江苏省高考数学试题及答案理科解析版DOC

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江苏省高考数学试题及答案理科解析版DOC

‎2015年江苏省高考数学试卷 ‎ 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共计70分)‎ ‎1.(5分)(2015•江苏)已知集合A={1,2,3},B={2,4,5},则集合A∪B中元素的个数为 5 .‎ 考点:‎ 并集及其运算.菁优网版权所有 专题:‎ 集合.‎ 分析:‎ 求出A∪B,再明确元素个数 解答:‎ 解:集合A={1,2,3},B={2,4,5},则A∪B={1,2,3,4,5};‎ 所以A∪B中元素的个数为5;‎ 故答案为:5‎ 点评:‎ 题考查了集合的并集的运算,根据定义解答,注意元素不重复即可,属于基础题 ‎ ‎ ‎2.(5分)(2015•江苏)已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为 6 .‎ 考点:‎ 众数、中位数、平均数.菁优网版权所有 专题:‎ 概率与统计.‎ 分析:‎ 直接求解数据的平均数即可.‎ 解答:‎ 解:数据4,6,5,8,7,6,‎ 那么这组数据的平均数为:=6.‎ 故答案为:6.‎ 点评:‎ 本题考查数据的均值的求法,基本知识的考查.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)(2015•江苏)设复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位),则z的模为  .‎ 考点:‎ 复数求模.菁优网版权所有 专题:‎ 数系的扩充和复数.‎ 分析:‎ 直接利用复数的模的求解法则,化简求解即可.‎ 解答:‎ 解:复数z满足z2=3+4i,‎ 可得|z||z|=|3+4i|==5,‎ ‎∴|z|=.‎ 故答案为:.‎ 点评:‎ 本题考查复数的模的求法,注意复数的模的运算法则的应用,考查计算能力.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)(2015•江苏)根据如图所示的伪代码,可知输出的结果S为 7 .‎ 考点:‎ 伪代码.菁优网版权所有 专题:‎ 图表型;算法和程序框图.‎ 分析:‎ 模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的I,S的值,当I=10时不满足条件I<8,退出循环,输出S的值为7.‎ 解答:‎ 解:模拟执行程序,可得 S=1,I=1‎ 满足条件I<8,S=3,I=4‎ 满足条件I<8,S=5,I=7‎ 满足条件I<8,S=7,I=10‎ 不满足条件I<8,退出循环,输出S的值为7.‎ 故答案为:7.‎ 点评:‎ 本题主要考查了循环结构的程序,正确判断退出循环的条件是解题的关键,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)(2015•江苏)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球、1只红球、2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为  .‎ 考点:‎ 古典概型及其概率计算公式.菁优网版权所有 专题:‎ 概率与统计.‎ 分析:‎ 根据题意,把4个小球分别编号,用列举法求出基本事件数,计算对应的概率即可.‎ 解答:‎ 解:根据题意,记白球为A,红球为B,黄球为C1、C2,则 一次取出2只球,基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种,‎ 其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种;‎ 所以所求的概率是P=.‎ 故答案为:.‎ 点评:‎ 本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题,是基础题目.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)(2015•江苏)已知向量=(2,1),=(1,﹣2),若m+n=(9,﹣8)(m,n∈R),则m﹣n的值为 ﹣3 .‎ 考点:‎ 平面向量的基本定理及其意义.菁优网版权所有 专题:‎ 平面向量及应用.‎ 分析:‎ 直接利用向量的坐标运算,求解即可.‎ 解答:‎ 解:向量=(2,1),=(1,﹣2),若m+n=(9,﹣8)‎ 可得,解得m=2,n=5,‎ ‎∴m﹣n=﹣3.‎ 故答案为:﹣3.‎ 点评:‎ 本题考查向量的坐标运算,向量相等条件的应用,考查计算能力.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)(2015•江苏)不等式2<4的解集为 (﹣1,2) .‎ 考点:‎ 指、对数不等式的解法.菁优网版权所有 专题:‎ 函数的性质及应用;不等式的解法及应用.‎ 分析:‎ 利用指数函数的单调性转化为x2﹣x<2,求解即可.‎ 解答:‎ 解;∵2<4,‎ ‎∴x2﹣x<2,‎ 即x2﹣x﹣2<0,‎ 解得:﹣1<x<2‎ 故答案为:(﹣1,2)‎ 点评:‎ 本题考查了指数函数的性质,二次不等式的求解,属于简单的综合题目,难度不大.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)(2015•江苏)已知tanα=﹣2,tan(α+β)=,则tanβ的值为 3 .‎ 考点:‎ 两角和与差的正切函数.菁优网版权所有 专题:‎ 三角函数的求值.‎ 分析:‎ 直接利用两角和的正切函数,求解即可.‎ 解答:‎ 解:tanα=﹣2,tan(α+β)=,‎ 可知tan(α+β)==,‎ 即=,‎ 解得tanβ=3.