高考数学试题分类汇编——立体几何

高考数学试题分类汇编——立体几何

‎2013高考数学试题分类汇编——立体几何 一、选择题 ‎1、（2010浙江理数）（6）设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是 ‎（A）若，，则 （B）若，，则 ‎（C）若，，则 （D）若，，则 解析：选B，可对选项进行逐个检查。本题主要考察了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考察，属中档题 ‎2、（2010全国卷2理数）（11）与正方体的三条棱、、所在直线的距离相等的点 ‎（A）有且只有1个 （B）有且只有2个 ‎（C）有且只有3个 （D）有无数个 ‎【答案】D ‎【解析】直线上取一点，分别作垂直于于则分别作，垂足分别为M，N，Q，连PM，PN，PQ，由三垂线定理可得，PN⊥PM⊥；PQ⊥AB，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以，∴PM=PN=PQ，即P到三条棱AB、CC1、A1D1.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件，故选D.‎ ‎3、（2010全国卷2理数）（9）已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为 ‎（A）1 （B） （C）2 （D）3‎ ‎【答案】C ‎【命题意图】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.‎ ‎【解析】设底面边长为a，则高所以体积，‎ 设，则，当y取最值时，，解得a=0或a=4时，体积最大，此时，故选C.‎ ‎4、（2010陕西文数） 8.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 [B]‎ ‎ （A）2 （B）1 ‎ ‎（C） （D）‎ 解析：本题考查立体图形三视图及体积公式 如图，该立体图形为直三棱柱 所以其体积为 ‎5、（2010辽宁文数）（11）已知是球表面上的点，，，，，则球的表面积等于 ‎（A）4 （B）3 （C）2 （D）‎ 解析：选A.由已知，球的直径为，表面积为 ‎6、（2010辽宁理数）(12) (12)有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是 ‎ (A)（0,） (B)（1,）‎ ‎ (C) (,） (D) （0,）‎ ‎【答案】A ‎【命题立意】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力。‎ ‎【解析】根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a的直铁条要组成三棱镜形的铁架，有以下两种情况：（1）地面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a，如图，此时a可以取最大值，可知AD=，SD=，则有<2+，即，即有a<‎ ‎(2)构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图所示，此时a>0;‎ 综上分析可知a∈（0,）‎ ‎7、（2010全国卷2文数）（11）与正方体ABCD—A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点 ‎（A）有且只有1个 （B）有且只有2个 ‎（C）有且只有3个 （D）有无数个 ‎【解析】D：本题考查了空间想象能力 ‎∵到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上，∴三个圆柱面有无数个交点，‎ ‎8、（2010全国卷2文数）（8）已知三棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，垂直于底面，=3，那么直线与平面所成角的正弦值为 ‎（A） (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎【解析】D：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。‎ A B C S E F 过A作AE垂直于BC交BC于E，连结SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，∵正三角形ABC，∴ E为BC中点，∵ BC⊥AE，SA⊥BC，∴ BC⊥面SAE，∴ BC⊥AF，AF⊥SE，∴ AF⊥面SBC，∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长3，∴ ，AS=3，∴ SE=，AF=，∴ ‎ ‎9、（2010江西理数）10.过正方体的顶点A作直线L，使L与棱,,所成的角都相等，这样的直线L可以作 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 ‎【答案】D ‎【解析】考查空间感和线线夹角的计算和判断，重点考查学生分类、划归转化的能力。第一类：通过点A位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC1，第二类：在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等，有3条，合计4条。 ‎ ‎10、（2010安徽文数）（9）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是 ‎（A）372 （B）360 ‎ ‎（C）292 （D）280‎ ‎9.B ‎【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。