数学理卷·2018届陕西省宝鸡中学高二上学期期中考试（2016-11）

数学理卷·2018届陕西省宝鸡中学高二上学期期中考试（2016-11）

‎ ‎ 理科数学 ‎ 一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若平面与平面的法向量分别是，，则平面与的位置关系是（ ）‎ A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 ‎2.如图所示空间四边形，连接，设分别是线段的中点，则等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3.当用反证法证明“已知，证明：”时，假设的内容应是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.平面过正方体的顶点，平面，平面，平面，则所成角的正弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.将正方形沿对角线折成直二面角，则二面角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6.已知椭圆的焦点分别是，，点在该椭圆上，如果，那么点到轴的距离是（ ）‎ A． B． C． D．1‎ ‎7.已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.若双曲线：的离心率为2，则双曲线：的渐近线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.用数学归纳法证明不等式成立，其初始值至少应取（ ）‎ A．7 B．8 C．9 D．10‎ ‎10.已知是椭圆的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与椭圆交于两点，若是锐角三角形，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎11.如图，平面与平面相交成锐二面角，其大小为，平面内的一个圆在平面上的射影是离心率为的椭圆，则等于 .‎ ‎12.已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水的宽为8米，当水面上升了米后，水面的宽度是 ‎ 米.‎ ‎13.在平面几何里有：设直角三角形的两直角边分别为，斜边上的高为，则. 拓展到空间：设三棱锥的三个侧棱两两垂直，其长分别为，底面上的高为，则有 .‎ ‎14.如图，正方体的棱长为1. 是的中点，则下列四个命题：‎ ‎①点到平面的距离是；②直线与平面所成角等于；③空间四边形在正方体六个面内的射影的面积最小值为；④直线与所成角的正弦值为.‎ 其中真命题的编号是 （写出所有真命题的编号）.‎ 三、解答题（本大题共5小题，共50分） ‎ ‎15. (本小题满分8分) 在平面几何中，研究正三角形内任意一点与三边的关系时，我们有真命题：边长为的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值.‎ ‎（1）试证明上述命题； ‎ ‎（2）类比上述命题，请写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简要的证明.‎ ‎16. (本小题满分10分)已知，，.‎ ‎（1）当时，试比较与的大小关系； ‎ ‎（2）猜想与的大小关系，并给出证明.‎ ‎17.如图，菱形的对角线与交于点，，点分别在上，，交于于点，将沿折到的位置，.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求二面角的正弦值.‎ ‎18.如图所示，四棱柱中，侧棱底面， ，，为棱的中点.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. ‎ ‎19.已知椭圆：的右焦点为，点在椭圆上，过点的直线与椭圆交于不同两点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线斜率为1，求线段的长；‎ ‎（3）设线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围.‎ 数学参考答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 B ‎ D A A D B C ‎ A B C 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎11．； 12．米； 13．； 14．②③④‎ 三、解答题：本大题共6个题，共70分．‎ ‎15.（1）利用等面积进行证明即可.‎ 由棱长为的正四面体，为的中点，在平面的射影为，为的中心，则，在中，根据勾股定理可得，正四面体的体积为，正四面体内一点到各面的距离分别为，则 ‎，.‎ ‎16.（1）当时，，所以；当时，，所以；当时，，所以.‎ ‎（2）由（1）猜想，下面用数学归纳法给出证明.‎ ‎①当时，不等式显然成立.‎ ‎②假设当时不等式成立，即，那么，当时，，‎ 因为，‎ 所以.‎ 由①②可知，对一切，都有成立.‎ ‎17．证明：∵是菱形，∴，又，∴，则，又由是菱形，得，则，∴，则，∵，∴，又，∴，∴，则，∴，则，又，∴平面.‎ ‎（2）解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 由，得，取，得.‎ ‎∴‎ 同理可求得平面的一个法向量，‎ 设二面角的平面角为，则，‎ ‎∴二面角的正弦值为.‎ ‎18．解：（1）证明：∵侧棱平面，平面，∴，‎ ‎∵，，为棱的中点，∴则，∴,又平面，‎ ‎∴平面，又平面，故.‎ ‎（2）解：连结，过点作于点，可得平面.连结 ‎，则为直线与平面所成的角.‎ 设，从而在中，有，在中，，得.在中，，‎ 由，得，整理得，解得（负值舍去），所以线段的长为.‎ ‎19．解：（1）由椭圆右焦点为，点在椭圆上，因此，即可求椭圆的方程为.‎ ‎（2）设直线的方程为，，中点，把代入椭圆方程，得到方程，则，，所以的中垂线的方程为，令，得，当时，，则；当时，，则，因此，.‎