎ 即椭圆的焦点为（±2，0），椭圆的顶点为（，0），‎ 则椭圆中c=2，a=，‎ 则椭圆的离心率e===；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）方程x2﹣2x+a+1=0有一正一负两实根的充要条件是（　　）‎ A．a＜0 B．a＜﹣1 C．﹣1＜a＜0 D．a＞﹣1‎ ‎【解答】解：∵方程x2﹣2x+a+1=0有一正一负两实根，‎ ‎∴，‎ 解得a＜﹣1．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）运行如图所示的程序框图，输出n的值为（　　）‎ A．5 B．6 C．100 D．101‎ ‎【解答】解：第一次执行循环体后，T=0，n=2，不满足退出循环的条件；‎ 第二次执行循环体后，T=lg2，n=3，不满足退出循环的条件；‎ 第三次执行循环体后，T=lg6，n=4，不满足退出循环的条件；‎ 第四 次执行循环体后，T=lg24，n=5，不满足退出循环的条件；‎ 第五次执行循环体后，T=lg120，n=6，满足退出循环的条件；‎ 故输出的n值为6，‎ 故选：B ‎　‎ ‎10．（5分）设函数f（x）=，若从区间[﹣e，e]上任取一个实数x0，A表示事件“f（x0）≤1”，则P（A）=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=，x∈[﹣e，e]，‎ 解f（x0）≤1得：x0∈[﹣1，e﹣1]‎ 故P（A）==，‎ 故选：A ‎　‎ ‎11．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且在[﹣1，0]上单调递减，设a=f（﹣2.8），b=f（﹣1.6），c=f（0.5），则a，b，c大小关系是（　　）‎ A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．a＞c＞b ‎【解答】解：∵偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），∴函数的周期为2．‎ 由于a=f（﹣2.8）=f（﹣0.8），‎ b=f（﹣1.6）=f（0.4）=f（﹣0.4），‎ c=f（0.5）=f（﹣0.5），‎ ‎﹣0.8＜﹣0.5＜﹣0.4，且函数f（x）在[﹣1，0]上单调递减，‎ ‎∴a＞c＞b，‎ 故选：D ‎　‎ ‎12．（5分）如图（二），需在正方体的盒子内镶嵌一个小球，使得镶嵌后三视图均为图（一）所示，且面A1C1B截得小球的截面面积为，则该小球的体积为（　　）‎ A． B． C．p D．‎ ‎【解答】解：设正方体盒子的棱长为2a，则内接球的半径为a，‎ 平面A1BC1是边长为2a的正三角形，‎ 且球与以点B1为公共点的三个面的切点恰为△A1BC1三边的中点，‎ ‎∴所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，‎ 则由图得，△A1BC1内切圆的半径是a×tan30°=a，‎ 则所求的截面圆的面积是π×a×a=a2=a=1‎ ‎∴该小球的体积为V球=•13=．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡上相应位置）‎ ‎13．（5分）过点P（1，2），斜率为﹣3的直线的一般式方程为　3x+y﹣5=0　．‎ ‎【解答】解：由题意可得直线的点斜式方程为：y﹣2=﹣3（x﹣1），‎ 化为一般式可得3x+y﹣5=0‎ 故答案为：3x+y﹣5=0．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）向量=（λ，1），=（1，﹣2），若⊥，则λ的值为　2　．‎ ‎【解答】解：向量=（λ，1），=（1，﹣2），‎ 若⊥，则•=λ﹣2=0，‎ 解答λ=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）已知x，y满足í，则2x﹣y的最大值是　4　．‎ ‎【解答】解：根据x，y满足画出可行域，‎ 如图：‎ 由图得当z=2x﹣y过的交点A（2，0）时，‎ Z最大为4．