数学理卷·2017届河北省武邑中学高三上学期第五次调研考试（2017

数学理卷·2017届河北省武邑中学高三上学期第五次调研考试（2017

河北省武邑中学 2017 届高三上学期第五次调研考试 数学试题（理科） 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集 RU  ，集合  0 9, RA x x x    和  4 4, ZB x x x     关系的韦恩 图如图所示，则阴影部分所表示集合中的元素共有（ ） A．3 个 B． 4 个 C．5 个 D．无穷多个 2.若复数 z 满足 1zi i  ，则 z 的共轭复数是（ ） A． 1 i  B．1 i C． 1 i  D．1 i 3.与曲线 2 2 124 49 x y  共焦点，且与曲线 2 2 136 64 x y  共渐近线的双曲线方程为（ ） A． 2 2 116 9 y x  B． 2 2 116 9 x y  C． 2 2 19 16 y x  D． 2 2 19 16 x y  4.某初级中学领导采用系统抽样方法，从该校预备年级全体800 名学生中抽50 名学生做牙 齿健康检查．现将800 名学生从1到800 进行编号，求得间隔数 800 1650k   ，即每16人 抽取一个人．在1~ 16 中随机抽取一个数，如果抽到的是 7 ，则从33 ~ 48 这16 个数中应取 的数是（ ） A． 40 B．39 C．38 D．37 5.已知  f x 是定义在 R 上的奇函数，当 0x  时，   5xf x m  （ m 为常数），则  5log 7f  的值为（ ） A． 4 B． 4 C． 6 D． 6 6.函数  y f x 的图象向左平移 12  个单位后与函数 cos 22y x     的图象重合，则  y f x 的解析式为（ ） A． cos 2 2y x      B． cos 2 6y x      C． cos 2 3y x      D． sin 2 6y x      7.设关于 x ， y 的不等式组 2 1 0, 0, 0 x y x m y m          表示的平面区域内存在点  0 0,P x y ，满足 0 02 2x y  ．求得 m 的取值范围是（ ） A． 2, 3      B． 1, 3      C． , 1  D． 5, 3      8.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数   1 0 xf x x    ， 为有理数 ， 为无理数 称为狄利克雷函数，关于函数  f x 有以下四个命题： ①    1f f x  ； ②函数  f x 是偶函数； ③任意一个非零有理数T ，    f x T f x  对任意 x R 恒成立； ④存在三个点   1 1,A x f x ，   2 2,B x f x ，   3 3,C x f x ，使得 ABC 为等边三角形． 其中真命题的个数是（ ） A． 4 B．3 C． 2 D．1 9.《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下 广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋 脊形状的多面体（如图）”，下底面宽 3AD  丈，长 4AB  丈，上棱 2EF  丈， EF P 平 面 ABCD ． EF 与平面 ABCD 的距离为1丈，问它的体积是（ ） A． 4 立方丈 B．5 立方丈 C． 6 立方丈 D．8 立方丈 10.在平面直角坐标系中，记抛物线 2y x x  与 x 轴所围成的平面区域为 M ，该抛物线与 直线 y kx （ 0k  ）所围成的平面区域为 A ，向区域 M 内随机抛掷一点 P ，若点 P 落在 区域 A 内的概率为 8 27 ，则 k 的值为（ ） A． 1 3 B． 2 3 C． 1 2 D． 3 4 11.下图是三棱锥 D ABC 的三视图，点O 在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线 DO 和 AB 所成角的余弦值等于（ ） A． 1 2 B． 2 2 C． 3 3 D． 3 12.已知函数       2 4 3 3 , 0, log 1 1, 0a x a x a x f x x x          （ 0a  且 1a  ）在 R 上单调递减，且关 于 x 的方程   2f x x  恰好有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是（ ） A． 20, 3      B． 2 3,3 4      C. 1 2 3,3 3 4          D． 1 2 3,3 3 4         第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.已知向量 a  ，b  的夹角为 3  ，且   1a a b     ， 2a  ，则 b  ． 14. 3 2 2 1 2x x      展开式中的常数项为 ． 15.如图，已知抛物线的方程为 2 2x py （ 0p  ），过点  0, 1A  作直线l 与抛物线相交 于 P ，Q 两点，点 B 的坐标为 0,1 ，连接 BP ，BQ ，设QB ，BP 与 x 轴分别相交于 M ， N 两点．如果QB 的斜率与 PB 的斜率的乘积为 3 ，则 MBN 的大小等于 ． 16.用 x 表示不超过 x 的最大整数，例如 3 3 ， 1,2 1 ， 1,3 2   ．已知数列 na 满足 1 1a  ， 2 1n n na a a   ，则 20161 2 1 2 20161 1 1 aa a a a a           ． 