2017-2018学年河南省周口市西华县一中高二上学期期中数学试题（文科）（解析版）

2017-2018学年河南省周口市西华县一中高二上学期期中数学试题（文科）（解析版）

‎2017-2018学年河南省周口市西华县一中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，a=8，B=60°，C=75°，则b=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．（5分）等比数列{an}中，若a2+a3=4，a4+a5=16，则a6+a7=（　　）‎ A．64 B．﹣64 C．32 D．﹣32‎ ‎3．（5分）已知等差数列{an}中，公差d=2，an=11，Sn=35，则a1=（　　）‎ A．5或7 B．3或5 C．7或﹣1 D．3或﹣1‎ ‎4．（5分）△ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，则=（　　）‎ A．15 B．9 C．﹣15 D．﹣9‎ ‎5．（5分）已知a、b、c、d成等比数列，且曲线y=x2﹣4x+7的顶点是（b，c），则ad等于（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．12‎ ‎6．（5分）已知等差数列{an}的公差d为整数，首项为13，从第五项开始为负，则d为（　　）‎ A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1‎ ‎7．（5分）已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=4，b=2，B=30°，则此三角形（　　）‎ A．有一解 B．有两解 C．无解 D．不确定 ‎8．（5分）△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a2tanB=b2tanA，则△ABC的形状是（　　）‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 ‎9．（5分）△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A：B：C=9：1：2，则a：b：c=（　　）‎ A．2：（）： B．3：1：2 C．9：1：2 D．：1：2‎ ‎10．（5分）《九章算术》中有“今有五人分无钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”．其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”这个问题中，甲所得为（　　）‎ A．钱 B．钱 C．钱 D．钱 ‎11．（5分）已知a1、a2、a3、a4构成各项均为正数的等比数列，且公比q≠1，若去掉该数列中一项后剩余三个数仍按原顺序排列是等差数列，则q=（　　）‎ A．+1 B． C． D．‎ ‎12．（5分）已知锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=2，b2+c2﹣bc=4，则△ABC的面积的取值范围是（　　）‎ A．（，] B．（0，] C．（，] D．（，）‎ ‎　‎ 二.填空题，每题5分 ‎13．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn=﹣n2+n+r+1，则r=　 　．‎ ‎14．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=　 　．‎ ‎15．（5分）数列{an}满足an=（n≥2且n∈N*），a7=2，则a1=　 　．‎ ‎16．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，下列四个论断正确的是　 　（把你认为正确论断的序号都写上）‎ ‎①若=，则B=；‎ ‎②若B=，b=2，a=，则满足条件的三角形共有两个；‎ ‎③若a，b，c成等差数列，sinA，sinB，sinC成等比数列，则△ABC为正三角形；‎ ‎④若a=5，c=2，△ABC的面积S△ABC=4，则cosB=．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．（10分）在△ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，且满足cos2A﹣3cos（B+C）=1．‎ ‎（1）求角A；‎ ‎（2）若△ABC的面积S=10，b=5，求边a．‎ ‎18．（12分）已知等差数列{an}前n项和Sn，等比数列{bn}前n项和为Tn，a1=1，b1=1，a2+b2=4．‎ ‎（1）若a3+b3=7，求数列{bn}的通项公式；‎ ‎（2）若T3=13，求S5．‎ ‎19．（12分）在等差数列{an}中，2a9=a12+13，a2=5，其前n项和为Sn．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{}的前n项和Tn，并证明Tn＜．‎ ‎20．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c且sin2=．‎ ‎（1）判断△ABC的形状并加以证明；‎ ‎（2）当c=1时，求△ABC周长的最大值．‎ ‎21．（12分）轮船A从某港口O将一些物品送到正航行的轮船B上，在轮船A出发时，轮船B位于港口O北偏西30°且与O相距20海里的P处，并正以30海里/小时的航速沿正东方向匀速行驶，假设轮船A沿直线方向以V海里/小时的航速匀速行驶，经过t小时与轮船B相遇．