2019届二轮复习小题专练圆锥曲线的定义方程及性质课件（52张）

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第二篇　重点专题分层练 ， 中高档题得高分 第 18 练　圆锥曲线的定义、方程及性质 [ 小题提速练 ] 明晰 考 情 1. 命题角度：圆锥曲线是高考的热点，每年必考，小题中考查圆锥曲线的定义、方程、离心率等 . 2 . 题目难度：中档难度或偏难 . 核心考点突破练 栏目索引 易错易混专项练 高考押题冲刺练 考点一　圆锥曲线的定义与标准方程 方法技巧 　 (1) 椭圆和双曲线上的点到两焦点的距离可以相互转化，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离 . (2) 求圆锥曲线方程的常用方法：定义法、待定系数法 . 核心考点突破练 1. 已知 A (0,7) ， B (0 ，－ 7) ， C (12,2) ，以 C 为一个焦点作过 A ， B 的椭圆，则椭圆的另一个焦点 F 的轨迹方程是 √ 解析　 由两点间距离公式，可得 | AC | ＝ 13 ， | BC | ＝ 15 ， | AB | ＝ 14 ， 因为 A ， B 都在椭圆上 ， 所以 | AF | ＋ | AC | ＝ | BF | ＋ | BC | ， | AF | － | BF | ＝ | BC | － | AC | ＝ 2<14 ， 故 F 的轨迹是以 A ， B 为焦点的双曲线的下支 . 由 c ＝ 7 ， a ＝ 1 ，得 b 2 ＝ 48 ， 所以 点 F 的轨迹方程是 y 2 － ＝ 1( y ≤ － 1) ，故选 C. 答案 解析 ∴ 双曲线渐近线方程为 y ＝ ± x . 答案 解析 √ 3. 已知 椭圆 的 两个焦点是 F 1 ， F 2 ，点 P 在该椭圆上，若 | PF 1 | － | PF 2 | ＝ 2 ，则 △ PF 1 F 2 的面积是 _____. 答案 解析 且 | PF 1 | ＋ | PF 2 | ＝ 2 a ＝ 4 ，又 | PF 1 | － | PF 2 | ＝ 2 ， 所以 | PF 1 | ＝ 3 ， | PF 2 | ＝ 1. 所以有 | PF 1 | 2 ＝ | PF 2 | 2 ＋ | F 1 F 2 | 2 ，即 △ PF 1 F 2 为直角三角形 ， 且 ∠ PF 2 F 1 为直角， 解析　 由题意得抛物线的标准方程为 x 2 ＝ 16 y ， 焦点 F (0,4) ， 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 由 | AB | ≤ | AF | ＋ | BF | ＝ ( y 1 ＋ 4) ＋ ( y 2 ＋ 4) ＝ y 1 ＋ y 2 ＋ 8 ， ∴ y 1 ＋ y 2 ≥ 16 ，则线段 AB 的中点 P 的纵坐标 y ＝ ≥ 8 ， ∴ 线段 AB 的中点 P 离 x 轴最近时点 P 的纵坐标为 8. 答案 解析 8 考点二　圆锥曲线的几何性质 √ 答案 解析 √ 答案 解析 解析　 如图，过点 F 1 向 OP 的反向延长线作垂线 ， 垂足 为 P ′ ，连接 P ′ F 2 ， 由 题意可知，四边形 PF 1 P ′ F 2 为平行四边形 ， 且 △ PP ′ F 2 是直角三角形 . 因为 | F 2 P | ＝ b ， | F 2 O | ＝ c ，所以 | OP | ＝ a . 解析 7. 在平面直角坐标系 xOy 中， 双曲线 ( a ＞ 0 ， b ＞ 0) 的右支与 焦点为 F 的抛物线 x 2 ＝ 2 py ( p ＞ 0) 交于 A ， B 两点，若 | AF | ＋ | BF | ＝ 4| OF | ，则该 双 曲线 的渐近线方程为 _________. 答案 解析　 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 又 ∵ | AF | ＋ | BF | ＝ 4| OF | ， 8. 已知双曲线 C ： ( a >0 ， b >0) 的右顶点为 A ，以 A 为圆心， b 为半径作圆 A ，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M ， N 两点 . 若 ∠ MAN ＝ 60° ， 则 C 的离心率为 ______. 答案 解析 解析　 如图，由题意知点 A ( a ， 0 ) ， 又 ∠ MAN ＝ 60° ， | MA | ＝ | NA | ＝ b ， ∴△ MAN 为等边三角形， 考点三　圆锥曲线的综合问题 方法技巧 　 (1) 圆锥曲线范围、最值问题的常用方法 定义性质转化法；目标函数法；条件不等式法 . (2) 圆锥曲线中的定值、定点问题可以利用特例法寻求突破，然后对一般情况进行证明 . 