‎ ‎.‎ ‎【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体的组合体，画出直观图，得出各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。‎ ‎11、（2010重庆文数）（9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 ‎（A）只有1个 （B）恰有3个 ‎（C）恰有4个 （D）有无穷多个 解析：放在正方体中研究,显然，线段、EF、FG、GH、‎ HE的中点到两垂直异面直线AB、CD的距离都相等， ‎ 所以排除A、B、C，选D 亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线AB、CD的距离相等 ‎12、（2010浙江文数）‎ ‎（8）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是 ‎（A）cm3 ‎ ‎（B）cm3‎ ‎（C）cm3 ‎ ‎（D）cm3‎ 解析：选B，本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题 ‎14、（2010山东文数）(4)在空间，下列命题正确的是 A.平行直线的平行投影重合 B.平行于同一直线的两个平面平行 C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行 答案：D ‎15、（2010北京文数）（8）如图，正方体的棱长为2，‎ 动点E、F在棱上。点Q是CD的中点，动点 P在棱AD上，若EF=1，DP=x，E=y(x,y大于零)，‎ 则三棱锥P-EFQ的体积：‎ ‎（A）与x，y都有关； （B）与x，y都无关；‎ ‎（C）与x有关，与y无关； （D）与y有关，与x无关；‎ 答案：C ‎16、（2010北京文数）（5）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的 正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该 集合体的俯视图为：‎ ‎ ‎ 答案：C ‎17、（2010北京理数）(8)如图，正方体ABCD-的棱长为2，动点E、F在棱上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，E=x，DQ=y，DＰ＝ｚ（ｘ，ｙ，ｚ大于零），则四面体PEＦＱ的体积　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　　（Ａ）与ｘ，ｙ，ｚ都有关 ‎　　　（Ｂ）与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关 ‎　　　（Ｃ）与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关 ‎　　　（Ｄ）与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关 答案：D ‎18、（2010北京理数）（3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为 ‎ ‎ ‎ 答案：C ‎19、（2010四川理数）（11）半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，‎ 是平面内边长为的正三角形，线段、分别 与球面交于点M，N，那么M、N两点间的球面距离是 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ 解析：由已知，AB＝2R,BC＝R,故tan∠BAC＝ ‎ cos∠BAC＝‎ 连结OM，则△OAM为等腰三角形 AM＝2AOcos∠BAC＝，同理AN＝，且MN∥CD ‎ 而AC＝R,CD＝R 故MN：CD＝AN:AC ‎ Þ MN＝，‎ 连结OM、ON，有OM＝ON＝R 于是cos∠MON＝‎ 所以M、N两点间的球面距离是 ‎ 答案：A ‎20、（2010广东理数）6.如图1，△ ABC为三角形，// // ,  ⊥平面ABC 且3== =AB,则多面体△ABC -的正视图（也称主视图）是 ‎6．D．‎ ‎21、（2010广东文数）‎ ‎22、（2010福建文数）3．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于 ( )‎ A． B．2 ‎ C． D．6‎ ‎【答案】D ‎【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为 ‎，侧面积为，选D．‎ ‎【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力。‎ ‎23、（2010全国卷1文数）（12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎12.B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.‎ ‎【解析】过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为,则有,当直径通过AB与CD的中点时,,故 ‎24、（2010全国卷1文数）（9）正方体-中，与平面所成角的余弦值为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ A B C D A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ O ‎9.