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文档介绍
【数学】2020届一轮复习人教版(理)第7章第7讲立体几何中的向量方法学案
第7讲 立体几何中的向量方法 [考纲解读] 1.理解直线的方向向量及平面的法向量,并能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.(重点) 2.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理,并能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题.(难点) [考向预测] 从近三年高考情况来看,本讲为高考必考内容.预测2020年高考将会以空间向量为工具,证明平行与垂直以及求空间角的计算问题.试题以解答题的形式呈现,难度为中等偏上. 1.用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2⇔v1=λv2. (2)设直线l的方向向量为v,与平面α共面的两个不共线向量v1和v2,则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x,y,使v=xv1+yv2. (3)设直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u,则l∥α或l⊂α⇔v⊥u⇔v·u=0. (4)设平面α和β的法向量分别为u1,u2,则α∥β⇔u1∥u2⇔u1=λu2. 2.用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2=0. (2)设直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u,则l⊥α⇔v∥u⇔v=λu. (3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2,则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2=0. 3.两条异面直线所成角的求法 设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则 4.直线和平面所成角的求法 如图所示,设直线l的方向向量为e,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为φ,两向量e与n的夹角为θ,则有sinφ=|cosθ|=,φ的取值范围是. 5.求二面角的大小 (1)如图①,AB,CD是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ=〈,〉. (2)如图②③,n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足|cosθ|=|cos〈n1,n2〉|=,二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角) 1.概念辨析 (1)若空间向量a平行于平面α,则a所在直线与平面α平行.( ) (2)两异面直线夹角的范围是,直线与平面所成角的范围是,二面角的范围是[0,π].( ) (3)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.( ) (4)若二面角α-a-β的两个半平面α,β的法向量n1,n2所成角为θ,则二面角α-a-β的大小是π-θ.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× 2.小题热身 (1)若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面α的法向量为n=(-2,0,-4),则( ) A.l∥α B.l⊥α C.l⊂α D.l与α斜交 答案 B 解析 因为a=(1,0,2),n=(-2,0,-4), 所以n=-2a,所以a∥n,所以l⊥α. (2)已知向量=(2,2,1),=(4,5,3),则平面ABC的单位法向量是( ) A. B. C.± D.± 答案 D 解析 设平面ABC的一个法向量是n=(x,y,z),则取z=1,得x=,y=-1.则n=,|n|=,故平面ABC的单位法向量是±. (3)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=BB1,则AB1与C1B所成角的大小为( ) A.60° B.75° C.90° D.105° 答案 C 解析 取AC的中点D,建立如图所示的空间直角坐标系. 设AB=a,则B,C1,A,B1,从而=,=. 所以cos〈,〉==0, 所以AB1与C1B所成的角为90°.故选C. (4)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1,则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为________,二面角B-A1C1-D1的余弦值为________. 答案 - 解析 如图,建立空间直角坐标系Dxyz,则 D1(0,0,1),C1(0,2,1),A1(1,0,1),B(1,2,0), ∴=(0,2,0),=(-1,2,0), =(0,2,-1), 设平面A1BC1的一个法向量为n=(x,y,z), 由即 令y=1,得n=(2,1,2), 设D1C1与平面A1BC1所成角为θ,则 sinθ=|cos〈,n〉|===, 即直线D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为. 