‎ 故答案为:3.‎ 点评:‎ 本题考查两角和的正切函数,基本知识的考查.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)(2015•江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2,高为8的圆柱各一个,若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为  .‎ 考点:‎ 棱柱、棱锥、棱台的体积.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题;空间位置关系与距离.‎ 分析:‎ 由题意求出原来圆柱和圆锥的体积,设出新的圆柱和圆锥的底面半径r,求出体积,由前后体积相等列式求得r.‎ 解答:‎ 解:由题意可知,原来圆锥和圆柱的体积和为:.‎ 设新圆锥和圆柱的底面半径为r,‎ 则新圆锥和圆柱的体积和为:.‎ ‎∴,解得:.‎ 故答案为:.‎ 点评:‎ 本题考查了圆柱与圆锥的体积公式,是基础的计算题.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)(2015•江苏)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 (x﹣1)2+y2=2 .‎ 考点:‎ 圆的标准方程;圆的切线方程.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题;直线与圆.‎ 分析:‎ 求出圆心到直线的距离d的最大值,即可求出所求圆的标准方程.‎ 解答:‎ 解:圆心到直线的距离d==≤,‎ ‎∴m=1时,圆的半径最大为,‎ ‎∴所求圆的标准方程为(x﹣1)2+y2=2.‎ 故答案为:(x﹣1)2+y2=2.‎ 点评:‎ 本题考查所圆的标准方程,考查点到直线的距离公式,考查学生的计算能力,比较基础.‎ ‎ ‎ ‎11.(5分)(2015•江苏)设数列{an}满足a1=1,且an+1﹣an=n+1(n∈N*),则数列{}的前10项的和为  .‎ 考点:‎ 数列的求和;数列递推式.菁优网版权所有 专题:‎ 等差数列与等比数列.‎ 分析:‎ 数列{an}满足a1=1,且an+1﹣an=n+1(n∈N*),利用“累加求和”可得an=.再利用“裂项求和”即可得出.‎ 解答:‎ 解:∵数列{an}满足a1=1,且an+1﹣an=n+1(n∈N*),‎ ‎∴当n≥2时,an=(an﹣an﹣1)+…+(a2﹣a1)+a1=+n+…+2+1=.‎ 当n=1时,上式也成立,‎ ‎∴an=.‎ ‎∴=2.‎ ‎∴数列{}的前n项的和Sn=‎ ‎=‎ ‎=.‎ ‎∴数列{}的前10项的和为.‎ 故答案为:.‎ 点评:‎ 本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)(2015•江苏)在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点,若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为  .‎ 考点:‎ 双曲线的简单性质.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.‎ 分析:‎ 双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0,c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离.‎ 解答:‎ 解:由题意,双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0,‎ 因为点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立,‎ 所以c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离,即.‎ 故答案为:.‎ 点评:‎ 本题考查双曲线的性质,考查学生的计算能力,比较基础.‎ ‎ ‎ ‎13.(5分)(2015•江苏)已知函数f(x)=|lnx|,g(x)=,则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为 4 .‎ 考点:‎ 根的存在性及根的个数判断.菁优网版权所有 专题:‎ 综合题;函数的性质及应用.‎ 分析:‎ ‎:由|f(x)+g(x)|=1可得g(x)=﹣f(x)±1,分别作出函数的图象,即可得出结论.‎ 解答:‎ 解:由|f(x)+g(x)|=1可得g(x)=﹣f(x)±1.‎ g(x)与h(x)=﹣f(x)+1的图象如图所示,图象有两个交点;‎ g(x)与φ(x)=﹣f(x)﹣1的图象如图所示,图象有两个交点;‎ 所以方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为4.‎ 故答案为:4.‎ 点评:‎ 本题考查求方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数,考查数形结合的数学思想,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)(2015•江苏)设向量=(cos,sin+cos)(k=0,1,2,…,12),则(ak•ak+1)的值为  .‎ 考点:‎ 数列的求和.菁优网版权所有 专题:‎ 等差数列与等比数列;平面向量及应用.‎ 分析:‎ 利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出.‎ 解答:‎ 解:=+‎ ‎=+++‎ ‎+‎ ‎=++‎ ‎=++,‎ ‎∴(ak•ak+1)=+++++++…+++++++…+‎ ‎=+0+0‎ ‎=.