‎ ‎（1）若使相遇时轮船A航距最短，则轮船A的航行速度大小应为多少？‎ ‎（2）假设轮船A的最高航行速度只能达到30海里/小时，则轮船A以多大速度及什么航行方向才能在最短时间与轮船B相遇，并说明理由．‎ ‎22．（12分）已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=12，且2a1，a2，a3+1成等比数列．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）记bn=的前n项和为Tn，求Tn．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年河南省周口市西华县一中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，a=8，B=60°，C=75°，则b=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由B与C的度数求出A的度数，再由sinB，sinA，以及a的值，利用正弦定理即可求出b的值．‎ ‎【解答】解：∵△ABC中，a=8，B=60°，C=75°，即A=45°，‎ ‎∴由正弦定理=得：b===4，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）等比数列{an}中，若a2+a3=4，a4+a5=16，则a6+a7=（　　）‎ A．64 B．﹣64 C．32 D．﹣32‎ ‎【分析】根据等比数列的性质求解通项公式即可求解a6+a7的值．‎ ‎【解答】解：数列{an}是等比数列，a2+a3=4，a4+a5=16，‎ 即a2q+a2=4，=16，‎ 解得：q2=4．‎ 那么：a6+a7==16×4=64．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查等比数列的应用，根据等比数列建立条件关系求出公比是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）已知等差数列{an}中，公差d=2，an=11，Sn=35，则a1=（　　）‎ A．5或7 B．3或5 C．7或﹣1 D．3或﹣1‎ ‎【分析】由已知列关于首项和项数n的方程组求解．‎ ‎【解答】解：在等差数列{an}中，由公差d=2，an=11，Sn=35，得 ‎，解得或．‎ ‎∴a1=3或﹣1．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）△ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，则=（　　）‎ A．15 B．9 C．﹣15 D．﹣9‎ ‎【分析】根据平面向量的数量积与勾股定理，即可求出的值．‎ ‎【解答】解：△ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，‎ ‎∴⊥，如图所示；‎ ‎∴=||×||×cosA ‎=||×||‎ ‎=3×3‎ ‎=9．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了平面向量的数量积与勾股定理的应用问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）已知a、b、c、d成等比数列，且曲线y=x2﹣4x+7的顶点是（b，c），则ad等于（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．12‎ ‎【分析】把抛物线的方程配方得到顶点式方程，找出顶点坐标进而得到b和c的值，又a，b，c，d成等比数列，得到ad=bc=6．‎ ‎【解答】解：把曲线方程y=x2﹣4x+7配方得：y=（x﹣2）2+3，‎ 得到顶点坐标为（2，3），即b=2，c=3，‎ 由a，b，c，d成等比数列，则ad=bc=6，‎ 故选B．‎ ‎【点评】此题考查学生掌握抛物线的简单性质，灵活运用等比数列的性质化简求值，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）已知等差数列{an}的公差d为整数，首项为13，从第五项开始为负，则d为（　　）‎ A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1‎ ‎【分析】由题意可得，求出d的范围，结合d为整数得答案．‎ ‎【解答】解：在等差数列{an}中，由a1=13，a5＜0，得 ‎，得，‎ ‎∵公差d为整数，‎ ‎∴d=﹣4．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的通项公式，以及数列中项的正负问题，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=4，b=2，B=30°，则此三角形（　　）‎ A．有一解 B．有两解 C．无解 D．不确定 ‎【分析】由正弦定理求得sinA的值，进而可判断三角形解的个数．‎ ‎【解答】解：由正弦定理得：，即，‎ 解得：sinA=，‎ 故不存在满足条件的A角，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是正弦定理，难度不大，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a2tanB=b2tanA，则△ABC的形状是（　　）‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 ‎【分析】利用切化弦，结合正弦定理化简即可判断．