备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题63 事件的关系与概率运算

备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题63 事件的关系与概率运算

专题63 事件的关系与概率运算 ‎【热点聚焦与扩展】‎ 纵观近几年的高考试题，概率是高考热点之一，以实际问题为背景，考查概率的计算以及分析、推理能力.难度控制在中等以下．‎ 本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明.‎ ‎1、事件的分类与概率：‎ ‎（1）必然事件：一定会发生的事件，用表示，必然事件发生的概率为 ‎ ‎（2）不可能事件：一定不会发生的事件，用表示，不可能事件发生的概率为 ‎ ‎（3）随机事件：可能发生也可能不发生的事件，用字母进行表示，随机事件的概率 ‎ ‎2、事件的交并运算： ‎ ‎（1）交事件：若事件发生当且仅当事件与事件同时发生，则称事件为事件与事件的交事件，记为，简记为 ‎ 多个事件的交事件：：事件同时发生 ‎（2）并事件：若事件发生当且仅当事件与事件中至少一个发生（即发生或发生），则称事件为事件与事件的并事件，记为 ‎ 多个事件的并事件：：事件中至少一个发生 ‎3、互斥事件与概率的加法公式：‎ ‎（1）互斥事件：若事件与事件的交事件为不可能事件，则称互斥，即事件与事件不可能同时发生.例如：投掷一枚均匀的骰子，设事件“出现1点”为事件，“出现3点”为事件，则两者不可能同时发生，所以与互斥 ‎（2）若一项试验有个基本事件：，则每做一次实验只能产生其中一个基本事件，所以之间均不可能同时发生，从而两两互斥 ‎（3）概率的加法公式（用于计算并事件）：若互斥，则有 例如在上面的例子中，事件为“出现1点或出现3点”由均匀的骰子可得，所以根据加法公式可得： ‎ ‎（4）对立事件：若事件与事件的交事件为不可能事件，并事件为必然事件，则称事件 12‎ 为事件的对立事件，记为，也是我们常说的事件的“对立面”，对立事件概率公式：，关于对立事件有几点说明：‎ ‎① 公式的证明：因为对立，所以，即互斥，而，所以，因为，从而 ‎② 此公式也提供了求概率的一种思路：即如果直接求事件的概率所讨论的情况较多时，可以考虑先求其对立事件的概率，再利用公式求解 ‎ ‎③ 对立事件的相互性：事件为事件的对立事件，同时事件也为事件的对立事件 ‎④ 对立与互斥的关系：对立关系要比互斥关系的“标准”更高一层.由对立事件的定义可知：对立，则一定互斥；反过来，如果互斥，则不一定对立（因为可能不是必然事件）‎ ‎4、独立事件与概率的乘法公式：‎ ‎（1）独立事件：如果事件（或）发生与否不影响事件（或）发生的概率，则称事件与事件相互独立.例如投掷两枚骰子，设“第一个骰子的点数是1”为事件，“第二个骰子的点数是2”为事件，因为两个骰子的点数不会相互影响，所以独立 ‎（2）若独立，则与，与，与也相互独立 ‎（3）概率的乘法公式：若事件独立，则同时发生的概率 ，比如在上面那个例子中，，设“第一个骰子点数为1，且第二个骰子点数为2”为事件，则.‎ ‎（4）独立重复试验：一项试验，只有两个结果.设其中一个结果为事件（则另一个结果为），已知事件发生的概率为，将该试验重复进行次（每次试验结果互不影响），则在次中事件恰好发生次的概率为 ‎① 公式的说明：以“连续投掷次硬币，每次正面向上的概率为”为例，设为“第次正面向上”，由均匀的硬币可知，设为“恰好2次正面向上”，则有：‎ 而 ‎ ‎ 12‎ ‎② 的意义：是指在次试验中事件在哪次发生的情况总数，例如在上面的例子中“3次投掷硬币，两次正面向上”，其中代表了符合条件的不同情况总数共3种 ‎5、条件概率及其乘法公式：‎ ‎（1）条件概率：‎ ‎（2）乘法公式：设事件，则同时发生的概率 ‎ ‎（3）计算条件概率的两种方法：（以计算为例）‎ ‎① 计算出事件发生的概率和同时发生的概率，再利用即可计算 ‎② 按照条件概率的意义：即在条件下的概率为事件发生后，事件发生的概率.所以以事件发生后的事实为基础，直接计算事件发生的概率 ‎6、两种乘法公式的联系：‎ 独立事件的交事件概率： ‎ 含条件概率的交事件概率：‎ ‎ 通过公式不难看出，交事件的概率计算与乘法相关，且事件通常存在顺承的关系，即一个事件发生在另一事件之后.所以通过公式可得出这样的结论：交事件概率可通过乘法进行计算，如果两个事件相互独立，则直接作概率的乘法，如果两个事件相互影响，则根据题意分出事件发生的先后，用先发生事件的概率乘以事件发生后第二个事件的概率（即条件概率）‎ ‎【经典例题】‎ 例1.【2019年全国卷Ⅲ文】若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由公式计算可得 详解：设设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，‎ 则 因为 所以 故选B.‎ 12‎ 例2.【2016年高考北京理数】袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）‎ A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 ‎ C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 ‎【答案】C 例3.