2017-2018学年福建师大附中高二上学期期末考试数学（理）试题（平行班）（Word版）

2017-2018学年福建师大附中高二上学期期末考试数学（理）试题（平行班）（Word版）

福建师大附中2017-2018学年上学期期末考试卷 高二理科数学·选修2-1‎ 时间：120分钟 满分：150分 命题：高二理科集备组 ‎ 一、选择题（每小题5分，共65分；在给出的A,B,C,D四个选项中，只有一项符合题目要求）‎ ‎1．抛物线x2=4y的准线方程是（　　）‎ A．x=1 B．x=﹣‎1 ‎C．y=1 D．y=﹣1‎ ‎2．已知，则“”是“”成立的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3.向量，若∥，则=（ ）‎ A．-2 B．‎0 C．1 D．2‎ ‎4．若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．下列命题中是真命题的是（ ）‎ ‎①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题; ②“正多边形都相似”的逆命题;‎ ‎③“若m>0，则x2＋x－m=0有实根”的逆否命题; ④“，则”的否命题.‎ A．①②③④ B．①③④ C．②③④ D．①④‎ ‎6.若，则关于的方程表示的曲线是( ) ‎ A.焦点在轴上的椭圆 B.焦点在轴上的椭圆 ‎ C. 焦点在轴上的双曲线 D.焦点在轴上的双曲线 ‎7. 如右图，在正方体中，、分别是、‎ 的中点，则异面直线与所成角的大小是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.与圆外切,且与圆外切的动圆圆心P轨迹方程是（ ）　‎ A. B . C. D. ‎ ‎9．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若=， =，‎ ‎ =，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ 10. 设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，‎ 则的面积为（ ）‎ A.4 B‎.6 C. D. ‎ ‎11.已知P为抛物线上的动点，点P在轴上的射影为M，点A的坐标是， ‎ 则|PA|+|PM|的最小值是（ ）‎ A. B‎.10 C. D.8 ‎ ‎12．给出以下命题：‎ ‎①若cos＜，＞=﹣，则异面直线MN与PQ所成角的余弦值为﹣；‎ ‎②若平面α与β的法向量分别是与，则平面α⊥β；‎ ‎③已知A、B、C三点不共线，点O为平面ABC外任意一点，若点M满足，则点M∈平面ABC；‎ ‎④若向量、、是空间的一个基底，则向量、、也是空间的一个基底；‎ 则其中正确的命题个数是（　　）‎ A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4‎ ‎13.过双曲线的左焦点F(-c,0)作圆的切线，切点为E，延长FE交抛物线于点，若E是线段FP中点，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. +‎1 C. D. ‎ 二、 填空题（每小题5分，共25分）‎ ‎14.命题“恒成立.”的否定为___________________________‎ ‎15.设抛物线的顶点为，经过抛物线的焦点且垂直于轴的直线和抛物线交 于两点，则 .‎ ‎16.直线l与双曲线x2﹣4y2=4相交于A、B两点，若点P（4，1）为线段AB的中点，则直线l的方程是　 　．‎ ‎17.某桥的桥洞呈抛物线形，桥下水面宽‎16m，当水面上涨‎2m时，水面宽变为‎12m，此时桥洞顶 部距水面高度为_________米.‎ ‎18.已知正方体的棱长为，点是棱的中点，点在底面 内，点在线段上，若，则长度的最小值为 .‎ 三、解答题（要求写出过程，共60分）‎ ‎19. (本小题满分10分)‎ 已知命题p:方程表示焦点在y轴的椭圆，命题q:关于x的方程没有实数根。若，求实数m的取值范围．‎ 20. ‎(本小题满分12分)‎ 已知抛物线的焦点为，点在上，.‎ ‎（Ⅰ）求的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与交于另一点，求的值.‎ 21. ‎(本小题满分12分)‎ 如图，直角梯形OABC中，∠COA=∠OAB=，OC=2，OA=AB=1，SO⊥平面OABC，且SO=1，点M为SC的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：BM∥平面SOA；‎ ‎（Ⅱ）求二面角O﹣SC﹣B的余弦值．‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ 如图，三棱柱ABC-A1B‎1C1中，CA=CB，AB=A A1，‎ ‎∠BA A1=60°.‎ ‎（Ⅰ）证明AB⊥A‎1C;‎ ‎（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求 直线A‎1C 与平面BB‎1C1C所成角的正弦值.