数学卷·2018届山东省菏泽市单县五中高二上学期10月月考数学试卷 （解析版）

数学卷·2018届山东省菏泽市单县五中高二上学期10月月考数学试卷 （解析版）

‎2016-2017学年山东省菏泽市单县五中高二（上）10月月考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知an=cosnπ，则数列{an}是（　　）‎ A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 ‎2．已知锐角△ABC的面积为，BC=4，CA=3，则角C的大小为（　　）‎ A．75° B．60° C．45° D．30°‎ ‎3．已知△ABC中，a=4，b=4，A=30°，则B等于（　　）‎ A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°‎ ‎4．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2=2，S4=10，则S6等于（　　）‎ A．12 B．18 C．24 D．42‎ ‎5．△ABC的内角A，B满足cosAcosB＞sinAsinB，则△ABC是（　　）‎ A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 ‎6．已知{an}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（　　）‎ A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣7‎ ‎7．已知三角形的三边长分别为a、b、，则三角形的最大内角是（　　）‎ A．135° B．120° C．60° D．90°‎ ‎8．已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（　　）‎ A．21 B．20 C．19 D．18‎ ‎9．已知数列{an}满足a1=0，an+1=（n∈N*），则a20=（　　）‎ A．0 B． C． D．‎ ‎10．设a，b，c为△ABC的三边，且关于x的方程（a2+bc）x2+2x+1=0有两个相等的实数根，则A的度数是（　　）‎ A．120° B．90° C．60° D．30°‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在答案卷中的横线上）‎ ‎11．已知△ABC中，A=30°，C=105°，b=8，则a=　　．‎ ‎12．设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3=a4﹣2，3S2=a3﹣2，则公比q=　　．‎ ‎13．已知{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=an﹣3，则数列{an}的通项公式是　　．‎ ‎14．设甲、乙两楼相距20m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则乙楼的高是　　．‎ ‎15．将全体正整数排成一个三角形数阵；根据以上排列规律，数阵中第n（n≥3）行从左至右的第3个数是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎16．解答下列各题：‎ ‎（1）在△ABC中，已知C=45°，A=60°，b=2，求此三角形最小边的长及a与B的值；‎ ‎（2）在△ABC中，已知A=30°，B=120°，b=5，求C及a与c的值．‎ ‎17．等差数列{an}中，a4=10且a3，a6，a10成等比数列，求数列{an}前20项的和S20．‎ ‎18．在△ABC中，C﹣A=，sinB=．‎ ‎（1）求sinA的值；‎ ‎（2）设AC=，求△ABC的面积．‎ ‎19．设{ an}为等比数列，{bn}为等差数列，且b1=0，cn=an+bn，若{ cn}是1，1，2，…，求数列{ cn}的前10项和．‎ ‎20．已知△ABC顶点的直角坐标分别为A（3，4），B（0，0），C（c，0 ）‎ ‎（1）若c=5，求sin∠A的值；‎ ‎（2）若∠A是钝角，求c的取值范围．‎ ‎21．设正项等比数列{an}的首项a1=，前n项和为Sn，且210S30﹣S20+S10=0．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项；‎ ‎（Ⅱ）求{nSn}的前n项和Tn．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年山东省菏泽市单县五中高二（上）10月月考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知an=cosnπ，则数列{an}是（　　）‎ A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 ‎【考点】数列的概念及简单表示法．‎ ‎【分析】化简数列的通项公式，判断选项即可．‎ ‎【解答】解：an=cosnπ=，‎ 可知数列是摆动数列．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．已知锐角△ABC的面积为，BC=4，CA=3，则角C的大小为（　　）‎ A．75° B．60° C．45° D．30°‎ ‎【考点】解三角形．‎ ‎【分析】先利用三角形面积公式表示出三角形面积，根据面积为3和两边求得sinC的值，进而求得C．