四川省达州市2020届高三第一次诊断性测试数学（理）试题

四川省达州市2020届高三第一次诊断性测试数学（理）试题

达州市普通高中 2020 届第一次诊断性测试 . 数学试题（理科） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中。只有一项 是符合题目要求的. 1.设集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 直接根据交集的概念进行运算即可. 【详解】因为 ， , 所以 . 故选:B 【点睛】本题考查了交集的运算,属于基础题. 2.若向量 ， ，则 的充要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 直接根据向量共线的坐标表示即可得到. 【详解】因为向量 ， , 所以 . 故选:D, 【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示,充要条件,属于基础题.向量共线的坐标表示应该熟 练掌握. 3.在 名运动员和 名教练员中用分层抽样 方法共抽取 人参加新闻发布会，若抽取的 人中教练员只有 人，则 （ ） 的 { }1 2A x x= − < ≤ { }1,0,1,2,3B = − A B = { }1,0,1,2- { }0,1,2 { }0,1 { }1 2, 3x x x− < ≤ =或 { }1 2A x x= − < ≤ { }1,0,1,2,3B = − A B = {0,1,2} ( )4,2a = ( )6,b k= / /a b 12k = − 12k = 3k = − 3k = ( )4,2a = ( )6,b k= / /a b 4 2 6 0k⇔ − × = 3k⇔ = 30 6 n n 1 n = A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求得抽样比,再用总体中教练员人数乘以抽样比得样本中教练员人数列方程可解得. 【详解】依题意可得抽样比为 , 所以有 ,解得 . 故选:B 【点睛】本题考查了分层抽样,利用抽样比解决是解题关键,属于基础题. 4.己知直线 ， ， ，平面 ， ，下列结论中正确的是（ ） A. 若 , , , ，则 B. 若 , ,则 C. 若 ， ，则 D. 若 , ,则 【答案】D 【解析】 【分析】 根据直线与平面垂直,直线与平面平行,平面与平面平行和垂直的的判定,性质逐个分析可得 答案. 【详解】对于 ,根据直线与平面垂直的判定定理,还差直线 与直线 相交这个条件,故 不 正确; 对于 ,直线 也有可能在平面 内,故 不正确; 对于 ,直线 可能在平面 内,可能与平面 平行,可能与平面 相交但不垂直;故 不正 确; 对于 ,在平面 内取两条相交直线 ,则 ,过 分别作平面与平面 相交 于 ,则 ,且 必相交,所以 ,所以 ,故 正确. 故选:D 【点睛】本题考查了直线与平面平行,垂直,平面与平面平行,垂直的判定,性质,熟练掌握线面, 5 6 7 8 30 6 36 n n=+ 6 136 n× = 6n = a b l α β a α⊂ b α⊂ l a⊥ l b⊥ l α⊥ a α⊂ / /b a / /b α α β⊥ a α⊂ a β⊥ / /α β l α⊥ l β⊥ A a b A B b α B C a β β β C D α ,m n ,l m l n⊥ ⊥ ,m n β ', 'm n '/ / , '/ /m m n n ', 'm n ', 'l m l n⊥ ⊥ l β⊥ D 面面平行与垂直的判定与性质是解题关键,属于基础题. 5.若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据对数的性质可得 ,根据指数函数 的单调性可得 ,由此可得答案. 【详解】因为 ,2>1,所以 , 因为 ,所以指数函数 为递减函数, 又-0.1<0.2,所以 ,即 , 综上所述, . 故选:A 【点睛】本题考查了利用对数的性质,指数函数的单调性比较大小,属于基础题. 6.二项式 的展开式中，常数项是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 写出二项展开式的通项公式后,令 =0,解得 ,再根据通项公式可求得常数项. 【 详 解 】 因 为 二 项 式 的 展 开 式 的 通 项 公 式 为 , 令 ,解得 , 所以二项式 的展开式中的常数项为 . 