数学卷·2018届黑龙江省鸡西市虎林高中高二下学期开学数学试卷（文科）（解析版）

数学卷·2018届黑龙江省鸡西市虎林高中高二下学期开学数学试卷（文科）（解析版）

2016-2017 学年黑龙江省鸡西市虎林高中高二（下）开学数学试 卷（文科） 一、选择题 1．（4 分）已知命题 p：任意 x ∈ R，sinx≤1，则（ ） A．￢p：存在 x ∈ R，sinx≥1 B．￢p：任意 x ∈ R，sinx≥1 C．￢p：存在 x ∈ R，sinx＞1 D．￢p：任意 x ∈ R，sinx＞1 2．（4 分）椭圆 C： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2，A，B 是 C 上两点， =3 ，∠BAF2=90°，则椭圆 C 的离心率为（ ） A． B． C． D． 3．（4 分）甲校有 3600 名学生，乙校有 5400 名学生，丙校有 1800 名学生，为 统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为 90 人 的样本，应在这三校分别抽取学生（ ） A．30 人，30 人，30 人B．30 人，45 人，15 人 C．20 人，30 人，10 人 D．30 人，50 人，10 人 4．（4 分）已知 F 为双曲线 的左焦点，P，Q 为 C 右支上的点，若 PQ 的长等于虚轴长的 2 倍，点 A（5，0）在线段 PQ 上，则△PFQ 的周长为（ ） A．28 B．36 C．44 D．48 5．（4 分）过 P（﹣4，1）的直线 l 与双曲线 仅有一个公共点，则这样 的直线 l 有（ ）条． A．1 B．2 C．3 D．4 6．（4 分）已知椭圆 C1： + =1（a1＞b1＞0）与双曲线 C2： ﹣ =1 （a2＞0，b2＞0）有相同的焦点 F1，F2，点 P 是两曲线的一个公共点，a1，a2 又 分别是两曲线的离心率，若 PF1⊥PF2，则 4e12+e22 的最小值为（ ） A． B．4 C． D．9 7．（4 分）已知抛物线方程为 y2=4x，直线 l 的方程为 x﹣y+4=0，在抛物线上有 一动点 P 到 y 轴的距离为 d1，P 到直线 l 的距离为 d2，则 d1+d2 的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．（4 分）已知圆 C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2 的圆心为抛物线 x2=﹣4y 的焦点， 直线 x+y=1 与圆 C 相切，则该圆的方程为（ ） A．（x+1）2+y2= B．x2+（y+1）2=2 C．（x﹣2）2+y2= D．x2+（y﹣2）2= 9．（4 分）已知抛物线 y2=4x 的准线过椭圆 + =1（a＞b＞0）的左焦点且与 椭圆交于 A、B 两点，O 为坐标原点，△AOB 的面积为 ，则椭圆的离心率为 （ ） A． B． C． D． 10．（4 分）函数 y=ax2+1 的图象与直线 y=x 相切，则 a=（ ） A． B． C． D．1 11．（4 分）若函数 f（x）=x3﹣6bx+3b 在（0，1）内只有极小值，则实数 b 的 取值范围是（ ） A．（0，1） B．（﹣∞，1） C．（0，+∞） D．（0， ） 12．（4 分）定义在（0， ）上的函数 f（x），f′（x）是它的导函数，且恒有 f（x）＜f′（x）tanx 成立，则（ ） A． f（ ）＞ f（ ） B．f（1）＜2f（ ）sin1 C． f（ ）＞f （ ） D． f（ ）＜f（ ） 二、填空题 13．（3 分）设 a＞1，则当 y=ax 与 y=logax 两个函数图象有且只有一个公共点时， lnlna= ． 14．（3 分）对于三次函数 f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设 f′（x） 是函数 y=f（x）的导数，f″（x）是函数 f′（x）的导数，若方程 f″（x）=0 有实数 解 x0，则称（x0，f（x0））为函数 y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任 何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对 称中心．给定函数 ，请你根据 上面探究结果，解答以下问题 （1）函数 f（x）= x3﹣ x2+3x﹣ 的对称中心为 ； （ 2 ） 计 算 +…+f （ ）= ． 