2019-2020学年安徽省合肥市庐江县高二上学期期末检测数学（文）试题（解析版）

2019-2020学年安徽省合肥市庐江县高二上学期期末检测数学（文）试题（解析版）

‎2019-2020学年安徽省合肥市庐江县高二上学期期末检测数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知命题“若，则”是真命题，则下列命题中一定是真命题的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎【答案】B ‎【解析】根据逆否命题的等价性即可进行判断.‎ ‎【详解】‎ 命题“若，则”是真命题，‎ 则根据逆否命题的等价性可知：命题“若，则”是真命题.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查四种命题之间的关系的应用，根据逆否命题的等价性是解决本题的关键，属于基础题.‎ ‎2．若双曲线的渐近线方程为，则其离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由双曲线的渐近线方程求得和的关系，再由离心率公式即可得到结论.‎ ‎【详解】‎ 由题意，双曲线的渐近线方程为，‎ 可得：，即，‎ 所以，双曲线的离心率为：.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的几何性质：渐近线，离心率，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎3．已知，直线与直线垂直，则的值为（ ）‎ A． B． C．或 D．或 ‎【答案】C ‎【解析】根据两直线垂直的性质，两直线垂直时，它们的斜率之积等于，列方程解得即可.‎ ‎【详解】‎ 直线与直线垂直，‎ 当时，直线和垂直，符合题意；‎ 当时，它们的斜率之积等于，即，解得；‎ 综上，两直线垂直时，的值为或.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查两直线垂直的性质，两直线垂直斜率之积等于，注意直线斜率不存在的情况，属于基础题.‎ ‎4．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论错误的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎【答案】C ‎【解析】根据线线，线面平行与垂直的关系，对各选项逐一判断即可.‎ ‎【详解】‎ 由是两条不同的直线，是三个不同的平面，‎ 在A中，若，则，故A正确；‎ 在B中，若，则，故B正确；‎ 在C中，若，则或或或与平面相交，故C错误；‎ 在D中，若，则，故D正确；‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，属于基础题．‎ ‎5．直线的倾斜角的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】把直线的方程化为斜截式，求出斜率解析式，设出倾斜角，通过斜率的取值范围得到倾斜角的范围.‎ ‎【详解】‎ 直线，即，斜率为，，‎ 因，设直线的倾斜角为，则，，‎ 所以.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，属于基础题.‎ ‎6．“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】根据椭圆的定义以及集合的包含关系判断即可.‎ ‎【详解】‎ 由方程表示焦点在轴上的椭圆，‎ 则，解得，‎ 所以，“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的定义，考查充分必要条件，属于基础题.‎ ‎7．如图下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其 中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度和时间之间的关系，其中不 正确的有（　 　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】C ‎【解析】结合几何体的结构和题意知，容器的底面积越大水的高度变化慢、反之变化的快，再由图象越平缓就是变化越慢、图象陡就是变化快来判断．‎ ‎【详解】‎ A、因正方体的底面积是定值，故水面高度的增加是均匀的，即图象是直线型的，故A不对；‎ B、因几何体下面窄上面宽，且相同的时间内注入的水量相同，所以下面的高度增加的快，上面增加的慢，即图象应越来越平缓，故B正确；‎ C、球是个对称的几何体，下半球因下面窄上面宽，所以水的高度增加的越来越慢；上半球恰相反，所以水的高度增加的越来越快，则图象先平缓再变陡；故C正确；‎ D、图中几何体两头宽、中间窄，所以水的高度增加的越来越慢后再越来越慢快，则图象先平缓再变陡，故D正确．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了数形结合思想，对于此题没有必要求容器中水面的高度h和时间t之间的函数解析式，因此可结合几何体和图象作定性分析，即充分利用数形结合思想．‎ ‎8．在正方体中，是的中点，则异面直线与所成的角的余弦值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】作出图象，将异面直线与所成的角转化为解，即可得到结论.‎ ‎【详解】‎ 由题意，如图，‎ 令正方体的边长为，在正方体中，知异面直线与所成的角，即为直线与直线所成的角，‎ 在中，，，，由余弦定理得，‎ ‎，‎ 所以直线与直线所成的角余弦值为，‎ 即异面直线与所成的角的余弦值为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查异面直线所成的角的余弦值，考查空间能力，计算能力，属于基础题.‎ ‎9．已知函数的图象如图所示，则的关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据函数导数和极值之间的关系，求出对应，的关系，即可得到结论.‎ ‎【详解】‎ 由函数图象知，为函数的极大值点，为函数的极小值点，‎ 即，是的两个根，又，‎ 所以.