【数学】甘肃省张掖市山丹一中2019-2020学年高二下学期期中考试(理)

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【数学】甘肃省张掖市山丹一中2019-2020学年高二下学期期中考试(理)

甘肃省张掖市山丹一中2019-2020学年 高二下学期期中考试(理)‎ ‎(考试时间:120分钟 试卷满分:150分)‎ 测试范围: 选修2-2、选修2-3第一章.‎ 一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.已知为虚数单位,若复数()的实部为,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.下列关于求导叙述正确的是 A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 ‎3.甲、乙、丙、丁四人商量是否参加志愿者服务活动.甲说:“乙去我就肯定去.”乙说:“丙去我就不去.”丙说:“无论丁去不去,我都去.”丁说:“甲、乙中只要有一人去,我就去.”则以下推论可能正确的是( )‎ A.乙、丙两个人去了 B.甲一个人去了 C.甲、丙、丁三个人去了 D.四个人都去了 ‎4.函数的导函数,满足关系式,则的值为( )‎ A.6 B. C. D.‎ ‎5.用数学归纳法证明:“”时,从到,等式的左边需要增乘的代数式是 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.若的展开式中的系数为-45,则实数的值为(  )‎ A. B.‎2 ‎C. D.‎ ‎7.正切函数是奇函数,是正切函数,因此是奇函数,以上推理( )‎ A.结论正确 B.大前提不正确 C.小前提不正确 D.以上均不正确 ‎8.已知,若,则的值为( )‎ A. B. C. D.1‎ ‎9.从A,B,C,D,E 5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛,其中A不参加物理、化学竞赛,则不同的参赛方案种数为(  )‎ A.24 B.48‎ C.72 D.120‎ ‎10.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”,用现代式子表示即为:在中,角所对的边分别为,则的面积.根据此公式,若,且,则的面积为 A. B.‎ C. D.‎ ‎11.如图所示,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,当 时,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎12.已知函数有两个不同的极值点,,若不等式有解,则的取值范围是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ 二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.已知定义在上的奇函数满足当时,,则曲线在点处的切线斜率为______.‎ ‎14.设复数满足,则的最大值是_______.‎ ‎15.在学校国庆文艺晚会上,有三对教师夫妇参加表演节目,要求每人只能参加一个单项表演节目.按节目组节目编排要求,男教师的节目不能相邻,且夫妻教师的节目也不能相邻,则该6名教师表演的节目的不同编排顺序共有______种.(用数字填写答案)‎ ‎16.已知P是曲线上的点,Q是曲线上的点,曲线与曲线关于直线对称,M为线段PQ的中点,O为坐标原点,则的最小值为________.‎ 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.(10分)关于复数的方程.‎ ‎(1)若此方程有实数解,求的值;‎ ‎(2)证明:对任意的实数,原方程不可能有纯虚数根.‎ ‎18.(12分)观察下列等式:‎ ‎;‎ ‎;‎ ‎;‎ ‎;‎ ‎;‎ ‎ (1)猜想第n(n∈N*)个等式;‎ ‎(2)用数学归纳法证明你的猜想.‎ ‎19. (12分)设函数的图象上一点处的切线与的图象的另一交点为.‎ ‎(1)确定点的坐标;‎ ‎(2)求函数与切线围成的封闭图形面积.‎ ‎20.(12分)已知正项数列满足,且,设 ‎(1)求证:;‎ ‎(2)求证:;‎ ‎(3)设为数列的前项和,求证:.‎ ‎21.(12分)某地环保部门跟踪调查一种有害昆虫的数量.根据调查数据,该昆虫的数量(万只)与时间(年)(其中)的关系为.为有效控制有害昆虫数量、保护生态环境,环保部门通过实时监控比值(其中为常数,且)来进行生态环境分析.‎ ‎(1)当时,求比值取最小值时的值;‎ ‎(2)经过调查,环保部门发现:当比值不超过时不需要进行环境防护.为确保恰好3年不需要进行保护,求实数的取值范围.(为自然对数的底,)‎ ‎22.(12分)已知函数,设的导函数为.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)设的极大值点为,求证:.(其中)‎ 参考答案 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C B C D D D C C C A A C ‎13. 14.6 15.24 16. ‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ ‎【解析】(1)设,带入原方程得,‎ 即,则,故.‎ ‎(2)证明:假设原方程有纯虚数根,设(,且),‎ 则有,整理可得,‎ 则,对于,判别式,‎ 则方程无实数解,故方程组无实数解,即假设不成立,从而原方程不可能有纯虚数根.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ ‎【解析】(1)猜想第个等式为.‎ ‎(2)证明:①当时,左边,右边,故原等式成立;‎ ‎②设时,有,则当时,‎ 故当时,命题也成立,由数学归纳法可以原等式成立.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ ‎【解析】(1)点,,故,所以切线的方程为,即.联立,得,解得或(舍去),所以点.‎ ‎(2)由图,设函数与切线围成的封闭图形面积为,‎ 则,所以所求面积为.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ ‎【解析】(1)∵,,‎ ‎∴ ,‎ ‎∴‎ ‎(2)猜想 要证,只需证,‎ ‎∵,只需证,‎ 只需证,‎ 又∵,且,‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ 累乘法可得,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎(3)∵,‎ ‎∴‎ ‎,而 ‎∴ .‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ ‎【解析】(1)当时,,∴ ‎ 列表得:‎ ‎2‎ ‎0‎ 单调减 极小值 单调增 ‎∴在上单调递减,在上单调递增 ∴在时取最小值; ‎ ‎(2)∵ 根据(1)知:在上单调减,在上单调增 ‎∵确保恰好3年不需要进行保护 ∴,解得:‎ 答:实数的取值范围为.‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ ‎【解析】(1)由已知的导函数为.‎ 要证,只需要证明.‎ 设,则.‎ 故在递减,在递增,‎ 故.‎ ‎(2)证明:因为,‎ 所以.‎ 令,则 可知,当时,单调递减,当,时,单调递增.‎ 又,, ,所以在有唯一零点,‎ 在,有唯一零点1.‎ 且当,,当,,,所以是的唯一的极大值 点,故,,‎ 所以 因为,显然 故.‎
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