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面AC的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.‎ ‎【解析1】因为BB1//DD1,所以B与平面AC所成角和DD1与平面AC所成角相等,设DO⊥平面AC，由等体积法得,即.设DD1=a,‎ 则,.‎ 所以,记DD1与平面AC所成角为,则,所以.‎ ‎【解析2】设上下底面的中心分别为；与平面AC所成角就是B与平面AC所成角，‎ ‎25、（2010全国卷1文数）(6)直三棱柱中，若，，则异面直线 与所成的角等于 ‎(A)30° (B)45°(C)60° (D)90°‎ ‎6.C【命题意图】本小题主要考查直三棱柱的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法. ‎ ‎【解析】延长CA到D，使得，则为平行四边形，就是异面直线 与所成的角，又三角形为等边三角形，‎ ‎26、（2010全国卷1理数）（12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎27、（2010全国卷1理数）（7）正方体ABCD-中，B与平面AC所成角的余弦值为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎28、（2010四川文数）（12）半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，是平面内边长为的正三角形，线段、分别与球面交于点、，那么、两点间的球面距离是 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ 解析：由已知，AB＝2R,BC＝R,故tan∠BAC＝‎ cos∠BAC＝‎ 连结OM，则△OAM为等腰三角形 AM＝2AOcos∠BAC＝，同理AN＝，且MN∥CD 而AC＝R,CD＝R 故MN：CD＝AN:AC Þ MN＝，‎ 连结OM、ON，有OM＝ON＝R 于是cos∠MON＝‎ 所以M、N两点间的球面距离是 答案：A ‎29、（2010湖北文数）4.用、、表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：‎ ‎①若∥，∥，则∥；②若⊥，⊥，则⊥；‎ ‎③若∥，∥，则∥；④若⊥，⊥，则∥.‎ A. ①② B. ②③ C. ①④ D.③④‎ ‎30、（2010山东理数）(3)在空间，下列命题正确的是 ‎（A）平行直线的平行投影重合 ‎（B）平行于同一直线的两个平面平行 ‎（C）垂直于同一平面的两个平面平行 ‎（D）垂直于同一平面的两条直线平行 ‎【答案】D ‎【解析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以得出答案。‎ ‎【命题意图】考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，属基础题。‎ ‎31、（2010安徽理数）8、一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为 A、280 B、292 C、360 D、372‎ ‎8.C ‎【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。.‎ ‎【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体的组合体，画出直观图，得出各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。‎ ‎32、（2010福建理数）‎ 所以∥，故∥∥，所以选项A、C正确；因为平面，‎ ‎∥，所以平面，又平面， 故 ‎，所以选项B也正确，故选D。‎ ‎【命题意图】本题考查空间中直线与平面平行、垂直的判定与性质，考查同学们的空间想象能力和逻辑推理能力。‎ 二、填空题 ‎33、（2010上海文数）6.已知四棱椎的底面是边长为6 的正方形，侧棱底面，且，则该四棱椎的体积是 96 。‎ 解析：考查棱锥体积公式 ‎34、（2010湖南文数）13.图2中的三个直角三角形是一个体积为20cm2的几何体的三视图，则h= 4 cm ‎35、（2010浙江理数）（12）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是___________.‎ 解析：图为一四棱台和长方体的组合体的三视图，由卷中所给公式计算得体积为144，本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题 ‎36、（2010辽宁文数）（16）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画 出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的 长为 .‎ 解析：填画出直观图：图中四棱锥即是，‎ 所以最长的一条棱的长为 ‎37、（2010辽宁理数）（15）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【命题立意】本题考查了三视图视角下多面体棱长的最值问题，考查了同学们的识图能力以及由三视图还原物体的能力。‎ ‎【解析】由三视图可知，此多面体是一个底面边长为2的正方形且有一条长为2的侧棱垂直于底面的四棱锥，所以最长棱长为 ‎38、（2010江西理数）16.如图，在三棱锥中，三条棱，，两两垂直，且>>,分别经过三条棱，，‎ 作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为，，，则，，的大小关系为 。‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，通过补形，借助长方体验证结论，特殊化，令边长为1，2，3得。‎ ‎39、（2010北京文数）（14）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动。‎ 设顶点p（x，y）的纵坐标与横坐标的函数关系是 ‎，则的最小正周期为 ；‎ 在其两个相邻零点间的图像与x轴 所围区域的面积为 。‎ 说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包含沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动。沿x轴正方向滚动是指以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续，类似地，正方形PABC可以沿着x轴负方向滚动。‎ 答案：4 ‎ ‎40、（2010北京理数）（14）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动。‎ 设顶点p（x，y）的轨迹方程是，则的最小正周期为 ；在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为 ‎ 说明：“正方形PABC沿轴滚动”包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动。沿轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续。类似地，正方形PABC可以沿轴负方向滚动。‎ 答案：4 ‎ ‎41、（2010四川理数）（15）如图，二面角的大小是60°，线段.，‎ 与所成的角为30°.则与平面所成的角的正弦值是 .‎ 解析：过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线.垂足为D 连结AD，有三垂线定理可知AD⊥l，‎ C D 故∠ADC为二面角的平面角，为60°‎ 又由已知，∠ABD＝30°‎ 连结CB，则∠ABC为与平面所成的角 设AD＝2，则AC＝，CD＝1‎ AB＝＝4‎ ‎∴sin∠ABC＝‎ 答案：‎ ‎42、（2010天津文数）（12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 。‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】本题主要考查三视图的基础知识，和主题体积的计算，属于容易题。‎ 由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形，则正视图和俯视图可知该几何体的高为1，结合三个试图可知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何题的体积为 ‎【温馨提示】正视图和侧视图的高是几何体的高，由俯视图可以确定几何体底面的形状，本题也可以将几何体看作是底面是长为3，宽为2，高为1的长方体的一半。‎ ‎43、（2010天津理数）（12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题主要考查三视图的概念与柱体、椎体体积的计算，属于容易题。‎ 由三视图可知，该几何体为一个底面边长为1，高为2的正四棱柱与一个底面边长为2，高为1的正四棱锥组成的组合体，因为正巳灵珠的体积为2，正四棱锥的体积为，所以该几何体的体积V=2+ = ‎ ‎【温馨提示】利用俯视图可以看出几何体底面的形状，结合正视图与侧视图便可得到几何体的形状，求锥体体积时不要丢掉哦。‎ ‎44、（2010四川文数）（15）如图，二面角的大小是60°，线段.，‎ 与所成的角为30°.则与平面所成的角的正弦值是 .‎ 解析：过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线.垂足为D 连结AD，有三垂线定理可知AD⊥l，‎ 故∠ADC为二面角的平面角，为60°‎ C D 又由已知，∠ABD＝30°‎ 连结CB，则∠ABC为与平面所成的角 设AD＝2，则AC＝，CD＝1‎ AB＝＝4‎ ‎∴sin∠ABC＝‎ 答案：‎ ‎45、（2010湖北文数）14.圆柱形容器内盛有高度为3cm的水，若放入三个相同的珠（球的半么与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是____cm.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】设球半径为r，则由可得,解得r=4.‎ ‎46、（2010湖南理数）13．图3中的三个直角三角形是一个体积为20的几何体的三视图，则 ．‎ ‎47、（2010湖北理数）13.圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是 cm。‎ ‎13.【答案】4‎ ‎【解析】设球半径为r，则由可得,解得r=4.‎ ‎48、（2010福建理数）‎ ‎12．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为 ‎，侧面积为，所以其表面积为。‎ ‎【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力。‎ 三、解答题 ‎49、（2010上海文数）20.（本大题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.‎ 如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.