2017-2018学年湖南省宁远县第一中学高二12月月考数学（理）试题

2017-2018学年湖南省宁远县第一中学高二12月月考数学（理）试题

‎2017-2018学年湖南省宁远县第一中学高二12月月考理科数学试题 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.）‎ ‎1．命题 “若不是等腰三角形,则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是（ ）‎ A. 若有两个内角相等,则它是等腰三角形 B. 若任何两个内角不相等,则它不是等腰三角形 C. 若是等腰三角形,则它的任何两个内角相等 ‎ D. 若任何两个角相等,则它不是等腰三角形 ‎2．将389化成四进位制数的末位是 （ ） ‎ ‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎3．命题“若，则有实数根”与其逆命题、否命题、逆否命题者四个命题中，假命题的个数是 （ ）‎ A. 0个 B.1个 C.2个 D.4个 ‎4．某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，初级职称90人，现用分层抽样方法抽取一个容量为30的样本，则各职称中抽取的人数分别为 (　 　)‎ A．5，10，15 B．3，9，18 C．5，9，16 　D．3，10，17‎ ‎5．在三棱柱中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点是侧面的中 心，则与平面所成角的大小是 (　 　)‎ A. B． C． D．‎ ‎6.执行右面程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出的S=（ ）‎ A．4 B．5 C．6 D．7 ‎ ‎7. 已知的顶点B、C在椭圆上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则的周长是( )‎ A．　　　　 B．6　　　　 C．　　　 D．12‎ ‎8.设函数，则（ ） ‎ A．为的极大值点 B．为的极小值点 ‎ C．为的极大值点 D．为的极小值点 ‎9.已知函数的导函数为，满足，则等于（ ）‎ A． 8 B．12 C. 9 D．-12 ‎ ‎10.一只蚂蚁在三边长分别为3、4、5的三角形面内爬行，某时间该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎11．过抛物线的焦点,且斜率为的直线交于点(在的x轴上方)，‎ 为的准线，点在上且,则到直线的距离为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎12. 定 义 ： 如 果 函 数 在上 存 在、, 满 足 ‎，则称函数 是上的“双中值函 数”。已知函数是上“双中值函数”，则实数的取值范( )‎ A． (1,3) B． C． D． ‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13. 函数的单调减区间为 . ‎ ‎14．设命题，命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． ‎ ‎15．正四棱锥S-ABCD 的底面边长为，侧棱的长是底面边长的倍，E为侧棱SC上一点，若则 ．‎ ‎16. 设， 函数， 若对任意的，都有 成立，则a的取值范围为___________________。‎ 三、解答题：（本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）‎ ‎17．（10分）给定两个命题：‎ ‎：对任意实数都有恒成立；‎ ‎：关于的方程有实数根；‎ 若为真命题，为假命题，求实数的取值范围．‎ ‎18.（12分）下表提供了某厂节油降耗技术发行后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗 (吨标准煤)的几组对应数据.‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎（1）请画出上表数据的散点图；‎ ‎（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程;‎ ‎（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？‎ 用最小二乘法求线性回归方程系数公式.‎ ‎19.(12分)已知关于的函数．‎ ‎（）当时，求函数在点处的切线方程；‎ ‎（）设，讨论函数的单调性；‎ ‎（）若函数没有零点，求实数的取值范围．‎ ‎20．（12分）在如图所示的多面体中， 平面， 平面， ，且， 是的中点．‎ ‎（1）求证： ；‎ ‎（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；‎ ‎（3）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角是．若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．‎ ‎21. （12分）如图，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，过点和的直线与原点的距离为． ‎ ‎（1）求椭圆的方程．‎ ‎（2）已知定点，若直线与椭圆交于C、D两点．‎ 问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由．‎ ‎22.( 12 分）已知函数为常数，e=2.71828……是自然对数的底 数），曲线 y= f (x)在点（1，f(1)）处的切线与 x 轴平行。‎ ‎（1）求 k 的值；‎ ‎（2）求 f(x)的单调区间；‎ ‎（3）设 g(x) = (x 2 + x) f ' (x) ,其中 f '(x) 为 f(x)的导函数，证明：对任意x>0，‎ ‎(答案)理科数学试题 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.）‎ ‎1．命题 “若不是等腰三角形,则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是（ A ）‎ A. 若有两个内角相等,则它是等腰三角形 B. 若任何两个内角不相等,则它不是等腰三角形 C. 若是等腰三角形,则它的任何两个内角相等 ‎ D. 若任何两个角相等,则它不是等腰三角形 ‎2．将389化成四进位制数的末位是 （ B ） ‎ ‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎3．命题“若，则有实数根”与其逆命题、否命题、逆否命题者四个命题中，假命题的个数是 （ C ）‎ A. 0个 B.1个 C.2个 D.4个 ‎4．某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，初级职称90人，现用分层抽样方法抽取一个容量为30的样本，则各职称中抽取的人数分别为 (　 B　)‎ A．