【2016高考天津文数】甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】甲不输概率为选A.‎ ‎【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题.运用概率加法的前提是事件互斥，不输包含赢与和，两种互斥，可用概率加法.对古典概型概率考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往采取计数其对立事件.‎ 例4. 从这5个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中，是对立事件的是（ ）‎ A. ① B. ②④ C. ③ D. ①③‎ ‎【答案】C 12‎ 答案：C.‎ 例5.甲乙两人进行跳绳比赛，规定：若甲赢一局，比赛结束，甲胜出；若乙赢两局，比赛结束，乙胜出.已知每一局甲，乙两人获胜的概率分别为，则甲胜出的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】思路：考虑甲胜出的情况包含两种情况，一种是甲第一局获胜，一种是甲第一局输了，第二局获胜，设事件为“甲在第局获胜”，事件为“甲胜出”，则，依题意可得：，两场比赛相互独立，所以 从而 答案：A 例6. 如图，元件通过电流的概率均为，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在之间通过的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】思路：先分析各元件的作用，若要在之间通过电流，则必须通过，且这一组与两条路至少通过一条.设为“通过”，则，设为“通过”，，那么“至少通过一条”的概率，从而之间通过电流的概率为 ‎ 12‎ 答案：B.‎ 例7. 事件互斥事件，若，则_____．‎ ‎【答案】‎ 点睛：本题主要考查相互互斥事件的概率的乘法公式及对立事件的概率关系，属于中档题.‎ 例8. 甲袋中有5只白球，7只红球；乙袋中由4只白球，2只红球，从两个袋子中任取一袋，然后从所取到的袋子中任取一球，则取到白球的概率是_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】思路：本题取到白球需要两步：第一步先确定是甲袋还是乙袋，第二步再取球.所以本问题实质上为“取到某袋且取出白球的概率”，因为取袋在前，取球在后，所以取球阶段白球的概率受取袋的影响，为条件概率.设事件为“取出甲袋”，事件为“取出白球”，分两种情况进行讨论.若取出的是甲袋，则，依题意可得：，所以；若取出的是乙袋，则，依题意可得：，所以，综上所述，取到白球的概率 ‎ 12‎ 答案： ‎ 例9. 已知6张彩票中只有一张有奖，甲，乙先后抽取彩票且不放回，求在已知甲未中奖的情况下，乙中奖的概率.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】解：方法一：按照公式计算.设事件为“甲未中奖”，事件为“乙中奖”，所以可得：，事件为“甲未中奖且乙中奖”，则.所以 ‎ 方法二：按照条件概率实际意义：考虑甲在抽取彩票后没有中奖，则留给乙的情况是剩下的五张彩票中有一张是有奖的，所以乙中奖的概率为 ‎ 例10. 若甲、乙二人进行乒乓球比赛，已知每一局甲胜的概率为，乙胜的概率为，比赛时可以用三局两胜和五局三胜制，问在哪种比赛制度下，甲获胜的可能性较大.（写出计算过程）‎ ‎【答案】甲获胜的可能性大 ‎【精选精练】‎ ‎1．【2019届福建省百校临考冲刺】现有大小形状完全相同的4个小球，其中红球有2个，白球与蓝球各1个，将这4个小球排成一排，则中间2个小球不都是红球的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据古典概型的概率求解方法，列出４个小球所有排列的可能共有12种，则能够满足中间2个小球不都是红球的有2种情况，所以根据独立事件的概率计算方法可求出概率.‎ 详解：根据古典概型的概率计算，设白球为A，蓝球为B，红球为CC，则不同的排列情况为ABCC,ACBC,ACCB,BACC,BCAC,BCCA,CABC,CACB,CBCA,CBAC,CCAB,CCBA共12种情况，其中红球在中间的有 12‎ ACCB,BCCA两种情况，所以红球都在中间的概率为 ‎ 所以中间两个小球不都是红球的概率为 所以答案选C.‎ ‎2.【2019届华大新高考联盟4月检测】为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在中国传统节日:春节，元宵节，清明节，端午节，中秋节五个节日中随机选取3个节日来讲解其文化内涵，那么春节被选中的概率是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意古典概型概率计算公式和对立事件概率计算公式的合理运用．‎ ‎3.