故选:A 【点睛】本题考查了利用二项展开式的通项公式求指定项,利用通项公式是解题关键,属于基 0.20.3a = 0.1log 2b = 0.10.3c −= a b c c a b> > b a c> > a c b> > b c a> > 0b < 0.3xy = 0c a> > 0 0.1 1< < 0.1log 2 0b = < 0 0.3 1< < 0.3xy = 0.1 0.20.3 0.3 0− > > 0c a> > c a b> > 61x x  +   20 120 15 30 x 3r = 61x x  +   6 1 6 1( )r r r rT C x x − + = ⋅ 6 2 6 r rC x −= ( 0,1,2,3,4,5,6)r = 6 2 0r− = 3r = 61x x  +   3 6 6 5 4 203 2 1C × ×= =× × 础题. 7.已知直线 与圆 相交于 ， 两点，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由圆的方程可得圆心坐标和半径,根据点到直线的距离求得圆心到直线的距离,根据勾股定理 可求得答案. 【详解】由 得 ,所以圆心 ,半径为 , 由 得 , 由圆心到直线的距离公式得 , 由勾股定理可得 , 所以 . 故选:C. 【点睛】本题考查了根据圆的方程求圆心坐标和半径,点到直线的距离公式,圆中的勾股定理, 利用圆中的勾股定理是解题关键. 8.斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所特有，图一图二是斗拱实物图， 图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体，本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽（长方体去掉 一个小长方体）组成.若棱台两底面面积分别是 ， ，高为 ，长方体形凹 槽的体积为 ，斗的密度是 .那么这个斗的质量是（ ）注：台体体积公 式是 . 为 3y x= − + 2 2 2 2 0x y x y+ − − = A B AB = 6 2 3 6 2 2 2 2 2 0x y x y+ − − = 2 2( 1) ( 1) 2x y− + − = (1,1) 2 3y x= − + 3 0x y+ − = |1 1 3| 2 21 1 + − = + 2 2| | 2 6( 2) ( )2 2 2 AB = − = | | 6AB = 2400cm 2900cm 9cm 34300cm 30.70 /g cm ( )1 3V S S S S h′ ′= + + A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据台体的体积公式求得台体体积,再加上长方体形凹槽的体积得这个斗的体积,然后乘以这 个斗的密度可得这个斗的质量. 【详解】根据棱台的体积公式可得棱台的体积为 , 所以这个斗的质量为 , 所以这个斗的质量为 . 故选:C. 【点睛】本题考查了棱台的体积公式,属于基础题. 9.若实数 ， 满足 ，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 作出可行域,根据斜率关系找到最优解,代入最优解的坐标可得答案. 【详解】作出可行域如图所示: 3990g 3010g 7000g 6300g 1 (400 400 900 900) 9 57003 + × + × = 3cm 5700 4300 10000+ = 3cm 10000 0.70 7000× = g x y 0, 1, 5 1 0. x y x y ≥  ≥ −  + + ≤ 2x y− 2− 0 7 9 令 , 将目标函数化为斜截式为 , 由图可知最优解为 ,联立 ,得 , 所以 , 将 代入 ,得 . 故选:D 【点睛】本题考查了利用线性规划求最值,根据斜率找到最优解是解题关键,属于基础题. 10.已知函数 在区间 上为增函数，则实数 的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 将问题转化为 ,即 在区间 上恒成立,再根据 可 得答案. 【详解】因为 , 所以 , 因为函数 在区间 上为增函数, 2z x y= − 2y x z= − M 5 1 0 1 x y y + + =  = − 4, 1x y= = − (4, 1)M − 4, 1x y= = − 2z x y= − min 2 4 ( 1) 9z = × − − = ( ) 21 2 ln2f x ax ax x= + + ( )0, ∞+ a [ ]0,1 [ )0,+∞ ( )1,− +∞ ( )1,1− '( ) 0f x ≥ 2 1 2a x x ≥ − + (0, )+∞ 2 1 02x x − <+ ( ) 21 2 ln2f x ax ax x= + + 1'( ) 2f x ax a x = + + ( ) 21 2 ln2f x ax ax x= + + ( )0, ∞+ 所以 ,即 在区间 上恒成立, 因为 在 上递增, 所以 ,所以 , 所以 . 故选:B. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性,考查了不等式恒成立问题,考查了转化划归 思想,属于中档题. 