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）若任意a，b满足0＜a＜b＜t，都有blna＜alnb，则t的最大值为　e　．‎ ‎【解答】解：∵0＜a＜b＜t，blna＜alnb，‎ ‎∴＜，（a＜b），‎ 令y=，则函数在（0，t）递增，‎ 故y′=＞0，‎ 解得：0＜x＜e，‎ 故t的最大值是e，‎ 故答案为：e．‎ ‎　‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．‎ ‎17．（12分）已知函数f（x）=sin（2x﹣）．‎ ‎（1）求函数f（x）的周期；‎ ‎（2）在△ABC中，f（A）=1，且满足sin2B+sinA•sinC=sin2A+sin2C，求角C．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=sin（2x﹣）．‎ ‎（1）函数f（x）的周期T=；‎ ‎（2）由f（A）=1，即sin（2A﹣）=1，‎ ‎∵0＜A＜π，‎ ‎∴2A﹣=‎ 可得：A=．‎ ‎∵sin2B+sinA•sinC=sin2A+sin2C 正弦定理可得：ac=a2+c2‎ 由余弦定理：cosB===．‎ ‎∵0＜B＜π，‎ 可得：B=．‎ 那么：C=π﹣A﹣B=‎ ‎　‎ ‎18．（12分）已知函数f（x）=ax 2+bx的图象经过（﹣1，0）点，且在x=﹣1处的切线斜率为﹣1，设数列{an}的前n项和Sn=f（n）（n∈N*）．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{}前n项的和Tn．‎ ‎【解答】解：（1）函数f（x）=ax 2+bx的图象经过（﹣1，0）点，‎ 则：a﹣b=0，‎ 即a=b①，‎ 由于：f′（x）=2ax+b，函数f（x）=ax 2+bx在x=﹣1处的切线斜率为﹣1，‎ 则：﹣2a+b=﹣1②，‎ 由①②得：a=1，b=1．‎ 数列{an}的前n项和Sn=f（n）=n2+n，‎ ‎，‎ 所以：an=Sn﹣Sn﹣1=2n，‎ 当n=1时，a1=2符合上式，‎ 则：an=2n．‎ ‎（2）由于an=2n，‎ 则：==，‎ 则：+…+，‎ ‎=，‎ ‎=．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）某市去年外出务工返乡创业人员中有1000名个人年收入在区间[1，41]（单位：万元）上，从这 1000‎ 名中随机抽取100名，得到这100名年收入频率分布直方图．这些数据区间是[1，5]，…，（37，41]．‎ 已接受职业技术教育 未接受职业技术教育 总计 个人年收入超过17万元 ‎340‎ 个人年收入不超过17万元 总计 ‎600‎ ‎1000‎ ‎（1）用样本估计总体，试用直方图估算这1000名外出务工返乡创业人员年收入为（33，41]万元的人数；（2）调查发现这1000名返乡创业人员中有600人接受了职业技术教育，其中340人个人年收入超过17万元．请完成个人年收入与接受职业教育2×2列联表，是否有99%的把握认为该市这1000人返乡创业收入与创业人员是否接受职业技术教育有关？请说明理由．‎ 参考公式及数据K2检验临界值表：‎ K2=（其中n=a+b+c+d）‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【解答】解：（1）收入在（33，41]上的返乡创业人员频率为 ‎0.010×4+0.005×4=0.06，‎ 估算这1000名外出务工返乡创业人员年收入为（33，41]万元的人数为 ‎1000×0.06=60（人）；‎ ‎（2）根据题意，这1000名返乡创业人员中年收入超过 17 万元的人数是 ‎1000×[1﹣（0.01+0.02+0.03+0.04）×4]=600，其中参加职业培训的人数是340人，‎ 由此填写2×2列联表如下；‎ 已接受职业技术教育 未接受职业技术教育 总计 个人年收入超过17万元 ‎340‎ ‎260‎ ‎600‎ 个人年收入不超过17万元 ‎260‎ ‎140‎ ‎400‎ 总计 ‎600‎ ‎400‎ ‎1000‎ 计算K2=≈6.944＞6.635，‎ 所以有99%的把握认为该市这 1000 人返乡创业收入与创业人员是否接受职业技术教育有关．