‎ ‎【解答】解：S=BC•AC•sinC=×4×3×sinC=3‎ ‎∴sinC=‎ ‎∵三角形为锐角三角形 ‎∴C=60°‎ 故选B ‎　‎ ‎3．已知△ABC中，a=4，b=4，A=30°，则B等于（　　）‎ A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】△ABC中由条件利用正弦定理求得sinB的值，再根据及大边对大角求得B的值．‎ ‎【解答】解：△ABC中，a=4，b=4，A=30°，由正弦定理可得，即 =，‎ 解得sinB=．‎ 再由b＞a，大边对大角可得B＞A，∴B=60°或120°，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎4．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2=2，S4=10，则S6等于（　　）‎ A．12 B．18 C．24 D．42‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】利用等差数列的性质s2，s4﹣s2，s6﹣s4成等差数列进行求解．‎ ‎【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，‎ ‎∴S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等差数列，‎ 即2，8，S6﹣10成等差数列，‎ ‎∴2+S6﹣10=8×2，‎ ‎∴S6=24，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎5．△ABC的内角A，B满足cosAcosB＞sinAsinB，则△ABC是（　　）‎ A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】已知不等式变形后，利用两角和与差的余弦函数公式化简，再利用诱导公式变形得到cosC小于0，即C为钝角，即可确定出三角形形状．‎ ‎【解答】解：cosAcosB＞sinAsinB整理得：cosAcosB﹣sinAsinB＞0，即cos（A+B）＞0，‎ ‎∵cos（A+B）=﹣cosC，‎ ‎∴﹣cosC＞0，即cosC＜0，‎ ‎∵C为△ABC的内角，‎ ‎∴C为钝角，‎ 则△ABC为钝角三角形，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．已知{an}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（　　）‎ A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣7‎ ‎【考点】等比数列的性质；等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=﹣8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可 ‎【解答】解：∵a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=﹣8‎ ‎∴a4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4‎ 当a4=4，a7=﹣2时，，‎ ‎∴a1=﹣8，a10=1，‎ ‎∴a1+a10=﹣7‎ 当a4=﹣2，a7=4时，q3=﹣2，则a10=﹣8，a1=1‎ ‎∴a1+a10=﹣7‎ 综上可得，a1+a10=﹣7‎ 故选D ‎　‎ ‎7．已知三角形的三边长分别为a、b、，则三角形的最大内角是（　　）‎ A．135° B．120° C．60° D．90°‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】利用三角形中大边对大角可得，三角形的最大内角是所对的角，设为θ，由余弦定理求得 ‎ cosθ 的值，可得θ的值．‎ ‎【解答】解：∵三角形的三边长分别为a、b、中，为最大边，‎ 则三角形的最大内角是所对的角，设为θ．‎ 由余弦定理可得 cosθ==﹣，∴θ=120°，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎8．已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（　　）‎ A．21 B．20 C．19 D．18‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】写出前n项和的函数解析式，再求此式的最值是最直观的思路，但注意n取正整数这一条件．‎ ‎【解答】解：设{an}的公差为d，由题意得 a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105，即a1+2d=35，①‎ a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99，即a1+3d=33，②‎ 由①②联立得a1=39，d=﹣2，‎ ‎∴Sn=39n+×（﹣2）=﹣n2+40n=﹣（n﹣20）2+400，‎ 故当n=20时，Sn达到最大值400．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．已知数列{an}满足a1=0，an+1=（n∈N*），则a20=（　　）‎ A．0 B． C． D．