11.已知 是双曲线 ： 右支上一点， 、 分别是双曲线 的左、右焦点。记 的内角为 ， ， ，当 时， （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据双曲线方程, 以及双曲线的定义可求出三角形 的三边长,然后在三角形 中由余弦定理求出 ,最后利用二倍角正弦公式和正弦定理可求得答案. 【详解】由 得 所以 ,所以 所以 ,所以 , 所以 , 所以 . 故选:A 【点睛】本题考查了由双曲线方程求 ,考查了双曲线的定义,考查了余弦定理,考查了正 弦定理角化边,属于中档题. 12 0ax a x + + ≥ 2 1 2a x x ≥ − + (0, )+∞ 2 22 ( 1) 1y x x x= + = + − (0, )+∞ 2 2 0x x+ > 2 1 02x x − <+ 0a ≥ A D 2 2 135 yx − = B C D ABC∆ A B C 8AC = sin 2 sin B A = 1 2 3 2 8AC = ABC ABC cos B 2 2 135 yx − = 1, 35,a b= = 2 2 1 35 6c a b= + = + = 12BC = 2 2AB AC a− = = 2 8 2 10AB AC= + = + = cos B = 2 2 2 100 144 64 3 2 2 10 12 4 AB BC AC AB AC + − + −= =⋅ ⋅ × × sin 2 sin B A 32 82sin cos 2 cos 4 1sin 12 B B AC B A BC × ×⋅= = = = , ,a b c 12.过抛物线 ： 焦点的直线交该抛物线 于点 ， ，与抛物线 的准线交于点 ， 如图所示，则 的最小值是（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】 设直线 的方程为 与抛物线方程联立,根据韦达定理以及向量的数量积坐标表示 求得 ,再根据基本不等式可求得最小值. 【详解】因为双曲线的焦点 , 所以设直线 的方程为 , ,则 , 将 代入到 ,整理得 , 则 , , 所以 , , 所以 C 2 4y x= C A B C P PA PB⋅  AB ( 1)y k x= − PA PB⋅  (1,0)F AB ( 1)y k x= − 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ( 1, 2 )P k− − ( 1)y k x= − 2 4y x= 2 2 2 2(2 4) 0k x k x k− + + = 2 1 2 2 2 2 4 42kx x k k ++ = = + 2 1 2 2 1kx x k = = 1 2 1 2 1 2 4( 1) ( 1) ( ) 2y y k x k x k x x k k + = − + − = + − = 1 2 1 2 1 24 4 16 16 4y y x x x x= − ⋅ = − = − = − 1 1 2 2 1 2 1 2( 1, 2 ) ( 1, 2 ) ( 1)( 1) ( 2 )( 2 )PA PB x y k x y k x x y k y k⋅ = + + ⋅ + + = + + + + +  2 1 2 1 2 1 2 1 21 2 ( ) 4x x x x y y k y y k= + + + + + + + 2 2 4 41 2 1 4 2 4k kk k = + + + − + × + ,当且仅当 ,即 时取得等号. 故选:C 【点睛】本题考查了直线与抛物线相交,韦达定理,向量的数量积的坐标表示,基本不等式等知 识,属于中档题. A. B. C. D. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.己知随机变量 与 有相关关系 ，当 时， 的预报值为_______. 【答案】 【解析】 分析】 将 代入到 ,即可得到答案. 【详解】在 中,由 得 . 故答案为:7 【点睛】本题考查了线性回归分析,本题属于基础题. 14.复数 的实部为_______. 【答案】 【解析】 【分析】 利用复数的乘除法计算可得答案. 【详解】因为 , 所以复数 的实部为 . 故答案为: . 【点睛】本题考查了复数的乘除法运算以及复数的概念,属于基础题. 15.已知函数 图象的相邻两条对称轴的距离为 ， 【 2 2 2 2 4 44 8 2 4 8 8 8 16k kk k = + + ≥ ⋅ + = + = 2 2 4 4k k = 1k = ± 8 12 16 18 y x ˆ 2 1y x= + 3x = y 7 3x = ˆ 2 1y x= + ˆ 2 1y x= + 3x = 2 3 1 7y = × + = 3 2 i+ 6 5 3 2 i+ 3(2 ) 6 3 6 3 (2 )(2 ) 4 1 5 5 i i ii i − −= = = −+ − + 3 2 i+ 6 5 6 5 ( ) ( )2sinf x xω ϕ= + 0,0 2 πω ϕ > < <   2 π 且 ，则 ________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据相邻两条对称轴的距离为 ,求出周期,可得 ,根据 ,可得 ,再计算可得答 案. 