‎ ‎23.(本小题满分14分)‎ 已知椭圆E：的右顶点为C，点D，Q是上且不在轴上的点.若的离心率为,ΔQCD的最大面积等于.‎ ‎（Ⅰ）求的方程；[]‎ ‎（Ⅱ）若直线不过原点O且不平行于坐标轴，与椭圆E交于不同的两点A, B，线段中点为M.‎ ‎(1)证明：直线OM的斜率与的斜率的乘积为定值；‎ ‎(2)若过点(1,3)，延长线段与椭圆E交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．‎ 福建师大附中2017-2018学年上学期期末考试卷 高二理科数学·选修2-1参考答案 一、1.D 2.A 3.D 4.B 5.B 6.D 7.D 8.A 9.C 10.B 11.C 12.B 13.A []‎ 二、14. ； 15.2 ； 16. x﹣y﹣3=0 ； 17.； 18. ‎ ‎19．解: p: ...................... 3分 ‎ q: ...................... 6分 ‎, p假q真 ..................... 8分 ‎ 所以m的取值范围是 ........ .... 10分 ‎20．解：（解法一）（Ⅰ）由抛物线的定义，得，…………2分 解得，所以的方程为…………4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ），得，因为在上，所以，‎ 解得或（舍去），…………6分 故直线的方程为，…………7分 由消去，得，‎ 解得，，…………10分 由抛物线的定义，得，…………11分 所以.　…………12分 解法二：（Ⅰ）由题意，可得…………2分 解得…………3分 所以的方程为…………4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ），得，故直线的方程为，…………6分 由消去，得，‎ 由韦达定理，得，又，所以，…………9分 故，从而，…………11分 所以…………12分 ‎21. 解：（Ⅰ）取SO的中点G，连接MG、AG． ‎ 故MG∥OC，且，…1分 又AB∥OC，且，所以MG∥AB，且MG=AB，四边形MGAB为平行四边形…2分 故BM∥AG…又因为BM⊄平面SOA，AG⊂平面SOA，…所以BM∥平面SOA．…5分 ‎（Ⅱ）由SO⊥平面OABC，，故OS，OC，OA两两垂直，分别以OC，OA，OS所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．…6分 则O（0，0，0），B（1，1，0），C（2，0，0），S（0，0，1），A（0，1，0）‎ 因为OA⊥平面SOC，故即为平面SOC的一个法向量，…7分 设平面SCB的一个法向量为=（x，y，z），‎ 由，得，令x=1，得=（1，1，2）．…9分 故．…11分 即二面角O﹣SC﹣B的余弦值为…12分 ‎22. (Ⅰ)证明：取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B.‎ 因为CA＝CB，所以OC⊥AB. ……1分 由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB. ……3分 因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA‎1C.又A‎1C平面OA‎1C，故AB⊥A‎1C. ……5分 ‎(Ⅱ)解：由(1)知OC⊥AB，OA1⊥AB.‎ 又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，‎ 故OA，OA1，OC两两相互垂直．‎ 以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz. ……7分 由题设知A(1,0,0)，A1(0，，0)，C(0,0，)，B(－1,0,0)．‎ 则＝(1,0，)，＝＝(－1，，0)，＝(0，，)．‎ 设n＝(x，y，z)是平面BB‎1C1C的法向量，‎ 则即可取n＝(，1，－1)．……9分 故cos〈n，〉＝＝. ……11分 所以A‎1C与平面BB‎1C1C所成角的正弦值为. ……12分 ‎23.解：（Ⅰ）由题意，可得的最大面积为，即.……① ……2分 又……②　…………3分 ‎……③　…………4分 联立①②③，解得，，故的方程为：.　…………5分 ‎ (Ⅱ) (1)设，，．‎ 由得： ，故，……7分 ‎．于是直线的斜率，即．‎ 所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值．…………9分[]‎ ‎（2）四边形能为平行四边形．‎ 因为直线过点(1,3)，所以不过原点且与E有两个交点的充要条件是，．‎ 由(1)得的方程为．设点的横坐标为．由得，即．……11分 将点(1,3)的坐标代入直线的方程得m=3-k，因此．‎ 四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即．‎ 于是．解得，．……13分 因为，，，所以当的斜率为或时，四边形为平行四边形．…………14分