数学理卷·2019届内蒙古阿拉善左旗高级中学高二上学期期中考试（2017-11）
阿左旗高级中学2017—2018学年第一学期期中试卷
高 二 数学（理） 制卷人：
班级________________ 考号________________ 姓名________________
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、不等式(x－1)(x－3)>0的解集为 （ ）
A.{x|x<1} B. {x|x>3} C. {x|x<1或x>3} D. {x|1
b，则<； ②若ac2>bc2，则a>b；
③若a>|b|，则a>b； ④若a>b，则a2>b2.
其中正确的是( )
A．②④ B．②③ C．①② D．①③
7. 设为等比数列的前项和，已知，，则公比（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
8．在中,则的面积为( )
A.或 B.或 C.或 D.
9.掷两个骰子，恰好出现一个点数比另一个点数大3的概率 ( )
A、 B、 C、 D、
10．从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球,那么互斥而不对立的两个事件是( )
A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
D.“至少有一个黑球”与“都是红球”
11. 设a>0，b>0.若是与的等比中项，则＋的最小值为( )
A．8 B．4 C．1 D.
12. 如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sinC的值为( )
A. B. C. D.
二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 在等比数列中, ,则_________.
14. 在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于 _______ ．
15. 在区间上随机取一实数,则该实数满足不等式的概率为______.
16. 已知数列，设的前n项和为，则______
三、解答题(本大题共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）在解三角形。
18. （本小题满分12分）
（1）.在等差数列中,已知,求;
（2）. 在等比数列中，已知求与
19.如右图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12 nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8 nmile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：
(1)A处与D处的距离；
(2)灯塔C处与D处的距离．
20．（本小题满分12分）袋子中装有2个黑球和3个红球，从中任意摸出两个球。
（1）求恰好摸出一红一黑的概率；
（2）求至少摸出一个黑球的概率。
21. （本小题满分12分）已知矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，矩形的长、宽各是多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？
22. （本小题满分12分）已知数列满足=1，.
（Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；
（Ⅱ）证明：.
参考答案：
一、选择题
1. A 2. D 3. C 4.B 5. B 6.C 7. D 8. C 9. B 10. B 11. A 12. A
二、填空题
13. 16 14. 15. 4/9 16. 120°
三、解答题
17.Ｃ＝３０.，Ａ＝６０.，a=2
18. 1. 2.q=1时，a1=3/2;q=-1/2时，a1=6
1.由题意可得,所以,.
2.记从高校抽取的人为,从高校抽取的人为,则从高校,抽取的人中选人作专题发言的基本事件有
共种.
设选中的人都来自高校的事件为,则包含的基本事件有共三种.
因此,故选中的人都来自高校的概率为.
19. 解 (1)在△ABD中，∠ADB＝60°，B＝45°，AB＝12 ，
由正弦定理，得AD＝＝＝24(nmile)．
(2)在△ADC中，由余弦定理，得
CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos30°.
解得CD＝8(nmile)．
∴A处与D处的距离为24 nmile，灯塔C与D处的距离为8 nmile.
20. 1. 3/5 2.7/10
21. [解] (1)如右图，在△ABP中，依题意，∠PAB＝30°，∠ABP＝180°－45°＝135°，
∴∠APB＝15°.AB＝20×2＝40(海里)，
由正弦定理得＝，
解得BP＝20(＋)．
(2)过P作PD⊥AB，D为垂足，在Rt△BPD中，PD＝BP＝20＋20<55.
故船在B点时与灯塔相距20(＋)海里，继续向正东航行有触礁危险
22. 答案： 1. 证明:∵,∴,
∴,又,∴,
∴数列是以为首项,为公比的等比数列.
2.由1知,即,
∴.
设,①
则,②
由①-②得
,
∴,又,
∴数列的前项和
.