易知平面A1C1D1的法向量m=(0,0,1), ∴cos〈m,n〉===. 由图可知,二面角B-A1C1-D1为钝角, 故二面角B-A1C1-D1的余弦值为-. 题型 利用空间向量研究空间中的位置关系 角度1 利用空间向量证明平行与垂直问题 1.(2018·青岛模拟)如图,在多面体ABC-A1B1C1中,四边形A1ABB1是正方形,AB=AC,BC=AB,B1C1綊BC,AA1⊥平面BAC. 求证:(1)A1B1⊥平面AA1C; (2)AB1∥平面A1C1C. 证明 ∵AA1⊥平面BAC. ∴AA1⊥AB,AA1⊥AC. 又∵AB=AC,BC=AB, ∴∠CAB=90°,即CA⊥AB, ∴AB,AC,AA1两两互相垂直. 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,设AB=2,则 A(0,0,0),B1(0,2,2),A1(0,0,2), C(2,0,0), C1(1,1,2). (1)=(0,2,0),=(0,0,-2),=(2,0,0),设平面AA1C的一个法向量n=(x,y,z), 则即即 取y=1,则n=(0,1,0). ∴=2n,即∥n. ∴A1B1⊥平面AA1C. (2)易知=(0,2,2),=(1,1,0),=(2,0,-2),设平面A1C1C的一个法向量m=(x1,y1,z1), 则即 令x1=1,则y1=-1,z1=1,即m=(1,-1,1). ∴·m=0×1+2×(-1)+2×1=0, ∴⊥m.又AB1⊄平面A1C1C, ∴AB1∥平面A1C1C. 角度2 利用空间向量解决平行与垂直关系中的探索性问题 2.(2018·桂林模拟)如图,棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都等于2,∠ABC和∠A1AC均为60°,平面AA1C1C⊥平面ABCD. (1)求证:BD⊥AA1; (2)在直线CC1上是否存在点P,使BP∥平面DA1C1,若存在,求出点P的位置,若不存在,请说明理由. 解 (1)证明:设BD与AC交于点O,则BD⊥AC,连接A1O,在△AA1O中,AA1=2,AO=1,∠A1AO=60°, ∴A1O2=AA+AO2-2AA1·AOcos60°=3, ∴AO2+A1O2=AA, ∴A1O⊥AO. 由于平面AA1C1C⊥平面ABCD,且平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,A1O⊂平面AA1C1C, ∴A1O⊥平面ABCD. 以OB,OC,OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0,-1,0),B(,0,0), C(0,1,0),D(-,0,0), A1(0,0,),C1(0,2,). 由于=(-2,0,0),=(0,1,), ·=0×(-2)+1×0+×0=0, ∴⊥,即BD⊥AA1. (2)假设在直线CC1上存在点P,使BP∥平面DA1C1, 设=λ,P(x,y,z),则(x,y-1,z)=λ(0,1,). 从而有P(0,1+λ,λ),=(-,1+λ,λ).设平面DA1C1的法向量为n=(x,y,z),则 又=(0,2,0),=(,0,), 则取n=(1,0,-1), 因为BP∥平面DA1C1, 则n⊥,即n·=--λ=0, 得λ=-1, 即点P在C1C的延长线上,且C1C=CP. 1.用空间向量证明平行问题的方法 线线平行 证明两直线的方向向量共线 线面平行 ①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直; ②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行; ③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示 面面平行 ①证明两平面的法向量平行(即为共线向量); ②转化为线面平行、线线平行问题 2.用空间向量证明垂直问题的方法 线线垂 直问题 证明两直线所在的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零 线面垂 直问题 直线的方向向量与平面的法向量共线,或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直 面面垂 直问题 两个平面的法向量垂直,或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直 3.解决立体几何中探索性问题的基本方法 (1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立),然后在这个前提下进行逻辑推理. (2)探索性问题的关键是设点:①空间中的点可设为(x,y,z);②坐标平面内的点其中一个坐标为0,如xOy面上的点为(x,y,0);③坐标轴上的点两个坐标为0,如z轴上的点为(0,0,z);④直线(线段)AB上的点P,可设为=λ,表示出点P的坐标,或直接利用向量运算. 提醒:解这类问题时要利用好向量垂直和平行的坐标表示. 1.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=AD,设E,F分别为PC,BD的中点. (1)求证:EF∥平面PAD; (2)求证:平面PAB⊥平面PDC. 证明 (1)如图,取AD的中点O,连接OP,OF. 因为PA=PD,所以PO⊥AD. 因为侧面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO⊂平面PAD, 所以PO⊥平面ABCD. 