9. 如图，点 F 1 ， F 2 是椭圆 C 1 的左、右焦点，椭圆 C 1 与双曲线 C 2 的渐近线交于点 P ， PF 1 ⊥ PF 2 ，椭圆 C 1 与双曲线 C 2 的离心率分别为 e 1 ， e 2 ，则 √ 答案 解析 点 P 的坐标为 ( x 0 ， y 0 ) ，由图知 x 0 ＞ 0 ， y 0 ＞ 0 ， 因为点 P 在椭圆 C 1 上，所以 | PF 1 | ＋ | PF 2 | ＝ 2 a . ① 又因为 PF 1 ⊥ PF 2 ，所以 | PF 1 | 2 ＋ | PF 2 | 2 ＝ 4 c 2 ， ② 在 Rt △ PF 1 F 2 中，易得 | PF 1 |·| PF 2 | ＝ 2 c · y 0 ， ③ 因为点 P 在双曲线的渐近线上， 10. 设 O 为坐标原点， P 是以 F 为焦点的抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p >0) 上任意一点， M 是线段 PF 上的点，且 | PM | ＝ 2| MF | ，则直线 OM 的斜率的最大值为 √ 答案 解析 解析　 如图， 当 y 0 <0 时， k OM <0 ； 当 y 0 >0 时， k OM >0. 要求 k OM 的最大值，不妨设 y 0 >0 ， 11. 过抛物线 y ＝ ax 2 ( a >0) 的焦点 F 作一条直线交抛物线于 A ， B 两点，若线段 AF ， BF 的长分别为 m ， n ， 则 ＝ _____. 答案 解析 答案 解析 [1 ， 4] 解析　 由已知得 2 b ＝ 2 ，故 b ＝ 1 ， 又 a 2 － c 2 ＝ ( a － c )( a ＋ c ) ＝ b 2 ＝ 1 ， ∴ 1 ≤ － | PF 1 | 2 ＋ 4| PF 1 | ≤ 4 ， 易错易混专项练 √ 答案 解析 2. 若椭圆的对称轴是坐标轴，且短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到同侧顶点的距离 为 则 椭圆的方程为 _____________ _________ _ __. 答案 解析 所以 b 2 ＝ a 2 － c 2 ＝ 9. 3. 已知 A (1,2) ， B ( － 1,2) ，动点 P 满足 ( a >0 ， b >0) 的 渐近线与动点 P 的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是 ______. 答案 解析 (1,2) 解析　 设 P ( x ， y ) ，由题设条件， 得动点 P 的轨迹为 ( x － 1)( x ＋ 1) ＋ ( y － 2)( y － 2) ＝ 0 ， 即 x 2 ＋ ( y － 2) 2 ＝ 1 ，它是以 (0,2) 为圆心， 1 为半径的圆 . 即 bx ± ay ＝ 0 ， 又 e >1 ，故 1< e <2. 解题秘籍 　 (1) 椭圆的焦点位置不明确时，要分焦点在 x 轴上或 y 轴上进行讨论 . (2) 范围问题要注意圆锥曲线上点的坐标的范围和几何意义，不要忽略离心率本身的限制条件 . √ 故选 C. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考押题冲刺练 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 可得 a 2 ＋ b 2 ＝ 9 . ② 由 ①② 可得 a 2 ＝ 4 ， b 2 ＝ 5. 故选 B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. 过抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p ＞ 0) 的焦点作直线交抛物线于 P ， Q 两点，若线段 PQ 中点的横坐标为 3 ， | PQ | ＝ 10 ，则抛物线的方程是 A. y 2 ＝ 4 x B. y 2 ＝ 2 x C. y 2 ＝ 8 x D. y 2 ＝ 6 x √ 解析　 设抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p ＞ 0) 的焦点为 F ， P ( x 1 ， y 1 ) ， Q ( x 2 ， y 2 ) ， 由抛物线的定义可知， 答案 解析 ∵ 线段 PQ 中点的横坐标为 3 ，又 | PQ | ＝ 10 ， ∴ 10 ＝ 6 ＋ p ，可得 p ＝ 4 ， ∴ 抛物线的方程为 y 2 ＝ 8 x . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. 已知椭圆 C 1 ： ＋ y 2 ＝ 1( m ＞ 1) 与双曲线 C 2 ： － y 2 ＝ 1( n ＞ 0) 的焦点重合， e 1 ， e 2 分别为 C 1 ， C 2 的离心率，则 A. m ＞ n 且 e 1 e 2 ＞ 1 B. m ＞ n 且 e 1 e 2 ＜ 1 C. m ＜ n 且 e 1 e 2 ＞ 1 D. m ＜ n 且 e 1 e 2 ＜ 1 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 由题意可得 m 2 － 1 ＝ n 2 ＋ 1 ，即 m 2 ＝ n 2 ＋ 2 ， ∵ m ＞ 0 ， n ＞ 0 ，故 m ＞ n . ∴ e 1 e 2 ＞ 1. √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 如图，不妨设 A 在 B 的上方， 其中的一条渐近线为 bx － ay ＝ 0 ， 故选 C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 不妨设 P 为双曲线右支上一点， | PF 1 | ＝ r 1 ， | PF 2 | ＝ r 2 . 根据双曲线的定义，得 r 1 － r 2 ＝ 2 a ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 9. 设 F 1 ， F 2 分别是 椭圆 的 左、右焦点， P 为椭圆上任一点，点 M 的坐标为 (6,4) ，则 | PM | ＋ | PF 1 | 的最大值为 ____. 15 所以 c ＝ 3 ，得焦点为 F 1 ( － 3,0) ， F 2 (3,0). 根据椭圆的定义，得 | PM | ＋ | PF 1 | ＝ | PM | ＋ (2 a － | PF 2 |) ＝ 10 ＋ (| PM | － | PF 2 |). 因为 | PM | － | PF 2 | ≤ | MF 2 | ，当且仅当 P 在 MF 2 的延长线上时等号成立， 此时 | PM | ＋ | PF 1 | 的最大值为 10 ＋ 5 ＝ 15. 10. 已知 F 是抛物线 C ： y 2 ＝ 8 x 的焦点， M 是 C 上一点， FM 的延长线交 y 轴于点 N . 若 M 为 FN 的中点，则 | FN | ＝ ___. 解析　 如图，不妨设点 M 位于第一象限内，抛物线 C 的准线交 x 轴于点 A ，过点 M 作准线的垂线，垂足为点 B ，交 y 轴于点 P ， ∴ PM ∥ OF . 由题意知， F (2,0) ， | FO | ＝ | AO | ＝ 2. ∵ 点 M 为 FN 的中点， PM ∥ OF ， ∴ | MP | ＝ | FO | ＝ 1. 又 | BP | ＝ | AO | ＝ 2 ， ∴ | MB | ＝ | MP | ＋ | BP | ＝ 3. 由抛物线的定义知 | MF | ＝ | MB | ＝ 3 ，故 | FN | ＝ 2| MF | ＝ 6 . 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6 11. 已知抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p >0) 上的一点 M (1 ， t )( t >0) 到焦点的距离为 5 ， 双曲线 ( a >0) 的左顶点为 A ，若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行，则实数 a 的值为 ___. 由于双曲线的左顶点 A ( － a ， 0) ， 且直线 AM 平行于双曲线的一条渐近线， 答案 解析 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 解析　 设 P ( x ， y )( y ≠ 0) ，取 MF 1 的中点 N ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 整理得 ( x － c ) 2 ＋ y 2 ＝ c 2 ( y ≠ 0) ， 所以点 P 的轨迹为以 ( c ， 0 ) 为 圆心， c 为半径的圆 ( 去除两点 (0,0) ， ( 2 c ， 0 )) ， 要 使得圆与椭圆有公共点， 则 a － c ＜ c ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 本课结束