15．（3 分）已知曲线 y=（a﹣3）x3+lnx 存在垂直于 y 轴的切线，函数 f（x）=x3 ﹣ax2﹣3x+1 在[1，2]上单调递增，则 a 的范围为 ． 16．（3 分）设函数 y=f（x），x ∈ R 的导函数为 f′（x），且 f（x）=f（﹣x），f′ （x）＜f（x），则下列三个数： 从小到大依次排列为 ． （e 为自然对数的底） 17．（3 分）做一个无盖的圆柱形水桶，若要使体积是 27π，且用料最省，则圆 柱的底面半径为 ． 三、解答题 18．（10 分）已知函数 f（x）= 的定义域为[α，β]，值域为[logaa （β﹣1），logaa（α﹣1）]，并且 f（x）在[α，β]上为减函数． （1）求 a 的取值范围； （2）求证：2＜α＜4＜β； （3）若函数 g（x）=logaa（x﹣1）﹣ ，x ∈ [α，β]的最大值为 M，求证：0＜M＜1． 19．（11 分）已知函数 f（x）= x3+ax2+bx（a，b ∈ R）． （Ⅰ）当 a=1 时，求函数 f（x）的单调区间； （Ⅱ）若 f（1）= ，且函数 f（x）在（0， ）上不存在极值点，求 a 的取 值范围． 20．（12 分）已知动点 M 到定点 F（1，0）的距离与到定直线 l：x=﹣1 的距离 相等，点 C 在直线 l 上． （1）求动点 M 的轨迹方程； （2）设过定点 F，法向量 的直线与（1）中的轨迹相交于 A， B 两点且点 A 在 x 轴的上方，判断∠ACB 能否为钝角并说明理由．进一步研究∠ ABC 为钝角时点 C 纵坐标的取值范围． 21．（12 分）已知抛物线 L：x2=2py（p＞0）和点 M（2，2），若抛物线 L 上存 在不同的两点 A、B 满足 ． （1）求实数 p 的取值范围； （2）当 p=2 时，抛物线 L 上是否存在异于 A、B 的点 C，使得经过 A、B、C 三点 的圆和抛物线 L 在点 C 处有相同的切线？若存在，求出点 C 的坐标；若不存在， 请说明理由． 22．（12 分）已知函数 ． （1）求 f（x）的最小值； （2）若方程 f（x）=a 有两个根 x1，x2（x1＜x2），证明：x1+x2＞2． 2016-2017 学年黑龙江省鸡西市虎林高中高二（下）开学 数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题 1．已知命题 p：任意 x ∈ R，sinx≤1，则（ ） A．￢p：存在 x ∈ R，sinx≥1 B．￢p：任意 x ∈ R，sinx≥1 C．￢p：存在 x ∈ R，sinx＞1 D．￢p：任意 x ∈ R，sinx＞1 【考点】命题的否定． 【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可． 【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题， 即存在 x ∈ R，sinx＞1， 故选：C 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题 是解决本题的关键． 2．椭圆 C： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2，A，B 是 C 上两点， =3 ，∠BAF2=90°，则椭圆 C 的离心率为（ ） A． B． C． D． 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】由已知条件设| |=x，| |=3x，在△ABF2 中，求得 x= ， 在 Rt△AF1F2 中，|F1F2|=2c，由勾股定理求出 ，由此能求出椭圆的离 心率． 【解答】解：∵椭圆 C： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1， F2， A，B 是 C 上两点， =3 ，∠BAF2=90°， ∴设| |=x，则| |=3x， 在△ABF2 中，（4x）2+（2a﹣3x）2=（2a﹣x）2， 整理，得 x（3x﹣a）=0，即 3x=a，即 x= ， ∴在 Rt△AF1F2 中，|F1F2|=2c， （3x）2+（2a﹣3x）2=4c2， 将 x= 代入，得 a2+（2a﹣a）2=4c2，∴ = ， 即 ， ∴e= ． 故选：D． 【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意勾 股定理的合理运用． 