又O,F分别为AD,BD的中点, 所以OF∥AB. 又ABCD是正方形,所以OF⊥AD. 因为PA=PD=AD, 所以PA⊥PD,OP=OA=. 以O为原点,OA,OF,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, 则A,F,D, P,B,C. 因为E为PC的中点,所以E. 易知平面PAD的一个法向量为=, 因为=, 且·=·=0, 又因为EF⊄平面PAD, 所以EF∥平面PAD. (2)因为=,=(0,-a,0), 所以·=·(0,-a,0)=0, 所以⊥,所以PA⊥CD. 又PA⊥PD,PD∩CD=D, PD,CD⊂平面PDC, 所以PA⊥平面PDC. 又PA⊂平面PAB, 所以平面PAB⊥平面PDC. 2.如图是某直三棱柱被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图,在直观图中,点M是BD的中点,AE=CD,侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示. (1)求证:EM∥平面ABC; (2)试问在棱CD上是否存在一点N,使MN⊥平面BDE?若存在,确定点N的位置;若不存在,请说明理由. 解 以A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0),D(-2,0,4), E(0,0,2),M(-1,1,2),=(0,0,2), =(2,2,-4),=(2,0,-2), =(0,0,-4),=(1,1,-2),=(-1,1,0). (1)证明:由图易知为平面ABC的一个法向量, 因为·=0×(-1)+0×1+2×0=0, 所以⊥,即AE⊥EM, 又EM⊄平面ABC, 故EM∥平面ABC. (2)假设在DC上存在一点N满足题意, 设=λ=(0,0,-4λ),λ∈[0,1], 则=-=(1,1,-2)-(0,0,-4λ)=(1,1,-2+4λ),所以即 解得λ=∈[0,1]. 所以棱DC上存在一点N,满足NM⊥平面BDE,此时DN=DC. 题型 利用空间向量求解空间角 角度1 利用空间向量求解异面直线所成的角 1.(2015·全国卷Ⅰ)如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC. (1)证明:平面AEC⊥平面AFC; (2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值. 解 (1)证明:连接BD. 设BD∩AC=G,连接EG,FG,EF. 在菱形ABCD中,不妨设GB=1. 由∠ABC=120°,可得AG=GC=. 由BE⊥平面ABCD,AB=BC,可知AE=EC. 又AE⊥EC,所以EG=,且EG⊥AC. 在Rt△EBG中,可得BE=,故DF=. 在Rt△FDG中,可得FG=. 在直角梯形BDFE中,由BD=2,BE=,DF=,可得EF=. 从而EG2+FG2=EF2,所以EG⊥FG. 又AC∩FG=G,可得EG⊥平面AFC. 因为EG⊂平面AEC,所以平面AEC⊥平面AFC. (2)如图,以G为坐标原点,分别以,的方向为x轴,y轴正方向,||为单位长度,建立空间直角坐标系Gxyz. 由(1)可得A(0,-,0),E(1,0,),F,C(0,,0), 所以=(1,,),=. 故cos〈,〉==-. 所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为. 角度2 利用空间向量求解直线与平面所成的角(多维探究) 2.(2018·全国卷Ⅱ)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点. (1)证明:PO⊥平面ABC; (2)若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30°,求PC与平面PAM所成角的正弦值. 解 (1)证明:因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OP⊥AC,且OP=2. 连接OB.因为AB=BC=AC,所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB=AC=2. 由OP2+OB2=PB2,知OP⊥OB. 由OP⊥OB,OP⊥AC,AC∩OB=O,知PO⊥平面ABC. (2)如图,以O为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. 由已知得O(0,0,0), B(2,0,0),A(0,-2,0), C(0,2,0),P(0,0,2), 则=(0,2,2), 取平面PAC的法向量=(2,0,0). 设M(a,2-a,0)(00),则 A1(0,-4,λ),B(3,0,0), C1(0,4,λ),D(0,0,0), ∴=(0,-4,λ),=(0,4,λ),=(3,0,0), 设平面BC1D的法向量为n=(x,y,z), 则即则x=0,令z=4,可得y=-λ, 故n=(0,-λ,4)为平面BC1D的一个法向量. 设直线A1D与平面BC1D所成角为θ, 则sinθ=|cos〈n,〉|= ==, 解得λ=2或λ=8,即AA1=2或AA1=8. 3.(2018·芜湖模拟)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠AA1B1=45°,AC=BC,平面BB1C1C⊥平面AA1B1B,E为CC1的中点. (1)求证:BB1⊥AC; (2)若AA1=2,AB=,直线A1C1与平面ABB1A1所成角为45°,求平面A1B1E与平面ABC所成锐二面角的余弦值. 