【详解】因为函数 图象的相邻两条对称轴的距离 为 , 所以周期 ,所以 ,所以 , 由 ,得 ,得 , 又 ,所以 ,所以 , 所以 . 故答案为: . 【点睛】本题考查了正弦函数的对称轴,周期,两角和的正弦公式,属于中档题. 16. 是定义域为 的偶函数，对 ，都有 ，当 时， ，则 ________. 【答案】 212f π  =   8f π  =   2 6 2 + 2 π ω 212f π  =   ϕ ( ) ( )2sinf x xω ϕ= + 0,0 2 πω ϕ > < <   2 π 2 2T π π= × = 2 2 2T π πω π= = = ( ) 2sin(2 )f x x ϕ= + ( )12f π = 2= 2sin(2 ) 212 π ϕ× + = sin( ) 16 π ϕ+ = 0 2 πϕ< < 3 πϕ = ( ) 2sin(2 )3f x x π= + ( ) 2sin(2 )8 8 3f π π π= × + = 2 1 2 3 2 62(sin cos cos sin ) 2( )4 3 4 3 2 2 2 2 2 π π π π ++ = × + × = 2 6 2 + ( )f x R x R∀ ∈ ( ) ( )4f x f x+ = − 0 2x≤ ≤ ( ) 2 2 1,0 1, log 1,1 2 x xf x x x  − ≤ <=  + ≤ ≤ ( )9 212f f − + =   2 【解析】 【分析】 先由已知等式和偶函数推出周期为 4,再根据偶函数性质和周期可求得答案. 【详解】因为 是定义域为 的偶函数,所以 ,所以周期 , 所以 , , 所以 . 故答案为: . 【点睛】本题考查了函数的奇偶性,周期性,利用周期将自变量转化为已知范围后,利用分段函 数解析式求值是解题关键,本题属于中档题. 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. 17.如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 底面 ，点 是 的中点. （1）求证： 平而 ； （2）若 ，求二而角 的余弦值. 【答案】（1）详见解析；（2） . 【解析】 【分析】 ( )f x R ( ) ( )4f x f x+ = − ( )f x= 4T = 1 29 9 1 1( ) ( ) (4 ) ( ) 2 1 2 12 2 2 2f f f f− = = + = = − = − 2(21) (4 5 1) (1) log 1 1 1f f f= × + = = + = ( )9 212f f − + =   2 1 1 2− + = 2 P ABCD− ABCD PD ⊥ ABCD E PC / /PA EDB 2PD AD= = C ED B− − 3 3 (1) 连接 与 相交于 ，连接 , 利用中位线证 , 再根据判定定理证明 平而 ; (2) 以 为原点， ， ， 分别为 ， ， 轴的正方向建立空间直角坐标系 .再根据法向量可求得结果. 【详解】（1）证明：连接 与 相交于 ，连接 . 底面 是正方形， 为 中点， 又 是 的中点， , 平面 ， 平面 , 平面 . （2）解：以 为原点， ， ， 分别为 ， ， 轴的正方向建立空间直角坐标系 . ， ， ， . 取平面 的一个法向量 . 设平面 的一个法向量为 . 由 ， 得 AC BD F EF / /EF PA / /PA EDB D DA DC DP x y z D xyz− AC BD F EF  ABCD ∴ F AC E PC ∴ / /EF PA  PA ⊄ EDB EF ⊂ EDB ∴ / /PA EDB D DA DC DP x y z D xyz−  2PD AD= = ∴ ( )0,0,0D ( )0,1,1E ( )2,2,0B CED ( )1 1,0,0n = EDB ( )2 , ,n x y z= ( )0,1,1DE = ( )2,2,0DB = 0, 2 2 0, y z x y + =  + = 不妨令 ，解得 ， ，即 ， , . 二面角 余弦值为 【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定定理,找线线平行是解题关键,考查了向量法求二 面角,转化为两个平面的法向量求解是解题关键,属于中档题. 18.