‎ ‎(1)当圆柱底面半径取何值时，取得最大值？并求出该 最大值（结果精确到0.01平方米）;‎ ‎(2)若要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作出 用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）. ‎ 解析：(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l，则l=1.2-2r(00,所以“在（-∞，+∞）内无极值点”等价于“在（-∞，+∞）内恒成立”。‎ 由（*）式得。‎ 又 解 得 即的取值范围 ‎65、（2010北京理数）（16）（本小题共14分）‎ ‎ 如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB=，CE=EF=1.‎ ‎（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；‎ ‎（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；‎ ‎（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小。‎ ‎ ‎ 证明：（I） 设AC与BD交与点G。‎ ‎ 因为EF//AG，且EF=1，AG=AC=1.‎ ‎ 所以四边形AGEF为平行四边形.‎ ‎ 所以AF//平面EG，‎ ‎ 因为平面BDE，AF平面BDE，‎ ‎ 所以AF//平面BDE.‎ ‎ （II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面 ‎ 相互垂直，且CEAC，‎ ‎ 所以CE平面ABCD.‎ ‎ 如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-.‎ ‎ 则C（0，0，0），A（，，0），B（0，，0）.‎ ‎ 所以，，.‎ ‎ 所以,‎ ‎ 所以,.‎ ‎ 所以BDE.‎ ‎(III) 由（II）知，是平面BDE的一个法向量.‎ ‎ 设平面ABE的法向量,则，.‎ ‎ 即 所以且 ‎ 令则.‎ ‎ 所以.‎ ‎ 从而。‎ ‎ 因为二面角为锐角，‎ ‎ 所以二面角的大小为.‎ ‎66、（2010四川理数）（18）（本小题满分12分）‎ 已知正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，点M是棱AA'的中点，点O是对角线BD'的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA'和BD'的公垂线；‎ ‎（Ⅱ）求二面角M－BC'－B'的大小；‎ ‎（Ⅲ）求三棱锥M－OBC的体积. ‎ 本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体、三棱锥体积等基础知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力。‎ 解法一：（1）连结AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连结OK 因为M是棱AA’的中点，点O是BD’的中点 所以AM 所以MO 由AA’⊥AK，得MO⊥AA’‎ 因为AK⊥BD,AK⊥BB’，所以AK⊥平面BDD’B’‎ 所以AK⊥BD’‎ 所以MO⊥BD’‎ 又因为OM是异面直线AA’和BD’都相交 故OM为异面直线AA'和BD'的公垂线 ‎（2）取BB’中点N，连结MN，则MN⊥平面BCC’B’‎ 过点N作NH⊥BC’于H，连结MH 则由三垂线定理得BC’⊥MH 从而,∠MHN为二面角M-BC’-B’的平面角 MN=1,NH=Bnsin45°=‎ 在Rt△MNH中，tan∠MHN=‎ 故二面角M-BC’-B’的大小为arctan2‎ ‎(3)易知，S△OBC=S△OA’D’，且△OBC和△OA’D’都在平面BCD’A’内 点O到平面MA’D’距离h＝‎ VM-OBC=VM-OA’D’=VO-MA’D’=S△MA’D’h=‎ 解法二：‎ 以点D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D-xyz 则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A’(1,0,1),C’(0,1,1),D’(0,0,1)‎ ‎(1)因为点M是棱AA’的中点,点O是BD’的中点 所以M(1,0, ),O(,,)‎ ‎,=(0,0,1),=(-1,-1,1) ‎ ‎=0, +0=0‎ 所以OM⊥AA’,OM⊥BD’‎ 又因为OM与异面直线AA’和BD’都相交 故OM为异面直线AA'和BD'的公垂线.………………………………4分 ‎(2)设平面BMC'的一个法向量为=(x,y,z)‎ ‎=(0,-1,), ＝(－1,0,1)‎ ‎ 即 取z＝2,则x＝2,y＝1，从而=(2,1,2) ‎ 取平面BC'B'的一个法向量为＝(0,1,0)‎ cos 由图可知，二面角M-BC'-B'的平面角为锐角 故二面角M-BC'-B'的大小为arccos………………………………………………9分 ‎(3)易知，S△OBC＝S△BCD'A'＝‎ 设平面OBC的一个法向量为＝(x1,y1,z1) ‎ ‎＝(－1,－1,1), ＝(－1,0,0)‎ ‎ 即 取z1＝1,得y1＝1，从而＝(0,1,1)‎ 点M到平面OBC的距离d＝‎ VM－OBC＝…………………………………………12分 ‎67、（2010天津文数）（19）（本小题满分12分）‎ 如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=1，AD=，∠BAD＝∠CDA＝45°.