3．甲校有 3600 名学生，乙校有 5400 名学生，丙校有 1800 名学生，为统计三校 学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为 90 人的样本， 应在这三校分别抽取学生（ ） A．30 人，30 人，30 人B．30 人，45 人，15 人 C．20 人，30 人，10 人 D．30 人，50 人，10 人 【考点】分层抽样方法． 【分析】先计算各校学生数的比例，再根据分层比求各校应抽取的学生数． 【解答】解：甲校、乙校、丙校的学生数比例为 3600：5400：1800=2：3：1， 抽取一个容量为 90 人的样本，应在这三校分别抽取学生 =30 人， =45 人， =15 人． 故选 B． 【点评】本题考查简单的分层抽样，属基本题． 4．已知 F 为双曲线 的左焦点，P，Q 为 C 右支上的点， 若 PQ 的长等于虚轴长的 2 倍，点 A（5，0）在线段 PQ 上，则△PFQ 的周长为 （ ） A．28 B．36 C．44 D．48 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】根据题意画出双曲线图象，然后根据双曲线的定义“到两定点的距离之 差为定值 2a“解决．求出周长即可． 【解答】解：∵双曲线 C： 的左焦点 F（﹣5，0）， ∴点 A（5，0）是双曲线的右焦点， 则 b=4，即虚轴长为 2b=8； 双曲线图象如图： ∵|PF|﹣|AP|=2a=6 ① |QF|﹣|QA|=2a=6 ② 而|PQ|=16， ∴①+②得：|PF|+|QF|﹣|PQ|=12， ∴周长为 l=|PF|+|QF|+|PQ|=12+2|PQ|=44， 故选：C． 【点评】本题考查三角形周长的计算，根据双曲线的定义将三角形的两边之差转 化为 2a，通过对定义的考查求出周长是解决本题的关键．考查学生的转化能能 力． 5．过 P（﹣4，1）的直线 l 与双曲线 仅有一个公共点，则这 样的直线 l 有（ ）条． A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】将 P 的坐标代入双曲线的方程，判断 P 在双曲线的开口之内，再由题意 可得这样的直线 l 与双曲线的两条渐近线平行，即可得到所求条数． 【解答】解：由 P（﹣4，1）代入双曲线方程可得 ﹣1=3＞1， 可得 P 在双曲线的开口之内， 由过 P（﹣4，1）的直线 l 与双曲线 仅有一个公共点， 可得这样的直线 l 与双曲线的两条渐近线平行， 则这样的直线 l 有 2 条． 故选：B． 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查判断能力和运算能力，判断出 P 在双曲线的开口之内是解题的关键，属于基础题． 6．已知椭圆 C1： + =1（a1＞b1＞0）与双曲线 C2： ﹣ =1（a2＞0，b2＞0）有相同的焦点 F1，F2，点 P 是两曲线的一个公共点， a1，a2 又分别是两曲线的离心率，若 PF1⊥PF2，则 4e12+e22 的最小值为（ ） A． B．4 C． D．9 【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质． 【分析】由题意设焦距为 2c，椭圆长轴长为 2a1，双曲线实轴为 2a2，令 P 在双 曲 线 的 右 支 上 ， 由 已 知 条 件 结 合 双 曲 线 和 椭 圆 的 定 义 推 志 出 ，由此能求出 4e12+e22 的最小值． 【解答】解：由题意设焦距为 2c，椭圆长轴长为 2a1，双曲线实轴为 2a2， 令 P 在双曲线的右支上， 由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2a2，① 由椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a1，② 又∵PF1⊥PF2， ∴ =4c2，③ ①2+②2，得 = ，④ 将④代入③，得 ， ∴ 4e12+ = = + = ≥ = ． 故选：C． 【点评】本题考查 4e12+e22 的最小值的求法，是中档题，解题时要熟练掌握双曲 线、椭圆的定义，注意均值定理的合理运用． 7．