2020届广西省玉林市高三第一次适应性考试文科数学试题(解析版)

2020届广西省玉林市高三第一次适应性考试文科数学试题(解析版)

‎2020届广西省玉林市高三第一次适应性考试文科数学试题 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 设，其中，是实数，是虚数单位，则在复平面内所对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎3. 已知，，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. 是空气质量的一个重要指标，我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在以下空气质量为一级，在之间空气质量为二级，在以上空气质量为超标.如图是某市2019年12月1日到10日日均值（单位：）的统计数据，则下列叙述不正确的是（ ）‎ A. 这10天中，12月5日的空气质量超标 B. 这10天中有5天空气质量为二级 C. 从5日到10日，日均值逐渐降低 D. 这10天的日均值的中位数是47‎ ‎5. 若实数，满足，则的最小值为（ ）‎ A. 2 B. 4 C. 5 D. 10‎ ‎6. 已知圆与直线相切，则圆的半径为（ ）‎ A. B. 2 C. D. 4‎ ‎7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为，且，若，则的坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8. 如图，正方体中，，分别为，的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9. 已知为正实数，若函数的极小值为0，则的值为（ ）‎ A. B. 1 C. D. 2‎ ‎10. 已知抛物线：的焦点为，准线为，与轴的交点为，点在抛物线上，过点作，垂足为.若，则（ ）‎ A. 8 B. 7 C. 6 D. 5‎ ‎11. 已知函数的一个零点是.则当取最小值时，函数的一个单调递减区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，.若，，，则，，的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 在平面上，，是方向相反的单位向量，若向量满足，则的值为______.‎ ‎14. 设，，分别为三角形的内角，，的对边，三角形的面积等于 ‎，则内角的大小为______.‎ ‎15. 已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为______.‎ ‎16. 关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值，先请240老同学，每人随机写下两个都小于1的正实数，组成的实数对；若将看作一个点，再统计点在圆外的个数；最后再根据统计数来估计的值.假如统计结果是，那么可以估计的近似值为______.（用分数表示）‎ 三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. 水稻是人类重要的粮食作物之一，耕种与食用的历史都相当悠久.目前我国南方农户在播种水稻时一般有直播、撒播两种方式.为比较在两种不同的播种方式下水稻产量的区别，某农场于2019年选取了200块农田，分成两组，每组100块，进行试验.其中第一组采用直播的方式进行播种，第二组采用撒播的方式进行播种.得到数据如下表：‎ 每亩产量（单位：斤）‎ 播种方式 直播 ‎4‎ ‎8‎ ‎18‎ ‎39‎ ‎31‎ 撒播 ‎9‎ ‎19‎ ‎22‎ ‎32‎ ‎18‎ 约定亩产超过900斤（含900斤）为“产量高”，否则为“产量低”.‎ ‎（1）请根据以上统计数据估计100块直播农田的平均每亩产量；（同一组中的数据用该区间的中点值为代表）（2）请根据以上统计数据填写下面的列联表，并判断是否有的把握认为“产量高”与“播种方式”有关？‎ 产量高 产量低 合计 直播 撒播 合计 附：‎ ‎0.10‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎18. 已知数列满足，.（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.‎ ‎19. 如图所示，在四棱柱中，侧棱平面，底面是直角梯形，，，.（1）证明：平面；（2）若四棱锥的体积为，求四棱柱的侧面积.‎ ‎20. 已知函数.（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性.‎ ‎21. 已知椭圆：的离心率，为椭圆的右焦点，，为椭圆的上、下顶点，且的面积为.（1）求椭圆的方程；（2）动直线：与椭圆交于，两点，证明：在第一象限内存在定点，使得当直线与直线的斜率均存在时，其斜率之和是与无关的常数，并求出所有满足条件的定点的坐标.‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，若多做，则按所做的第一个题目计分.‎ ‎22. 