解 (1)证明:过点C作CO⊥BB1交BB1于O,因为平面BB1C1C⊥平面AA1B1B,BB1C1C∩平面AA1B1B=B1B,所以CO⊥平面AA1B1B,故CO⊥OA, 又因为AC=BC,OC=OC,所以Rt△AOC≌Rt△BOC,故OA=OB, 因为∠AA1B1=∠OBA=45°,所以AO⊥BB1,又因为BB1⊥CO,所以BB1⊥平面AOC,故BB1⊥AC. (2)以O为坐标原点,OA,OB,OC所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系Oxyz, ∵AC∥A1C1,直线A1C1与平面ABB1A1所成角为45°,∴直线AC与平面ABB1A1所成角为45°,∵CO⊥平面AA1B1B,∴∠CAO=45°,则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),A1(1,-2,0),B1(0,-1,0),E(0,-1,1), 设平面A1B1E的法向量为n=(x1,y1,z1), 则∴ 令x1=1,得n=(1,1,0); 设平面ABC的法向量为m=(x2,y2,z2),则 ∴ 令x2=1,得m=(1,1,1); ∴cos〈m,n〉==,平面A1B1E与平面ABC所成锐二面角的余弦值为. 题型 求空间距离(供选用) (2018·合肥三模)如图,在多面体ABCDE中,平面ABD⊥平面ABC,AB⊥AC,AE⊥BD,DE綊AC,AD=BD=1. (1)求AB的长; (2)已知2≤AC≤4,求点E到平面BCD的距离的最大值. 解 (1)∵平面ABD⊥平面ABC,且交线为AB,而AC⊥AB,∴AC⊥平面ABD. 又∵DE∥AC,∴DE⊥平面ABD,从而DE⊥BD. 注意到BD⊥AE,且DE∩AE=E,∴BD⊥平面ADE, 于是,BD⊥AD.而AD=BD=1,∴AB=. (2)∵AD=BD,取AB的中点为O,∴DO⊥AB. 又∵平面ABD⊥平面ABC,∴DO⊥平面ABC. 过O作直线OY∥AC,以点O为坐标原点,直线OB,OY,OD分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,如图所示. 记AC=2a,则1≤a≤2, A,B, C,D,E, =(-,2a,0),=. 设平面BCD的法向量为n=(x,y,z). 由得 令x=,得n=. 又∵=(0,-a,0), ∴点E到平面BCD的距离d== . ∵1≤a≤2,∴当a=2时,d取得最大值, dmax==. 空间距离的几个结论 (1)点到直线的距离:设过点P的直线l的方向向量为单位向量n,A为直线l外一点,点A到直线l的距离d=. (2)点到平面的距离:设P为平面α内的一点,n为平面α的法向量,A为平面α外一点,点A到平面α的距离d=. (3)线面距离、面面距离都可以转化为点到面的距离. (2018·惠州第一次调研)如图,已知圆柱OO1底面半径为1,高为π,平面ABCD是圆柱的一个轴截面,动点M从点B出发沿着圆柱的侧面到达点D,其运动路程最短时在侧面留下曲线Γ.将轴截面ABCD绕着轴OO1逆时针旋转θ(0<θ<π)后得到平面A1B1C1D1,边B1C1与曲线Γ相交于点P. (1)求曲线Γ的长度; (2)当θ=时,求点C1到平面APB的距离. 解 (1)将圆柱一半展开后底面的半个圆周变成长方形的边BA,曲线Γ就是对角线BD. 由于AB=πr=π,AD=π,∴BD=π. 故曲线Γ的长度为π. (2)当θ=时,建立如图所示的空间直角坐标系, 则O(0,0,0),A(0,-1,0),B(0,1,0), P,C1(-1,0,π),则=(0,2,0),=,=(-1,0,π), 设平面ABP的法向量为n=(x,y,z), 则 取z=2得n=(π,0,2), ∴点C1到平面PAB的距离d== . 易错防范 向量法求空间角 [典例] 如图,在多面体ADEFCB中,ABFE是直角梯形,∠AEF=90°,AE∥BF,DCFE为正方形,且AE=1,BF=EF=2,∠BFC=60°. (1)求证:CE∥平面ADB; (2)求直线AB与平面EFCD所成角的正弦值. 解 (1)证明:如图,取FB的中点M,连接CM,EM,AM. ∵AE∥BM,AE=BM, ∴四边形AEMB为平行四边形, ∴AB∥EM, 同理AM∥EF,AM=EF, ∴AM∥EF∥CD,AM=EF=CD, ∴四边形AMCD为平行四边形, ∴AD∥CM, 又CM∩EM=M,AB∩AD=A, ∴平面CME∥平面ADB, 又CE⊂平面CME,∴CE∥平面ADB. (2)由(1)可知AB∥EM, ∴直线AB与平面EFCD所成的角就是直线EM与平面EFCD所成的角. 过M作MN⊥CF于点N,连接EN, 由于ABFE是直角梯形,∠AEF=90°,AE∥BF,EFCD为正方形, ∴∠EFB=90°,∠EFC=90°, ∴EF⊥平面BFC,∴EF⊥MN, ∴MN⊥平面EFCD. 以N为坐标原点,的方向为x轴正方向,的方向为y轴正方向,的方向为z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系, ∵M为FB的中点,∴MF=1. ∵∠BFC=60°,∴MN=,NF=. ∴N(0,0,0),M,E, =. 易知平面EFCD的一个法向量为n=(0,0,1), 设直线AB与平面EFCD所成角的大小为α,则sinα=|cos〈n,〉|==, ∴直线AB与平面EFCD所成角的正弦值为. 防范措施 向量法求空间角要注意的问题 (1)建立空间直角坐标系时 ①证明线面垂直关系,为建系作准备,没有文字说明,直接建系通常会扣分. ②合理选择建系方法,从而有利于求向量的坐标. (2)准确计算 利用空间向量法解决立体几何问题,计算一定要准确,避免因一个点的坐标错误导致整个题目全错的情况.查看更多