5，10，15 B．3，9，18 C．5，9，16 　D．3，10，17‎ ‎5．在三棱柱中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点是侧面的中 心，则与平面所成角的大小是 (　C 　)‎ A. B． C． D．‎ ‎6.执行右面程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出的S=（ D ）‎ A．4 B．5 C．6 D．7 ‎ ‎7. 已知的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则的周长是( C )‎ A．　　　　 B．6　　　　 C．　　　 D．12‎ ‎8.设函数，则（ D ） ‎ A．为的极大值点 B．为的极小值点 ‎ C．为的极大值点 D．为的极小值点 ‎9.已知函数的导函数为，满足，则等于（ B ）‎ A．8 B．12 C. 9 D．-12 ‎ ‎10.一只蚂蚁在三边长分别为3、4、5的三角形面内爬行，某时间该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为 （ C ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎11．过抛物线的焦点,且斜率为的直线交于点(在的x轴上方)，‎ 为的准线，点在上且,则到直线的距离为( B )‎ A． B． C． D．‎ ‎12. 定 义 ： 如 果 函 数 在上 存 在、, 满 足 ‎，则称函数 是上的“双中值函 数”。已知函数是上“双中值函数”，则实数的取值范( B )‎ A． (1,3) B． C． D． ‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13. 函数的单调减区间为 . ‎ ‎14．设命题，命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ．‎ ‎15．正四棱锥S-ABCD 的底面边长为，侧棱的长是底面边长的倍，E为侧棱SC上一点，若则 ．2‎ ‎16. 设， 函数， 若对任意的，都有 成立，则a的取值范围为___________________。‎ 三、解答题：（本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）‎ ‎17．（10分）给定两个命题：‎ ‎：对任意实数都有恒成立；‎ ‎：关于的方程有实数根；‎ 若为真命题，为假命题，求实数的取值范围．‎ 解：对任意实数都有恒成立 ‎；………………………………………………3分 关于的方程有实数根；……………4分 如果正确，且不正确，有；……………6分 如果正确，且不正确，有．…………9分 所以实数的取值范围为……………………………………10分 ‎18.（12分）下表提供了某厂节油降耗技术发行后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗 (吨标准煤)的几组对应数据.‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎（1）请画出上表数据的散点图；‎ ‎（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程;‎ ‎（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？‎ 用最小二乘法求线性回归方程系数公式.‎ 解: (1) 散点图略 ‎ (2) ‎ ‎ (3) 预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低(吨)‎ ‎19.(12分)已知关于的函数．‎ ‎（）当时，求函数在点处的切线方程；‎ ‎（）设，讨论函数的单调性；‎ ‎（）若函数没有零点，求实数的取值范围．‎ 解：（）当时， ，‎ ‎，‎ ‎，∴，‎ 即在处的切线方程为．…………………………………4分 ‎（）∵，‎ ‎，当时， 在上恒成立，‎ ‎∴在单调递增，‎ 当时，令，解得，‎ 令，解得，‎ ‎∴在单调递增，在单调递减………………8分 ‎（）∵没有零点，‎ 即无解， ∴与两图象无交点，‎ 设两图象相切于点，‎ ‎∴， ∴， ．‎ ‎∵两图象无交点， ∴ …………………………………12分 ‎20．（12分）在如图所示的多面体中， 平面， 平面， ，且， 是的中点．‎ ‎（1）求证： ；‎ ‎（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；‎ ‎（3）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角是．若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．‎ ‎（1）证明：∵， 是的中点，∴，‎ 又平面，∴，∵，‎ ‎∴平面，∴． …………………4分 ‎ （2）以为原点，分别以， 为， 轴，如图建立坐标系．则：‎ ‎， ， ， ， ，‎ ‎， ， ， ，‎ 设平面的一个法向量，‎ 则： ，‎ 取， ， ，所以，‎ 设平面的一个法向量，则：‎ 取， ， ，所以，‎ ‎．‎ 故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为． ……………………………8分 ‎（3）在棱上存在一点，使得直线与平面所成的角是，‎ 设且， ，‎ ‎∴，‎ ‎∴， ， ，‎ ‎∴，‎ 若直线与平面所成的的角为，则： ‎ ‎，‎ 解得，‎ 所以在棱上存在一点，使直线与平面所成的角是，‎ 点为棱的中点． …………………………………12分 ‎21. （12分）如图，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，过点和的直线与原点的距离为． ‎ ‎（1）求椭圆的方程．‎ ‎（2）已知定点，若直线与椭圆交于C、D两点．‎ 问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由．‎ 解：（1）直线AB方程为：bx-ay-ab＝0．‎ ‎　　依题意　解得　‎ ‎∴　椭圆方程为．　 ………………………4分 ‎（2）假若存在这样的k值，由得．‎ ‎　　∴　　　　　① …………………………6分 ‎　　设，、， ，则　　　　　②‎ ‎　而． ………………8分 要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则，即 ‎ ‎∴　　　　③ ………10分 ‎　　将②式代入③整理解得．经验证，，使①成立．‎ 综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点E． ……………12分 ‎22.( 12 分）已知函数为常数，e=2.71828……是自然对数的底 数），曲线 y= f(x)在点（1，f(1)）处的切线与 x 轴平行。‎ ‎（1）求 k 的值；‎ ‎（2）求 f(x)的单调区间；‎ ‎（3）设 g(x) = (x 2 + x) f ' (x) ,其中 f '(x) 为 f(x)的导函数，证明：对任意x>0，‎