已知抛物线方程为 y2=4x，直线 l 的方程为 x﹣y+4=0，在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 d1，P 到直线 l 的距离为 d2，则 d1+d2 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】如图点 P 到 y 轴的距离等于点 P 到焦点 F 的距离减 1，过焦点 F 作直线 x﹣y+4=0 的垂线，此时 d1+d2 最小，根据抛物线方程求得 F，进而利用点到直线 的距离公式求得 d1+d2 的最小值． 【解答】解：如图点 P 到准线的距离等于点 P 到焦点 F 的距离， 从而 P 到 y 轴的距离等于点 P 到焦点 F 的距离减 1． 过焦点 F 作直线 x﹣y+4=0 的垂线，此时 d1+d2=|PF|+d2﹣1 最小， ∵F（1，0），则|PF|+d2= = ， 则 d1+d2 的最小值为 ． 故选 D． 【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质，两点距离公式的应用．解此列题设 和先画出图象，进而利用数形结合的思想解决问题． 8．已知圆 C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2 的圆心为抛物线 x2=﹣4y 的焦点，直线 x+y=1 与圆 C 相切，则该圆的方程为（ ） A．（x+1）2+y2= B．x2+（y+1）2=2 C．（x﹣2）2+y2= D．x2+（y﹣2） 2= 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】抛物线 x2=﹣4y 的焦点坐标为（1，0），即为圆心坐标，利用圆与直线 x+y=1 相切，可求半径，即可得到圆的方程． 【解答】解：由题意，抛物线 x2=﹣4y 的焦点坐标为（0，﹣1），即为圆心坐标 ∵圆与直线 x+y=1 相切，∴r= = ∴圆的方程为 x2+（y+1）2=2． 故选：B． 【点评】本题考查圆与抛物线的综合，考查直线与圆相切，解题的关键是确定圆 的圆心与半径． 9．已知抛物线 y2=4x 的准线过椭圆 + =1（a＞b＞0）的左焦点且与椭 圆交于 A、B 两点，O 为坐标原点，△AOB 的面积为 ，则椭圆的离心率为 （ ） A． B． C． D． 【考点】椭圆的标准方程． 【分析】由题设条件，利用椭圆和抛物线的性质推导出 c=1， = ，由此 能求出椭圆的离心率． 【解答】解：∵抛物线 y2=4x 的准线方程为 x=﹣1， 抛物线 y2=4x 的准线过椭圆 + =1（a＞b＞0）的左焦点且与椭圆交于 A、 B 两点， ∴椭圆的左焦点 F（﹣1，0），∴c=1， ∵O 为坐标原点，△AOB 的面积为 ， ∴ ， ∴ ， 整理，得 2a2﹣3a﹣2=0， 解得 a=2，或 a=﹣ （舍）， ∴e= = ． 故选：C． 【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要熟练掌握椭圆、抛 物线的简单性质． 10．函数 y=ax2+1 的图象与直线 y=x 相切，则 a=（ ） A． B． C． D．1 【考点】函数与方程的综合运用． 【分析】因为函数与直线相切，则函数与直线有一个公共点，则把两个解析式联 立得到一个一元二次方程，利用△=0 求出 a 即可． 【解答】解：把两个解析式联立得方程 ax2﹣x+1=0， 当 a≠0 时，由△=0 即得 a= 故答案为 B． 【点评】此题利用导数作麻烦！利用两个函数求交点的思路来做比较简单． 11．若函数 f（x）=x3﹣6bx+3b 在（0，1）内只有极小值，则实数 b 的取值范围 是（ ） A．（0，1） B．（﹣∞，1） C．（0，+∞） D．（0， ） 【考点】利用导数研究函数的极值． 【分析】求出导函数，据函数的极值点是导函数的根；由已知函数只有一个极小 值，画出导函数的图象，结合图象列出不等式组，求出 b 的范围． 【解答】解：∵f′（x）=3x2﹣6b，由题意，函数 f′（x）图象如右． ∴ 即 得 0＜b＜ ． 故选：D 【点评】本题考查函数的极值点是导函数的根、解决二次函数的实根分布问题常 画出二次函数图象， 数形结合列出满足的条件． 12．定义在（0， ）上的函数 f（x），f′（x）是它的导函数，且恒有 f（x） ＜f′（x）tanx 成立，则（ ） A． f（ ）＞ f（ ） B ． f （ 1 ） ＜ 2f （ ） sin1 C． f（ ）＞f（ ） D． f（ ）＜f（ ） 【考点】导数的运算． 【分析】把给出的等式变形得到 f′（x）sinx﹣f（x）cosx＞0，由此联想构造辅助 函数 g（x）= ，由其导函数的符号得到其在 （0， ）上为增函数，则 ，整理后即可得 到答案． 