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】经过不完全归纳，得出，…发现此数列以3为周期的周期数列，根据周期可以求出a20的值．‎ ‎【解答】解；由题意知：‎ ‎∵‎ ‎∴…‎ ‎ 故此数列的周期为3．‎ ‎ 所以a20=．‎ ‎ 故选B ‎　‎ ‎10．设a，b，c为△ABC的三边，且关于x的方程（a2+bc）x2+2x+1=0有两个相等的实数根，则A的度数是（　　）‎ A．120° B．90° C．60° D．30°‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】利用根的判别式△=b2﹣4ac=0求得b2+c2﹣a2=bc，利用余弦定理即可求得cosA的值，结合A的范围即可得解A的值．‎ ‎【解答】解：∵（a2+bc）x2+2x+1=0有两个相等的实数根，‎ ‎∴△=4（b2+c2）﹣4（a2+bc）=0，整理可得：b2+c2﹣a2=bc，‎ ‎∴由余弦定理可得：cosA===，‎ ‎∵A∈（0，180°），‎ ‎∴A=60°．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在答案卷中的横线上）‎ ‎11．已知△ABC中，A=30°，C=105°，b=8，则a=　　．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由已知可先求B，然后结合正弦定理，可求a ‎【解答】解：∵A=30°，C=105°，∴B=45°‎ ‎∵b=8，‎ 由正弦定理可得，‎ ‎∴a===‎ 故答案为：4‎ ‎　‎ ‎12．设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3=a4﹣2，3S2=a3﹣2，则公比q=　4　．‎ ‎【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】由于{an} 为等比数列，由可求得q．‎ ‎【解答】解：∵{an} 为等比数列，Sn为其前n项和，公比为q，‎ 又 ‎∴①﹣②得：3a3=a4﹣a3=a3（q﹣1），‎ ‎∵a3≠0，‎ ‎∴q﹣1=3，q=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎13．已知{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=an﹣3，则数列{an}的通项公式是　﹣2•3n　．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】根据数列的前n项和通项公式之间的关系，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵Sn=an﹣3，‎ ‎∴当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=an﹣3﹣an﹣1+3=an﹣an﹣1，‎ 即an=3an﹣1，‎ 则数列{an}是公比q=3的等比数列，‎ 当n=1时，a1=a1﹣3，解得a1=﹣6，‎ 则数列{an}的通项公式为an=﹣6×3n﹣1=﹣2•3n．‎ 故答案为：﹣2•3n ‎　‎ ‎14．设甲、乙两楼相距20m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则乙楼的高是　m　．‎ ‎【考点】解三角形的实际应用．‎ ‎【分析】设甲、乙两楼的位置分别为CD、AB如图所示．直角三角形ABD中利用三角函数的定义，结合题中数据算出BD=m，再在△ABD中，算出∠BAD=∠BDA=30°，从而得到AB=BD=m，由此得到乙楼的高．‎ ‎【解答】解：设甲、乙两楼的位置分别为CD、AB如图所示 ‎∵Rt△BDE中，BE=AC=20m，∠BDE=60°‎ ‎∴BD==m 又∵△ABD中，∠BAD=∠BDA=30°‎ ‎∴△ABD为等腰三角形，得AB=BD=m 即乙楼的高m 故答案为： m ‎　‎ ‎15．将全体正整数排成一个三角形数阵；根据以上排列规律，数阵中第n（n≥3）行从左至右的第3个数是　　．‎ ‎【考点】归纳推理．‎ ‎【分析】先找到数的分布规律，求出第n行结束的时候一共出现的数的个数，再求第n+1行从左向右的第3个数即可．‎ ‎【解答】解：由排列的规律可得，第n﹣1行结束的时候排了1+2+3+…+（n﹣1）=个数．‎ 所以n行从左向右的第3个数+3=．‎ 故答案为．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎16．解答下列各题：‎ ‎（1）在△ABC中，已知C=45°，A=60°，b=2，求此三角形最小边的长及a与B的值；‎ ‎（2）在△ABC中，已知A=30°，B=120°，b=5，求C及a与c的值．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】（1）由已知条件根据“大边对大角的”原则可知，最小边为c，由此利用正弦定理能求出此三角形最小边的长及a．‎ ‎（2）利用三角形内角和定理可求∠C，利用正弦定理可求a，利用等腰三角形的性质可求c，即可得解．‎ ‎【解答】解：（1）∵C=45°，A=60°，可得：B=180°﹣A﹣C=75°，‎ ‎∴C＜A＜B，可得：c＜a＜b，即c边最小．‎ 由正弦定理可得：a==3，‎ c==2．‎ 综上可知，最小边c的长为2﹣2，a=3﹣，B=75°．‎ ‎（2）∵A=30°，B=120°，‎ ‎∴C=180°﹣A﹣B=30°，‎ ‎∴A=C，可得：a=c．‎ 由正弦定理可得a==．