河北省承德市第一中学2020届高三上学期12月月考数学（文）试题

河北省承德市第一中学2020届高三上学期12月月考数学（文）试题

承德一中2019--2020学年度第一学期第3次月考 高三文科数学试卷 一、选择题（每小题5分）‎ ‎1.集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式可得集合A，解可得集合B，进而得到集合A,B的并集．‎ ‎【详解】由题得，，则有，故选D．‎ ‎【点睛】本题考查求集合的并集，属于基础题．‎ ‎2.复数，其中为虚数单位，则的虚部为（ ）‎ A. B. ‎1 ‎C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数共轭的概念得到，再由复数的除法运算得到结果即可.‎ ‎【详解】‎ 虚部为-1，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的共轭复数等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.‎ ‎3.已知是两个命题，那么“是真命题”是“是假命题”的（ ）‎ A. 既不充分也不要必要条件 B. 充分必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由充分必要条件及命题的真假可得：“p∧q是真命题”是“￢p是假命题”的充分不必要条件，得解 ‎【详解】因为“p∧q是真命题”则命题p，q均为真命题，所以￢p是假命题，‎ 由“￢p是假命题”，可得p为真命题，但不能推出“p∧q是真命题”，‎ 即“p∧q是真命题”是“￢p是假命题”的充分不必要条件，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了充分必要条件及命题的真假，属简单题．‎ ‎4.某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：‎ ‎32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42‎ ‎84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04‎ ‎32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45‎ 若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号为（　　）‎ A. 522 B. ‎324 ‎C. 535 D. 578‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据随机抽样的定义进行判断即可．‎ ‎【详解】第行第列开始的数为（不合适），，（不合适），，，，（不合适），（不合适），，（重复不合适），‎ 则满足条件6个编号为，，，，，‎ 则第6个编号为 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题主要考查随机抽样的应用，根据定义选择满足条件的数据是解决本题的关键．‎ ‎5.下表是某个体商户月份x与营业利润y（万元）的统计数据：‎ 月份x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 利润y（万元）‎ ‎4.5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2.5‎ 由散点图可得回归方程，据此模型预测，该商户在5月份的营业利润为（ ）‎ A. 1.5‎万元 B. 1.75万元 C. 2万元 D. 2.25万元 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由表格中的数据求得样本点的中心的坐标，代入回归方程求得a，然后取x＝5求得y值即可．‎ ‎【详解】由表格中的数据求得，，‎ ‎∴样本点的中心的坐标为（2.5，3.5），代入回归方程，‎ 得3.5＝﹣0.7×2.5+a，计算得a＝5.25．∴y＝﹣0.7x+5.25，‎ 当x＝5，可得y＝﹣0.7×5+5.25＝1.75万元．即该商户在5月份的营业利润为1.75万元．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了线性回归方程的求法，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，属于基础题．‎ ‎6.阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用已知条件列出方程组，求出a，b，即可得到椭圆方程．‎ ‎【详解】由题意可得：，解得a＝4，b＝3，‎ 因为椭圆的焦点坐标在y轴上，所以椭圆方程为：．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎7.如图所示，中，点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量的加减运算求解即可 ‎【详解】据题意，‎ ‎．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查向量加法、减法以及向量的数乘运算，是基础题 ‎8.已知定义在上的函数，设两曲线与在公共点处的切线相同，则值等于（ ）‎ A. 5 B. ‎3 ‎C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求得和的导数，令它们的导数相等，求得切点的横坐标，进而求得纵坐标，代入求得的值.