【解答】解：因为 x ∈ （0， ），所以 sinx＞0，cosx＞0． 由 f（x）＜f′（x）tanx，得 f（x）cosx＜f′（x）sinx． 即 f′（x）sinx﹣f（x）cosx＞0． 令 g （ x ） = x ∈ （ 0 ， ） ， 则 ． 所以函数 g（x）= 在 x ∈ （0， ）上为增函数， 则 ，即 ，所 以 ， 即 ． 故选 D． 【点评】本题考查了导数的运算法则，考查了利用函数导函数的符号判断函数的 单调性，考查了函数构造法，属中档题型． 二、填空题 13．设 a＞1，则当 y=ax 与 y=logax 两个函数图象有且只有一个公共点时，lnlna= ﹣1 ． 【考点】函数的图象与图象变化；函数的零点． 【分析】利用同底的指数函数和对数函数互为反函数的性质，得到两个函数只有 一个公共点的等价条件． 【解答】解：因为 y=ax 与 y=logax 两个函数互为反函数，它们的图象关于 y=x 对 称，所以要使两个函数图象有且只有一个公共点时，则它们 y=x 是两个函数的共 同的切线． 设两个函数相切时的切点坐标为 M（x0，y0），由于曲线 y=ax 在 M 处的切线斜 率为 1， 所 以 ， 且 函 数 y=ax 的 导 数 为 ， 即 ，所以 ， 则 ， 两 边 取 对 数 得 =1， 所以解得 e= ，所以 ，即 ，此时 x0=e． 所以 lnlna═ln（ ）=﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题主要考查指数函数和对数函数互为反函数，以及利用导数求曲线切 线问题，综合性较强，难度较大． 14．对于三次函数 f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设 f′（x）是函数 y=f（x）的导数，f″（x）是函数 f′（x）的导数，若方程 f″（x）=0 有实数解 x0， 则称（x0，f（x0））为函数 y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个 三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中 心．给定函数 ，请你根据上面 探究结果，解答以下问题 （1）函数 f（x）= x3﹣ x2+3x﹣ 的对称中心为 （ ，1） ； （ 2 ） 计 算 +…+f （ ）= 2012 ． 【考点】函数的值；函数的零点；导数的运算． 【分析】（1）根据函数 f（x）的解析式求出 f′（x）和 f″（x），令 f″（x）=0， 求得 x 的值，由此求得三次函数 f（x）= x3﹣ x2+3x﹣ 的对称中心． （2）由 f（x）= x3﹣ x2+3x﹣ 的对称中心为（ ，1），知 f（x）+f （ 1 ﹣ x ） =2 ， 由 此 能 够 求 出 +…+f（ ）． 【解答】解：（1）∵f（x）= x3﹣ x2+3x﹣ ， ∴f′（x）=x2﹣x+3，f''（x）=2x﹣1， 令 f''（x）=2x﹣1=0，得 x= ， ∵f（ ）= +3× =1， ∴f（x）= x3﹣ x2+3x﹣ 的对称中心为（ ，1）， （2）∵f（x）= x3﹣ x2+3x﹣ 的对称中心为（ ，1）， ∴f（x）+f（1﹣x）=2， ∴ +…+f（ ） =2×1006=2012． 故答案为：（ ，1），2012． 【点评】本小题主要考查函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法， 考查化简计算能力，求函数的值以及函数的对称性的应用，属于难题． 15．已知曲线 y=（a﹣3）x3+lnx 存在垂直于 y 轴的切线，函数 f（x）=x3﹣ax2﹣ 3x+1 在[1，2]上单调递增，则 a 的范围为 （﹣∞，0] ． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性． 【分析】曲线 y=（a﹣3）x3+lnx 存在垂直于 y 轴的切线，故 f（x）函数在某一个 点处的导数等于零．由 ，知方程 3（a﹣3） x2+ =0 有解；再由 f（x）=x3﹣ax2﹣3x+1 在[1，2]上单调递增，能求出 a 的范 围． 【解答】解：∵曲线 y=（a﹣3）x3+lnx 存在垂直于 y 轴的切线， ∴f（x）函数在某一个点处的导数等于零． 