‎ ‎【解答】解：由a2tanB=b2tanA，可得，‎ 正弦定理，可得acosA=bcosB 即sin2A=cos2B ‎∴A=B或2A=π﹣2B 当A=B时，△ABC的形状是等腰三角形，‎ 当2A=π﹣2B时，即A+B=，那么C=π﹣A﹣B=，△ABC的形状是直角三角形．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查正弦定理和三角形内角和定理的运用．属于基础题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A：B：C=9：1：2，则a：b：c=（　　）‎ A．2：（）： B．3：1：2 C．9：1：2 D．：1：2‎ ‎【分析】由已知可得A=135°，B=15°，C=30°，利用正弦定理，可得答案．‎ ‎【解答】解：∵△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，‎ 若A：B：C=9：1：2，则A=135°，B=15°，C=30°，‎ ‎∴a：b：c=sinA：sinB：sinC=sin135°：sin15°：sin30°=：：=2：（）：，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是正弦定理，难度不大，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）《九章算术》中有“今有五人分无钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”．其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”这个问题中，甲所得为（　　）‎ A．钱 B．钱 C．钱 D．钱 ‎【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，由题意求得a=﹣6d，结合a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5求得a=1，则答案可求．‎ ‎【解答】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，‎ 则由题意可知，a﹣2d+a﹣d=a+a+d+a+2d，即a=﹣6d，‎ 又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5，∴a=1，‎ 则a﹣2d=a﹣2×（﹣）=a=，‎ ‎∴甲所得为钱，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）已知a1、a2、a3、a4构成各项均为正数的等比数列，且公比q≠1，若去掉该数列中一项后剩余三个数仍按原顺序排列是等差数列，则q=（　　）‎ A．+1 B． C． D．‎ ‎【分析】若删去第一项，则 a1q，a1q2，a1q3 成等差数列，2a1q2=a1q+a1q3，解得 q的值．‎ 若删去第二项，则 a1，a1q2，a1q3 成等差数列，2a1q2=a1+a1q3，解得 q的值．‎ 若删去第三项，则 a1，a1q，a1q3 成等差数列，2a1q=a1+a1q3，解得 q的值．‎ 若删去第四项，则a1，a1q，a1q2，成等差数列，2a1q=a1+a1q2，解得 q的值．‎ ‎【解答】解：由题意可得，这4项即 a1，a1q，a1q2，a1q3，若删去第一项，‎ 则 a1q，a1q2，a1q3 成等差数列，2a1q2=a1q+a1q3，故 q=1（舍去），或q=0（舍去）．‎ 若删去第二项，则 a1，a1q2，a1q3 成等差数列，‎ 可得 2a1q2=a1+a1q3，解得q=1 （舍去），或q=，或q=（舍去）．‎ 若删去第三项，则 a1，a1q，a1q3 成等差数列，‎ ‎2a1q=a1+a1q3，q=，或 q=（舍去），或q=1（舍去）．‎ 若删去第四项，则a1，a1q，a1q2，成等差数列，2a1q=a1+a1q2，q=1（舍去），‎ 故选：D ‎【点评】本题考查等比数列的定义和通项公式，等差数列的定义和性质，体现了分类讨论的数学思想，分类讨论，是解题的关键，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=2，b2+c2﹣bc=4，则△ABC的面积的取值范围是（　　）‎ A．（，] B．（0，] C．（，] D．（，）‎ ‎【分析】由已知利用余弦定理可求cosA，结合A的范围可求A，可得B+C=，由正弦定理可得b=sinB，c=sin（﹣B），利用三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S△ABC=sin（2B﹣）+，由已知可求B的范围，进而利用正弦函数的图象和性质即可得解．‎ ‎【解答】解：∵a=2，b2+c2﹣bc=4，‎ ‎∴cosA==，‎ ‎∴由A为锐角，可得：A=，sinA=，B+C=，‎ ‎∵由正弦定理可得：，可得：b=sinB，c=sin（﹣B），‎ ‎∴S△ABC=bcsinA ‎=×sinB×sin（﹣B）‎ ‎=sinB（cosB+sinB）‎ ‎=sin2B﹣cos2B+‎ ‎=sin（2B﹣）+，‎ ‎∵B，C为锐角，可得：＜B＜，＜2B﹣＜，可得：sin（2B﹣）∈（，1]，‎ ‎∴S△ABC=sin（2B﹣）+∈（，]．