已知某同学在高二期末考试中，A和B两道选择题同时答对的概率为，在A题答对的情况下，B题也答对的概率为，则A题答对的概率为()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】做对A题记为事件E，做对B题事件F，‎ 根据题意P(EF)= ，‎ 又 解得P(E)= .‎ 故答案为：C ‎4．甲、乙、丙三位同学上课后独立完成5道自我检测题，甲及格的概率为，乙及格的概率为 12‎ ‎，丙及格的概率为，则三人至少有一个及格的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】解析：由题设可知甲、乙、丙三位同学都不及格的概率是，故甲、乙、丙三位同学都至少有一个及格的概率是，应选答案C.‎ ‎5.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是(　　)‎ A. A⊆D B. B∩D＝∅‎ C. A∪C＝D D. A∪C＝B∪D ‎【答案】D 选D.‎ ‎6．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则　(　　)‎ A. A⊆B B. A=B C. A+B表示向上的点数是1或2或3‎ D. AB表示向上的点数是1或2或3‎ ‎【答案】C ‎【解析】设，所以表示向上的点数为或或,故选C.‎ ‎7．‎ 12‎ 牡丹花会期间，记者在王城公园随机采访6名外国游客，其中有2名游客来过洛阳，从这6人中任选2人进行采访，则这2人中至少有1人来过洛阳的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎8．【2019届四川省梓潼中学校高考模拟（二）】已知圆柱的底面半径为，高为，若区域表示圆柱及其内部，区域表示圆柱内到下底面的距离大于的点组成的集合，若向区域中随机投一点，则所投的点落入区域中的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据题意，求得圆柱的体积和区域N所表示的小圆柱的体积，根据几何概型，即可求解相应的概率.‎ 详解：由题意，易知圆柱的体积为，‎ 因为区域N 表示圆柱内到下底面的距离大于1的点组成的集合，‎ 苏一区域N表示圆柱内的一个小圆柱（与圆柱共上底面），‎ 且小圆柱的体积为，‎ 根据几何概型，得所投入的点落在区域N中的概率为，故选C.‎ ‎9．【2019届江西省重点中学协作体第二次联考】已知一袋中有标有号码、、的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当三种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取次卡片时停止的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 12‎ 本题选择B选项.‎ ‎10．向上抛掷一颗骰子1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则(　　)‎ A. A与B是互斥而非对立事件 B. A与B是对立事件 C. B与C是互斥而非对立事件 D. B与C是对立事件 ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据互斥事件和对立事件的概念，逐一判定即可．‎ 详解：对于A、B中，当向上的一面出现点数时，事件同时发生了，所以事件与不是互斥事件，也不是对立事件；对于事件与不能同时发生且一定有一个发生，所以事件与是对立事件，故选D．‎ ‎11. 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮，假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率是_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】思路：因为选手回答4个问题就晋级下一轮，所以说明后两个回答结果正确，且第二次回答错误（否则第二次与第三次连续正确，就直接晋级了），第一次回答正确错误均可.所以 ‎ 答案：.‎ ‎12. 从中，甲，乙两人各任取一数（不重复），已知甲取到的是5的倍数，则甲数大于乙数的概率是_______‎ ‎【答案】‎ 12‎ 思路二：本题处理条件概率时也可从实际意义出发，甲取5,10,15对乙的影响不同，所以分情况讨论.当甲取的是5时，甲能从5的倍数中取出5的概率是，此时乙从剩下14个数中可取的只有1,2,3,4，所以甲取出5且大于乙数的概率，同理，甲取的是10时，乙可取的由9个数，所以甲取出10且大于乙数概率为，甲取的是15时，乙可取14个数，所以甲取出15且大于乙数的概率为，所以甲取到的数是5的倍数后，甲数大于乙数的概率为 ‎ 答案： ‎ 点睛：本题两种处理条件概率的思路均可解决问题，但第二种方法要注意，所发生过的只是甲取到5的倍数，但不知是哪个数，所以在分类讨论时还要乘上某个5的倍数能抽中的概率.即所求问题转变为“已知抽到5的倍数后，抽到哪个5的倍数（具体分类讨论）且甲数大于乙数的概率”. ‎ 12‎