选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为，且经过点.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线：，从原点作射线交于点，点为射线上的点，满足，记点的轨迹为曲线.（1）①设动点，记是直线的向上方向的单位方向向量，且，以为参数求直线的参数方程；②求曲线的极坐标方程并化为直角坐标方程；（2）设直线与曲线交于，两点，求的值.‎ ‎23. 选修4-5：不等式选讲 已知函数.（1）求不等式的解集；（2）记函数的最小值为，若，，是正实数，且，求证：.‎ ‎2020届高中毕业班第一次适应性测试 文科数学参考答案 一、选择题 ‎1-5：BDACB 6-10：ACAAD 11-12：DC ‎1. B 【解析】由已知得，又，所以.故选B.‎ ‎2. D 【解析】由，其中，是实数，是虚数单位，得，∴，所以在复平面内所对应的点位于第四象限.故选D.‎ ‎3. A 【解析】由，，得，‎ 所以，故选A.‎ ‎4. C 【解析】由图易知：A、B、D正确，对于选项C，由于10日的的日均值大于9日的的日均值，C错误，故选C.‎ ‎5. B 【解析】作出可行域如图所示：‎ 作直线，再将其平移至时，直线的纵截距最小，的最小值为4.故选B.‎ ‎6. A 【解析】由题意知圆心坐标为，半径为，‎ 所以，解得，‎ 所以圆的半径为，故选A.‎ ‎7. C 【解析】由及的斜率为，易得，得，，由双 曲线的定义得，又，所以.故选C.‎ ‎8. A 【解析】如图，连接，，，易知为平行四边形，所以，所以异面直线与所成的角即为与所成的锐角，即，连接，设，则在中，，，.‎ 所以.故选A.‎ ‎9. A 【解析】由已知，又，所以由得或，由得，所以在处取得极小值，即，又，解得，故选A.‎ ‎10. D 【解析】作出图形如下所示，过点作，垂足为.设，因为，故，，由抛物线定义可知，，则，故.‎ 所以，故选D.‎ ‎11. D 【解析】由已知，得，所以或，‎ 又，所以，此时，‎ 由得，‎ 当时，得的一个单调减区间为.故选D.‎ ‎12. C 【解析】设，因为为奇函数，所以为偶函数；又当时，，所以在上单调递增，‎ 因为，又，‎ 所以，即，故选C.‎ 二、填空题 ‎13. 1 14. 15. 16. ‎ ‎13. 1 【解析】由题意，即，‎ 又，是方向相反的单位向量，所以，，‎ 所以，即，所以.‎ ‎14. 【解析】由已知，及余弦定理得，‎ 所以，又，所以.‎ ‎15. 【解析】由三视图可知该正方体的边长为2，截去部分为三棱锥，所以该几何体的体积.‎ ‎16. 【解析】由题意，240对都小于1的正实数对，满足，面积为1，点在圆外满足，且，面积为，‎ 因为点在圆外的个数，所以，∴.‎ 三、解答题 ‎17.【解析】（1）100块直播农田的平均每亩产量为 ‎（斤）.‎ ‎（2）由题中所给的数据得到列联表如下所示：‎ 产量高 产量低 合计 直播 ‎70‎ ‎30‎ ‎100‎ 撒播 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ 合计 ‎120‎ ‎80‎ ‎200‎ 由表中数据可得的观测值.‎ 所以有的把握认为“产量高”与“播种方式”有关.‎ ‎18.【解析】（1）因为，所以，‎ 所以为以2为首项，3为公差的等差数列.‎ 从而，所以.‎ ‎（2）由（1）得 ‎.‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎19.【解析】（1）因为侧棱平面，所以，，‎ 又，，所以平面，‎ 而平面，所以；‎ 又，，所以四边形为正方形，‎ 所以，‎ 又，所以平面.‎ ‎（2）记与的交点为，‎ 所以平面，‎ 又，所以，‎ ‎，‎ 设，则 ‎，解得，即，‎ 所以，‎ 所以四棱柱的侧面积为.‎ ‎20.【解析】（1）当时，，，‎ ‎∴，，‎ 所以函数的图象在处的切线方程为.‎ ‎（2）由已知的定义域为，‎ ‎.‎ 当时，由得，由得，‎ 所以在单调递减，在单调递增，‎ 当时，由得，由得，‎ 所以在，单调递增，在单调递减；‎ 当时，恒成立，所以在单调递增；‎ 当时，由得，由得，‎ 所以在，单调递增，在单调递减.‎ ‎21.【解析】（1）设椭圆的半焦距为，则，①‎ 又由的面积为，得.②‎ 由①②解得或，‎ 又椭圆的离心率，‎ 则时，，舍去，‎ 所以，，‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）设，，，‎ 将：代入得.由得，‎ 则有，.‎ 直线与直线的斜率之和 为与无关的常数，‎ 可知当，时斜率的和恒为0，解得或（舍）.‎ 综上所述，在第一象限内满足条件的定点的坐标为.‎ ‎22.【解析】（1）①依题设直线的参数方程为（为参数），即（为参数）.‎ ‎②设，，由题设得，‎ 又点在：即上，所以，即，‎ 将，代入得曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）将的参数方程代入的直角坐标方程中，得，即 ‎，则，为方程的两个根，，，‎ ‎.‎ ‎23.【解析】（1）等价于 或或，‎ 解得或或，‎ 所以不等式的解集为.‎ ‎（2）依题意，‎ 当时等号成立，所以的最小值为3，即，‎ 所以，又，，是正实数，由均值不等式得 ‎，‎ 当且仅当时取等号.也即.‎