吉林省长春外国语学校2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题
长春外国语学校2019-2020学年第一学期期中考试高二年级
数学试卷（理）
出题人 ： 赵天 审题人：王云峰
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信
息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书
写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；
在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )
A．1 B．4 C．1或3 D．1或4
2. 若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是( )
A．0
1或a<－1
3. 过点(－1,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为( )
A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－1＝0 C．x＋2y－5＝0 D．x－2y＋7＝0
4. 直线mx－y＋2m＋1＝0经过一定点，则该定点的坐标是( )
A．(－2,1) B．(2,1) C．(1，－2) D．(1,2)
5. 圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为( )
A．2 B. C．1 D.
6．设l是直线，α，β是两个不同的平面( )
A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
7. 已知两点M(2，－3)，N(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段MN相交，则直线l
的斜率k的取值范围是( ）
A．k≥或k≤－4 B．－4≤k≤ C．≤k≤4 D．－≤k≤4
8. 若圆与圆外切，则（ ）
A．21 B．19 C．9 D．-11
9. 椭圆＋＝1中，以点M(－1,2)为中点的弦所在的直线斜率为 ( )
A． B． C．－ D．
10.已知A1，A2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点，P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，若直线PA1，PA2的斜率的乘积为－，则椭圆C的离心率为( )
A． B． C． D．
11. 若直线ax＋2by－2＝0(a>0，b>0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则＋的最小值为( )
A．1 B．5 C．4 D．3＋2
12. 点在椭圆上，的右焦点为，点在圆上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
13. 若直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离为________．
14．一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．
15．已知长方体ABCDA1B1C1D1的所有顶点都在球O的球面上，AB＝AD＝1，AA1＝2，则球O的球面面积为________．
16. 过点P(1，)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则·＝________.
三、解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出必要证明过程或演算步骤。
17．（10分）求适合下列条件的直线方程：
(1) 过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－倍；
(2) 经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等．
18.（12分）已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值．
19.（12分) 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，.
（1） 证明：平面;
（2） 求二面角的大小．
20．（12分）已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，若⊥且△PF1F2的面积为9.
（1）求b；
（2）若△PF1F2的周长为18，求该椭圆的方程．
21.（12分）已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0， O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M.
(1)若点P运动到(1,3)处，求此时切线l的方程；
(2)求满足条件|PM|＝|PO|的点P的轨迹方程．
22.（12分） 已知椭圆＋＝1 (a>b>0)的一个顶点为A(0，1)，离心率为，过左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2.
(1)求椭圆的方程；
(2)求△CDF2的面积的最大值．
长春外国语学校2019-2020学年第一学期期中考试高二年级
数学试卷(理）参考答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
C
B
A
D
B
A
C
B
D
D
B
二、填空题
13. 2 14. 15. 16.
三、解答题
17、（1）设所求直线的斜率为k，依题意k＝－×3＝－.又直线经过点A(－1，－3)，
因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.
(2)直线l在x，y轴上的截距均为a，
若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，∴l的方程为y＝x，即2x－3y＝0.
若a≠0，则设l的方程为＋＝1，∵l过点(3,2)，∴＋＝1，
∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0，
综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
18. (1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
所以圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2. 又|QC|＝＝4.
所以|MQ|max＝4＋2＝6， |MQ|min＝4－2＝2.
(2)可知表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0，则＝k.
由直线MQ与圆C有交点，所以≤2，可得2－≤k≤2＋，
所以的最大值为2＋，最小值为2－.
19. （1）在直角梯形中，由，得，，由，则，即，又平面平面
，从而平面，所以，又，从而平面；
（2）方法一：作，与交于点，过点作，与交于点，连结，由（1）知，，则，，所以是二面角的平面角，在直角梯形中，由，得，又平面平面，得平面，从而，，由于平面，得：，在中，由，，得，
在中，，，得，在中，，，，得，，从而，在中，利用余弦定理分别可得，在中，，所以，即二面角的大小是．
方法二：以为原点，分别以射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系如图所示，由题意可知各点坐标如下：，设平面的法向量为，平面的法向量为，可算得，，由得，，可取，由得，，可取，于是
，由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角的大小是．
20. 解：（1）设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则
∴2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)＝4a2－4c2＝4b2，
又∵S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，∴b＝3.
（2）b2＝a2－c2＝9，又2a＋2c＝18，所以a－c＝1，解得a＝5，
故椭圆方程为＋＝1.
21.(1) 把圆C的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4
，∴圆心为C(－1,2)，半径r＝2.
(1)当l的斜率不存在时，此时l的方程为x＝1，C到l的距离d＝2＝r，满足条件．
当l的斜率存在时，设斜率为k，得l的方程为y－3＝k(x－1)，即kx－y＋3－k＝0，
则＝2，解得k＝－.∴l的方程为y－3＝－(x－1)，即3x＋4y－15＝0.
综上，满足条件的切线l的方程为x＝1或3x＋4y－15＝0.
(2)设P(x，y)，则|PM|2＝|PC|2－|MC|2＝(x＋1)2＋(y－2)2－4，|PO|2＝x2＋y2，
∵|PM|＝|PO|，∴(x＋1)2＋(y－2)2－4＝x2＋y2，整理，得2x－4y＋1＝0，
∴点P的轨迹方程为2x－4y＋1＝0.
22. 解：（1）由题意，设椭圆方程为＋＝1 (a>b>0)的一个顶点为A(0，1)，离心率为，∴b2＝a2﹣c2＝1,且，解得，可得椭圆方程为；
（2）设直线CD方程为x＝my-1，联立得：
,设C（，），D（，），
,.则
，当且仅当，即时，有最大值为.