‎ ‎（Ⅰ）求异面直线CE与AF所成角的余弦值； ‎ ‎（Ⅱ）证明CD⊥平面ABF；‎ ‎（Ⅲ）求二面角B-EF-A的正切值。‎ ‎【解析】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力.满分12分.‎ ‎(I)解：因为四边形ADEF是正方形，所以FA//ED.故为异面直线CE与AF所成的角.‎ 因为FA平面ABCD，所以FACD.故EDCD.‎ 在Rt△CDE中，CD=1，ED=，CE==3,故cos==.‎ 所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为.‎ ‎(Ⅱ)证明：过点B作BG//CD,交AD于点G，则.由,可得BGAB,从而CDAB,又CDFA,FAAB=A,所以CD平面ABF.‎ ‎(Ⅲ)解：由（Ⅱ）及已知，可得AG=，即G为AD的中点.取EF的中点N，连接GN，则GNEF,因为BC//AD,所以BC//EF.过点N作NMEF，交BC于M，则为二面角B-EF-A的平面角。‎ 连接GM，可得AD平面GNM,故ADGM.从而BCGM.由已知，可得GM=.由NG//FA,FAGM,得NGGM.‎ 在Rt△NGM中，tan,‎ 所以二面角B-EF-A的正切值为.‎ ‎68、（2010天津理数）（19）（本小题满分12分）‎ 如图，在长方体中，、分别是棱,‎ 上的点，,‎ （1） 求异面直线与所成角的余弦值；‎ （2） 证明平面 （1） 求二面角的正弦值。‎ ‎【解析】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，满分12分。‎ 方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，‎ 点A为坐标原点，设,依题意得,‎ ‎,,‎ （1） 解：易得,‎ 于是 ‎ 所以异面直线与所成角的余弦值为 （2） 证明：已知,,‎ 于是·=0，·=0.因此，,,又 所以平面 ‎(3)解：设平面的法向量，则,即 不妨令X=1,可得。由（2）可知，为平面的一个法向量。‎ 于是，从而 所以二面角的正弦值为 方法二：（1）解：设AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=‎ 链接B1C,BC1，设B1C与BC1交于点M,易知A1D∥B1C，由,可知EF∥BC1.故是异面直线EF与A1D所成的角，易知BM=CM=,所以 ,所以异面直线FE与A1D所成角的余弦值为 ‎（2）证明：连接AC，设AC与DE交点N 因为，所以，从而，又由于,所以，故AC⊥DE,又因为CC1⊥DE且，所以DE⊥平面ACF，从而AF⊥DE.‎ 连接BF，同理可证B1C⊥平面ABF,从而AF⊥B1C,所以AF⊥A1D因为，所以AF⊥平面A1ED ‎(3)解：连接A1N.FN,由（2）可知DE⊥平面ACF,又NF平面ACF, A1N平面ACF，所以DE⊥NF,DE⊥A1N,故为二面角A1-ED-F的平面角 易知，所以，又所以，在 连接A1C1,A1F 在 ‎。所以 所以二面角A1-DE-F正弦值为 ‎69、（2010广东理数）18.（本小题满分14分）‎ 如图5，是半径为a的半圆，AC为直径，点E为 的中点，点B和点C为线段AD的三等分点．平面AEC外一点F满足，FE=a ．‎ ‎ 图5‎ ‎ （1）证明：EB⊥FD；‎ ‎（2）已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点，使得,求平面与平面所成二面角的正弦值．‎ ‎（2）设平面与平面RQD的交线为.‎ 由BQ=FE,FR=FB知, .‎ 而平面，∴平面，‎ 而平面平面= ，‎ ‎∴.‎ 由（1）知，平面，∴平面，‎ 而平面， 平面，‎ ‎∴，‎ ‎∴是平面与平面所成二面角的平面角．‎ 在中，，‎ ‎，．‎ ‎．‎ 故平面与平面所成二面角的正弦值是．‎ ‎ 70、（2010广东文数）18.（本小题满分14分）‎ 如图4，弧AEC是半径为的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC 平面BED,FB=‎ ‎（1）证明：EBFD ‎（2）求点B到平面FED的距离. ‎ ‎（1）证明：点E为弧AC的中点 ‎71、（2010福建文数）20． （本小题满分12分）‎ 如图，在长方体ABCD – A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1,D1C1上的点（点E与B1‎ 不重合），且EH//A1D1。过EH的平面与棱BB1,CC1相交，交点分别为F，G。‎ ‎ （I）证明：AD//平面EFGH；‎ ‎ （II）设AB=2AA1=2a。在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点，记该点取自于几何体A1ABFE – D1DCGH内的概率为p。当点E，F分别在棱A1B1, B1B上运动且满足EF=a时，求p的最小值。‎ ‎72、（2010全国卷1理数）（19）（本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC .‎ ‎（Ⅰ）证明：SE=2EB；‎ ‎（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小 .‎ ‎73、（2010四川文数）（18）（本小题满分12分）‎ 在正方体ABCD－A′B′C′D′中，点M是棱AA′的中点，点O是对角线BD′的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA′和BD′的公垂线；‎ ‎（Ⅱ）求二面角M－BC′－B′的大小；‎ ‎74、（2010湖北文数）18.