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.） 17. （本小题满分 10 分） 设 na 是公比大于1的等比数列， nS 为数列 na 的前 n 项和，已知 3 7S  ，且 1a ， 2a ， 3 1a  成等差数列． （1）求数列 na 的通项公式； （2）若 4 2 1logn nb a  ， 1n  ， 2 ， 3 ，求和： 1 2 2 3 3 4 1 1 1 1 1 n nb b b b b b b b     ． 18. （本小题满分 12 分） 某企业通过调查问卷（满分 50 分）的形式对本企业900 名员工的工作满意度进行调查，并 随机抽取了其中30 名员工（16名女员工，14名男员工）的得分，如下表： （1）根据以上数据，估计该企业得分大于 45 分的员工人数； （2）现用计算器求得这30名员工的平均得分为 40.5 分，若规定大于平均得分为“满意”， 否则为“不满意”，请完成下列表格： （3）根据上述表中数据，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1% 的 前提下，认为该企业员工“性别”与“工作是否满意”有关？ 参考数据：        2 2 n ad bcK a b c d a c b d      19. （本小题满分 12 分） 已知函数   22 3sin cos 2cosf x x x x  ． （1）求 24f      的值； （2）若函数  f x 在区间 ,m m 上是单调递增函数，求实数 m 的最大值． 20. （本小题满分 12 分） 四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形， 90ADC BCD     ， 2BC  ， 3CD  ， 4PD  ， 60PDA  ，且平面 PAD  平面 ABCD ． （1）求证： AD PB ； （2）在线段 PA 上是否存在一点 M ，使二面角 M BC D  的大小为 6  ，若存在，求出 PM PA 的值；若不存在，请说明理由． 21. （本小题满分 12 分） 如图所示，抛物线 1C ： 2 4x y 在点 A ，B 处的切线垂直相交于点 P ，直线 AB 与椭圆 2C ： 2 2 14 2 x y  相交于C ， D 两点． （1）求抛物线 1C 的焦点 F 与椭圆 2C 的左焦点 1F 的距离； （2）设点 P 到直线 AB 的距离为 d ，试问：是否存在直线 AB ，使得 AB ， d ， CD 成 等比数列？若存在，求直线 AB 的方程；若不存在，请说明理由． 22. （本小题满分 12 分） 已知函数   lnf x x ． （1）若函数    F x tf x 与函数   2 1g x x  在点 1x  处有共同的切线l ，求t 的值； （2）证明：     1 2 f xf x x x    ； （3）若不等式  mf x a x  对所有 30, 2m      ， 21,x e    都成立，求实数 a 的取值范围． 2016—2017 高三第五次调研考试数学试题（理科）答案 一、选择题 1-5: B C A B D 6-10: D A A B A 11、12： C C 二、填空题 13.3 14. 20 15. 3  16. 2015 三、解答题 17.解：（1）由已知得： 1 2 3 1 3 2 7 1 2 a a a a a a        ，解得 2 2a  …………………………2 分 设数列 na 的公比为 q ，由 2 2a  ，可得 1 2a q  ， 3 2a q ， （2）由（1）得 2 2 1 2 4n n na    ，由于 4 2 1logn nb a  ， 1n  ， 2 ，， 4log 4n nb n   ．……7 分  1 2 2 3 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 1n nb b b b b b b b n n             1 1 1 1 1 1 1 11 12 2 3 3 4 1n n n            ………………………………………10 分 18.解：（1）从表中可知，30 名员工中有8 名得分大于 45 分，所以任选一名员工，他（她） 的得分大于 45 分的概率是 8 4 30 15  ，所以估计此次调查中，该单位约有 4900 24015   名 员工的得分大于 45 分．…4 分 （2）依题意，完成 2 2 列联表如下： ……………………………………………………8 分 （3）假设 0H ：性别与工作是否满意无关，根据表中数据，求得 2K 的观测值  230 12 11 3 4 8.571 6.63515 15 16 14k         ，查表得  2 6.635 0.010.8P K   ……………………10 分 能在犯错误的概率不超过1% 的前提下，认为性别与工作是否满足有 关．……………………12 分 19.解：（1）   3sin 2 cos2 1f x x x   3 12 sin 2 cos2 1 2sin 2 12 2 6x x x                 ………………………3 分 2sin 1 2sin 1 2 124 12 6 4f                     …………………………5 分 （2）由 2 2 22 6 2k x k        ， k Z 得 3 6k x k      ， k Z  f x 在区间 ,3 6k k       （ k Z ）上是增函数……………………8 分 当 0k  时，  f x 在区间 ,3 6      上是增函数，若函数  f x 在区间 ,m m 上是单调递 增函数， 则 , ,3 6m m        ………………………10 分 6 3 0 m m m            ，解得 0 6m   m 的最大值是 6  ………………………12 分 20.