2017-2018学年河南省南阳市第一中学高二上学期第三次月考数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年河南省南阳市第一中学高二上学期第三次月考数学（文）试题（解析版）

河南省南阳市第一中学2017-2018学年高二上学期第三次月考数学（文）试题 一、单选题 ‎1．设是非零实数，若，则下列不等式成立的是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：当时，A，D不正确；当不能确定正负，所以不正确，当，所以C正确．‎ 考点：不等式的性质 ‎2．为等比数列的前项和， ，则（ ）‎ A. 12 B. 21 C. 36 D. 48‎ ‎【答案】B ‎【解析】设等比数列的公比为，‎ 则 ‎，‎ 故选：B ‎3．过椭圆， 的左焦点，作轴的垂线交椭圆于点， 为右焦点.若，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意知点P的坐标为或，‎ ‎∵∠F1PF2=60°，∴，‎ 即.‎ ‎∴，‎ 解得： 或 (舍去).‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：‎ ‎①求出a，c，代入公式；‎ ‎②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．‎ ‎4．已知等差数列1， ， ，等比数列4， ， ，则该等比数列的公比为（ ）‎ A. B. C. 或 D. 10或 ‎【答案】C ‎【解析】成等差数列， ， ① 又，成等比数列， ， ② 由①②得或，等比数列为或，公比为或，故选C.‎ ‎5．在中，角的对边分别为，若，则此三角形外接圆的半径（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴此三角形外接圆的直径2‎ ‎∴‎ 故选：D ‎6．若变量满足约束条件则的最小值为（ ）‎ A. B. 6 C. D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示：‎ 结合目标函数的几何意义可知：目标函数在点处取得最小值.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：(1)求目标函数最值的一般步骤为：一画、二移、三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．‎ ‎(2)在约束条件是线性的情况下，线性目标函数只有在可行域的顶点或者边界上取得最值．在解答选择题或者填空题时可以根据可行域的顶点直接进行检验．‎ ‎7．已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若 (其中位于之间)，且，则抛物线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图，过A作AD垂直于抛物线的准线，垂足为D，‎ 过B作BE垂直于抛物线的准线，垂足为E，G为准线与x轴的焦点，‎ 由抛物线的定义，|BF|=|BE|，|AF|=|AD|=4，‎ ‎∵|BC|=2|BF|，∴|BC|=2|BE|，则∠DCA=30°，‎ ‎∴|AC|=2|AD|=8，可得|CF|=8﹣4=4，‎ ‎∴|GF|==2，即p=|GF|=2，‎ ‎∴抛物线方程为：y2=4x，‎ 故选：B．‎ 点睛：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．‎ ‎8．已知双曲线的两条渐近线均和圆相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：双曲线的渐近线为，所以， 变形为，所以圆心为 ，所以双曲线方程为 考点：双曲线方程及性质 视频 ‎9．已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值为（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】：抛物线，抛物线的焦点坐标（1，0）．‎ 依题点P到点A（0，2）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值，就是P到（0，2）与P到该抛物线准线的距离的和减去1．‎ 由抛物线的定义，可得则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线焦点坐标的距离之和减1，‎ 可得： ．‎ 故选：D．‎ ‎10．如图， 是椭圆与双曲线的公共焦点， 分别是在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，所以由题设，由椭圆定义可得，所以，又因为，所以由双曲线的定义可得，所以双曲线的离心率，应选答案D。‎ ‎11．、分别是椭圆的左顶点和上顶点， 是该椭圆上的动点，则 面积的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得点、的坐标分别为，‎ ‎∴，且直线的方程为。‎ 设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为，‎ 由消去y整理得，‎ ‎∵直线与椭圆相切，‎ ‎∴，‎ 解得或（舍去）。‎ ‎∴所求切线的方程为。‎ ‎∴该切线与直线AB间的距离。‎ 由题意得当点C为切点时， 的面积最大，且最大面积为 ‎。选B。‎ 点睛：本题考查了数形结合的思想方法，由于是定值，故当三角形的高最大时，面积才最大，由此作为解题的突破点，并结合图形进行分析，发现当点C为与AB平行且与椭圆相切的直线的切点时满足题意，然后根据判别式求得切线方程，并利用两平行线间的距离求得三角形的高即可。‎ ‎12．已知为椭圆的两个焦点， 为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由椭圆定义可得|PF1|+|PF2|=2a，①‎ ‎∵，‎ ‎∴|PF1||PF2|cos∠F1PF2=c2，②‎ 由余弦定理可得|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=4c2，③‎ 由①②③得cos∠F1PF2=≤1，|PF1||PF2|=2a2﹣3c2，‎ ‎∴e≤，‎ ‎∵|PF1||PF2|≤（|PF1|+|PF2|）2=a2，‎ ‎∴2a2﹣3c2≤a2，‎ ‎∴e≥，‎ ‎∴此椭圆离心率的取值范围是[， ]．‎ 故选：D．‎ 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ 二、填空题 ‎13．若，则的取值范围是 . ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以（当且仅当时取等号），即，即；故填．‎ 考点：1.基本不等式；2.指数式的运算法则．