由函数的表达式可知 f（x）的定义域为 x＞0， ∵ ， ∴方程 3（a﹣3）x2+ =0 有解， 等价于 3（a﹣3）x3+1=0 有解时求 a 的范围， ∴a＜3； ∵f（x）=x3﹣ax2﹣3x+1， ∴f′（x）=3x2﹣2ax﹣3，其对称轴为 x= ， ∵函数 f（x）=x3﹣ax2﹣3x+1 在[1，2]上单调递增， ∴3﹣2a﹣3≥0，解得 a≤0， 综上，a 的范围为（﹣∞，0]． 故答案为：（﹣∞，0]． 【点评】本题考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细 解答，注意导数的几何意义和导数性质的灵活运用，合理地进行等价转化． 16．设函数 y=f（x），x ∈ R 的导函数为 f′（x），且 f（x）=f（﹣x），f′（x）＜f （x），则下列三个数： 从小到 大依次排列为 f（3），ef（2），e2f（﹣1） ． （e 为自然对数的底） 【考点】导数的运算；不等关系与不等式． 【分析】构造函数 g（x）=e﹣xf（x），利用导数得出其单调性，及利用 f（﹣x） =f（x）即可得出． 【解答】解：构造函数 g（x）=e﹣xf（x），∵f′（x）＜f（x），则 g′（x）=﹣e﹣xf （x）+e﹣xf′（x）=e﹣x（f′（x）﹣f（x））＜0． ∴函数 g（x）在 R 上单调递减． ∴e﹣3f（3）＜e﹣2f（2）＜e﹣1f（1），又 f（﹣1）=f（1）， ∴f（3）＜ef（2）＜e2f（1）=e2f（﹣1）． 故三个数： 从小到大依次排列 为：f（3），ef（2），e2f（﹣1）． 故答案为 f（3），ef（2），e2f（﹣1）． 【点评】恰当构造函数 g（x）=e﹣xf（x），熟练掌握利用导数研究函数单调性、 奇偶性是解题的关键． 17．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使体积是 27π，且用料最省，则圆柱的底面 半径为 3 ． 【考点】函数最值的应用． 【分析】设圆柱的高为 h，半径为 r 则由圆柱的体积公式可得，πr2h=27π，即 ， 要 使 用 料 最 省 即 求 全 面 积 的 最 小 值 ， 而 S 全 面 积 =πr2+2πrh= = （法一）令 S=f（r），结合导数可判断函数 f（r）的单调性，进而可求函数取得 最小值时的半径 （ 法 二 ） ： S 全 面 积 =πr2+2πrh= = ，利用基本 不等式可求用料最小时的 r 【解答】解：设圆柱的高为 h，半径为 r 则由圆柱的体积公式可得，πr2h=27π S 全面积=πr2+2πrh= = （法一）令 S=f（r），（r＞0） = 令 f′（r）≥0 可得 r≥3，令 f′（r）＜0 可得 0＜r＜3 ∴f（r）在（0，3）单调递减，在[3，+∞）单调递增，则 f（r）在 r=3 时取得最 小值 （ 法 二 ） ： S 全 面 积 =πr2+2πrh= = = =27π 当且仅当 即 r=3 时取等号 当半径为 3 时，S 最小即用料最省 故答案为：3 【点评】本题主要考查了圆柱的体积公式及表面积的最值的求解，解答应用试题 的关键是要把实际问题转化为数学问题，根据已学知识进行解决． 三、解答题 18．（10 分）（2017 春•虎林市校级月考）已知函数 f（x）= 的定义域为[α，β]，值域为[logaa（β﹣1），logaa（α﹣1）]，并且 f（x）在[α， β]上为减函数． （1）求 a 的取值范围； （2）求证：2＜α＜4＜β； （3）若函数 g（x）=logaa（x﹣1）﹣ ，x ∈ [α，β]的最大值为 M，求证：0＜M＜1． 【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算；利用导数求闭区间上函数的 最值． 【分析】（1）由已知中 f（x）在[α，β]上为减函数函数 f（x）= 的定义域为[α，β]，值域为[logaa（β﹣1），logaa（α﹣1）]，我们可得 ，根据对 数式中底数及真数的限制条件，可得α＞2，同理β＞2，故关于 x 的方程 在（2，+∞）内有二不等实根α、β．由 此构造关于 a 的不等式组，解不等式组即可求出 a 的取值范围； （2）令Φ（x）=ax2+（a﹣1）x+2（1﹣a），我们易得Φ（2）•Φ（4）＜0，进而 根据零点存在定理，结合（1）中的结论，得到答案； （3）由已知中函数 g（x）=logaa（x﹣1）﹣ ，x ∈ [α，β]的解 析式，我们利用导数法，可以判断出函数的单调性，进而得到 M=g（4）=loga9+1， 结合（1）中 a 的取值范围，即可得到答案． 