2013年四川省达州市中考数学试卷及答案(解析版)

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文档介绍

2013年四川省达州市中考数学试卷及答案(解析版)

达州市2013年高中阶段教育学校招生统一考试 数 学 本试卷分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。第I卷1至2页,第II卷3至10页。考试时间120分钟,满分120分。‎ 第I卷(选择题,共30分)‎ 温馨提示:‎ ‎1、答第I卷前,请考生务必将姓名、准考证号、考试科目等按要求填涂在机读卡上。‎ ‎2、每小题选出正确答案后,请用2B铅笔把机读卡上对应题号的答案标号涂黑。‎ ‎3、考试结束后,请将本试卷和机读卡一并交回。‎ 一.选择题:(本题10个小题,每小题3分,共30分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.-2013的绝对值是( )‎ A.2013 B.‎-2013 C.±2013 D.‎ 答案:A 解析:负数的绝对值是它的相反数,故选A。‎ ‎2.某中学在芦山地震捐款活动中,共捐款二十一万三千元。这一数据用科学记数法表示为( )‎ A.元 B.元 C.元 D.元 答案:C 解析:科学记数法写成:形式,其中,二十一万三千元=213000=元 ‎3.下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )‎ 答案:D 解析:A、C只是轴对称图形,不是中心对称图形;B是中心对称图形,不是轴对称轴图形,只有D符合。‎ ‎4.甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品,甲超市先降价20%,后又降价10%;乙超市连续两次降价15%;丙超市一次降价30%。那么顾客到哪家超市购买这种商品更合算( )‎ A.甲 B.乙 C.丙 D.一样 答案:C 解析:设原价a元,则降价后,甲为:a(1-20%)(1-10%)=0.72a元,‎ 乙为:(1-15%)2a=0.7225a元,丙为:(1-30%)a=0.7a元,所以,丙最便宜。‎ ‎5.下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子,将它们按时间先后顺序正确的是( )‎ A.(3)(1)(4)(2) B.(3)(2)(1)(4) ‎ C.(3)(4)(1)(2) D.(2)(4)(1)(3)‎ 答案:C 解析:因为太阳从东边出来,右边是东,所以,早上的投影在左边,(3)最先,下午的投影在右边,(2)最后,选C。‎ ‎6.若方程有两个不相等的实数根,则m的取值范围在数轴上表示正确的是( )‎ 答案:B 解析:因为方程有两个不相等的实数根,所以,△=36-12m>0,得m<3,故选B。‎ ‎7.下列说法正确的是(  )‎ A.一个游戏中奖的概率是,则做100次这样的游戏一定会中奖 B.为了了解全国中学生的心理健康状况,应采用普查的方式 C.一组数据0,1,2,1,1的众数和中位数都是1‎ D.若甲组数据的方差,乙组数据的方差,则乙组数据比甲组数据稳定 答案:C 解析:由概率的意义,知A错;全国中学生较多,应采用抽样调查,故B也错;经验证C正确;方差小的稳定,在D中,应该是甲较稳定,故D错。‎ ‎8.如图,一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=‎600米,E为弧CD上一点,且OE⊥CD,垂足为F,OF=米,则这段弯路的长度为( )‎ A.200π米 B.100π米 C.400π米 D.300π米 答案:A 解析:CF=300,OF=,所以,∠COF=30°,∠COD=60°,‎ OC=600,因此,弧CD的长为:=200π米 ‎9.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,点D在BC上,以AC为对角线的所有□ADCE中,DE最小的值是(  )‎ A.2 B.3‎ C.4 D.5‎ 答案:B 解析:由勾股定理,得AC=5,因为平行边形的对角线互相平分,所以,DE一定经过AC中点O,当DE⊥BC时,DE最小,此时OD=,所以最小值DE=3‎ ‎10.