我国已进入新时代中国特色社会主义时期，人民生活水平不断提高，某市随机统计了城区 若干户市民十月人均生活支出比九月人均生活支出增加量（记为 元）的情况，并根据统计 数据制成如下频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图估算 的平均值 ； （2）视样本中的频率为概率，现从该市所有住户中随机抽取 次，每次抽取 户，每次抽取 相互独立，设 为抽出 户中 值不低于 元的户数，求 的分布列和期望 . 【答案】（1）48；（2）详见解析. 【解析】 【分析】 (1)利用每个矩形的面积乘以该段的中点值,再相加即可得到; (2)分析可知 ,利用二项分布的分布列和期望可得. 【详解】解：（1） （2）由已知，三次随机抽取为 次独立重复试验，且每次抽取到十月人均生活支出增加不低 于 元的的概率为 ， 的 1z = 1x = 1y = − ( )2 1, 1,1n = − ∴ 1cos n<  ( ) 1 2 2 22 21 2 1 1 3 31 1 1 1 n nn n n ⋅ ×>= = =⋅ × + − +     ∴ C ED B− − 3 3 P P P 3 1 ξ 3 P 65 ξ ( )E ξ ( )~ 3 0.1Bξ , P = ( )30 0.014 40 0.026 50 0.036 60 0.014 70 0.01× + × + × + × + × 10× 48= 3 65 0.1 则 ， . ， ， ， . ξ 的分布列为 . 【点睛】本题考查了利用频率分布直方图求平均值,考查了二项分布的分布列和期望,属于中 档题. 19.己知数列 满足 ， . （1）求证：数列 为等比数列： （2）求数列 的前 项和 . 【答案】（1）详见解析；（2） . 【解析】 【分析】 (1)在已知等式两边同除以 ,然后变形为 可证; (2)得到 后,利用分组求和,错位相减法可求得 . 【详解】解：（1）由 两边同除以 得 ， . ， ( )~ 3 0.1Bξ , ( ) ( )3 3 0.1 0.9 01 2 3i i iP i C iξ −= = ⋅ ⋅ = , , , ∴ ( )0 0.729P ξ = = ( )1 0.243P ξ = = ( )2 0.027P ξ = = ( )3 0.001P ξ = = ξ 0 1 2 3 P 0.729 0.243 0.027 0.001 ∴ ( ) 3 0.1 0.3E ξ = × = { }na 1 1a = ( ) ( )2 1 2 1n nna n a n n n N ∗ + − + = + ∈ 1na n  +   { }na n nS ( ) ( )1 11 2 2 2 n n n nS n + += − ⋅ + − ( )1n n + 1 1 2 11 n na a n n +  + = + +   2n na n n= ⋅ − nS ( ) 2 1 2 1n nna n a n n+ − + = + ( )1n n + 1 2 11 n na a n n + − × =+ ∴ 1 1 2 2 2 11 n n na a a n n n +  + = × + = + +    1 1 2 01 a + = ≠ ， ， 数列 是以 为首项， 为公比的等比数列. （2）由（1）有 ， . . 令 ， ， ， . 【点睛】本题考查了利用定义证明等比数列,考查了分组求和,考查了错位相减法求和,属于中 档题. 20.已知椭圆 ： 过点 ，且以 ， 为焦点，椭圆 的离心率为 . （1）求实数 的值； （2）过左焦点 的直线 与椭圆 相交于 、 两点， 为坐标原点，问椭圆 上是否存 ∴ 1 0na n + ≠ ∴ 1 11 2 1 n n a n a n + ++ = + ∴ 1na n  +   2 2 1 2nna n + = ∴ 2n na n n= ⋅ − 1 21 2 2 2nS = × + × + + ( )2 1 2 3nn n⋅ − + + + + ( )1 2 11 2 2 2 2 2 n n nn += × + × + + ⋅ − 1 21 2 2 2 2n nT n= × + × + + ⋅ 2 3 42 1 2 2 2 3 2nT = × + × + × + ( ) 11 2 2n nn n ++ − ⋅ + ⋅ ∴ 2 3 12 2 2 2 2n n nT n +− = + + + + − ⋅ ( ) ( )1 12 1 2 2 1 2 21 2 n n nn n+ + × − = − ⋅ = − −− ∴ ( ) 11 2 2n nT n += − ⋅ + ( ) ( )1 11 2 2 2 n n n nS n + += − ⋅ + − C ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 21, 2A       ( )1 ,0F c− ( )2 ,0F c ( )0c > C 2 2 c 1F l C B D O C 在点 ，使线段 和线段 相互平分?若存在，求出点 的坐标，若不存在，说明理由。 【答案】（1）1；（2）存在 使线段 和 相互平分，其坐标为 ，或 . 