‎ 故答案为:9.‎ 点评:‎ 本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ 二、解答题(本大题共6小题,共计90分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎15.(14分)(2015•江苏)在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°.‎ ‎(1)求BC的长;‎ ‎(2)求sin2C的值.‎ 考点:‎ 余弦定理的应用;二倍角的正弦.菁优网版权所有 专题:‎ 解三角形.‎ 分析:‎ ‎(1)直接利用余弦定理求解即可.‎ ‎(2)利用正弦定理求出C的正弦函数值,然后利用二倍角公式求解即可.‎ 解答:‎ 解:(1)由余弦定理可得:BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+8﹣2×2×3×=7,‎ 所以BC=.‎ ‎(2)由正弦定理可得:,则sinC===,‎ ‎∵AB<BC,∴C为锐角,‎ 则cosC===.‎ 因此sin2C=2sinCcosC=2×=.‎ 点评:‎ 本题考查余弦定理的应用,正弦定理的应用,二倍角的三角函数,注意角的范围的解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎16.(14分)(2015•江苏)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知AC⊥BC,BC=CC1,设AB1的中点为D,B1C∩BC1=E.‎ 求证:‎ ‎(1)DE∥平面AA1C1C;‎ ‎(2)BC1⊥AB1.‎ 考点:‎ 直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的性质.菁优网版权所有 专题:‎ 证明题;空间位置关系与距离.‎ 分析:‎ ‎(1)根据中位线定理得DE∥AC,即证DE∥平面AA1C1C;‎ ‎(2)先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC,即证AC⊥CC1;再证明AC⊥平面BCC1B1,即证BC1⊥AC;最后证明BC1⊥平面B1AC,即可证出BC1⊥AB1.‎ 解答:‎ 证明:(1)根据题意,得;‎ E为B1C的中点,D为AB1的中点,所以DE∥AC;‎ 又因为DE⊄平面AA1C1C,AC⊂平面AA1C1C,‎ 所以DE∥平面AA1C1C;‎ ‎(2)因为棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,‎ 所以CC1⊥平面ABC,‎ 因为AC⊂平面ABC,‎ 所以AC⊥CC1;‎ 又因为AC⊥BC,‎ CC1⊂平面BCC1B1,‎ BC⊂平面BCC1B1,‎ BC∩CC1=C,‎ 所以AC⊥平面BCC1B1;‎ 又因为BC1⊂平面平面BCC1B1,‎ 所以BC1⊥AC;‎ 因为BC=CC1,所以矩形BCC1B1是正方形,‎ 所以BC1⊥平面B1AC;‎ 又因为AB1⊂平面B1AC,‎ 所以BC1⊥AB1.‎ 点评:‎ 本题考查了直线与直线,直线与平面以及平面与平面的位置关系,也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题,是基础题目.‎ ‎ ‎ ‎17.(14分)(2015•江苏)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2‎ 的距离分别为20千米和2.5千米,以l2,l1在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y=(其中a,b为常数)模型.‎ ‎(1)求a,b的值;‎ ‎(2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.‎ ‎①请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;‎ ‎②当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.‎ 考点:‎ 函数与方程的综合运用.菁优网版权所有 专题:‎ 综合题;导数的综合应用.‎ 分析:‎ ‎(1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5),将其分别代入y=,建立方程组,即可求a,b的值;‎ ‎(2)①求出切线l的方程,可得A,B的坐标,即可写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;‎ ‎②设g(t)=,利用导数,确定单调性,即可求出当t为何值时,公路l的长度最短,并求出最短长度.‎ 解答:‎ 解:(1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5),‎ 将其分别代入y=,得,‎ 解得,‎ ‎(2)①由(1)y=(5≤x≤20),P(t,),‎ ‎∴y′=﹣,‎ ‎∴切线l的方程为y﹣=﹣(x﹣t)‎ 设在点P处的切线l交x,y轴分别于A,B点,则A(,0),B(0,),‎ ‎∴f(t)==,t∈[5,20];‎ ‎②设g(t)=,则g′(t)=2t﹣=0,解得t=10,‎ t∈(5,10)时,g′(t)<0,g(t)是减函数;t∈(10,20)时,g′(t)>0,g(t)是增函数,‎ 从而t=10时,函数g(t)有极小值也是最小值,‎ ‎∴g(t)min=300,‎ ‎∴f(t)min=15,‎ 答:t=10时,公路l的长度最短,最短长度为15千米.‎ 点评:‎ 本题考查利用数学知识解决实际问题,考查导数知识的综合运用,确定函数关系,正确求导是关键.‎ ‎ ‎ ‎18.