【数学】2019届一轮复习人教A版不等关系与不等式的性质及一元二次不等式(1)学案
6．1 不等关系与不等式的性质及一元二次不等式
[知识梳理]
1．两个实数比较大小的依据
(1)a－b＞0⇔a＞b.
(2)a－b＝0⇔a＝b.
(3)a－b＜0⇔a＜b.
2．不等式的基本性质
(1)对称性：a＞b⇔b＜a.
(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c.
(3)可加性：a＞b⇒a＋c＞b＋c.
(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc.
(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.
(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.
(7)乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)．
(8)开方法则：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2)．
3．必记结论
(1)a>b，ab>0⇒<.
(2)a<0
b>0,0.
(4)0b>0，m>0，则<；
>(b－m>0)；>；
<(b－m>0)．
4．一元二次函数的三种形式
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(2)顶点式：y＝a2＋(a≠0)．
(3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
5．三个二次之间的关系
[诊断自测]
1．概念思辨
(1)a＞b⇔ac2＞bc2.( )
(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )
(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )
(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
2．教材衍化
(1)(必修A5P74T3)下列四个结论，正确的是( )
①a＞b，c＜d⇒a－c＞b－d；②a＞b＞0，c＜d＜0⇒ac＞bd；③a＞b＞0⇒＞；④a＞b＞0⇒＞.
A．①② B．②③
C．①④ D．①③
答案 D
解析 利用不等式的性质易知①③正确．故选D.
(2)(必修A5P80A组T3)若关于x的一元二次方程x2－(m＋1)x－m
＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________．
答案 (－∞，－3－2)∪(－3＋2，＋∞)
解析 由题意知Δ＝(m＋1)2＋4m＞0，即m2＋6m＋1＞0，解得m＞－3＋2或m＜－3－2.
3.小题热身
(1)(2014·四川高考)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( )
A.＞ B.＜
C.＞ D.＜
答案 D
解析 解法一：⇒
⇒＞⇒＜.故选D.
解法二：依题意取a＝2，b＝1，c＝－2，d＝－1，
代入验证得A，B，C均错，只有D正确．故选D.
(2)已知不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，则不等式2x2＋bx＋a＜0的解集为( )
A. B.
C．{x|－2＜x＜1} D．{x|x＜－2或x＞1}
答案 A
解析 由题意知x＝－1，x＝2是方程ax2＋bx＋2＝0的根．
由韦达定理⇒
∴不等式2x2＋bx＋a＜0，即2x2＋x－1＜0.
可知x＝－1，x＝是对应方程的根，故选A.
题型1 不等式性质的应用
若0＜x＜1，a＞0且a≠1，则|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|
的大小关系是________．
用作差法．
答案 |loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|
解析 当a＞1时，loga(1－x)＜0，loga(1＋x)＞0，
∴|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝－loga(1－x)－loga(1＋x)＝－loga(1－x2)＞0.
当0＜a＜1时，loga(1－x)＞0，loga(1＋x)＜0，
∴|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝loga(1－x)＋loga(1＋x)＝loga(1－x2)＞0.
∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|.
已知二次函数y＝f(x)的图象过原点，且1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．
运用待定系数法．
解 由题意知f(x)＝ax2＋bx，则f(－2)＝4a－2b，
由f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b，
设存在实数x，y，使得4a－2b＝x(a＋b)＋y(a－b)，
即4a－2b＝(x＋y)a＋(x－y)b，所以解得所以f(－2)＝4a－2b＝(a＋b)＋3(a－b)．
又3≤a＋b≤4,3≤3(a－b)≤6，
所以6≤(a＋b)＋3(a－b)≤10，
即f(－2)的取值范围是[6,10]．
方法技巧
不等式的概念与性质问题的常见题型及解题策略
1．比较大小的常用方法：作差法与作商法．如典例1.
2．不等式的性质及应用
解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证(注意前提条件)；二是利用特殊值法排除错误答案．
3．求代数式的取值范围
(1)先建立待求式子与已知不等式的关系，再利用一次不等式的性质进行运算，求得待求式子的范围．如典例2.
(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题中多次使用这种变化，有可能扩大其取值范围．如冲关针对训练．
冲关针对训练
(2017·长春模拟)若<<0，则下列不等式：①<；②|a|＋b>0；③a－>b－；④ln a2>ln b2中，正确的不等式是( )
A．①④ B．②③
C．①③ D．②④
答案 C
解析 由<<0，可知b0，所以<0，>0，
故有<，即①正确；
②中，因为b－a>0，则－b>|a|，
即|a|＋b<0，故②错误；
③中，因为bb－，故③正确；
④中，因为ba2>0，而y＝ln x在其定义域上为增函数，
所以ln b2>ln a2，故④错误．
由以上分析，知①③正确，故选C.
题型2 不等式的解法
解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．
解 本题采用分类讨论思想．
原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.
(1)当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.
(2)当a>0时，原不等式化为(x＋1)≥0，
解得x≥或x≤－1.
(3)当a<0时，原不等式化为(x＋1)≤0.
当>－1，即a<－2时，解得－1≤x≤；
当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意；
当<－1，即0>a>－2，解得≤x≤－1.
综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；
当a>0时，不等式的解集为；
当－20}．
(2)若a>0，Δ＝4－4a2.
①当Δ>0，即01时，原不等式的解集为∅.