二次函数的图象如图所示,反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是(   )‎ 答案:B 解析:由二次函数图象,知a<0,c>0,>0,所以,b>0,‎ 所以,反比例函数图象在一、三象限,排除C、D,直线y=cx+a中,因为a<0,所以,选B。‎ 第II卷(非选择题,共90分)‎ 二.填空题:(本题6个小题,每小题3分,共18分。把最后答案直接填在题中的横线上)‎ ‎11.分解因式:=_     _.‎ 答案:x(x+3)(x-3)‎ 解析:原式=x(x2-9)=x(x+3)(x-3)‎ ‎12.某校在今年“五·四”开展了“好书伴我成长”的读书活动。为了解八年级450名学生的读书情况,随机调查了八年级50名学生本学期读书册数,并将统计数据制成了扇形统计图,则该校八年级学生读书册数等于3册的约有   名。‎ 答案:162‎ 解析:读书册数等于3的约占比例:1-6%-24%-30%-6%=36%,‎ ‎36%×450=162‎ ‎13.点、在反比例函数的图象上,当时,,则k的取值可以是___ _(只填一个符合条件的k的值).‎ 答案:-1‎ 解析:由题知,y随x的增大而增大,故k是负数,此题答案不唯一。‎ ‎14.如果实数x满足,那么代数式的值为_  _.‎ 答案:5‎ 解析:由知,得=3,原式==5。‎ ‎15.如图,折叠矩形纸片ABCD,使B点落在AD上一点E处,折痕的两端点分别在AB、BC上(含端点),且AB=6,BC=10。设AE=x,则x 的取值范围是    .‎ 答案:2≤x≤6‎ 解析:如图,设AG=y,则BG=6-y,在Rt△GAE中,‎ x2+y2=(6-y)2,即(,当y=0时,x取最大值为6;当y=时,x取最小值2,故有2≤x≤6‎ ‎16.如图,在△ABC中,∠A=m°,∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1,得∠A1;∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2,得∠A2;…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013,则∠A2013=    度。‎ ‎ ‎ 答案:‎ 解析:∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD, ∴∠ACD=k∠A1CD,∠ABC=2∠A1BC, 而∠A1CD=∠A1+∠A1BC,∠ACD=∠ABC+∠A, ‎ ‎∴∠A=2∠A1,∴∠A1=, 同理可得∠A1=2∠A2,即∠A=22∠A2,∴∠A2=,‎ 所以,猜想:∠A2013=‎ 三.解答题(72分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎(一)(本题2个小题,共13分)‎ ‎17.(6分)计算:‎ 解析:原式=1+2-+9=10+‎ ‎18.(7分)钓鱼岛自古以来就是中国领土。中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测。如图,E、F为钓鱼岛东西两端。某日,中国一艘海监船从A点向正北方向巡航,其航线距离钓鱼岛最近距离CF=公里,在A点测得钓鱼岛最西端F在最东端E的东北方向(C、F、E在同一直线上)。求钓鱼岛东西两端的距离。(,,结果精确到0.1)‎ 解析:‎ 由题知,在Rt△ACF中,∠ACF=90°,‎ ‎∠A=30°,CF=20公里.‎ ‎∴cot30°=.‎ 解得,AC=60(公里).………………………(2分)‎ 又∵E在B的东北方向,且∠ACF=90°‎ ‎∴∠E=∠CBE=45°,‎ ‎∴CE=CB.………………………………………………(4分)‎ 又∵CB=AC-AB=60-22=38(公里),‎ ‎∴CE=38公里.………………………(5分)‎ ‎∴EF=CE-CF=38-20≈3.4(公里)………………………(6分)‎ 答:钓鱼岛东西两端的距离约为3.4公里.………………………(7分)‎ ‎(二)(本题2个小题,共14分)‎ ‎19.(7分)已知,则 ‎……‎ 已知,求n的值。‎ 解析:由题知 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)‎ ‎=+++…+‎ ‎=1-+-+-+…+-‎ ‎=1-………………………(4分)‎ ‎=.………………………(4分)‎ 又∵f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)=,‎ ‎∴=.