【 解 答 】 解 ． （ 1 ） 按 题 意 ， 得 ． ∴ 即 α ＞ 2． （3 分） 又 ∴关于 x 的方程 ． 在（2，+∞）内有二不等实根 x=α、β． ⇔ 关于 x 的二次方程 ax2+（a﹣1）x+2（1﹣a）=0 在（2，+∞）内有二异根α、β． ． 故 ． （6 分） （2）令Φ（x）=ax2+（a﹣1）x+2（1﹣a）， 则Φ（2）•Φ（4）=4a•（18a﹣2）=8a（9a﹣1）＜0． ∴2＜α＜4＜β． （10 分） （3）∵ ， = ． ∵lna＜0， ∴当 x ∈ （α，4）时，g'（x）＞0； 当 x ∈ （4，β）是 g'（x）＜0． 又 g（x）在[α，β]上连接， ∴g（x）在[α，4]上递增，在[4，β]上递减． 故 M=g（4）=loga9+1=loga9a． （12 分） ∵ ， ∴0＜9a＜1． 故 M＞0． 若 M≥1，则 9a=aM． ∴9=aM﹣1≤1，矛盾． 故 0＜M＜1． （15 分） 【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，导数的运算，利用导 数求闭区间上函数的最值，其中（1）的关键是根据函数的单调性将问题转化为 关于 x 的方程 在（2，+∞）内有二 不等实根α、β．并由此构造关于 a 的不等式组，（2）的关键是构造函数Φ（x） =ax2+（a﹣1）x+2（1﹣a），将问题转化为函数零点判断问题，（3）的关键是 利用导数法，判断出 M=g（4）． 19．（11 分）（2013•绍兴一模）已知函数 f（x）= x3+ax2+bx（a，b ∈ R）． （Ⅰ）当 a=1 时，求函数 f（x）的单调区间； （Ⅱ）若 f（1）= ，且函数 f（x）在（0， ）上不存在极值点，求 a 的取 值范围． 【考点】利用导数研究函数的极值． 【分析】（1）把 a=1 代入 f（x）= ，求导得 f′（x）=x2+2x+b， 分△=4﹣4b≤0，与△=4﹣4b＞0 两种情况讨论得出单调区间； （2）令 f′（x）=0 得 x2+2ax﹣a=0 进一步得函数 ，令 t=1﹣2x，则 t ∈ （0，1），故 = ，求出 a 的范围，得答案． 【解答】解：（1）当 a=1 时，f（x）= ，∴f′（x）=x2+2x+b， ①若△=4﹣4b≤0，即 b≥1 时，f′（x）=x2+2x+b≥0 所以 f（x）为 R 上的增函数，所以 f（x）的增区间为（﹣∞，+∞）； ② 若 △ =4 ﹣ 4b ＞ 0 ， 即 b ＜ 1 时 ， f' （ x ） = ， 由 f′（x）＞0 得 x＜ ，或 x＞ 所以 f（x） 在（﹣∞， ）与（ ，+∞）上为 增函数， 在（ ， ） 上为减函数． 所以 f（x）的增区间为（﹣∞， ）与（ ，+ ∞）；减区间为（ ， ）上． （2）由 ，得 b=﹣a， 即 f（x）= ，∴f′（x）=x2+2ax﹣a． 令 f′（x）=0 得 x2+2ax﹣a=0，∴（1﹣2x）a=x2， ∵0＜x＜ ，∴1﹣2x≠0，∴ ， 令 t=1﹣2x，则 t ∈ （0，1），∴ = ， ∵ 在 t ∈ （0，1）上单调递减，故 h（t） ∈ （0，+∞）， ∴ ∈ （0，+∞），∴a ∈ （0，+∞）， 函数 f（x）在（0， ）上不存在极值点，∴ 在（0， ）上无 解， ∴a ∈ （﹣∞，0] 综上，a 的取值范围为（﹣∞，0]． 【点评】本题主要考查函数的单调性与导数的应用，构造函数，利用单调性求解 函数的值域是解题的关键． 20．（12 分）（2011•上海校级二模）已知动点 M 到定点 F（1，0）的距离与到 定直线 l：x=﹣1 的距离相等，点 C 在直线 l 上． （1）求动点 M 的轨迹方程； （2）设过定点 F，法向量 的直线与（1）中的轨迹相交于 A， B 两点且点 A 在 x 轴的上方，判断∠ACB 能否为钝角并说明理由．进一步研究∠ ABC 为钝角时点 C 纵坐标的取值范围． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的定义． 【分析】（1）根据抛物线的定义一动点 M 到定点的距离与到定直线的距离相等， M 的轨迹为抛物线，可知 M 的轨迹是以点 F 为焦点，直线 l 为准线的抛物线， 根据 F 的坐标求出 p 的值，即可确定出抛物线的方程； （2）根据已知的法向量得到直线 AB 方程的斜率，再由 F 的坐标即可写出直线 AB 的方程，与（1）求出的抛物线方程联立，求出 x 与 y 的值，确定出点 A 和点 B 的坐标，设出点 C 的坐标，进而表示出 h 和 ，利用平面向量的数量积 的运算法则表示出两向量的数量积，变形后得到其数量积大于等于 0，故∠ACB 不可能为钝角；表示出过点 B 与直线 AB 的直线，令 x=﹣1 求出此时 y 的值，则 y 小于求出的值即可得到∠ABC 为钝角时点 C 纵坐标的取值范围． 