‎ ‎【详解】，令，解得，这就是切点的横坐标，代入求得切点的纵坐标为，将代入得.故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数导数与切线，考查两个函数公共点的切线方程，有关切线的问题关键点在于切点和斜率.属于基础题.‎ ‎9.一个几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点在正视图上的对应点为，点在俯视图上的对应点为，则与所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图知该几何体是直四棱锥，找出异面直线PA与BC所成的角，再计算所成角的余弦值．‎ ‎【详解】由三视图知，该几何体是直四棱锥P﹣ABCD，且PD⊥平面ABCD，如图所示；‎ 取CD的中点M，连接AM、PM，则AM∥BC，∴∠PAM或其补角是异面直线PA与BC所成的角，‎ ‎△PAM中，PA＝2，AM＝PM，‎ ‎∴cos∠PAM，又异面直线所成角为锐角 即PA与BC所成角的余弦值为．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了异面直线所成的角计算问题，可以根据定义法找角再求值，也可以用空间向量法计算，是基础题．‎ ‎10.如图，在平面直角坐标系中，质点间隔3分钟先后从点，绕原点按逆时针方向作角速度为弧度/分钟的匀速圆周运动，则与的纵坐标之差第4次达到最大值时，运动的时间为（ ）‎ A. 37.5分钟 B. 40.5分钟 C. 49.5分钟 D. 52.5分钟 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】分析：由题意可得：yN=，yM=，计算yM﹣yN=sin，即可得出．‎ 详解：由题意可得：yN=，yM=∴yM﹣yN= yM﹣yN=sin，‎ 令sin=1，解得：=2kπ+，x=12k+，‎ k=0，1，2，3．‎ ‎∴M与N的纵坐标之差第4次达到最大值时，N运动的时间=3×12+=37.5（分钟）．‎ 故选A．‎ 点睛：本题考查了三角函数的图象与性质、和差公式、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．也查到了三角函数的定义的应用，三角函数的定义指的是单位圆上的点坐标和这一点的旋转角之间的关系.‎ ‎11.已知点、、、均在球上，，，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：设的外接圆的半径为，，，‎ ‎，，，三棱锥的体积的最大值为，到平面的最大距离为，设球的半径为，则，，球的表面积为，故选B．‎ 考点：球内接多面体．‎ ‎【思路点睛】本题考查球的半径，考查球的体积的计算，首先要从题目中分析出主要信息，进而求出球的半径．确定到平面的最大距离是关键．确定，，利用三棱锥的体积的最大值为，可得到平面的最大距离，再利用勾股定理，即可求出球的半径，即可求出球的表面积．‎ ‎12.定义在上函数满足，且对任意的不相等的实数有成立，若关于x的不等式在上恒成立，则实数m的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合题意可知是偶函数,且在单调递减,化简题目所给式子,建立不等式,结合导函数与原函数的单调性关系,构造新函数,计算最值,即可.‎ ‎【详解】结合题意可知为偶函数,且在单调递减,故 可以转换为 对应于恒成立,即 即对恒成立 即对恒成立 令,则上递增,在上递减,‎ 所以 令,在上递减 所以.故,故选B.‎ ‎【点睛】本道题考查了函数的基本性质和导函数与原函数单调性关系,计算范围,可以转化为函数,结合导函数,计算最值,即可得出答案.‎ 二、填空题（每小题5分）‎ ‎13.若函数的零点为，则________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由函数零点的定义可得f（﹣2）＝log2（a﹣2）＝0，解可得a的值，即可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，若函数f（x）＝log2（x+a）的零点为﹣2，‎ 则f（﹣2）＝log2（a﹣2）＝0，即a﹣2＝1，‎ 解可得a＝3，‎ 故答案为3‎ ‎【点睛】本题考查函数的零点，关键是掌握函数零点的定义，属于基础题．‎ ‎14.若满足约束条件，则的最小值为_____‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．‎ ‎【详解】由约束条件作出可行域如图阴影所示，‎ 化目标函数z＝2x+y为y＝﹣2x+z，‎ 由图可知，当直线y＝﹣2x+z过A时直线在y轴上的截距最小，z最小，联立 得A（2,2），故z的最小值为6‎ 故答案为6‎ 点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ ‎15.在中,角所对的边分别为,若,且 ，则的面积为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用余弦定理将恒等式中的角转化为边，化简即可求出，再利用余弦定理求出，即可用面积公式求解.‎ ‎【详解】因为，由余弦定理可得 ‎，‎ 化简得，即，因为，所以，‎ 又因为，代入，得 解得（舍去），‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查了余弦定理在解三角形中的运用，以及面积公式得应用，属于中档题.对于解三角形中恒等式的处理，主要有两个方向：（1）角化成边，然后进行代数化简；（1）边化角，然后利用三角恒等变换相关公式进行化简.‎ ‎16.已知双曲线的右焦点为，左顶点为.