(16分)(2015•江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,且右焦点F到左准线l的距离为3.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程.‎ 考点:‎ 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.菁优网版权所有 专题:‎ 直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.‎ 分析:‎ ‎(1)运用离心率公式和准线方程,可得a,c的方程,解得a,c,再由a,b,c的关系,可得b,进而得到椭圆方程;‎ ‎(2)讨论直线AB的斜率不存在和存在,设出直线方程,代入椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式,以及两直线垂直的条件和中点坐标公式,即可得到所求直线的方程.‎ 解答:‎ 解:(1)由题意可得,e==,‎ 且c+=3,解得c=1,a=,‎ 则b=1,即有椭圆方程为+y2=1;‎ ‎(2)当AB⊥x轴,AB=,CP=3,不合题意;‎ 当AB与x轴不垂直,设直线AB:y=k(x﹣1),A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 将AB方程代入椭圆方程可得(1+2k2)x2﹣4k2x+2(k2﹣1)=0,‎ 则x1+x2=,x1x2=,‎ 则C(,),且|AB|=•=,‎ 若k=0,则AB的垂直平分线为y轴,与左准线平行,不合题意;‎ 则k≠0,故PC:y+=﹣(x﹣),P(﹣2,),‎ 从而|PC|=,‎ 由|PC|=2|AB|,可得=,解得k=±1,‎ 此时AB的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1.‎ 点评:‎ 本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的离心率和方程的运用,联立直线方程,运用韦达定理和弦长公式,同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎19.(16分)(2015•江苏)已知函数f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R).‎ ‎(1)试讨论f(x)的单调性;‎ ‎(2)若b=c﹣a(实数c是与a无关的常数),当函数f(x)有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是(﹣∞,﹣3)∪(1,)∪(,+∞),求c的值.‎ 考点:‎ 利用导数研究函数的单调性;函数零点的判定定理.菁优网版权所有 专题:‎ 综合题;导数的综合应用.‎ 分析:‎ ‎(1)求导数,分类讨论,利用导数的正负,即可得出f(x)的单调性;‎ ‎(2)由(1)知,函数f(x)的两个极值为f(0)=b,f(﹣)=+b,则函数f(x)有三个不同的零点等价于f(0)f(﹣)=b(+b)<0,进一步转化为a>0时,﹣a+c>0或a<0时,﹣a+c<0.设g(a)=﹣a+c,利用条件即可求c的值.‎ 解答:‎ 解:(1)∵f(x)=x3+ax2+b,‎ ‎∴f′(x)=3x2+2ax,‎ 令f′(x)=0,可得x=0或﹣.‎ a=0时,f′(x)>0,∴f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增;‎ a>0时,x∈(﹣∞,﹣)∪(0,+∞)时,f′(x)>0,x∈(﹣,0)时,f′(x)<0,‎ ‎∴函数f(x)在(﹣∞,﹣),(0,+∞)上单调递增,在(﹣,0)上单调递减;‎ a<0时,x∈(﹣∞,0)∪(﹣,+∞)时,f′(x)>0,x∈(0,﹣)时,f′(x)<0,‎ ‎∴函数f(x)在(﹣∞,0),(﹣,+∞)上单调递增,在(0,﹣)上单调递减;‎ ‎(2)由(1)知,函数f(x)的两个极值为f(0)=b,f(﹣)=+b,则函数f(x)有三个不同的零点等价于f(0)f(﹣)=b(+b)<0,‎ ‎∵b=c﹣a,‎ ‎∴a>0时,﹣a+c>0或a<0时,﹣a+c<0.‎ 设g(a)=﹣a+c,‎ ‎∵函数f(x)有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是(﹣∞,﹣3)∪(1,)∪(,+∞),‎ ‎∴在(﹣∞,﹣3)上,g(a)<0且在(1,)∪(,+∞)上g(a)>0均恒成立,‎ ‎∴g(﹣3)=c﹣1≤0,且g()=c﹣1≥0,‎ ‎∴c=1,‎ 此时f(x)=x3+ax2+1﹣a=(x+1)[x2+(a﹣1)x+1﹣a],‎ ‎∵函数有三个零点,‎ ‎∴x2+(a﹣1)x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根,‎ ‎∴△=(a﹣1)2﹣4(1﹣a)>0,且(﹣1)2﹣(a﹣1)+1﹣a≠0,‎ 解得a∈(﹣∞,﹣3)∪(1,)∪(,+∞),‎ 综上c=1.‎ 点评:‎ 本题考查导数知识的综合运用,考查函数的单调性,考查函数的零点,考查分类讨论的数学思想,难度大.‎ ‎ ‎ ‎20.(16分)(2015•江苏)设a1,a2,a3.a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列.‎ ‎(1)证明:2,2,2,2依次构成等比数列;‎ ‎(2)是否存在a1,d,使得a1,a22,a33,a44依次构成等比数列?并说明理由;‎ ‎(3)是否存在a1,d及正整数n,k,使得a1n,a2n+k,a3n+2k,a4n+3k依次构成等比数列?并说明理由.‎ 考点:‎ 等比关系的确定;等比数列的性质.菁优网版权所有 专题:‎ 等差数列与等比数列.