2017-2018学年青海省西宁市第四高级中学高二下学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年青海省西宁市第四高级中学高二下学期期末考试数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年青海省西宁市第四高级中学高二下学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．学校艺术节对同一类的A、B、C、D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：‎ 甲说：“是C或D作品获得一等奖” 乙说：“B作品获得一等奖”‎ 丙说：“A、D两项作品未获得一等奖” 丁说：“是C作品获得一等奖”‎ 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品为（ ）‎ A. C作品 B. D作品 C. B作品 D. A作品 ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，故假设A，B，C，D分别为一等奖，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断．‎ 详解：若A为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意，‎ 若B为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意，‎ 若C为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意，‎ 若D为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，‎ 故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B 故答案为：C.‎ 点睛：本题考查推理的应用，意在考查学生的分析、推理能力．这类题的特点是：通过几组命题来创设问题情景，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.对于逻辑推理问题，应耐心读题，找准突破点，一般可以通过假设前提依次验证即可.‎ ‎2．函数在处有极值10，则点（，b）为（ ）‎ A. （3，﹣3） B. （﹣4，11） C. （3，﹣3）或（﹣4，11） D. 不存在 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析： ，则， 解得或，当时， ‎ ‎，此时在定义域上为增函数，无极值，舍去.当, , 为极小值点,符合,故选A.‎ ‎【考点】1.用导数研究函数的极值；2.函数在某一点取极值的条件.‎ ‎【易错点睛】本题主要考查用导数研究函数的极值问题，要求掌握可导函数取得有极值的条件， 是函数取得极值的必要不充分条件.求解之后要注意检验，本题中，当时， ，此时在定义域上为增函数，无极值，不符合题意，舍去.本题容易错选A，认为两组解都符合，一定要注意检验.‎ ‎3．如果函数y＝f(x)的图象如图所示，那么导函数y＝f ′(x)的图象可能是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由原函数图像可知函数单调性先增后减再增再减，所以导数值先正后负再正再负，只有A正确 ‎【考点】函数导数与单调性及函数图像 ‎4．在对人们休闲方式的一次调查中，根据数据建立如下的2×2列联表：‎ 为了判断休闲方式是滞与性别有关，根据表中数据，‎ 得到所以判定休闲方式与性别有关系，那么这种判断出错的可能性至多为 （ ）‎ ‎（参考数据：）‎ A. 1% B. 99% C. 5% D. 95%‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合独立性检验的结论即可确定可能性.‎ ‎【详解】‎ 结合题意和独立性检验的结论，由于 ，‎ 故这种判断出错的可能性至多为0.05，即5%.‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查独立性检验的结论及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎5．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为，则与的交点个数为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先确定与的直角坐标方程，然后确定交点个数即可.‎ ‎【详解】‎ 消去参数可得的直角坐标方程为：，‎ 曲线表示圆心为，半径为的圆，‎ 极坐标化为直角坐标方程可得的直角坐标方程为：，‎ 曲线表示直线，‎ 圆心满足直线方程，即直线过圆心，则直线与圆的交点个数为2个.‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】‎ 处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．‎ ‎6．“”是“”的( )条件 A. 充分而不必要 B. 必要而不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由，得， ，即，“”是“”的充分条件，但当时，，但不成立，“”是“”的不必要条件，故选A．‎ ‎【考点】充分必要条件．‎ ‎7．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗(吨)的几组对应数据：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 根据上表提供的数据，若求出关于的线性回归方程为，那么表中的值为（ ）‎ A．B．C．D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】 由题意，，‎ ‎ 因为关于的回归直线方程是，‎ ‎ 所以，解得，故选A.‎ ‎8．已知y关于x的回归直线方程为=0.82x+1.27，且x,y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是 x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ y ‎0.8‎ m ‎3.1‎ ‎4.3‎ A. 变量x,y之间呈正相关关系 B. 可以预测当x=5时,=5.37‎ C. m=2 D. 