以为圆心，为半径的圆交的右支于两点，的一个内角为，则的离心率为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得PA⊥PB，又，△APQ的一个内角为60°，即有△PFB为等腰三角形，PF＝PA＝a+c，运用双曲线的定义和离心率公式，计算即可得到所求．‎ ‎【详解】如图，设左焦点为F1，圆于x轴的另一个交点为B，‎ ‎∵△APQ的一个内角为60°‎ ‎∴∠PAF＝30°，∠PBF＝60°⇒PF＝AF＝a+c，‎ ‎⇒PF1＝‎3a+c，‎ ‎△PFF1中，由余弦定理可得．‎ ‎⇒‎3c2﹣ac﹣‎4a2＝0⇒3e2﹣e﹣4＝0⇒，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查直径所对的圆周角为直角，以及等腰三角形的性质，考查离心率公式的运用，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17.已知数列等差数列，，且依次成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项和为，若，求的值.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设等差数列的公差为d，运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；‎ ‎（2）求得bn（），运用裂项相消求和可得Sn，解方程可得n．‎ ‎【详解】解：（1）设数列{an}为公差为d的等差数列，‎ a7﹣a2＝10，即5d＝10，即d＝2，‎ a1，a6，a21依次成等比数列，可得 a62＝a‎1a21，即（a1+10）2＝a1（a1+40），‎ 解得a1＝5，‎ 则an＝5+2（n﹣1）＝2n+3；‎ ‎（2）bn（），‎ 即有前n项和为Sn（）‎ ‎（），‎ 由Sn，可得5n＝4n+10，‎ 解得n＝10．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，以及方程思想和运算能力，属于基础题．‎ ‎18.如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，为的中点．‎ ‎（1）求证：BM∥平面ADEF；‎ ‎（2）求证：平面BDE⊥平面BEC．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取DE中点N，连接MN，AN，由三角形中位线定理得，四边形ABMN为平行四边形，即BM∥AN，再由线面平行的判定定理即可得到BM∥平面ADEF；‎ ‎（2）由已知中正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，我们易得到ED⊥BC，解三角形BCD，可得BC⊥BD，由线面垂直的判定定理，可得BC⊥平面BDE，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面BDE⊥平面BEC．‎ ‎【详解】（1）取DE中点N，连接MN，AN，在△EDC中，M，N分别为EC，ED的中点 ‎∴MN∥CD，且MN＝CD，由已知AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，∴MN∥AB，且MN＝AB ‎∴四边形ABMN为平行四边形，∴BM∥AN，又∵AN⊂平面ADEF，BM⊄平面ADEF，‎ ‎∴BM∥平面ADEF.‎ ‎（2）∵ADEF为正方形，∴ED⊥AD，又∵平面平面，且平面平面，且ED⊂平面ADEF，‎ ‎∴ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BC，在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝2，CD＝4，可得BC＝2，‎ 在△BCD中，BD＝BC＝2，CD＝4，∴BC⊥BD，∴BC⊥平面BDE，‎ 又∵BC⊂平面BEC，∴平面BDE⊥平面BEC ‎【点睛】本题考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，熟练掌握空间中直线与平面平行和空间的判定、性质、定义是解答本题的关键，属于基础题．‎ ‎19.已知抛物线，点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且，过点作斜率为的直线与抛物线交于两点.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）求△面积的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用抛物线性质:到焦点距离等于到准线距离,代入即得答案.‎ ‎(2)设直线方程和焦点坐标，联立方程，利用韦达定理得到两根关系，把所求面积分为左右两部分相加，用k表示出来，最后求出函数的最值得到答案．‎ ‎【详解】解：（1）点A到准线距离为：，到焦点距离，所以，，‎ ‎（2）将代入抛物线，，‎ 设直线，设，联立方程：‎ 恒成立 连接AF，则 当时，有最小值为 当时，有最大值为 所以答案为 ‎【点睛】本题考查了抛物线的性质，弦长公式及面积的最值，利用图形把面积分为左右两部分可以简化运算，整体难度较大，注重学生的计算能力．‎ ‎20.某商店销售某海鲜，统计了春节前后50天海鲜的需求量，（，单位：公斤），其频率分布直方图如图所示，该海鲜每天进货1次，商店每销售1公斤可获利50元；若供大于求，剩余的削价处理，每处理1公斤亏损10元；若供不应求，可从其它商店调拨，销售1公斤可获利30元.