‎ 解得n=14.………………………(6分)‎ 经检验,n=14是上述方程的解.‎ 故n的值为14.………………………(7分)‎ ‎20.(7分)某中学举行“中国梦·我的梦”演讲比赛。志远班的班长和学习委员都想去,于是老师制作了四张标有算式的卡片,背面朝上洗匀后,先由班长抽一张,再由学习委员在余下三张中抽一张。如果两张卡片上的算式都正确,班长去;如果两张卡片上的算式都错误,学习委员去;如果两张卡片上的算式一个正确一处错误,则都放回去,背面朝上洗匀后再抽。‎ 这个游戏公平吗?请用树状图或列表的方法,结合概率予以说明。‎ 解析:公平.………………………(1分)‎ 用列表法或树状图列出该事件的等可能情况如下:‎ 由此可知该事件共有12种等可能结果.………………………(4分)‎ ‎∵四张卡片中,A、B中的算式错误,C、D中的算式正确,‎ ‎∴都正确的有CD、DC两种,都错误的有AB、BA两种.………………………(5分)‎ ‎∴班长去的概率P(班长去)==,‎ 学习委员去的概率P(学习委员去)==,‎ P(班长去)=P(学习委员去)‎ ‎∴这个游戏公平.………………………(7分)‎ ‎(三)(本题2个小题,共16分)‎ ‎21.(8分)已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于A、B两点,连结AO。‎ ‎(1)求反比例函数和一次函数的表达式;‎ ‎(2)设点C在y轴上,且与点A、O构成等腰三角形,请直接写出点C的坐标。‎ 解析:‎ ‎(1)∵y=的图像过点(,-3),‎ ‎∴k1=3xy=3××(-3)=-3.‎ ‎∴反比例函数为y.………………………(1分)‎ ‎∴a==1,‎ ‎∴A(-1,1).………………………(2分)‎ ‎∴‎ 解得 ‎∴一次函数为y=-3x-2.………………………(4分)‎ 16、 C(0,)、………………………(5分)‎ 或(0,-)、………………………(6分)‎ 或(0,1)、………………………(7分)‎ 或(0,2).………………………(8分)‎ ‎22.(8分)选取二次三项式中的两项,配成完全平方式的过程叫配方。例如 ①选取二次项和一次项配方:; ②选取二次项和常数项配方:, 或 ③选取一次项和常数项配方: 根据上述材料,解决下面问题: (1)写出的两种不同形式的配方;‎ ‎(2)已知,求的值。‎ 解析::(1)=x2-8x+16-16+4=(x-4)2-12‎ 或=(x-2)2-4x ‎(2) ‎ X=-1,y=2.因此xy=(-1)2=1‎ ‎(四)(本题2个小题,共17分)‎ ‎23.(8分)今年,‎6月12日为端午节。在端午节前夕,三位同学到某超市调研一种进价为2元的粽子的销售情况。请根据小丽提供的信息,解答小华和小明提出的问题。‎ ‎(1)小华的问题解答:‎ 解析:(1)解:设实现每天800元利润的定价为x元/个,根据题意,得 ‎(x-2)(500-×10)=800 .………………………(2分)‎ 整理得:x2-10x+24=0.‎ 解之得:x1=4,x2=6.………………………(3分)‎ ‎∵物价局规定,售价不能超过进价的240%,即2×240%=4.8(元).‎ ‎∴x2=6不合题意,舍去,得x=4.‎ 答:应定价4元/个,才可获得800元的利润.………………………(4分)‎ ‎(2)解:设每天利润为W元,定价为x元/个,得 W=(x-2)(500-×10)‎ ‎=-100x2+1000x-1600‎ ‎=-100(x-5)2+900.………………………(6分)‎ ‎∵x≤5时W随x的增大而增大,且x≤4.8,‎ ‎∴当x=4.8 时,W最大,‎ W最大=-100×(4.8-5)2+900=896>800 .………………………(7分)‎ 故800元不是最大利润.当定价为4.8元/个时,每天利润最大.………………………(8分)‎ ‎24.(9分)通过类比联想、引申拓展研究典型题目,可达到解一题知一类的目的。下面是一个案例,请补充完整。‎ FF 原题:如图1,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°,连接EF,则EF=BE+DF,试说明理由。‎ ‎(1)思路梳理 ∵AB=CD, ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合。 ∵∠ADC=∠B=90°, ∴∠FDG=180°,点F、D、G共线。 根据__SAS__________,易证△AFG≌_△AFE_______,得EF=BE+DF。