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．‎ ‎　‎ 二.填空题，每题5分 ‎13．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn=﹣n2+n+r+1，则r=　﹣1　．‎ ‎【分析】由已知求得数列首项，并得到当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣2n+2，由首项适合an=﹣2n+2即可求得r值．‎ ‎【解答】解：由Sn=﹣n2+n+r+1，得a1=S1=r+1，‎ 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣n2+n+r+1﹣[﹣（n﹣1）2+（n﹣1）+r+1]=﹣2n+2．‎ ‎∵{an}是等差数列，‎ ‎∴a1=r+1=﹣2×1+2=0，得r=﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的前n项和，考查等差关系的确定，是基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=　30°　．‎ ‎【分析】已知sinC=2sinB利用正弦定理化简，代入第一个等式用b表示出a，再利用余弦定理列出关系式，将表示出的c与a代入求出cosA的值，即可确定出A的度数．‎ ‎【解答】解：将sinC=2sinB利用正弦定理化简得：c=2b，‎ 代入得a2﹣b2=bc=6b2，即a2=7b2，‎ ‎∴由余弦定理得：cosA===，‎ ‎∵A为三角形的内角，‎ ‎∴A=30°．‎ 故答案为：30°‎ ‎【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）数列{an}满足an=（n≥2且n∈N*），a7=2，则a1=　2　．‎ ‎【分析】使用迭代法得出{an}周期为3，从而有a1=a7．‎ ‎【解答】解：∵an=，‎ ‎∴an﹣1=1﹣=（n≥2），‎ ‎∴an﹣2=1﹣=1﹣=﹣（n≥3），‎ an﹣3=1﹣=1+an﹣1=an（n≥4），‎ ‎∴a1=a4=a7=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查了数列的递推公式，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，下列四个论断正确的是　①③　（把你认为正确论断的序号都写上）‎ ‎①若=，则B=；‎ ‎②若B=，b=2，a=，则满足条件的三角形共有两个；‎ ‎③若a，b，c成等差数列，sinA，sinB，sinC成等比数列，则△ABC为正三角形；‎ ‎④若a=5，c=2，△ABC的面积S△ABC=4，则cosB=．‎ ‎【分析】根据正余弦定理和三角形内角和定理依次判断即可得答案．‎ ‎【解答】解：对于①：由正弦定理：，可得cosBsinA=sinBsinA，即cosB=sinB，0＜B＜π，‎ ‎∴B=．①对．‎ 对于②：由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，即c2﹣c﹣1=0，可得c=，三角形只有1个；∴②不对．‎ 对于③：a，b，c成等差数列，即2b=a+c，sinA，sinB，sinC成等比数列，即sin2B=sinAsinC．正弦定理，可得b2=ac．∴△ABC为正三角形；∴③对．‎ 对于④：a=5，c=2，△ABC的面积S△ABC=acsinB=4，即sinB=，∵‎ ‎，‎ ‎∴＜B或．‎ ‎∴cosB=．④不对 故答案为：①③．‎ ‎【点评】本题考查了正余弦定理的灵活运用和计算能力，角的判断．属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．（10分）在△ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，且满足cos2A﹣3cos（B+C）=1．‎ ‎（1）求角A；‎ ‎（2）若△ABC的面积S=10，b=5，求边a．‎ ‎【分析】（1）根据cos2A﹣3cos（B+C）=1．利用二倍角和诱导公式化简可得A角．‎ ‎（2）根据S=absinA=10，b=5，即可求解边a的值．‎ ‎【解答】解：（1）由cos2A﹣3cos（B+C）=1．A+C+B=π ‎∴2cos2A﹣1+3cosA﹣1=0．‎ 即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0‎ ‎∴cosA=‎ ‎∵0＜A＜π．‎ ‎∴A=．‎ ‎（2）由S=absinA=10，b=5，A=．‎ 可得=，‎ ‎∴a=8．‎ ‎【点评】本题考查△‎ ABC的面积的求法，二倍角和诱导公式化简的运用．属于基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）已知等差数列{an}前n项和Sn，等比数列{bn}前n项和为Tn，a1=1，b1=1，a2+b2=4．‎ ‎（1）若a3+b3=7，求数列{bn}的通项公式；‎ ‎（2）若T3=13，求S5．‎ ‎【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由已知列关于d和q的方程组，求得q，可得数列{bn}的通项公式；‎ ‎（2）由b1=1，T3=13列式求得q，然后分类求解S5．‎ ‎【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，‎ 由a1=1，b1=1，a2+b2=4，a3+b3=7，得 ‎，解得q=2．