【解析】 【分析】 (1)根据椭圆过点,离心率以及 ,列方程组可得答案; (2)假设存在点 满足题意,设出直线 的方程,代入椭圆方程,根据韦达定理得到中点坐标, 根据线段 和线段 相互平分,得到点 的坐标,将点 的坐标代入椭圆方程即可得到答 案. 【详解】解：（1） 椭圆方程为 （ ）过点 ， . ， 为椭圆 的焦点，椭圆 的离心率为 ， ， .解得 ， ， . （2）由（1）有椭圆 的方程为 ， . 假设存在点 满足题意，且 和 相交于点 . 则 , , , 当直线 与 轴重合时，不满足题意. 设直线 的方程为 ， ， . 联立 得 ， ， . 则 ， ， P BD OP P P BD OP 21, 2  −    21, 2  − −    2 2 2c a b= − P BD BD OP P P  2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > 21, 2A       ∴ 2 2 1 1 12a b + =  ( )1 ,0F c− ( )( )2 ,0 0F c c > C C 2 2 ∴ 2 2 c a = 2 2 2c a b= − 2a = 1b = ∴ 1c = C 2 2 12 x y+ = ( )1 1,0F − P BD OP ( )0 0,Q x y 0 0(2 ,2 )P x y 1 2 0 2 x xx += 1 2 0 2 y yy += l x l 1x ty= − ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 2 2 1 12 x ty x y = − + = ( )2 22 2 1 0t y ty+ − − = ∴ 1 2 2 2 2 ty y t + = + 1 2 2 1 2y y t = + 0 22 ty t = + 2 0 0 21 2 tx ty t = − = + 2 21 2 t − = − + 将 代入 有 解得 ， ，或 ， 故存在 使线段 和 相互平分，其坐标为 ，或 . 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程,考查了直线与椭圆的交点问题,抓住 与 共中点 是解题关键,属于中档题. 21.已知 . （1）当 时，求函数 在点 处的切线方程； （2）若函数 在区间 上有极小值点，且总存在实数 ，使函数 的极小值与 互为相反数，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 (1)利用导数的几何意义可得切线的斜率,根据点斜式可得切线方程; (2)根据导数求出函数的极小值和极小值点 , 由 ， .,根据极小值 与 互为相反数可得 ,再构造函数求 得值域即可 得到答案. 【详解】解：（1） . 当 时， ， . ， ， 所以，函数 在点 处的切线方程为 ，即 . （2）由 得 .0 0(2 ,2 )P x y 2 2 12 x y+ = ( ) ( ) 2 2 22 2 8 4 1 2 2 t t t + = + + 2t = ± ∴ 21, 2P  −    21, 2P  − −    P BD OP 21, 2  −    21, 2  − −    OP BD ( ) ( ) xf x x m e= − 2m = ( )f x ( )( )0, 0f ( )f x ( )1,0− m ( )f x ( ) 2 2 2 1 me am a e + + a 2 0x y+ + = 21 2,2 2 2 e e e  −− −  1m − 1 1 0m− < − < 0 1m< < ( ) 2 2 2 1 me am a e + + 2 22 m m m e ea e m −= − ( ) 2 2m m m e eg m e m −= − ( ) ( )1 xf x x m e′ = − −   2m = ( ) ( )2 xf x x e= − ( ) ( )1 xf x x e′ = − ∴ ( )0 2f = − ( )0 1f ′ = − ( )f x ( )( )0, 0f ( )2 0y x+ = − − 2 0x y+ + = ( ) ( )1 xf x x m e′ = − −   时， ， 时， ， 函数 在区间 上单调递减，在区间 单调递增， 函数 的极小值点为 . 由已知 ， . 故在区间 上存在 ，使得 . . 设 . 当 时， ， 函数 在区间 上递增， 当 时， ，即 ， ， 所以，实数 的取值范围是 . 【点睛】本题考查了导数的几何意义,函数的极值,利用导数研究函数的单调性,利用单调性解 决问题是关键,属于中档题. 22.在新中国成立 周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国 的热爱之情.在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线.