假设商店每天该海鲜的进货量为14公斤，商店的日利润为元.‎ ‎（1）求商店日利润关于需求量的函数表达式；‎ ‎（2）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替.‎ ‎①求这50天商店销售该海鲜日利润的平均数；‎ ‎②估计日利润在区间内概率.‎ ‎【答案】(1) (2) ①698.8元 ②0.54‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据不同的需求量，整理出函数解析式；（2）①利用频率分布直方图估计平均数的方法，结合利润函数得到平均利润；②根据利润区间，换算出需求量所在区间，从而找到对应的概率.‎ ‎【详解】（1）商店的日利润关于需求量的函数表达式为：‎ 化简得：‎ ‎（2）①由频率分布直方图得：‎ 海鲜需求量在区间的频率是；‎ 海鲜需求量在区间的频率是；‎ 海鲜需求量在区间的频率是；‎ 海鲜需求量在区间的频率是；‎ 海鲜需求量在区间的频率是；‎ 这50天商店销售该海鲜日利润的平均数为：‎ ‎（元）‎ ‎②由于时，‎ 显然在区间上单调递增，‎ ‎，得；‎ ‎，得；‎ 日利润在区间内的概率即求海鲜需求量在区间的频率：‎ ‎【点睛】本题考查利用频率分布直方图估计平均数的问题，关键在于能够熟练掌握统计中用样本估计总体的方法，平均数的估计方法为每组区间的中点值与每组区间对应的频率的乘积的总和.‎ ‎21.已知函数.其中 ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）当时，，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对求导得，按，，分类讨论的正负，即可得的单调区间；‎ ‎（2）由及（1）知，当时，不合题意；当时，恒成立，由，得，要使，则当时，恒成立，解出的取值范围即可.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎①当时，，令，解得，，且，‎ 当时，；当时，，‎ 所以，的单调递增区间是，单调递减区间是和；‎ ‎②当时，，所以，的单调递增区间是，单调递减区间是；‎ ‎③当时，令，解得，，并且，‎ 当时，；当时，.‎ 所以的单调递增区间是和，单调递减区间是；‎ 综上：当时，的单调递增区间是，单调递减区间是和；‎ 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；‎ 当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是.‎ ‎（2）由及（1）知，‎ ‎①当时，，不恒成立，因此不合题意；‎ ‎②当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是 ‎.‎ ‎，得，，‎ 当时，要使，则当时，恒成立，‎ 即，故，所以.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间，极值，恒成立等问题，也考查了分类讨论的思想，解不等式，属于中档题.‎ ‎22.[选修4-4：坐标系与参数方程] ‎ 在直角坐标系中，点，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于，两点.‎ ‎（1）求曲线与直线交点的极坐标（，）；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】（1），.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用转换关系，把直线与曲线的参数方程化为直角坐标方程，再联立直线与圆的普通方程，求得交点坐标，化为极坐标即可．‎ ‎（2）先求得曲线的普通方程，再将直线的参数方程与抛物线的普通方程联立，利用直线参数的几何意义结合一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．‎ ‎【详解】（1）直线的普通方程为，曲线的普通方程为.‎ 联立，解得或，‎ 所以交点的极坐标为，.‎ ‎（2）曲线的直角坐标方程为，‎ 将，代入得.‎ 设，两点对应的参数分别为，，则有，‎ 所以，‎ 解得.‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，考查了直线的参数方程的应用，考查了一元二次方程根和系数关系的应用及运算能力和转化能力，属于基础题型．‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）若函数的最小值为2，求实数的值；‎ ‎（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 或. (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用绝对值不等式可得=2，即可得出的值.‎ ‎（2）不等式在上恒成立等价于在上恒成立，故的解集是的子集，据此可求的取值范围.‎ ‎【详解】解：（1）因为，‎ 所以.令，得或，解得或.‎ ‎（2）当时，.‎ 由，得，即，即.‎ 据题意，，则，解得.‎ 所以实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】（1）绝对值不等式指：及，我们常利用它们求含绝对值符号的函数的最值.‎ ‎（2）解绝对值不等式的基本方法有公式法、零点分段讨论法、图像法、平方法等，利用公式法时注意不等号的方向，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择，利用平方去掉绝对值符号时注意代数式的正负，而利用图像法求解时注意图像的正确刻画．‎