‎ ‎∴；‎ ‎（2）由b1=1，T3=13，得1+q+q2=13，即q=﹣4或q=3．‎ 当q=﹣4时，b2=﹣4，此时a2=4﹣b2=8，d=a2﹣a1=7，；‎ 当q=3时，b2=3，此时a2=4﹣b2=1，d=a2﹣a1=0，S5=5a1=5．‎ 综上，S5=75或5．‎ ‎【点评】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n项和的应用，考查计算能力，是中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）在等差数列{an}中，2a9=a12+13，a2=5，其前n项和为Sn．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{}的前n项和Tn，并证明Tn＜．‎ ‎【分析】（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由2a9=a12+13，a2=5列关于首项和公差的方程组，求得a1和d，代入等差数列的通项公式求解；‎ ‎（2）求出，可得 ‎，利用裂项相消法求和后即可证明Tn＜．‎ ‎【解答】（1）解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由2a9=a12+13，a2=5，‎ 得，解得，‎ ‎∴an=3+2（n﹣1）=2n+1；‎ ‎（2）证明：，‎ ‎∴，‎ 则 ‎==．‎ ‎【点评】本题考查等差数列通项公式的求法，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c且sin2=．‎ ‎（1）判断△ABC的形状并加以证明；‎ ‎（2）当c=1时，求△ABC周长的最大值．‎ ‎【分析】（1）根据二倍角公式和，即可得到cosA=，再根据余弦定理，即可得到b2+a2=c2，由勾股定理可判断．‎ ‎（2）根据基本不等式即可求出答案．‎ ‎【解答】解：（1）∵sin2=，‎ ‎∴==﹣，‎ ‎∴cosA=，‎ ‎∵cosA=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴b2+c2﹣a2=2b2，‎ ‎∴b2+a2=c2，‎ ‎∴△ABC为直角三角形，且∠C=90°；‎ ‎（2）由（1）可得b2+a2=c2，‎ ‎∴1=b2+a2≥（a+b）2，当且仅当a=b时取等号，‎ ‎∴a+b≤，‎ ‎∴△ABC周长的最大值为1+．‎ ‎【点评】本题考查了三角函数的化简和余弦定理，以及基本不等式的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）轮船A从某港口O将一些物品送到正航行的轮船B上，在轮船A出发时，轮船B位于港口O北偏西30°且与O相距20海里的P处，并正以30海里/小时的航速沿正东方向匀速行驶，假设轮船A沿直线方向以V海里/小时的航速匀速行驶，经过t小时与轮船B相遇．‎ ‎（1）若使相遇时轮船A航距最短，则轮船A的航行速度大小应为多少？‎ ‎（2）假设轮船A的最高航行速度只能达到30海里/小时，则轮船A以多大速度及什么航行方向才能在最短时间与轮船B相遇，并说明理由．‎ ‎【分析】（1）设两轮船在Q处相遇，在△POQ中，利用余弦定理得出OQ关于t的函数，从而得出OQ的最小值及其对应的t，得出速度；‎ ‎（2）利用余弦定理计算航行时间t，得出PQ，OQ距离，从而得出∠POQ的度数，得出航行方案．‎ ‎【解答】解：（1）设AB两船在Q处相遇，‎ 在△OPQ中，OP=20，PQ=30t，OQ=Vt，∠OPQ=60°，‎ 由余弦定理可得Vt==，‎ ‎∴当t=时，Vt取得最小值10，‎ 此时V==30．‎ 即轮船A以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．‎ ‎（2）在△POQ中，OQ=30t，‎ 由余弦定理得：OQ2=PQ2+OP2﹣2×PQ×OPcos∠OPQ，‎ 即（30t）2=400+900t2﹣1200tcos60°‎ ‎∴600t=400‎ 解得：t=，∴PQ=OQ=20，‎ ‎∴△OPQ为等边三角形，∴∠POQ=30°．‎ 故航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．‎ ‎【点评】本题考查了解三角形的应用，余弦定理，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=12，且2a1，a2，a3+1成等比数列．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）记bn=的前n项和为Tn，求Tn．‎ ‎【分析】（1）利用等差数列的性质以及S3=12求出a2=4；再由2a1，a2，a3+1成等比数列求出公差即可求{an}的通项公式；‎ ‎（2）把（1）的结论代入bn=，再利用错位相减法求Tn．‎ ‎【解答】解：（1）由S3=12，得a1+a2+a3=12，‎ 即3a2=12，∴a2=4．‎ 又∵2a1，a2，a3+1成等比数列，‎ ‎∴a22=2a1•（a3+1），即a22=2（a2﹣d）•（a2+d+1），‎ 解得，d=3或d=﹣4（舍去），‎ ‎∴a1=a2﹣d=1，故an=3n﹣2；‎ ‎（2）bn==，‎ ‎∴，①‎ 则，②‎ ‎①﹣②得=﹣（3n﹣2）×‎ ‎=﹣（3n﹣2）×，‎ ‎∴．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．‎ ‎　‎