2020年高中数学第二讲讲明不等式的基本方法达标检测新人教A版选修4-5
第二讲 讲明不等式的基本方法
达标检测
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．用分析法证明不等式的推论过程一定是( )
A．正向、逆向均可进行正确的推理
B．只能进行逆向推理
C．只能进行正向推理
D．有时能正向推理，有时能逆向推理
解析：在用分析法证明不等式时，是从求证的不等式出发，逐步探索使结论成立的充分条件，故只能进行逆向推理．
答案：B
2．已知a>2，b>2，则有( )
A．ab≥a＋b B．ab≤a＋b
C．ab>a＋b D．ab
2，b>2，
∴<，<，∴<＋＝1.
答案：C
3．用反证法证明命题“如果a”时，假设的内容应是( )
A.＝ B．<
C.＝且> D．＝或<
解析：与的大小关系包括>，＝，<，
∴应假设的内容为＝或<.
答案：D
4．已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是( )
A．c≥b>a B．a>c≥b
C．c>b>a D．a>c>b
解析：∵c－b＝(a－2)2≥0，∴c≥b.
由题中两式相减，得b＝a2＋1，
∴b－a＝a2－a＋1＝2＋>0，
8
∴b>a，∴c≥b>a.
答案：A
5．已知a>b>c>0，A＝a2ab2bc2c，B＝ab＋cbc＋aca＋b，则A与B的大小关系是( )
A．A>B B．Ab>c>0，∴A>0，B>0.
∴＝＝aa－baa－cbb－cbb－acc－acc－b
＝a－ba－cb－c.
∵a>b>0，∴>1，a－b>0.
∴a－b>1.
同理b－c>1，a－c>1.
∴>1，∴A>B.
答案：A
6．若0>，∴logx3>logy3，故B错误．
∵y＝log4 x在(0，＋∞)上是增函数且0y，故D错误．
答案：C
7．设a、b、c∈R，且a、b、c不全相等，则不等式a3＋b3＋c3≥3abc
8
成立的一个充要条件是( )
A．a，b，c全为正数 B．a，b，c全为非负实数
C．a＋b＋c≥0 D．a＋b＋c>0
解析：a3＋b3＋c3－3abc＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－ac－bc)＝
(a＋b＋c)[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]，而a、b、c不全相等⇔(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2>0.
∴a3＋b3＋c3－3abc≥0⇔a＋b＋c≥0.
答案：C
8．若实数a，b满足a＋b＝2，则3a＋3b的最小值是( )
A．18 B．6
C．2 D．2
解析：3a＋3b≥2＝2·＝2×3＝6(当且仅当a＝b＝1时，等号成立)．
答案：B
9．要使－<成立，a，b应满足的条件是( )
A．ab<0且a>b
B．ab>0且a>b
C．ab<0且a0且a>b或ab<0且a0时，有<，即b，即b>a.
答案：D
10．已知a，b，c，d都是实数，且a2＋b2＝1，c2＋d2＝1.则ac＋bd的范围为( )
A．[－1,1] B．[－1,2)
C．(－1,3] D．(1,2]
解析：因为a，b，c，d都是实数，
所以|ac＋bd|≤|ac|＋|bd|≤＋＝＝1.
所以－1≤ac＋bd≤1.
答案：A
11．在△ABC中，A，B，C分别为a，b，c所对的角，且a，b，c成等差数列，则B适合的条件是( )
8
A．0N>P>Q B．M >P>N>Q
C．M >P>Q>N D．N>P>Q>M
解析：∵α∈，∴0>sin α>cos α，∴|sin α|<|cos α|，
∴P＝|sin α＋cos α|＝(|sin α|＋|cos α|)>(|sin α|＋|sin α|)＝|sin α|＝M，排除A、B、C，故选D项．
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)
13．设a＝－，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小顺序是________．
解析：a－b＝－－＋＝＋－(＋)，
而(＋)2＝8＋2，(＋)2＝8＋2，
∴＋>＋.∴a－b>0，即a>b.
同理可得b>c.∴a>b>c.
答案：a>b>c
8
14．用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时的反设是________．
解析：三角形的内角中钝角的个数可以为0个，1个，最多只有一个即为0个或1个，其对立面是“至少两个”．
答案：三角形中至少有两个内角是钝角
15．已知a，b，c，d都为正数，且S＝＋＋＋，则S的取值范围是________．
解析：由放缩法，得<<；
<<；
<<；
<<.
以上四个不等式相加，得10，a，b∈R，求证：2≤.
证明：因为m>0，所以1＋m>0.
所以要证2≤，
即证(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)，
即证m(a2－2ab＋b2)≥0，
即证(a－b)2≥0.
而(a－b)2≥0显然成立，
故2≤.
19．(12分)已知a>b>0，试比较与的大小．
解析：∵a>b>0，∴>0，>0.
又∵＝
＝＝
＝1＋>1，
∴>.
20．(12分)若01，(2－b)c>1，(2－c)a>1
那么≥>1，
①
同理>1，
②
>1，
③
由①＋②＋③得3>3，
8
上式显然是错误的，
∴该假设不成立，
∴(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能同时大于1.
21．(13分)求证：2(－1)<1＋＋＋…＋<2(n∈N＋)．
证明：∵>＝2(－)，k∈N＋，
∴1＋＋＋…＋
>2[(－1)＋(－)＋…＋(－)]
＝2(－1)．
又<＝2(－)，k∈N＋，
∴1＋＋＋…＋
<1＋2[(－1)＋(－)＋…＋(－)]
＝1＋2(－1)＝2－1<2.
故原不等式成立．
22．(13分)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋2n，
数列{bn}的前n项和Tn＝2－bn.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)设cn＝a·bn，证明当n≥3时，cn＋1
查看更多