‎ ‎14．已知点是椭圆某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设以A（1，1）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（x1，y1），F（x2，y2），‎ ‎∵A（1，1）为EF中点，‎ ‎∴x1+x2=2，y1+y2=2，‎ 把E（x1，y1），F（x2，y2）分别代入椭圆，‎ 可得， ‎ 两式相减，可得（x1+x2）（x1﹣x2）+2（y1+y2）（y1﹣y2）=0，‎ ‎∴2（x1﹣x2）+4（y1﹣y2）=0，‎ ‎∴=﹣‎ ‎∴以A（1，1）为中点椭圆的弦所在的直线方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），‎ 整理，得x+2y﹣3=0．‎ 故答案为：x+2y﹣3=0．‎ 点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.‎ ‎15．已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则 ▲ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设直线l为椭圆的有准线，e为离心率，过A，B分别作AA1，BB1垂直于l，A1，B为垂足，过B作BE垂直于AA1与E，由第二定义得，，由，得，∴‎ 即k=‎ ‎16．给出下列命题：‎ ‎①中角， ， 的对边分别为， ， ，若，则；‎ ‎②， ，若，则；‎ ‎③若，则；‎ ‎④设等差数列的前项和为，若，则.‎ 其中正确命名的序号是____________．‎ ‎【答案】①②④‎ ‎【解析】①中， ，函数在上单调递减， ，所以正确；②函数在上单调递增， 若，则，所以正确；③符号不确定的时候， 的正负不确定，所以不正确；④等差数列的前项和为，若，则， ，则 ‎， ，即，则，所以正确，故答案为①②④.‎ 三、解答题 ‎17．如图，在中，已知，且三内角满足： ，建立适当的坐标系，求顶点的轨迹方程. ‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】试题分析：以AB的中点为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系，利用正弦定理得： ，可得C的轨迹为焦点在x轴上的双曲线的右支，即可求顶点C的轨迹方程．‎ 试题解析：‎ 以所在直线为轴， 的垂直平分线为轴，建立如图所示平面直角坐标系 ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴由正弦定理得: ‎ ‎∴.‎ ‎∴由双曲线的定义知，点的轨迹以为焦点，以为实轴长的双曲线的右支（除去与轴的交点）‎ ‎∴‎ ‎∴顶点的轨迹方程为.‎ ‎18．已知公差不为零的等差数列的前项和为，若,且成等比数列.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ ）设数列满足，求数列的前项和 ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ） ‎ ‎【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，由成等比数列及列式求得首项和公差，即可求出数列的通项公式；（Ⅱ）把数列的通项公式代入到，然后利用裂项相消法求数列的前项和.‎ ‎（Ⅰ）数列是等差数列，设的公差为， 成等比数列，‎ ‎ ， ‎ 得 ‎ ‎ ， ‎ ‎ ‎ ‎ 得 ‎ ‎ 得 ‎ ‎ （Ⅱ） ‎ ‎∴ ‎ ‎19．在△中，内角所对的边分别是，且， ．‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若△的面积，求的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由正弦定理及，得，即．由，得． ‎ 由余弦定理得（2）由，得．由，解得．‎ 由，解得， ．由余弦定理，得，由正弦定理，得.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由正弦定理及，得， ‎ 即．由，得． ‎ 由余弦定理，得， ‎ 即． ‎ ‎（2） 由，得． ‎ 由，解得．‎ 由，解得， ． ‎ 由余弦定理，得， ‎ 即． ‎ 由正弦定理，得．‎ ‎20．已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线被真线截得的弦长为，求此抛物线方程.‎ ‎【答案】或.‎ ‎【解析】试题分析：设抛物线的方程为，与直线x﹣2y﹣1=0联立，利用弦长公式，即可求抛物线的方程．‎ 试题解析：‎ 设抛物线方程为，‎ 由方程组消去得： ，‎ ‎∵直线与抛物线有两个交点，∴，即或，‎ 设两交点坐标为，则，‎ 弦长为 ‎∵，∴，即，解得或 所求抛物线方程为： 或.‎ ‎21．设函数.‎ ‎（1）当时，求关于的不等式的解集；‎ ‎（2）若在上恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）当时，解集为；当时，解集为或；‎ 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据函数的解析式，可将f（x）＜0化为，分类讨论可得不等式的解集．‎ ‎（2）若在上恒成立，即在区间上恒成立，利用换元法，结合基本不等式，求出函数的最值，可得实数a的取值范围．‎ 试题解析：‎ ‎（1）若，原不等式可化为，解得；‎ 若，原不等式可化为，解得或；‎ 若，原不等式可化为，其解得情况应由与1的大小关系确定，‎ 当时，解得；‎ 当时，解得；‎ 当时，解得.‎ 综上，当时，解集为；‎ 当时，解集为或；‎ 当时，解集为；‎ 当时，解集为；‎ 当时，解集为.‎ ‎（2）由得，‎ ‎∵，∴，∴‎ ‎∴在上恒成立，即在上恒成立，‎ 令，则只需 又∵，∴‎ ‎∴，当且仅当时等式成立.‎ ‎∴的取值范围是.‎ 点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.‎ ‎22．如图，椭圆的右焦点为，右顶点，上顶点分别为且.‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）若斜率为2的直线过点，且交椭圆于两点，且，求椭圆的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）要求椭圆离心率，只要列出一个关于的等式即可，由已知条件知， ，因此所要找的等式就是，结合可求得离心率；（2）由（1）可设椭圆方程为，可设直线与椭圆交点为，直线方程为为，代入椭圆方程后可得，而已知就是，把代入可求得值．‎ 试题解析：（1）由已知 即 ‎（2）由（1）知椭圆 设 直线的方程为 即 即 从而 所以椭圆的方程为 考点：椭圆的几何意义，椭圆的标准方程．‎