（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA。OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1‎ ‎（Ⅰ）设P为AC的中点，Q在AB上且AB=3AQ，证明：PQ⊥OA；‎ ‎（Ⅱ）求二面角O-AC-B的平面角的余弦值。‎ ‎75、（2010山东理数）（19）（本小题满分12分）‎ 如图，在五棱锥P—ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC， ABC=45°，AB=2，BC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAC；‎ ‎（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的大小；‎ ‎（Ⅲ）求四棱锥P—ACDE的体积．‎ ‎【解析】（Ⅰ）证明：因为ABC=45°，AB=2，BC=4，所以在中，由余弦定理得：，解得，‎ 所以，即，又PA⊥平面ABCDE，所以PA⊥，‎ 又PA，所以，又AB∥CD，所以，又因为 ‎，所以平面PCD⊥平面PAC；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面PCD⊥平面PAC，所以在平面PAC内，过点A作于H，则 ‎，又AB∥CD，AB平面内，所以AB平行于平面，所以点A到平面的距离等于点B到平面的距离，过点B作BO⊥平面于点O，则为所求角，且，又容易求得，所以，即=，所以直线PB 与平面PCD所成角的大小为；‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）知，所以，又AC∥ED，所以四边形ACDE是直角梯形，又容易求得，AC=，所以四边形ACDE的面积为，所以四棱锥P—ACDE的体积为=。‎ ‎76、（2010湖南理数）‎ ‎77、（2010湖北理数）18． (本小题满分12分)‎ 如图， 在四面体ABOC中, , 且 ‎（Ⅰ）设为为的中点， 证明： 在上存在一点，使，并计算的值；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值。‎ ‎78、（2010福建理数）‎ 概率为。‎ ‎（i）当点C在圆周上运动时，求的最大值；‎ ‎（ii）记平面与平面所成的角为，当取最大值时，求的值。‎ ‎【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。‎ ‎【解析】（Ⅰ）因为平面ABC，平面ABC，所以，‎ 因为AB是圆O直径，所以，又，所以平面，‎ 而平面，所以平面平面。‎ ‎（Ⅱ）（i）设圆柱的底面半径为，则AB=，故三棱柱的体积为 ‎=，又因为，‎ 所以=，当且仅当时等号成立，‎ 从而，而圆柱的体积，‎ 故=当且仅当，即时等号成立，‎ 所以的最大值是。‎ ‎（ii）由（i）可知，取最大值时，，于是以O为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图），则C（r，0，0），B（0，r，0），（0，r，2r），‎ 因为平面，所以是平面的一个法向量，‎ 设平面的法向量，由，故，‎ 取得平面的一个法向量为，因为，‎ 所以。‎ ‎79、（2010安徽理数）18、（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，在多面体中，四边形是正方形，∥，，，，，为的中点。‎ ‎ (Ⅰ)求证：∥平面；‎ ‎(Ⅱ)求证：平面；‎ ‎(Ⅲ)求二面角的大小。‎ ‎80、（2010江苏卷）16、（本小题满分14分）‎ 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。‎ (1) 求证：PC⊥BC；‎ (2) 求点A到平面PBC的距离。‎ ‎[解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分14分。‎ ‎（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PD⊥BC。‎ 由∠BCD=900，得CD⊥BC，‎ 又PDDC=D，PD、DC平面PCD，‎ 所以BC⊥平面PCD。‎ 因为PC平面PCD，故PC⊥BC。‎ ‎（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：‎ 易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。‎ 又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。‎ 由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，‎ 因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F。‎ 易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于。‎ ‎（方法二）体积法：连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。‎ 因为AB∥DC，∠BCD=900，所以∠ABC=900。‎ 从而AB=2，BC=1，得的面积。‎ 由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积。‎ 因为PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC。‎ 又PD=DC=1，所以。‎ 由PC⊥BC，BC=1，得的面积。‎ 由，，得，‎ 故点A到平面PBC的距离等于。‎