‎ 分析:‎ ‎(1)根据等比数列和等差数列的定义即可证明;‎ ‎(2)利用反证法,假设存在a1,d使得a1,a22,a33,a44依次构成等比数列,推出矛盾,否定假设,得到结论;‎ ‎(3)利用反证法,假设存在a1,d及正整数n,k,使得a1n,a2n+k,a3n+2k,a4n+3k依次构成等比数列,得到a1n(a1+2d)n+2k=(a1+2d)2(n+k),且(a1+d)n+k(a1+3d)n+3k=(a1+2d)2(n+2k),利用等式以及对数的性质化简整理得到ln(1+3t)ln(1+2t)+3ln(1+2t)ln(1+t)=4ln(1+3t)ln(1+t),(**),多次构造函数,多次求导,利用零点存在定理,推出假设不成立.‎ 解答:‎ 解:(1)证明:∵==2d,(n=1,2,3,)是同一个常数,‎ ‎∴2,2,2,2依次构成等比数列;‎ ‎(2)令a1+d=a,则a1,a2,a3,a4分别为a﹣d,a,a+d,a+2d(a>d,a>﹣2d,d≠0)‎ 假设存在a1,d使得a1,a22,a33,a44依次构成等比数列,‎ 则a4=(a﹣d)(a+d)3,且(a+d)6=a2(a+2d)4,‎ 令t=,则1=(1﹣t)(1+t)3,且(1+t)6=(1+2t)4,(﹣<t<1,t≠0),‎ 化简得t3+2t2﹣2=0(*),且t2=t+1,将t2=t+1代入(*)式,‎ t(t+1)+2(t+1)﹣2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0,则t=﹣,‎ 显然t=﹣不是上面方程的解,矛盾,所以假设不成立,‎ 因此不存在a1,d,使得a1,a22,a33,a44依次构成等比数列.‎ ‎(3)假设存在a1,d及正整数n,k,使得a1n,a2n+k,a3n+2k,a4n+3k依次构成等比数列,‎ 则a1n(a1+2d)n+2k=(a1+2d)2(n+k),且(a1+d)n+k(a1+3d)n+3k=(a1+2d)2(n+2k),‎ 分别在两个等式的两边同除以=a12(n+k),a12(n+2k),并令t=,(t>,t≠0),‎ 则(1+2t)n+2k=(1+t)2(n+k),且(1+t)n+k(1+3t)n+3k=(1+2t)2(n+2k),‎ 将上述两个等式取对数,得(n+2k)ln(1+2t)=2(n+k)ln(1+t),‎ 且(n+k)ln(1+t)+(n+3k)ln(1+3t)=2(n+2k)ln(1+2t),‎ 化简得,2k[ln(1+2t)﹣ln(1+t)]=n[2ln(1+t)﹣ln(1+2t)],‎ 且3k[ln(1+3t)﹣ln(1+t)]=n[3ln(1+t)﹣ln(1+3t)],‎ 再将这两式相除,化简得,‎ ln(1+3t)ln(1+2t)+3ln(1+2t)ln(1+t)=4ln(1+3t)ln(1+t),(**)‎ 令g(t)=4ln(1+3t)ln(1+t)﹣ln(1+3t)ln(1+2t)+3ln(1+2t)ln(1+t),‎ 则g′(t)=[(1+3t)2ln(1+3t)﹣3(1+2t)2ln(1+2t)+3(1+t)2ln(1+t)],‎ 令φ(t)=(1+3t)2ln(1+3t)﹣3(1+2t)2ln(1+2t)+3(1+t)2ln(1+t),‎ 则φ′(t)=6[(1+3t)ln(1+3t)﹣2(1+2t)ln(1+2t)+3(1+t)ln(1+t)],‎ 令φ1(t)=φ′(t),则φ1′(t)=6[3ln(1+3t)﹣4ln(1+2t)+ln(1+t)],‎ 令φ2(t)=φ1′(t),则φ2′(t)=>0,‎ 由g(0)=φ(0)=φ1(0)=φ2(0)=0,φ2′(t)>0,‎ 知g(t),φ(t),φ1(t),φ2(t)在(﹣,0)和(0,+∞)上均单调,‎ 故g(t)只有唯一的零点t=0,即方程(**)只有唯一解t=0,故假设不成立,‎ 所以不存在a1,d及正整数n,k,使得a1n,a2n+k,a3n+2k,a4n+3k依次构成等比数列.‎ 点评:‎ 本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质,函数与方程等基础知识,考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力,属于难题.‎ ‎ ‎ 三、附加题(本大题包括选做题和必做题两部分)【选做题】本题包括21-24题,请选定其中两小题作答,若多做,则按作答的前两小题评分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1:几何证明选讲】‎ ‎21.(10分)(2015•江苏)如图,在△ABC中,AB=AC,△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D.‎ 求证:△ABD∽△AEB.‎ 考点:‎ 相似三角形的判定.菁优网版权所有 专题:‎ 推理和证明.‎ 分析:‎ 直接利用已知条件,推出两个三角形的三个角对应相等,即可证明三角形相似.‎ 解答:‎ 证明:∵AB=AC,∴∠ABD=∠C,又∵∠C=∠E,∴∠ABD=∠E,又∠BAE是公共角,‎ 可知:△ABD∽△AEB.‎ 点评:‎ 本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识,考查逻辑推理能力.‎ ‎ ‎ ‎【选修4-2:矩阵与变换】‎ ‎22.(10分)(2015•江苏)已知x,y∈R,向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量,求矩阵A以及它的另一个特征值.‎ 考点:‎ 特征值与特征向量的计算.菁优网版权所有 专题:‎ 矩阵和变换.‎ 分析:‎ 利用A=﹣2,可得A=,通过令矩阵A的特征多项式为0即得结论.‎ 解答:‎ 解:由已知,可得A=﹣2,即==,‎ 则,即,‎ ‎∴矩阵A=,‎ 从而矩阵A的特征多项式f(λ)=(λ+2)(λ﹣1),‎ ‎∴矩阵A的另一个特征值为1.