(3)若a<0，Δ＝4－4a2.
①当Δ>0，即－10，
∴原不等式的解集为{x|x∈R且x≠－1}．
③当Δ<0，即a<－1时，原不等式的解集为R.
综上所述，当a≥1时，原不等式的解集为∅；
当00}；
当－1b>0，∴a>>0，∴a>1,02
∴<1.
∵a＋＝a＋a＝2a>a＋b>log2(a＋b)，
∴b>1知ac>bc，A错误；
∵0ac－1，又ab>0，∴ab·bc－1>ab·ac－1，即abc>bac，B错误；
易知y＝logcx是减函数，∴0>logcb>logca，∴logbc－logac>0，又a>b>1>0，∴－alogbc>－blogac>0，∴alogbc0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2.故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，得a＝，故选A.
5．(2017·广东清远一中一模)关于x的不等式ax－b＜0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)＞0的解集是( )
A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(1,3)
C．(－1,3) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)
答案 C
解析 关于x的不等式ax－b＜0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax＜b的解集是(1，＋∞)，∴a＝b＜0，∴不等式(ax＋b)(x－3)＞0可化为(x＋1)(x－3)＜0，解得－1＜x＜3，∴所求解集是(－1,3)．故选C.
6．(2017·松滋期中)已知p＝a＋，q＝x2－2，其中a＞2，x∈R，则p，q的大小关系是( )
A．p≥q B．p＞q
C．p＜q D．p≤q
答案 A
解析 由a＞2，故p＝a＋＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝3时取等号．因为x2－2≥－2，所以q＝x2－2≤－2＝4，当且仅当x＝0时取等号，所以p≥q.故选A.
7．(2017·河北武邑中学调研)已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x3，若不等式f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－) B．(－，0)
C．(－∞，0)∪(，＋∞) D．(－∞，)∪(，＋∞)
答案 A
解析 ∵f(x)在R上为奇函数，且在[0，＋∞)上为增函数，∴f(x)在R上是增函数，结合题意得－4t>2m＋mt2对任意实数t恒成立⇒mt2＋4t＋2m<0对任意实数t恒成立⇒⇒m∈(－∞，－)，故选A.
8．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )
A．12元 B．16元
C．12元到16元之间 D．10元到14元之间
答案 C
解析 设销售价定为每件x元，利润为y，则y＝(x－8)[100－10(x－10)]，依题意有(x－8)[100－10(x－10)]>320，即x2－28x＋192<0，解得120的解集为( )
A.∪(2，＋∞)
B.∪(2，＋∞)
C.
D.
答案 D
解析 ∵y＝f(x＋2)为偶函数，∴y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称．∵f(x)在(2，＋∞)上单调递减，∴f(x)在(－∞，2)上单调递增，又f(2x－1)－f(x＋1)>0，∴f(2x－1)>f(x＋1)．当x>2时，2x－1>x＋1，要使f(2x－1)>f(x＋1)成立，则x＋1<2x－1<2，解得x<1(舍去)；当x<2时，2x－1f(x＋1)成立，则有①若2<2x－1，∴4－(x＋1)，即x>，∴0时，解得－a0，
解得y，a>b，则在①a－x>b－y，②a＋x>b＋y，③ax>by，④x－b>y－a，⑤>这五个式子中，恒成立的不等式的序号是 ________.
答案 ②④
解析 令x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2，
符合题设条件x>y，a>b，
∵a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5，
∴a－x＝b－y，因此①不成立．
∵ax＝－6，by＝－6，∴ax＝by，因此③也不成立．
∵＝＝－1，＝＝－1，
∴＝，因此⑤不成立．由不等式的性质可推出②④成立．
13．(2017·西安质检)在R上定义运算：＝ad－bc.若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为________．
答案
解析 原不等式等价于x(x－1)－(a－2)(a＋1)≥1，
即x2－x－1≥(a＋1)(a－2)对任意x恒成立，
x2－x－1＝2－≥－，
所以－≥a2－a－2，解得－≤a≤.
14．(2017·江苏模拟)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)1(a∈R)．
解 原不等式等价于－1>0，
即>0，
所以[(a－1)x－(a－2)](x－2)>0 ①.
当a＝1时，①式可以转化为x>2；
当a>1时，①式可以转化为(x－2)>0；
当a<1时，①式可以转化为(x－2)<0.
又当a≠1时，2－＝，
所以当a>1或a<0时，2>；
当a＝0时，2＝；
当01时，原不等式的解集是∪(2，＋∞)；当00.
(1)求f(x)在[0,1]内的值域；
(2)若ax2＋bx＋c≤0的解集为R，求实数c的取值范围．
解 (1)因为当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0，当x∈(－3,2)时，f(x)>0，
所以－3,2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两根，可得所以a＝－3，b＝5，
所以f(x)＝－3x2－3x＋18＝－32＋18.75，
函数图象关于x＝－对称，且抛物线开口向下，在区间[0,1]上f(x)为减函数，函数的最大值为f(0)＝18，最小值为f(1)＝12，故f(x)在
[0,1]内的值域为[12,18]．
(2)由(1)知，不等式ax2＋bx＋c≤0化为－3x2＋5x＋c≤0，因为二次函数y＝－3x2＋5x＋c的图象开口向下，要使－3x2＋5x＋c≤0的解集为R，只需
即25＋12c≤0⇒c≤－，所以实数c的取值范围为.