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M，N分别为线段A1B，B1C的中点．‎ ‎（1）求证：MN∥平面AA1C1C；‎ ‎（2）若∠ABC=90°，AB=BC=2，AA1=3，求点B1到面A1BC的距离．‎ ‎【解答】（1）证明：连接BC1，‎ ‎∵四边形BCC1B1是平行四边形，N是B1C的中点，‎ ‎∴N是BC1的中点，又M是A1B的中点，‎ ‎∴MN∥A1C1，‎ 又A1C1⊂平面AA1C1C，MN⊄平面AA1C1C，‎ ‎∴MN∥平面AA1C1C．‎ ‎（2）解：∵AB⊥BC，BB1⊥BC，AB∩BB1=B，‎ ‎∴BC⊥平面ABB1A1，‎ ‎∴V=S•BC==2，‎ 又A1B==，∴S==．‎ 设B1到平面A1BC的距离的距离为h，则V=•h=，‎ ‎∵V=V，∴2=，∴h=．‎ ‎∴点B1到面A1BC的距离为．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）=x2﹣（2a+1）x+（a+1）lnx．‎ ‎（1）当a=1时，求函数f（x）的极大值；‎ ‎（2）当a≥1时，求证：方程f（x）=g（x）有唯一实根．‎ ‎【解答】解：（1）a=1时，函数f（x）=lnx﹣x，，‎ x∈（0，1）时，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，‎ ‎∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，‎ ‎∴x=1时，函数f（x）取得极大值f（1）=﹣1．‎ ‎（2）方程f（x）=g（x）的根⇔的根，‎ 令h（x）=，（x＞0，a≥1）‎ ‎，‎ ‎①当a=1时，h′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，函数h（x）单调递增，方程f（x）=g（x）有唯一实根．‎ ‎②当a＞1时，x∈（0，1）时，h′（x）＞0，x∈（1，a）时，′（x）＜0，x∈（a，+∞）时，h′（x）＞0，‎ ‎∴h（x）在（0，1），（a，+∞）单调递增，在（1，a）单调递减，‎ 而h（1）=﹣a﹣，x→+∞时，h（x）→+∞，‎ 函数h（x）与x轴只有一个交点，∴方程f（x）=g（x）有唯一实根．‎ 综上所述：方程f（x）=g（x）有唯一实根．‎ ‎　‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4参数方程与极坐标 ‎22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴为极轴建立极坐标系．已知直线l：（t为参数），曲线C的极坐标方程是ρ2﹣6ρcosθ+1=0，l与C相交于两点A、B．‎ ‎（1）求l的普通方程和C的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知M（0，﹣1），求|MA|•|MB|的值．‎ ‎【解答】解：（1）直线l的方程为：（t为参数），‎ 转化为：x﹣y﹣1=0．‎ 曲线C的极坐标方程是ρ2﹣6ρcosθ+1=0，‎ 转化为：x2+y2﹣6x+1=0．‎ ‎（2）把直线l的方程：（t为参数），代入x2+y2﹣6x+1=0得到：‎ ‎，A点的参数为t1，B点的参数的为t2，‎ 则：|MA|•|MB|=t1•t2=2．‎ ‎　‎ 选修4-5不等式选讲 ‎23．已知正数a，b，c满足：a+b+c=1，函数f（x）=|x﹣|+|x+|．‎ ‎（1）求函数f（x）的最小值；‎ ‎（2）求证：f（x）≥9．‎ ‎【解答】解（1）f（x）=|x﹣|+|x+|=||+|x+|‎ ‎∵正数a，b，c，且a+b+c=1，‎ 则（a+b+c）（）=3+（）=9‎ 当且仅当a=b=c=时取等号．‎ ‎∴f（x）的最小值为9．‎ ‎（2）证明：f（x）=|x﹣|+|x+|=||+|x+|‎ ‎∵正数a，b，c，且a+b+c=1，‎ 则（a+b+c）（）=3+（）‎ ‎=9‎ 当且仅当a=b=c=时取等号．‎ ‎∴f（x）≥9．‎ ‎　‎