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的极值和导数之间的关系，以及根与系数之间的关系的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎10．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和．，，所以几何体的表面积为．‎ ‎【考点】三视图与表面积．‎ ‎11．给出下列说法：‎ ‎①方程表示一个圆；‎ ‎②若，则方程表示焦点在轴上的椭圆；‎ ‎③已知点，若，则动点的轨迹是双曲线的右支；‎ ‎④以过抛物线焦点的弦为直径的圆与该抛物线的准线相切，‎ 其中正确说法的个数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，依次分析题目中的四个命题，综合即可得答案.‎ ‎【详解】‎ 根据题意，‎ 对于①，方程变形为，不是圆的方程，‎ 故①错误；‎ 对于②，方程变形为，若，则有，则方程表示焦点在轴上的椭圆，故②错误；‎ 对于③，点，则，若，则动点的轨迹是一条射线（以为端点向右的射线），故③错误；‎ 对于④，由抛物线的定义，以过抛物线焦点的弦为直径的圆与该抛物线的准线相切，故④正确.‎ 综上，正确说法的个数为个.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查曲线与方程，注意常见圆锥曲线的定义与方程的形式，属于基础题.‎ ‎12．在平面直角坐标系xoy中，直线l与曲线和曲线均相切，切点分别为A、B两点，则两切点AB间的长为（ ）‎ A． B． C．. D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设切点，利用导数求得切线斜率，可得切线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径可得的值，由切线长定理可得结果.‎ ‎【详解】‎ 设切点，切点在曲线上，‎ ‎，‎ ‎， ‎ 以为切点的切线的斜率为，‎ 直线的方程为，即，‎ 直线与曲线（以原点为圆心，以1为半径的半圆）相切，‎ ‎，‎ 或（舍），‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以切点坐标为，‎ 由切线长定理可得，‎ ‎，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数求切线斜率及点到直线距离公式，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.‎ 二、填空题 ‎13．命题：，，写出命题的否定：_______________‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】特称命题改为全称命题，把“”改为“”，“存在”改为“所有”，再否定结论.‎ ‎【详解】‎ 命题是特称命题，它的否定是全称命题，‎ 所以命题的否定为：‎ ‎，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查含有量词的命题的否定.方法：先改量词，再否定结论.‎ ‎14．圆与圆的位置关系是__________.‎ ‎【答案】外切 ‎【解析】直接写出圆心坐标与半径，再计算圆心距，即可得到位置关系.‎ ‎【详解】‎ 圆，其圆心，半径，‎ 圆，其圆心，半径，‎ 所以，，即，‎ 故两圆的位置关系为外切.‎ 故答案为：外切.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两圆的位置关系，属于基础题.‎ ‎15．棱长为的正方体的外接球与内切球的体积比为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】确定棱长为的正方体的外接球与内切球的半径，即可求得棱长为的正方体的外接球与内切球的体积之比.‎ ‎【详解】‎ 棱长为的正方体的外接球的直径为正方体的体对角线，即外接球的半径为，‎ 棱长为的正方体的内切球的半径为，‎ 所以，外接球与内切球的体积之比为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查球的体积，考查学生的计算能力，属于基础题.‎ ‎16．已知函数是定义在上的奇函数，且.若时，，则不等式的解集为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：构造函数，由的单调性结合的奇偶性可得解．‎ 详解：设，则，当时，由已知得，为增函数，由为奇函数得，即，∴当时，，当时，，，又是奇函数，∴当时，，时，．∴不等式的解集为．‎ 故答案为．‎ 点睛：本题考查考查用导数研究函数的单调性，解题关键是构造新函数，注意根据已知导数不等式构造新函数，常见的新函数有，，，．‎ 三、解答题 ‎17．已知：方程所表示的曲线为焦点在轴上的椭圆；实数满足不等式，.‎ ‎（1）若为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）根据题意列出不等式组解得即可；‎ ‎（2）根据题意列出不等式解得即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为方程所表示的曲线为焦点在轴上的椭圆，‎ 所以，解得：，‎ 所以，实数的取值范围为.‎ ‎（2）因为命题实数满足不等式 若是的必要不充分条件，所以，即，‎ 故实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的真假，考查充分必要条件，属于基础题.‎ ‎18．如图，四边形为正方形，平面，平面.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）证明：平面.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 ‎【解析】（1）先证明平面，平面，进而可得结论；‎ ‎（2）先证明平面平面，再由面面垂直得线面垂直，即可得到结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为平面，平面，‎ 所以，所以平面，‎ 因为为正方形，，所以平面，‎ 因为，平面，平面，‎ 所以平面平面.‎ ‎（2）由平面，平面，‎ 得：平面平面，‎ 又，平面平面，‎ 所以平面.