‎ ‎(2)类比引申 如图2,四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上,∠EAF=45°。若∠B、∠D都不是直角,则当∠B与∠D满足等量关系_互补___时,仍有EF=BE+DF。‎ ‎(3)联想拓展 如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°。猜想BD、DE、EC应满足的等量关系,并写出推理过程。‎ ‎ 解:BD2+EC2=DE2‎ 解析:(1)SAS………………………(1分)‎ ‎ △AFE………………………(2分)‎ ‎(2)∠B+∠D=180°………………………(4分)‎ ‎(3)解:BD2+EC2=DE2.………………………(5分)‎ ‎∵AB=AC,‎ ‎∴把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG,可使AB与AC重合.‎ ‎∵△ABC中,∠BAC=90°.‎ ‎∴∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°,即∠ECG=90°.‎ ‎∴EC2+CG2=EG2.………………………(7分)‎ 在△AEG与△AED中,‎ ‎∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=90°-∠EAD=45°=∠EAD,‎ 又∵AD=AG,AE=AE,‎ ‎∴△AEG≌△AED.‎ ‎∴DE=EG.又∵CG=BD,‎ ‎∴BD2+EC2=DE2.………………………(9分)‎ ‎(五)(本题12分)‎ ‎25.如图,在直角体系中,直线AB交x轴于点A(5,0),交y轴于点B,AO是⊙M的直径,其半圆交AB于点C,且AC=3。取BO的中点D,连接CD、MD和OC。 (1)求证:CD是⊙M的切线;‎ ‎(2)二次函数的图象经过点D、M、A,其对称轴上有一动点P,连接PD、PM,求△PDM的周长最小时点P的坐标;‎ ‎(3)在(2)的条件下,当△PDM的周长最小时,抛物线上是否存在点Q,使?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由。‎ 解析:(1)证明:连结CM.‎ ‎∵OA 为⊙M直径,‎ ‎∴∠OCA=90°.‎ ‎∴∠OCB=90°.‎ ‎∵D为OB中点,‎ ‎∴DC=DO.‎ ‎∴∠DCO=∠DOC.………………………(1分)‎ ‎∵MO=MC,‎ ‎∴∠MCO=∠MOC.………………………(2分)‎ ‎∴∠DCM=∠DCO+∠MCO=∠DOC+∠MOC=∠DOM=90°.………………………(3分)‎ 又∵点C在⊙M上,‎ ‎ ∴DC是⊙M的切线.………………………(4分)‎ ‎(2)解:在Rt△ACO中,有OC=.‎ 又∵A点坐标(5,0), AC=3,‎ ‎∴OC==4.‎ ‎∴tan∠OAC=.‎ ‎∴.解得 OB=.‎ 又∵D为OB中点,∴OD=. ‎ D点坐标为(0,).………………………(5分)‎ 连接AD,设直线AD的解析式为y=kx+b,则有 j解得 ‎∴直线AD为y=-x+.‎ ‎∵二次函数的图象过M(,0)、A(5,0),‎ ‎∴抛物线对称轴x=.………………………(6分)‎ ‎∵点M、A关于直线x=对称,设直线AD与直线x=交于点P,‎ ‎∴PD+PM为最小.‎ 又∵DM为定长,‎ ‎∴满足条件的点P为直线AD与直线x=的交点.………………………(7分)‎ 当x=时,y=-+=.‎ 故P点的坐标为(,).………………………(8分)‎ ‎(3)解:存在.‎ ‎∵S△PDM=S△DAM-S△PAM ‎=AM·yD-AM·yP ‎=AM(yD-yp).‎ S△QAM=AM·,由(2)知D(0,),P(,),‎ ‎∴×(-)=yQ 解得yQ=±………………………(9分)‎ ‎∵二次函数的图像过M(0,)、A(5,0),‎ ‎∴设二次函数解析式为y=a(x-)(x-5).‎ 又∵该图象过点D(0,),‎ a×(-)×(-5)=,a=.‎ ‎∴y=(x-)(x-5).………………………(10分)‎ 又∵C点在抛物线上,且yQ=±,‎ ‎∴(x-)(x-5)=±.‎ 解之,得x1=,x2=,x3=.‎ ‎∴点Q的坐标为(,),或(,),或(,-).…………(12分)‎
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