由表格数据可知,该回归直线必过点(,)‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为=0.82x+1.27中x的系数0.82>0，所以变量x，y之间呈正相关关系.‎ 因为 =0.82×+1.27=,所以回归直线必过点(,).‎ 又，所以m=1.8.‎ 当x=5时,=5.37.故选C．‎ ‎9．已知i为虚数单位，则复数i(i-1)对应的点位于( )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：.所以i(i-1)的点位于第四象限.选D.‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．‎ 点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，解题时要认真审题，熟练掌握共轭复数的概念，合理运用复数的几何意义进行解题．‎ ‎10．若 满足 ，则（ ）‎ A. -4 B. 4 C. 2 D. -2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求得导函数，然后结合导函数的性质即可求得最终结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得：，‎ 由导函数的解析式可知为奇函数，‎ 故.‎ 本题选择D选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查奇函数的性质，基本函数的导数公式，导数的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎11．曲线与坐标轴的交点是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：令，则，；令，则，即曲线与坐标轴的交点为．‎ ‎【考点】直线的参数方程．‎ ‎12．将点的直角坐标化成极坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求得极径和极角，即可将直角坐标化为极坐标.‎ ‎【详解】‎ 由点M的直角坐标可得：，‎ 点M位于第二象限，且，故，‎ 则将点的直角坐标化成极坐标为.‎ 本题选择D选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直角坐标化为极坐标的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ 二、填空题 ‎13．已知复数（是虚数单位），则____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合复数的运算法则求解复数的模即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意结合复数的求模公式和性质可得：‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎14．已知曲线C： (为参数)，与直线： (t为参数)，交于两点，则___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】曲线C： (t为参数)的普通方程为，表示圆心为，半径的圆．‎ 直线： (t为参数)的普通方程为．‎ ‎∴圆心到直线的距离为，‎ ‎∴．‎ 答案： ‎ ‎15．已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为：（j为参数），以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：，则圆C截直线l所得弦长为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先将圆的方程和直线方程化为直角坐标方程，然后结合弦长公式整理计算即可求得最终结果.‎ ‎【详解】‎ 圆C的方程消去参数可得一般方程为：，‎ 圆心坐标为，半径，‎ 直线的极坐标可整理为：，则直线方程的直角坐标方程为：，即，‎ 圆心到直线的距离：，‎ 结合弦长公式可得圆C截直线l所得弦长为：.‎ ‎【点睛】‎ 圆的弦长的常用求法：‎ ‎(1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则；‎ ‎(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：.‎ ‎16．下列共用四个命题.‎ ‎（1）命题“， ”的否定是“， ”；‎ ‎（2）在回归分析中，相关指数为的模型比为的模型拟合效果好；‎ ‎（3）， ， ，则是的充分不必要条件；‎ ‎（4）已知幂函数为偶函数，则.‎ 其中正确的序号为_________．（写出所有正确命题的序号）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依据含一个量词的命题的否定可知：命题“， ”的否定是“， ”，故命题（1）不正确；由回归分析的知识可知：相关指数越大，其模型的拟合效果越好，则命题（2）是正确的；取，尽管，但，故命题（3）不正确；由幂函数的定义可得，则（舍去），故，则命题（4）是正确的，应填答案 。‎ 点睛：本题是一道选择填空题，求解时充分借助题设中提供的四个命题的条件和结论，综合运用所学知识从而对问题做出正确的推理和判断，从而选出正确的命题，排除错误的命题，进而使得问题获解。‎ 三、解答题 ‎17．已知函数在处有极值.‎ ‎（1）求、的值；‎ ‎（2）求在上的最大值与最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）的最大值为，最小值为.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意可知且，解方程组即可求得、的值；（2）利用导数判断出函数在上的单调性并求该区间上的极值以及区间端点的函数值，并比较，最小的即为函数的最小值，最大的即为其最大值.‎ 试题解析：（1）由得或,‎ ‎.(经检验符合)‎ ‎（2）,‎ 由得.在上单调递减，上单调递增，‎ 又的最大值为，最小值为.‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性和给定区间上的极值、最值.‎ ‎18．已知曲线C的参数方程是(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A,B 的极坐标分别为 . ‎ ‎（I）求直线AB的直角坐标方程；‎ ‎（II）设M为曲线C上的点，求点M到直线AB距离的最大值 ‎【答案】（I）；（II）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）将、化为直角坐标为，据此可得直线方程为．