【解答】解：（1）因为动点 M 到定点 F（1，0）的距离与到定直线 l：x=﹣1 的 距离相等， 所以 M 的轨迹是以点 F 为焦点，直线 l 为准线的抛物线， 则轨迹方程为 y2=4x；（4 分） （2）由题意，直线 AB 的方程为 4x﹣3y﹣4=0 故 A、B 两点的坐标满足方程组 ， 解得 A（4，4）， ， 设 C（﹣1，y），则 ， ， （8 分） 由 ， 所以∠ACB 不可能为钝角．（10 分） 过 B 垂直于直线 AB 的直线方程为 ， 令 x=﹣1，解得 ， 当 ∠ ABC 为 钝 角 时 ， 点 C 纵 坐 标 的 取 值 范 围 是 ： ．（13 分） 【点评】本题考查抛物线的定义与应用，及轨迹方程的求法，关键是看清题中给 出的条件，灵活运用平面向量的数量积的运算法则进行求解．本题容易忽略 的情况． 21．（12 分）（2012•湖南模拟）已知抛物线 L：x2=2py（p＞0）和点 M（2，2）， 若抛物线 L 上存在不同的两点 A、B 满足 ． （1）求实数 p 的取值范围； （2）当 p=2 时，抛物线 L 上是否存在异于 A、B 的点 C，使得经过 A、B、C 三点 的圆和抛物线 L 在点 C 处有相同的切线？若存在，求出点 C 的坐标；若不存在， 请说明理由． 【考点】圆与圆锥曲线的综合． 【分析】（1）先利用 得 M 为 AB 的中点，把直线 AB 的方程与 抛物线方程联立借助于判别式大于 0 求出实数 p 的取值范围； （2）先利用圆过 A、B、C 三点求出圆心坐标和点 C 坐标之间的关系，再利用抛 物线 L 在点 C 处切线与 NC 垂直求出点 C 的坐标即可． 【解答】解：（1）设 A，B 两点的坐标为 A（x1，y1），B（x2，y2），且 x1＜x2． ∵ ，查得 M 为 AB 的中点，即 x1+x2=4．显然直线 AB 与 x 轴不 垂直， 设直线 AB 的方程为 y﹣2=k（x﹣2）， 即 y=kx+2﹣2k，将 y=kx+2﹣2k 代入 x2=2py 中，得 x2﹣2pkx+4（k﹣1）p=0． ∴ ，∴p＞1，故 p 的取值范 围为（1，+∞）． （2）当 p=2 时，由（1）求得 A，B 的坐标分别为 A（0，0），B（4，4）． 假设抛物线 L：x2=4y 上存在点 （t≠0 且 t≠4）， 使得经过 A、B、C 三点的圆和抛物线 L 在点 C 处有相同的切线．设圆的圆心坐标 为 N（a，b）， ∵ ， ∴ 即 解得 ． ∵抛物线 L 在点 C 处切线的斜率为 ，而 t≠0，且该 切线与 NC 垂直， ∴ ． 即 ． 将 代入上式，得 t3﹣2t2 ﹣ 8t=0， 即 t（t﹣4）（t+2）=0． ∵t≠0 且 t≠4， ∴t=﹣2．故存在满足题设的点 C，其坐标为（﹣2，1）． 【点评】本题综合考查了直线与圆锥曲线以及圆于圆锥曲线的综合问题，是对知 识的综合，是道难题． 22．（12 分）（2017 春•虎林市校级月考）已知函数 ． （1）求 f（x）的最小值； （2）若方程 f（x）=a 有两个根 x1，x2（x1＜x2），证明：x1+x2＞2． 【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用． 【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间， 从而求出函数的最值即可； （ 2 ） 问 题 转 化 为 ， 设 ，则 ，问题等价于 ．令 ，根据函数的单调 性证明即可． 【解答】解：（1） ， 令 f′（x）＞0，解得：x＞1，令 f′（x）＜0，解得：0＜x＜1， 所以 f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 故 f（x）的最小值为 f（1）=1． （2）证明：若方程 f（x）=a 有两个根 x1，x2（0＜x1＜x2）， 则 ， 即 ． 要证 x1+x2＞2，需证 ， 即证 ， 设 ，则 ， 等价于 ． 令 ， 则 ， 所以 g（t）在（1，+∞）上单调递增， g（t）＞g（1）=0， 即 ， 故 x1+x2＞2． 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．