专题01+函数问题的灵魂--定义域-备战2019高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

专题01+函数问题的灵魂--定义域-备战2019高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

‎【透析高考考法】‎ 在函数的三要素中，函数的定义域是函数的灵魂，对应法则相同的函数只有在定义域相同时才算同一函数.定义域问题始终是函数中最重要的问题，许多问题的解决都是必须先解决定义域，不要就会出现问题.通过对近几年高考试题的分析看出，本课时内容也是高考考查的重点之一，题型是选择题、填空题．试题难度较小. ‎ ‎【万能模板攻略】‎ 方法一 直接法 使用情景：函数的解析式已知的情况下 解题模板：第一步 找出使函数所含每个部分有意义的条件，主要考虑以下几种情形：‎ （1） 分式中分母不为0；‎ （2） 偶次方根中被开方数非负；‎ （3） 的底数不为零；‎ （4） 对数式中的底数大于0、且不等于1，真数大于0；‎ （5） 正切函数的定义域为.‎ 第二步 列出不等式（组）；‎ 第三步 解不等式（组），即不等式（组）的解集即为函数的定义域.‎ 例1 【2018江苏卷】函数的定义域为________．‎ ‎【答案】[2，+∞）‎ ‎【点评】对于类似例题的的函数，可以直接列出不等式组再解答即可得到函数的定义域.‎ ‎【变式演练1】【2018河南省豫北名校联盟精英对抗赛】函数的定义域为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A 例2. 函数的定义域为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】第一步，找出使函数所含每个部分有意义的条件：‎ ①偶次方根中被开方数非负；‎ ②对数式中的真数大于0‎ 第二步，列出不等式组：‎ 第三步，解不等式组，得到函数的定义域：即，解得，即函数的定义域为.‎ ‎【点评】本题主要考查了函数的定义域的求解、一元二次不等式的求解、集合的运算等知识点的综合应用，解答中根据函数的解析式，列出相应的不等式组，求解每个不等式的解集，取交集得到函数的定义域，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力，属于中档试题.‎ ‎【变式演练2】【2018江苏省溧阳市高三调研测试】函数的定义域为________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数有意义，则： ，求解关于实数的不等式组可得函数的定义域为 ‎.‎ 例3 若函数的定义域为，则实数取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【点评】已知函数的定义域求有关参数问题，往往转化为不等式恒成立问题.‎ ‎【变式演练3】 已知函数f（x）=的定义域是R，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：函数的定义域为，只需分母不为即可，所以或 ，可得，故选A．‎ 考点：函数的定义域及其求法．‎ 方法二 抽象复合法 使用情景：涉及到抽象函数求定义域 解题模板：利用抽象复合函数的性质解答：‎ ‎(1)已知函数的定义域为，求复合函数的定义域：‎ 只需解不等式，不等式的解集即为所求函数的定义域.‎ ‎(2)已知复合函数的定义域为，求函数的定义域：‎ 只需根据求出函数的值域，即为函数的定义域.‎ 例4 求下列函数的定义域：‎ ‎（1）已知函数的定义域为，求函数的定义域.‎ ‎（2）已知函数的定义域为，求函数的定义域.‎ ‎（3）已知函数的定义域为，求函数的定义域.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【点评】（1）已知原函数的定义域为，求复合函数的定义域：只需解不等式，不等式的解集即为所求函数的定义域.第1小题就是典型的例子；（2）已知复合函数的定义域为，求原函数的定义域：只需根据求出函数的值域，即得原函数的定义域.第2小题就是典型的例子；（3）求函数的定义域，一般先分别求函数和函数的定义域和，在求，即为所求函数的定义域. ‎ ‎【变式演练4】【2018江苏常州市武进区高三期中考试】若函数的定义域是，则函数的定义域为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】的定义域是 的定义域是 则的定义域为 故答案为 考点：复合函数的定义域 ‎ ‎【变式演练5】【2018山东德州高三期中考试】若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是 (　　)‎ A． [0,1] B． [0,1) C． [0,1)∪(1,4] D． (0,1)‎ ‎【答案】D 考点：抽象函数的定义域.‎ ‎【变式演练6】 已知函数定义域是，则的定义域是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为的定义域是，即，所以，所以函数的定义域为，由得，所以函数的定义域是，故选A.‎ 考点：抽象函数的定义域. ‎ 方法三 实际问题的定义域 使用情景：函数的实际应用问题 解题模板：第一步 求函数的表达式；‎ 第二步 考虑自变量的实际限制条件；‎ 第三步 即得函数的定义域.‎ ‎ ‎ 例5 用长为的铁丝编成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图所示）.若矩形底边长为，求此框架围成的面积与关于的函数解析式，并求出它的定义域.‎ ‎【答案】，函数的定义域为 ‎【点评】（1）求实际问题中函数的定义域，不仅要考虑解析式本身有意义的条件，还有保证实际意义；（2）该题中考虑实际意义时，必须保证解答过程中的每一个变量都要有意义，即，不能遗漏.‎ ‎【变式演练7】【2018江苏省南通市模拟试题】如图所示的某种容器的体积为90cm3，它是由圆锥和圆柱两部分连接而成，圆柱与圆锥的底面半径都为r cm．圆锥的高为h1 cm，母线与底面所成的角为 ‎；圆柱的高为h2 cm．已知圆柱底面的造价为2a元/cm2，圆柱侧面造价为a元/cm2，圆锥侧面造价为a元/cm2．