‎ ‎（Ⅱ）设，结合(Ⅰ)的结论可得，则．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）将、化为直角坐标为，‎ 即， ，‎ ‎∴直线的方程为，即．‎ ‎（Ⅱ）设，它到直线的距离为 ‎，（其中），‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】‎ 直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生，,以便转化另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用一个参数来表示动点坐标，从而利用一元函数求与动点有关的最值问题.‎ ‎19．某品牌经销商在一广场随机采访男性和女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如下：‎ 微信控 非微信控 合计 男性 ‎26‎ ‎24‎ ‎50‎ 女性 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 合计 ‎56‎ ‎44‎ ‎100‎ ‎（1）根据以上数据，能否有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关？‎ ‎（2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；‎ ‎（3）从（2）中抽取的5位女性中，再随机抽取3人赠送礼品，试求抽取3人中恰有2人位“微信控”的概率.‎ 参考公式: ，其中.‎ 参考数据：‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎【答案】（1）没有的把握认为“微信控”与“性别”有关；（2）；（3）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用列联表，计算K2，对照数表得出概率结论；‎ ‎（2）利用分层抽样原理计算从女性中选出5人时“微信控”与“非微信控”人数；‎ ‎（3）利用列举法计算基本事件数，求出对应的概率值．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由列联表可得 所以没有的把握认为“微信控”与“性别”有关． ‎ ‎（2）根据题意所抽取的位女性中，“微信控”有人，“非微信控”有人． ‎ ‎（3）抽取的位女性中，“微信控”人分别记为， ， ；“非微信控” 人分别记为， ．则再从中随机抽取人构成的所有基本事件为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共有种；抽取人中恰有人为“微信控”所含基本事件为： ， ， ， ， ， ，共有种，‎ 所求为．‎ 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 ‎(1)列举法.‎ ‎(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.‎ ‎(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.‎ ‎20．已知函数，‎ ‎（1）若，求函数的极值；‎ ‎（2）设函数，求函数的单调区间；‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）的定义域为，当时，，则在处取得极小值1.函数没有极大值.‎ ‎（2），，分类讨论：①当时，在上单调递减，在上单调递增；②当时，在上单调递增.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）的定义域为，‎ 当时，，，‎ ‎1‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ 单调递减 极小值 单调递增 所以在处取得极小值1.函数没有极大值.‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎①当时，即时，在上，在上，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增；‎ ‎②当，即时，在上，‎ 所以，函数在上单调递增.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数研究函数的极值，导数研究函数的单调性，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎21．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为，的极坐标方程为． ‎ ‎（1）求直线l和的普通方程；‎ ‎（2）直线l与有两个公共点A、B，定点P，求的值．‎ ‎【答案】(1)见解析;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将极坐标方程化为直角坐标方程可得直线l的普通方程为：， 圆的普通方程； ‎ ‎（2）直线l的参数方程为（t为参数），与圆的普通方程联立可得， 结合参数的几何意义可得.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）直线l的普通方程为：， ‎ 因为圆的极坐标方程为，‎ 所以 ‎ 所以圆的普通方程； ‎ ‎（2）直线l：的参数方程为：‎ ‎（t为参数），‎ 代入圆的普通方程消去x、y整理得：‎ ‎， ‎ 则，， ‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎22．设函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若关于x的不等式有解，求的取值范围．‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，不等式， 零点分段可得不等式的解集为； ‎ ‎（2）由绝对值三角不等式的性质可得，则原问题等价于，据此可得的取值范围是．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，即， ‎ 即或或，‎ 所以或，‎ 所以原不等式的解集为； ‎ ‎（2）‎ ‎ ，‎ 因为不等式有解，‎ 所以，即， ‎ 所以的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 绝对值不等式的解法：‎ 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．‎