解：证明：（1）过 B 作 BO CDP ，交 AD 于O ，连接 OP ． AD BC P ， 90ADC BCD     ，CD OBP ，四边形 OBCD 是矩形， OB AD  ． 2OD BC  ， 4PD  ， 60PDA  ， 2 2 2 cos60 2 3OP PD OD PD OD       ．…………2 分 2 2 2OP OD PD   ， OP OD  ．又OP  平面OPB ，OB  平面OPB ， OP OB O ， AD  平面OPB ，……3 分 PB  平面OPB ， AD PB  ．………………………5 分 （2）平面 PAD  平面 ABCD ，平面 PAD  平面 ABCD AD ，OA AD ， OP  平面 ABCD ． 以O 为原点，以OA ，OB ， OP 为坐标轴建立空间直角坐标系，…………………7 分 如图所示： 则  0, 3,0B ，  2, 3,0C  ，假设存在点  ,0,M m n 使得二面角 M BC D  的大小为 6  ，则  , 3,MB m n   ，  2,0,0BC   ． 设平面 BCM 的法向量为  , ,n x y z ，则 0 0 m BC m MB          ． 2 0 3 0 x mx y nz      ，令 1y  得 30,1,n n        ．………9 分 OP  平面 ABCD ，  0,0,1n  为平面 ABCD 的一个法向量．…………………10 分 2 3 3cos , 23 1 m n nm n m n n           ．……………………11 分 解得 1n  ． 1 2 3 1 6 3 62 3 PM PO PA PO       ．…………………12 分 21.解：（1）抛物线 1C 的焦点  0,1F ， 椭圆 2C 的左焦点  1 2,0F  ，则 1 3FF  ．……………………2 分 （2）设直线 AB ： y kx m  ，  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，  3 3,C x y ，  4 4,D x y ， 由 2 , 4 , y kx m x y     得 2 4 4 0x kx m   ， 故 1 2 4x x k  ， 1 2 4x x m  ．………………………4 分 由 2 4x y ，得 2 xy  ， 故切线 PA ， PB 的斜率分别为 1 2PA xk  ， 2 2PB xk  ，………………………5 分 再由 PA PB ，得 1PA PBk k   ，即 1 2 1 2 4 12 2 4 4 x x x x m m      ， 故 1m  ，这说明直线 AB 过抛物线 1C 的焦点 F ．……………………6 分 由 2 1 1 2 2 2 2 4 ,2 4 x xy x x xy x       ， 得 1 2 22 x xx k  ， 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 12 12 4 4 4 4 4 x x x x x x x xy k kx x          ， 即  2 , 1P k  ．……………………………………8 分 于是点  2 , 1P k  到直线 AB ： 1 0kx y   的距离 2 2 2 2 2 2 1 1 kd k k     ． 由 2 2 1, 1,4 2 y kx x y     得 2 21 2 4 2 0k x kx    ， 从而        2 2 2 2 2 2 2 4 4 1 2 2 8 1 4 1 11 2 1 2 k k k CD k kk k           ， 同理，  24 1AB k  ………………………10 分 若 AB ， d ， CD 成等比数列，则 2d AB CD  ， 即     22 2 2 2 2 8 1 4 2 1 4 1 1 1 2 k k k k k       ， 化简整理，得 4 228 36 7 0k k   ，此方程无实根， 所以不存在直线 AB ，使得 AB ， d ， CD 成等比数列………………………12 分 22.解：（1）   2g x x  ，     lnF x tf x t x  ，     tF x tf x x    ，    F x tf x 与   2 1g x x  在点 1x  处有共同的切线l ，    1 1k F g    ，即 2t  ，……………………………4 分 （2）令    h x f x x  ，则   1 11 xh x x x     ， 则  h x 在 0,1 上是增函数，在 1, 上是减函数，  h x 的最大值为  1 1h   ，  h x 的最小值是1，…………………………6 分 设     1 ln 1 2 2 f x xG x x x     ，   2 1 ln xG x x   ， 故  G x 在 0,e 上是增函数，在 e, 上是减函数，故  max 1 1 1e 2G x    ，     1 2 f xf x x x     ；………………………8 分 （3）不等式  mf x a x  对所有的 30, 2m      ， 21,ex     都成立， 则 lna m x x  对所有的 30, 2m      ， 21,ex     都成立， 令   lnH x m x x  ， 30, 2m      ， 21,ex     是关于 m 的一次函数， 21,ex     ，  ln 0,2x  ，当 0m  时，  H m 取得最小值 x ， 即 a x  ，当 21,ex     时，恒成立，故 2ea   ．……………………………12 分