‎ ‎（1）将圆柱的高h2表示为底面半径r的函数，并求出定义域；‎ ‎（2）当容器造价最低时，圆柱的底面半径r为多少？‎ ‎【答案】（1），定义域为（2）总造价最低时，圆柱底面的半径为3cm．‎ ‎ （2）圆锥的侧面积，‎ 圆柱的侧面积，底面积． ‎ ‎ 容器总造价为 ‎ ‎ ‎ ‎ ． ‎ 令，则．令，得．‎ 当时，，在上为单调减函数；‎ 当时，，在上为单调增函数．‎ 因此，当且仅当时，有最小值，y有最小值90元． ‎ 所以，总造价最低时，圆柱底面的半径为3cm．‎ ‎【点评】本题主要考查了导数的实际应用问题，其中解答中根据几何体的结构特征，得到 关于的函数解析式，再利用导数求解函数的单调性和极值（最值）是解答的关键和难点，着重考查了分析问题和解答问题的能力.‎ ‎【模板高考演练】‎ ‎1. 【2017山东理】设函数的定义域，函数的定义域为,则 ‎（A）（1,2） （B） （C）（-2,1） （D）[-2,1)‎ ‎【答案】D ‎【考点】 1.集合的运算2.函数的定义域3.简单不等式的解法.‎ ‎【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.‎ ‎2.【2016·全国卷Ⅱ】 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是(　　)‎ A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝ ‎【答案】D　‎ ‎【解析】 y＝10lg x＝x，定义域与值域均为(0，＋∞)，只有选项D满足题意．‎ ‎3.【2015高考重庆，文3】函数的定义域是（ ）‎ ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎【答案】D ‎【解析】由解得或，故选D.‎ ‎【考点定位】函数的定义域与二次不等式.‎ ‎【名师点睛】本题考查对数函数的定义域与一元二次不等式式的解法，由对数的真数大于零得不等式求解.本题属于基础题，注意不等式只能是大于零不能等于零.‎ ‎4. 【2015高考湖北，文6】函数的定义域为（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎【答案】.‎ ‎【解析】由函数的表达式可知，函数的定义域应满足条件：，解之得，即函数的定义域为，故应选.‎ ‎【考点定位】本题考查函数的定义域，涉及根式、绝对值、对数和分式、交集等内容.‎ ‎【名师点睛】本题看似是求函数的定义域，实质上是将根式、绝对值、对数和分式、交集等知识联系在一起，重点考查学生思维能力的全面性和缜密性，凸显了知识之间的联系性、综合性，能较好的考查学生的计算能力和思维的全面性.‎ ‎5.【2016高考江苏卷】函数y=的定义域是 .‎ ‎【答案】‎ ‎ 6.【2015高考山东，理14】已知函数 的定义域和值域都是 ，则 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】若 ，则 在上为增函数,所以 ，此方程组无解；‎ 若 ，则在上为减函数,所以 ，解得 ，所以.‎ ‎【考点定位】指数函数的性质.‎ ‎【名师点睛】本题考查了函数的有关概念与性质，重点考查学生对指数函数的性质的理解与应用，利用方程的思想解决参数的取值问题，注意分类讨论思想方法的应用.‎ ‎【模板模拟实战】‎ ‎1．（2018·石家庄模拟）函数y＝ln(2－x)的定义域为(　　)‎ A．(0,2)　　　　　　　 B．[0,2)‎ C．(0,1] D．[0,2]‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意知，x≥0且2－x>0，解得0≤x＜2，故其定义域是[0,2)．‎ ‎2． (2018·濮阳检测)函数f(x)＝log2(1－2x)＋的定义域为(　　)‎ A. B. C．(－1,0)∪ D．(－∞，－1)∪ ‎【答案】D ‎ 3. （2017届河南濮阳高三上学期检测二数学（文）试卷）函数的定义域为（ ）‎ A．（0, 1） B．（-1,0） C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，得,所以函数的定义域为，故选A.‎ ‎4.（2018全国名校大联考第四次联考数学） 函数的定义域为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎5．（2017届河北沧州一中高三上学期第一次月考数学（文）试卷）函数的定义域为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：要使函数有意义需满足，解得，故选C.‎ 考点：函数的定义域.‎ ‎6. （2018河南省豫北名校联盟精英对抗赛）函数的定义域为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 由题意，函数满足 ，解得且，‎ ‎ 所以函数的定义域为，故选A.‎ ‎7.(2018·山西名校联考)设函数f(x)＝lg(1－x)，则函数f(f(x))的定义域为(　　)‎ A．(－9，＋∞) B．(－9,1)‎ C．[－9，＋∞) D．[－9,1)‎ ‎【答案】B ‎【解析】　f(f(x))＝f(lg(1－x))＝lg[1－lg(1－x)]，则⇒－9＜x＜1.‎ ‎8. (2018·济南模拟)函数f(x)＝的定义域为________________．‎ ‎【答案】∪(2，＋∞)‎ ‎ 9. （2017届江西上高县二中高三上学期开学考试数学（文）试卷）已知函数定义域是，则的定义域是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为函数定义域是，得，故函数的定义域为，则得，故答案为.‎ 考点：复合函数的定义域.‎ ‎10. (2018·锦州模拟)已知函数f(x2－3)＝lg，则f(x)的定义域为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设t＝x2－3(t≥－3)，则x2＝t＋3，所以f(t)＝lg＝lg，由>0，得t>1或t<－3，因为t≥－3，所以t>1，即f(t)＝lg的定义域为(1，＋∞)，故函数f(x)的定义域为(1，＋∞)．‎