‎ 综上可知，C=30°，a=c=．‎ ‎　‎ ‎17．等差数列{an}中，a4=10且a3，a6，a10成等比数列，求数列{an}前20项的和S20．‎ ‎【考点】等差数列的性质；数列的求和；等比数列的性质．‎ ‎【分析】先设数列{an}的公差为d，根据a3，a6，a10成等比数列可知a3a10=a62，把d和a4代入求得d的值．再根据a4求得a1，最后把d和a1代入S20即可得到答案．‎ ‎【解答】解：设数列{an}的公差为d，则a3=a4﹣d=10﹣d，a6=a4+2d=10+2d，a10=a4+6d=10+6d．‎ 由a3，a6，a10成等比数列得a3a10=a62，‎ 即（10﹣d）（10+6d）=（10+2d）2，‎ 整理得10d2﹣10d=0，‎ 解得d=0或d=1．‎ 当d=0时，S20=20a4=200．‎ 当d=1时，a1=a4﹣3d=10﹣3×1=7，‎ 于是=20×7+190=330．‎ ‎　‎ ‎18．在△ABC中，C﹣A=，sinB=．‎ ‎（1）求sinA的值；‎ ‎（2）设AC=，求△ABC的面积．‎ ‎【考点】运用诱导公式化简求值；正弦定理的应用．‎ ‎【分析】（1）由已知C﹣A=和三角形的内角和定理得到A与B的关系式及A的范围，然后两边取余弦并把sinB的值代入，利用二倍角的余弦函数公式化简得到一个关于sinA的方程，求出方程的解即可得到sinA的值；‎ ‎（2）要求三角形的面积，根据面积公式S△ABC=AC•BC•sinC中，AC已知，BC和sinC未知，所以要求出BC和sinC，由AC及sinA和sinB的值根据正弦定理求出BC，先根据同角三角函数间的关系由sinA求出cosA，然后由C与A的关系式表示出C，两边取正弦得到sinC与cosA相等，即可求出sinC，根据面积公式求出即可．‎ ‎【解答】解：（1）由C﹣A=和A+B+C=π，‎ 得2A=﹣B，0＜A＜．‎ 故cos2A=sinB，即1﹣2sin2A=，sinA=．‎ ‎（2）由（1）得cosA=．‎ 又由正弦定理，得， •AC=×=3．‎ ‎∵C﹣A=，∴C=+A，‎ sinC=sin（+A）=cosA，‎ ‎∴S△ABC=AC•BC•sinC=AC•BC•cosA ‎=××3×=3．‎ ‎　‎ ‎19．设{ an}为等比数列，{bn}为等差数列，且b1=0，cn=an+bn，若{ cn}是1，1，2，…，求数列{ cn}的前10项和．‎ ‎【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和．‎ ‎【分析】依题意：c1=a1﹣b1=1，由b1=0，知a1=1，设bn=（n﹣1）d，an=qn﹣1，由c2=a2+b2，c3=a3+b3，知1=d+q，2=2d+q2，解得q=2，d=﹣1．所以a n=2 n﹣1（n∈N*），bn=1﹣n （n∈N*），由此能求出数列{ cn}的前10项和．‎ ‎【解答】解：依题意：c1=a1+b1=1，‎ ‎∵b1=0，‎ ‎∴a1=1，‎ 设 bn=b1+（n﹣1）d=（n﹣1）d（n∈N*），‎ an=a1•qn﹣1=qn﹣1，（n∈N*）‎ ‎∵c2=a2+b2，‎ c3=a3+b3，‎ ‎∴1=d+q，‎ ‎2=2d+q2，‎ 解得：q=0，d=1，或q=2，d=﹣1‎ ‎∵q≠0，‎ ‎∴q=2，d=﹣1．‎ ‎∴an=2n﹣1（n∈N*），‎ bn=1﹣n （n∈N*），‎ ‎∴c1+c2+…+c10=（a1+a2+…+a10）+（b1+b2+…+b10）‎ ‎=+‎ ‎=210﹣1﹣10‎ ‎=1024﹣46‎ ‎=978‎ ‎∴数列{ cn}的前10项和为978．‎ ‎　‎ ‎20．已知△ABC顶点的直角坐标分别为A（3，4），B（0，0），C（c，0 ）‎ ‎（1）若c=5，求sin∠A的值；‎ ‎（2）若∠A是钝角，求c的取值范围．‎ ‎【考点】向量在几何中的应用．‎ ‎【分析】（1）通过向量的数量积求出角A的余弦，利用平方关系求出A角的正弦．‎ ‎（2）据向量数量积的公式知向量的夹角为钝角等价于数量积小于0，列出不等式解．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意，‎ ‎，，‎ 若c=5，则，‎ ‎∴，∴sin∠A=；‎ ‎（2）若∠A为钝角，‎ 则解得，‎ ‎∴c的取值范围是；‎ ‎　‎ ‎21．设正项等比数列{an}的首项a1=，前n项和为Sn，且210S30﹣S20+S10=0．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项；‎ ‎（Ⅱ）求{nSn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】等比数列的通项公式；数列的求和．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由210S30﹣S20+S10=0得210（S30﹣S20）=S20﹣S10，由此可推出，．‎ ‎（Ⅱ）由题设知．数列{nSn}的前n项和，．由此可知答案．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由210S30﹣S20+S10=0得210（S30﹣S20）=S20﹣S10，‎ 即210（a21+a22+…+a30）=a11+a12+…+a20，‎ 可得210•q10（a11+a12+…+a20）=a11+a12+…+a20．‎ 因为an＞0，所以210q10=1，解得，因而，．‎ ‎（Ⅱ）由题意知．‎ 则数列{nSn}的前n项和，．‎ 前两式相减，得=即．‎