2013中考数学压轴题一元二次方程精选解析一

2013中考数学压轴题一元二次方程精选解析一

‎2013中考数学压轴题一元二次方程精选解析(一)‎ 例1．已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x 2－( 2k＋3 )x＋k 2＋3k＋2＝0的两个实数根，第三边长为5．‎ ‎（1）当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；‎ ‎（2）当k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长．‎ 解析：（1）∵AB、AC方程x 2－( 2k＋3 )x＋k 2＋3k＋2＝0的两个实数根 ‎∴AB＋AC＝2k＋3，AB·AC＝k 2＋3k＋2‎ ‎∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC＝5‎ ‎∴AB 2＋AC 2＝BC 2，( AB＋AC )－2AB·AC＝25‎ 即(2k＋3)2－2( k 2＋3k＋2 )＝25‎ ‎∴k 2＋3k－10＝0，∴k1＝－5，k,2＝2‎ 当k＝－5时，方程为x 2＋7x＋12＝0，解得x1＝－3，x2＝－4（均不合题意，舍去）‎ 当k＝2时，方程为x 2－7x＋12＝0，解得x1＝3，x2＝4‎ ‎∴当k＝2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形 ‎（2）若△ABC是等腰三角形，则有①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝BC三种情况 ‎∵△＝( 2k＋3 )2－4( k 2＋3k＋2 )＝1＞0‎ ‎∴AB≠AC，故第①种情况不成立 ‎∴当AB＝BC或AC＝BC时，5是方程x 2－( 2k＋3 )x＋k 2＋3k＋2＝0的根 ‎∴5 2－5( 2k＋3 )＋k 2＋3k＋2＝0‎ 即k 2－7k＋12＝0，解得k1＝3，k2＝4‎ 当k＝3时，方程为x 2－9x＋20＝0，解得x1＝4，x2＝5‎ 此时△ABC的三边长分别为5、5、4，周长为14‎ 当k＝4时，方程为x 2－11x＋30＝0，解得x1＝5，x2＝6‎ 此时△ABC的三边长分别为5、5、6，周长为16‎ 例2．已知△ABC的三边长为a、b、c，关于x的方程x 2－2( a＋b )x＋c 2＋2ab＝0有两个相等的实数根，又sinA、sinB是关于x的方程( m＋5 )x 2－( 2m－5 )x＋m－8＝0的两个实数根．‎ ‎（1）求m的值；‎ ‎（2）若△ABC的外接圆面积为25π，求△ABC的内接正方形的边长．‎ 解析：（1）∵关于x的方程x 2－2( a＋b )x＋c 2＋2ab＝0有两个相等的实数根 ‎∴△＝4( a＋b )2－4( c 2＋2ab )＝0，即a 2＋b 2＝c 2‎ ‎∴△ABC是直角三角形 ‎∵sinA、sinB是关于x的方程( m＋5 )x 2－( 2m－5 )x＋m－8＝0的两个实数根 ‎∴sinA＋sinB＝ ，sinA·sinB＝ ‎∵在Rt△ABC中，sin2A＋sin2B＝sin2A＋cos2A＝1‎ ‎∴( sinA＋sinB )2－2sinA·sinB＝1‎ 即( )2－2× ＝1‎ ‎∴m 2－24m＋80＝0，解得m1＝4，m2＝20‎ 当m＝4时，方程为9x 2－3x－4＝0，解得x1＝ ，x2＝ ＜0‎ ‎∵在Rt△ABC中，sinA＞0，sinB＞0‎ ‎∴m＝4不合题意，舍去 当m＝20时，方程为25x 2－35x＋12＝0，解得x1＝ ，x2＝ ，符合题意 A B C t t ‎∴m＝20‎ ‎（2）∵△ABC的外接圆面积为25π ‎∴外接圆半径为5，∴c＝10‎ 由（1）知，sinA＝ 或sinA＝ ‎∴△ABC的两条直角边长分别为6，8‎ A B C t t t 设△ABC的内接正方形的边长为t ‎①若正方形的两边在△ABC的两直角边上，则 ＝ 解得t＝ ‎②若正方形的一条边在△ABC的斜边上，易得斜边上的高为 ，则 ＝ 解得t＝ 例3．已知关于x的方程x 2－( m＋n＋1)x＋m＝0（n≥0）的两个实数根为α、β，且α≤β．‎ ‎（1）试用含有α、β的代数式表示m和n；‎ ‎（2）求证：α≤1≤β；‎ ‎（3）若点P（α，β）在△ABC的三条边上运动，且△ABC顶点的坐标分别为A（1，2），B（ ，1），C（1，1），问是否存在点P，使m＋n＝ ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 解析：‎ ‎（1）解：∵α、β为方程x 2－( m＋n＋1)x＋m＝0（n≥0）的两个实数根 ‎∴△＝( m＋n＋1)2－4m＝( m＋n－1)2＋4n≥0，且α＋β＝m＋n＋1，αβ＝m ‎∴m＝αβ，n＝α＋β－m－1＝α＋β－αβ－1 2分 ‎（2）证明：∵( 1－α )( 1－β )＝1－(α＋β )＋αβ＝－n≤0（n≥0），又α≤β ‎∴α≤1≤β 4分 ‎（3）解：要使m＋n＝ 成立，只需α＋β＝m＋n＋1＝ ‎①当点P（α，β）在BC边上运动时 由B（ ，1），C（1，1），得 ≤α≤1，β＝1‎ 而α＝ －β＝ －1＝ ＞1‎ ‎∴在BC边上不存在满足条件的点 6分 ‎②当点P（α，β）在AC边上运动时 由A（1，2），C（1，1），得α＝1，1≤β≤2‎ 此时β＝ －α＝ －1＝ ，又∵1＜ ＜2‎ ‎∴在AC边上存在满足条件的点，其坐标为（1，） 8分 ‎③当点P（α，β）在AB边上运动时 由A（1，2），B（ ，1），得 ≤α≤1，1≤β≤2‎ 由对应线段成比例得 ＝ ，∴β＝2α 由 解得α＝ ，β＝ 又∵ ＜ ＜1，1＜ ＜2‎ ‎∴在AB边上存在满足条件的点，其坐标为（ ，）‎ 综上所述，当点点P（α，β）在△ABC的三条边上运动时，存在点（1，）和点（ ，），使m＋n＝ 成立 10分