‎ 点评:‎ 本题考查求矩阵及其特征值,注意解题方法的积累,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎【选修4-4:坐标系与参数方程】‎ ‎23.(2015•江苏)已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin(θ﹣)﹣4=0,求圆C的半径.‎ 考点:‎ 简单曲线的极坐标方程.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题;坐标系和参数方程.‎ 分析:‎ 先根据x=ρcosθ,y=ρsinθ,求出圆的直角坐标方程,求出半径.‎ 解答:‎ 解:圆的极坐标方程为ρ2+2ρsin(θ﹣)﹣4=0,可得ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣4=0,‎ 化为直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y﹣4=0,‎ 化为标准方程为(x﹣1)2+(y+1)2=6,‎ 圆的半径r=.‎ 点评:‎ 本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,以及求点的极坐标的方法,关键是利用公式x=ρcosθ,y=ρsinθ,比较基础,‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲】‎ ‎24.(2015•江苏)解不等式x+|2x+3|≥2.‎ 考点:‎ 绝对值不等式的解法.菁优网版权所有 专题:‎ 不等式.‎ 分析:‎ 思路1(公式法):利用|f(x)|≥g(x)⇔f(x)≥g(x),或f(x)≤﹣g(x);‎ 思路2(零点分段法):对x的值分“x≥”“x<”进行讨论求解.‎ 解答:‎ 解法1:x+|2x+3|≥2变形为|2x+3|≥2﹣x,‎ 得2x+3≥2﹣x,或2x+3≥﹣(2﹣x),‎ 即x≥,或x≤﹣5,‎ 即原不等式的解集为{x|x≥,或x≤﹣5}.‎ 解法2:令|2x+3|=0,得x=.‎ ‎①当x≥时,原不等式化为x+(2x+3)≥2,即x≥,‎ 所以x≥;‎ ‎②x<时,原不等式化为x﹣(2x+3)≥2,即x≤﹣5,‎ 所以x≤﹣5.‎ 综上,原不等式的解集为{x|x≥,或x≤﹣5}.‎ 点评:‎ 本题考查了含绝对值不等式的解法.本解答给出的两种方法是常见的方法,不管用哪种方法,其目的是去绝对值符号.若含有一个绝对值符号,利用公式法要快捷一些,其套路为:|f(x)|≥g(x)⇔f(x)≥g(x),或f(x)≤﹣g(x);|f(x)|≤g(x)⇔﹣g(x)≤f(x)≤g(x).可简记为:大于号取两边,小于号取中间.使用零点分段法时,应注意:同一类中取交集,类与类之间取并集.‎ ‎ ‎ ‎【必做题】每题10分,共计20分,解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎25.(10分)(2015•江苏)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=,PA=AD=2,AB=BC=1.‎ ‎(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值;‎ ‎(2)点Q是线段BP上的动点,当直线CQ与DP所成的角最小时,求线段BQ的长.‎ 考点:‎ 二面角的平面角及求法;点、线、面间的距离计算.菁优网版权所有 专题:‎ 空间位置关系与距离;空间角.‎ 分析:‎ 以A为坐标原点,以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz.‎ ‎(1)所求值即为平面PAB的一个法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝对值,计算即可;‎ ‎(2)利用换元法可得cos2<,>≤,结合函数y=cosx在(0,‎ ‎)上的单调性,计算即得结论.‎ 解答:‎ 解:以A为坐标原点,以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz如图,‎ 由题可知B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2).‎ ‎(1)∵AD⊥平面PAB,∴=(0,2,0),是平面PAB的一个法向量,‎ ‎∵=(1,1,﹣2),=(0,2,﹣2),‎ 设平面PCD的法向量为=(x,y,z),‎ 由,得,‎ 取y=1,得=(1,1,1),‎ ‎∴cos<,>==,‎ ‎∴平面PAB与平面PCD所成两面角的余弦值为;‎ ‎(2)∵=(﹣1,0,2),设=λ=(﹣λ,0,2λ)(0≤λ≤1),‎ 又=(0,﹣1,0),则=+=(﹣λ,﹣1,2λ),‎ 又=(0,﹣2,2),从而cos<,>==,‎ 设1+2λ=t,t∈[1,3],‎ 则cos2<,>==≤,‎ 当且仅当t=,即λ=时,|cos<,>|的最大值为,‎ 因为y=cosx在(0,)上是减函数,此时直线CQ与DP所成角取得最小值.‎ 又∵BP==,∴BQ=BP=.‎ 点评:‎ 本题考查求二面角的三角函数值,考查用空间向量解决问题的能力,注意解题方法的积累,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎26.(10分)(2015•江苏)已知集合X={1,2,3},Yn={1,2,3,…,n)(n∈N*),设Sn={(a,b)|a整除b或整除a,a∈X,B∈Yn},令f(n)表示集合Sn所含元素的个数.‎ ‎(1)写出f(6)的值;‎ ‎(2)当n≥6时,写出f(n)的表达式,并用数学归纳法证明.‎ 考点:‎ 数学归纳法.菁优网版权所有 专题:‎ 综合题;点列、递归数列与数学归纳法.