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了面面平行的判定定理，面面垂直的判定定理，线面垂直，考查空间思维能力，属于基础题.‎ ‎19．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2＝4（a＞0）及直线l：x﹣y+3＝0．当直线l被圆C截得的弦长为时，求 ‎（Ⅰ）a的值；‎ ‎（Ⅱ）求过点（3，5）并与圆C相切的切线方程．‎ ‎【答案】（Ⅰ）a＝1；（Ⅱ）5x﹣12y+45＝0或x＝3．‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据圆的方程找出圆心坐标与圆的半径，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，然后根据垂径定理得到弦心距，弦的一半及圆的半径成直角三角形，利用勾股对了列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，然后由a大于0，得到满足题意a的值；‎ ‎（Ⅱ）把（Ⅰ）求出a的值代入圆的方程中确定出圆的方程，即可得到圆心的坐标，并判断得到已知点在圆外，分两种情况：当切线的斜率不存在时，得到x＝3为圆的切线；当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k，由（3，5）和设出的k写出切线的方程，根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，让d等于圆的半径即可列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，把k的值代入所设的切线方程即可确定出切线的方程．综上，得到所有满足题意的切线的方程．‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）依题意可得圆心C（a，2），半径r＝2，‎ 则圆心到直线l：x﹣y+3＝0的距离，‎ 由勾股定理可知，代入化简得|a+1|＝2，‎ 解得a＝1或a＝﹣3，‎ 又a＞0，所以a＝1；‎ ‎（Ⅱ）由（1）知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，圆心坐标为（1，2），圆的半径r＝2‎ 由（3，5）到圆心的距离为r＝2，得到（3，5）在圆外，‎ ‎∴①当切线方程的斜率存在时，设方程为y﹣5＝k（x﹣3）‎ 由圆心到切线的距离dr＝2，‎ 化简得：12k＝5，可解得，‎ ‎∴切线方程为5x﹣12y+45＝0；‎ ‎②当过（3，5）斜率不存在直线方程为x＝3与圆相切．‎ 由①②可知切线方程为5x﹣12y+45＝0或x＝3．‎ ‎【点睛】‎ 此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件，灵活运用垂径定理及勾股定理化简求值，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道综合题 ‎20．某商场的销售部经过市场调查发现，该商场的某种商品每日的销售量（单位：千克）与销售价格（单位：元/千克）满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为元/千克时，每日可售出该商品千克．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若该商品的成本为元/千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售该商品所获得的利润最大.‎ ‎【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意可得时，，代入函数解析式可得的值；（Ⅱ） 根据利润等于销量乘以销售价格与成本的差，列函数关系式（三次函数），利用导数研究函数单调性变化规律，确定函数最值.‎ 试题解析：解：（Ⅰ）因为时，，所以，故 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该商品每日的销售量 所以商场每日销售该商品所获得的利润为 从而 于是，当变化时，的变化情况如下表：‎ 由上表可得，是函数在区间内的极大值点，也是最大值点.‎ 所以，当时，函数取得最大值，且最大值等于42‎ 答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.‎ ‎21．如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面..‎ ‎（1）证明：直线平面；‎ ‎（2）若的面积为4，求四棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】（1）由题意可得，进而可得平面；‎ ‎（2）由的面积为4，可计算得，进而计算四棱锥的体积.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）在四棱锥中，‎ ‎，所以，‎ 因为平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）由，‎ 设，则，‎ 设是的中点，连接 由侧面为等边三角形，则，且，‎ 因为平面底面，平面底面，‎ 所以平面，‎ 又平面，且，‎ 因为底面，所以，‎ 又面积为，可得，‎ 解得，则，‎ 则 ‎【点睛】‎ 本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，属于中档题.‎ ‎22．已知椭圆：的离心率，且过点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）如图，过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线交椭圆分别于，且满足，，求面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】【详解】‎ ‎（1）根据条件有，解得，所以椭圆．‎ ‎（2）根据，可知，分别为的中点，‎ 且直线斜率均存在且不为0，现设点，‎ 直线的方程为，不妨设，‎ 联立椭圆有，‎ 根据韦达定理得：，，‎ ‎，，同理可得，‎ 所以面积，现令，‎ 那么，‎ 所以当，时，的面积取得最大值．‎