如 图，在直角坐标系中，以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系。图中的曲线就是 笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为 （ ）， 为该曲线上的任 意一点. ( ), 1x m∈ −∞ − ( ) 0f x′ < ( )1,x m∈ − +∞ ( ) 0f x′ > ∴ ( )f x ( ), 1m−∞ − ( )1,m − +∞ ( )f x 1m − 1 1 0m− < − < ∴ 0 1m< < ( ) ( ) 11 mf x f m e −= − = − 极小 ( )0,1 m ( ) 2 12 02 1 m me am ea e −+ − =+ ∴ 2 22 m m m e ea e m −= − ( )0 1m< < ( ) 2 2m m m e eg m e m −= − ∴ 0 1m< < ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 0 m m m m e e m e g m e m  − + − ′ = > − ∴ ( )g m ( )0,1 ∴ 0 1m< < ( ) ( ) ( )0 1g g m g< < 2 21 2 1 e ea e −− < < − ∴ 21 2 2 2 2 e ea e −− < < − a 21 2,2 2 2 e e e  −− −  70 O x 1 sinρ θ= − 1 sin , 0p θ ρ= − > M （1）当 时，求 点的极坐标； （2）将射线 绕原点 逆时针旋转 与该曲线相交于点 ，求 的最大值. 【答案】（1） 或 ；（2） . 【解析】 【分析】 (1)将 代入 解得 即可得到答案; (2) 由题意可设 ， .,将它们代入到 ,得到 ,再利用 勾股定理和三角函数性质可求得答案. 【详解】解：（1）设点 在极坐标系中的坐标 ， 由 ，得 ， 或 所以点 的极坐标为 或 （2）由题意可设 ， . 由 ，得 ， . 3 2OM = M OM O 2 π N MN 3 7,2 6 π     3 11,2 6 π     2 1+ 3 2 ρ = 1 sinρ θ= − θ ( )1,M ρ θ 2 , 2N πρ θ +   1 sinρ θ= − 1 2,ρ ρ M 3 ,2 θ     1 sinρ θ= − 3 1 sin2 θ= − 1sin 2 θ = −  0 2θ π≤ < ∴ 7 6 θ π= 11 6 πθ = M 3 7,2 6 π     3 11,2 6 π     ( )1,M ρ θ 2 , 2N πρ θ +   1 sinρ θ= − 1 1 sinρ θ= − 2 1 sin 1 cos2 πρ θ θ = − + = −   故 时， 的最大值为 . 【点睛】本题考查极径的几何意义,三角函数的性质,利用极径的几何意义是解题关键,属于基 础题. 23.己知函数 . （1）求不等式 的解集； （2）若 ，求证： . 【答案】（1） ；（2）详见解析. 【解析】 【分析】 (1)分段讨论去绝对值可解得 ; (2)根据绝对值三角不等式可证. 【详解】（1）解： ， 当 时，由 ，得 ，解得 . 当 时，由 ，得 ，此时无解. 当 时，由 ，得 ，解得 . 综上所述， 的解集为 . （2）证明： ， 2 2 1 2MN ρ ρ= + ( ) ( )2 21 sin 1 cosθ θ= − + − ( )3 2 sin cosθ θ= − + 3 2 2 sin 4 πθ = − +   5 4 πθ = MN 2 1+ ( ) 1 2 1f x x x= + + − ( ) 5f x x> + 1 2 1x x− > ( ) ( )1 2 12 3f x x f x+ + > ( ) ( ), 1 3,−∞ − +∞ ( ) 1 2 1f x x x= + + − = 3 1, 1, 3, 1 1, 3 1, 1. x x x x x x − + ≤ − − + − < <  − ≥ 1x ≤ − ( ) 5f x x> + 3 1 5x x+− > + 1x < − 1 1x− < < ( ) 5f x x> + 3 5x x− + > + 1x ≥ ( ) 5f x x> + 3 1 5x x− > + 3x > ( ) 5f x x> + ( ) ( ), 1 3,−∞ − +∞  1 2 1x x− > ∴ ( ) ( )1 2 12f x x f x+ + = 1 2 1 21 2 1x x x x+ + + + − + 2 22 1 2 2 1x x+ + − . 【点睛】本题考查了分类讨论去绝对值解绝对值不等式,考查了绝对值三角不等式,属于基础 题. ( ) ( )1 2 21 2 1x x x≥ + + − + + ( ) ( )1 2 22 1 2 1x x x+ − − − 1 23 3x x= − >