【数学】2021届一轮复习人教A版不含参数的极值点问题学案

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【数学】2021届一轮复习人教A版不含参数的极值点问题学案

函数的极值点偏移问题,其实是导数应用问题,呈现的形式往往非常简洁,涉及函数的双零点,是一个多元数学问题,不管待证的是两个变量的不等式,还是导函数的值的不等式,解题的策略都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解,途径都是构造一元函数.‎ 例.(2018天津理)已知函数 ,如果,且.‎ 证明:‎ 构造函数,‎ 则,所以在上单调递增,,‎ 也即对恒成立.由,则,‎ 所以,‎ 即,又因为,且在上单调递减,‎ 所以,即证 ‎ 法三:由,得,化简得…,‎ 不妨设,由法一知,.‎ 令,则,代入式,得,反解出,‎ 则,故要证,即证,‎ 又因为,等价于证明:…‚,‎ 构造函数,则,‎ 故在上单调递增,,‎ 从而也在上单调递增,,‎ 构造,则,‎ 又令,则,‎ 由于对恒成立,故,在上单调递增,‎ 所以,从而,故在上单调递增,‎ 由洛比塔法则知:,‎ 即证,即证ƒ式成立,也即原不等式成立.‎ ‎【点评】以上四种方法均是为了实现将双变元的不等式转化为单变元不等式,方法一、二利用构造新的函数来达到消元的目的,方法三、四则是利用构造新的变元,将两个旧的变元都换成新变元来表示,从而达到消元的目的.‎ 例.(2018湖南文)已知函数,证明:当时,‎ ‎【解析】易知,在上单调递增,在上单调递减. ‎ 招式演练:‎ ‎★已知函数,正实数满足.‎ 证明:.[‎ ‎【解析】由,得 从而,令,构造函数,‎ 得,可知在上单调递减,在上单调递增,学&科网 所以,也即,解得:.‎ ‎★已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求函数的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)若方程 有两个相异实根,,且,证明:.‎ ‎【答案】(Ⅰ)在(0,1)递增, 在(1,+ 递减;(Ⅱ)见解析 ‎(2)由(1)可设的两个相异实根分别为,满足 且,,由题意可知 ‎ 又有(1)可知在递减,故,所以,令 ‎ ‎ ‎ ‎
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