‎ 分析:‎ ‎(1)f(6)=6+2++=13;‎ ‎(2)根据数学归纳法的证明步骤,分类讨论,即可证明结论.‎ 解答:‎ 解:(1)f(6)=6+2++=13;‎ ‎(2)当n≥6时,f(n)=.‎ 下面用数学归纳法证明:‎ ‎①n=6时,f(6)=6+2++=13,结论成立;‎ ‎②假设n=k(k≥6)时,结论成立,那么n=k+1时,Sk+1在Sk的基础上新增加的元素在(1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中产生,分以下情形讨论:‎ ‎1)若k+1=6t,则k=6(t﹣1)+5,此时有f(k+1)=f(k)+3=(k+1)+2++,结论成立;‎ ‎2)若k+1=6t+1,则k=6t+1,此时有f(k+1)=f(k)+1=k+2+++1=(k+1)+2++,结论成立;‎ ‎3)若k+1=6t+2,则k=6t+1,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+++2=(k+1)+2++,结论成立;‎ ‎4)若k+1=6t+3,则k=6t+2,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+++2=(k+1)+2++,结论成立;‎ ‎5)若k+1=6t+4,则k=6t+3,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+++2=(k+1)+2++,结论成立;‎ ‎6)若k+1=6t+5,则k=6t+4,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+++2=(k+1)+2++,结论成立.‎ 综上所述,结论对满足n≥6的自然数n均成立.‎ 点评:‎ 本题考查数学归纳法,考查学生分析解决问题的能力,正确归纳是关键.‎ ‎ ‎ ‎ 2015年江苏省高考数学试卷 ‎ ‎ 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共计70分)‎ ‎1.(5分)(2015•江苏)已知集合A={1,2,3},B={2,4,5},则集合A∪B中元素的个数为      .‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)(2015•江苏)已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为      .‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)(2015•江苏)设复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位),则z的模为      .‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)(2015•江苏)根据如图所示的伪代码,可知输出的结果S为      .‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)(2015•江苏)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球、1只红球、2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为      .‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)(2015•江苏)已知向量=(2,1),=(1,﹣2),若m+n=(9,﹣8)(m,n∈R),则m﹣n的值为      .‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)(2015•江苏)不等式2<4的解集为      .‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)(2015•江苏)已知tanα=﹣2,tan(α+β)=,则tanβ的值为      .‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)(2015•江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2,高为8的圆柱各一个,若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为      .‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)(2015•江苏)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为      .‎ ‎ ‎ ‎11.(5分)(2015•江苏)设数列{an}满足a1=1,且an+1﹣an=n+1(n∈N*),则数列{}的前10项的和为      .‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)(2015•江苏)在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点,若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为      .‎ ‎ ‎ ‎13.(5分)(2015•江苏)已知函数f(x)=|lnx|,g(x)=,则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为      .‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)(2015•江苏)设向量=(cos,sin+cos)(k=0,1,2,…,12),则(ak•ak+1)的值为      .‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 二、解答题(本大题共6小题,共计90分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎15.(14分)(2015•江苏)在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°.‎ ‎(1)求BC的长;‎ ‎(2)求sin2C的值.‎ ‎ ‎ ‎16.(14分)(2015•江苏)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知AC⊥BC,BC=CC1,设AB1的中点为D,B1C∩BC1=E.‎ 求证:‎ ‎(1)DE∥平面AA1C1C;‎ ‎(2)BC1⊥AB1.‎ ‎ ‎ ‎17.(14分)(2015•江苏)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米,以l2,l1在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y=(其中a,b为常数)模型.‎ ‎(1)求a,b的值;‎ ‎(2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.‎ ‎①请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;‎ ‎②当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.‎ ‎ ‎ ‎18.(16分)(2015•江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,且右焦点F到左准线l的距离为3.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程.‎ ‎ ‎ ‎19.(16分)(2015•江苏)已知函数f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R).‎ ‎(1)试讨论f(x)的单调性;‎ ‎(2)若b=c﹣a(实数c是与a无关的常数),当函数f(x)有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是(﹣∞,﹣3)∪(1,)∪(,+∞),求c的值.‎ ‎ ‎ ‎20.(16分)(2015•江苏)设a1,a2,a3.a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列.‎ ‎(1)证明:2,2,2,2依次构成等比数列;‎ ‎(2)是否存在a1,d,使得a1,a22,a33,a44依次构成等比数列?并说明理由;‎ ‎(3)是否存在a1,d及正整数n,k,使得a1n,a2n+k,a3n+2k,a4n+3k依次构成等比数列?并说明理由.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 三、附加题(本大题包括选做题和必做题两部分)【选做题】本题包括21-24题,请选定其中两小题作答,若多做,则按作答的前两小题评分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1:几何证明选讲】‎ ‎21.(10分)(2015•江苏)如图,在△ABC中,AB=AC,△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D.‎ 求证:△ABD∽△AEB.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【选修4-2:矩阵与变换】‎ ‎22.(10分)(2015•江苏)已知x,y∈R,向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量,求矩阵A以及它的另一个特征值.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【选修4-4:坐标系与参数方程】‎ ‎23.(2015•江苏)已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin(θ﹣)﹣4=0,求圆C的半径.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲】‎ ‎24.(2015•江苏)解不等式x+|2x+3|≥2.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【必做题】每题10分,共计20分,解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎25.(10分)(2015•江苏)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=,PA=AD=2,AB=BC=1.‎ ‎(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值;‎ ‎(2)点Q是线段BP上的动点,当直线CQ与DP所成的角最小时,求线段BQ的长.‎ ‎ ‎ ‎26.(10分)(2015•江苏)已知集合X={1,2,3},Yn={1,2,3,…,n)(n∈N*),设Sn={(a,b)|a整除b或整除a,a∈X,B∈Yn},令f(n)表示集合Sn所含元素的个数.‎ ‎(1)写出f(6)的值;‎ ‎(2)当n≥6时,写出f(n)的表达式,并用数学归纳法证明.‎
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